12 16 24 32 48 64 96
10−10 10−8 10−6 10−4 10−2
N
relative Fehler
||div(u
h)||
Nuavg
Nu0
~ N−4
8 12 16 24 32 48 64
10−10 10−8 10−6 10−4 10−2
N
relative Fehler
~ N−5
Abbildung 7.8: Konvergenz ausgew¨ahlter Gr¨oßen f¨ur Ra = 107 auf anisotropen Gittern mitN2 Zellen und Q3/Q2/Q3-Elementen (links) und
Q4/Q3/Q4-Elementen (rechts).
Ra √
Raumax
√Ravmax Numin Numax Nu √
Ra Φmax
104 16.1833 19.6282 0.58496 3.53105 2.2448158 5.073673
≈5×10−6 ≈5×10−6 ≈5×10−5 ≈1×10−6 ≈1×10−8 ≈2×10−7 105 34.7407 68.6358 0.72795 7.72012 4.5216360 9.6164
≈3×10−6 ≈3×10−6 ≈3×10−5 ≈1×10−6 ≈1×10−8 ≈1×10−5 106 64.8344 220.5651 0.97944 17.5360 8.8252016 16.810
≈8×10−7 ≈5×10−7 ≈1×10−5 ≈1×10−6 ≈1×10−8 ≈3×10−5
107 148.585 699.330 1.3663 39.395 16.523093 30.164
≈7×10−6 ≈2×10−6 ≈8×10−5 ≈3×10−5 ≈1×10−8 ≈5×10−4 Tabelle 7.1: Benchmarkwerte und gesch¨atzte relative Fehler.
In Tabelle 7.1 sind extrapolierte Benchmarkwerte f¨ur Ra ∈ {104,105,106,107} ange-geben. F¨ur kleine Rayleigh-Zahlen sind diese deutlich genauer als die Werte aus den
¨alteren Arbeiten [17, 65]. F¨ur Ra = 106,107 ist die ¨Ubereinstimmung mit den Werten aus [26,44] sehr gut. Die Genauigkeit der Benchmarkwerte konnte insbesondere f¨ur die Nusselt-Zahl jedoch deutlich gesteigert werden.
7.6 Druckseparation
In diesem Abschnitt soll die Auswirkung der Druckseparation (siehe Abschnitt 2.5) un-tersucht werden. In Abbildung 7.9 a) bis d) wird dazu der Druck und der zellweise Divergenzfehler f¨ur Rechnungen mit Q2/Q1/Q2-Elementen auf Gittern mit N2 = 256
Kapitel 7: Laminare nicht-isotherme Hohlraumstr¨omung
N Standard Variante A Variante B Grad-Div 16 0.058520 0.051035 0.050350 0.007430 32 0.009804 0.009119 0.009082 0.002589
Tabelle 7.2: Divergenzfehlerk∇ ·uhk0 f¨ur zwei Varianten der Druckseparation und f¨ur Divergenzstabilisierung mitγK = 0,3.
Zellen und Ra = 106 dargestellt. In Teil a) der Abbildung werden die Werte f¨ur ei-ne Rechnung ohei-ne Grad-Div-Stabilisierung und ohei-ne Druckseparation gezeigt. Es ist deutlich zu erkennen, dass der Druck durch einen globalen quadratischen Term in der y-Koordinate dominiert wird. Dieser entsteht durch den aus dem ann¨ahernd linearen ver-tikalen Temperaturverlauf resultierenden Auftriebsterm der Boussinesq-Approximation.
Da der Ansatzraum f¨ur den Druck nur st¨uckweise lineare Funktionen enth¨alt, verursacht dieser quadratische Anteil einen Approximationsfehler, der sich insbesondere auf∇ ·uh auswirkt.
Zur Berechnung eines approximierten Drucks wird minA∈R
bestimmt. Mit dem Minimalargument A kann dann ein reduzierter Druck berechnet werden, der den quadratischen Anteil nicht mehr enth¨alt (Variante A). Das Ergebnis dieser Rechnung ist in Teil b) von Abbildung 7.9 zu sehen. Der reduzierte Druck kann deutlich besser approximiert werden, wodurch auch der Divergenzfehler kleiner wird.
In einem weiteren Schritt kann zus¨atzlich der kubische Anteil des Temperaturverlaufes durch
bestimmt werden. Die Subtraktion dieses Anteils (Variante B) verbessert die Divergenz-fehler jedoch kaum noch, wie die Tabelle7.2zeigt. Die Hauptursache f¨ur den verbleiben-den Divergenzfehler sind die Tr¨agheitskr¨afte (uh · ∇)uh, die haupts¨achlich im Bereich der Ecken wirken, in denen sich die Str¨omung von den vertikalen W¨anden abl¨ost und die Richtung ¨andert.
Um den Divergenzfehler in allen Bereichen zu verbessern, kann die Grad-Div-Stabilisierung verwendet werden. Teil d) von Abbildung 7.9 zeigt die Ergebnisse f¨ur eine Rechnung mitγK = 0,3 und ohne Druckseparation. Die zellweisen Divergenzfehler sind gegen¨uber der unstabilisierten Rechnung deutlich kleiner und konzentrieren sich weniger stark in den Ecken des Gebiets.
F¨ur das vorliegende Problem ist der Einfluss der Druckseparation eher gering und deut-lich schw¨acher als der Effekt von Grad-Div-Stabilisierung. F¨ur eine Diskretisierung mit inf-sup stabilen Elementen und bei Beibehaltung des gekoppelten Problems f¨ur Ge-schwindigkeit und Druck ist eine Druckseparation daher nicht erforderlich.
7.6. Druckseparation
(b) mit Subtraktion des linearen Anteils des Boussinesq-Terms,
X Y
(c) mit Subtraktion des linearen und kubischen Anteils des Boussinesq-Terms,
X Y
(d) und mit Grad-Div-Stabilisierung mitγK = 0.3.
Abbildung 7.9: Druck (links) und zellweiser Divergenzfehler (rechts).
Kapitel 7: Laminare nicht-isotherme Hohlraumstr¨omung
Bemerkung 7.2 Wird das gekoppelte Problem f¨ur Geschwindigkeit und Druck durch ein Projektionsverfahren entkoppelt, kann die Druckseparationsmethode wesentliche Vorteile bringen. Im ersten Schritt dieser Verfahren wird z.B. mit einem alten Druck des letzten Zeitschritts die Impulsgleichung ohne Einhaltung der Divergenzbedingung gel¨ost. Danach wird das Geschwindigkeitsfeld zur¨uck in den Raum der diskret diver-genzfreien FunktionenZh projiziert. Je besser die Approximation des Drucks im ersten Schritt ist, desto genauer arbeiten diese Verfahren.
7.6. Druckseparation
RaN√ Raumax√ RavmaxNuminNumaxNuavgNu0Numid√ RaΦmaxk∇·uhk0 104 2416.1806119.642190.5877923.542762.2447902.2501872.2426855.0736550.00398952 3216.1844219.634400.5865973.535802.2448082.2471732.2436265.0736680.00220634 4816.1833319.629840.5856603.532252.2448142.2455392.2442895.0736720.00096845 6416.1832019.628630.5853313.531452.2448152.2451262.2445205.0736720.00054200 9616.1833519.628120.5851093.531112.2448162.2449102.2446855.0736730.00023968 12816.1833519.628120.5850403.531052.2448162.2448562.2447425.0736730.00013447 A16.17819.6170.5863.5282.2432.2382.2435.071 B16.184119.62040.5863.52132.24242.24092.24305.0731 105 2434.7326168.774090.7384287.914644.5210704.5852554.5218249.6123430.01336151 3234.7428368.555830.7350977.816864.5214434.5520094.5218359.6135070.00734490 4834.7407868.603210.7314397.750844.5215964.5315294.5217579.6158950.00316207 6434.7399268.620820.7299047.732864.5216234.5259694.5217119.6162320.00175411 9634.7407468.631900.7287517.723634.5216334.5229644.5216719.6163900.00077202 12834.7407268.634740.7283597.721444.5216354.5222064.5216569.6168190.00043261 A34.7368.590.7297.7174.5194.5094.5199.612 106 3264.74733218.631041.00598918.676518.8209639.1111698.82143016.7862550.02438706 4864.81532221.158990.99600218.065208.8243308.9382758.82457216.8017140.01063871 6464.83087220.473860.98948017.805098.8249108.8788978.82504216.8093420.00589639 9664.83343220.611950.98405617.624478.8251428.8427128.82519816.8109090.00254559 12864.83398220.595430.98196917.573258.8251828.8328858.82521416.8099490.00141079 A64.63219.360.989017.9258.8008.8178.79916.75 B64.389216.761.011017.4518.71268.48438.7218 C64.83220.60.979517.5368.8258.82516.811 D64.85220.50.979617.5398.8258.8258.82416.809 Tabelle7.3:Benchmark-Werte f¨ur Q2Q1Q2-Elementeauf¨aquidistantenGitternmitN2 Zellen,ReferenzwertenAaus[17], Baus[65],Caus[44]undDaus[26].
Kapitel 7: Laminare nicht-isotherme Hohlraumstr¨omung
RaN √Raumax √RavmaxNuminNumaxNuavgNu0Numid √RaΦmaxk∇·uhk0
10 42416.1824819.634660.5856983.531842.244807752.2453522.239705.0736656480.002290353216.1848219.628080.5853493.531292.244813142.2450422.241955.0736711550.001188564816.1830819.629180.5851133.531082.244815232.2448832.243555.0736725140.000493576416.1834619.628230.5850383.531052.244815592.2448442.244105.0736726740.000270219616.1833319.628220.5849923.531052.244815732.2448242.244505.0736727240.0001175512816.1833219.628220.5849793.531052.244815752.2448192.244645.0736727310.00006558 10 52434.7435368.538750.7293407.722354.521576874.5226894.523589.6089298810.006938333234.7428968.655060.7286507.720984.521616564.5220594.522839.6149000680.003296814834.7419168.634270.7282287.720264.521631914.5217584.522159.6163917590.001222686434.7402568.631690.7280897.720154.521634694.5216874.521929.6157049690.000631979634.7408568.635510.7279977.720124.521635774.5216514.521769.6163924200.0002414212834.7406368.635710.7279707.720124.521635954.5216424.521709.6163728890.00012290
10 62464.74611221.09830.98717717.54308.824329888.8278648.8213616.795497580.020645423264.80694220.75230.98203117.54298.825023738.8261658.8248416.791887040.009804074864.82666220.53120.98016317.53728.825173918.8254538.8254716.803748260.003361756464.83377220.59380.97981517.53618.825193238.8253048.8254616.810111150.001595939664.83368220.57400.97959717.53608.825199938.8252318.8253616.810716740.0005912612864.83439220.56850.97951917.53608.825201118.8252148.8253016.810126670.00030536 10 732147.7748697.95211.39044939.516016.515775516.5230416.492130.180998220.0303029948148.5577698.92981.37029739.399116.522723516.5236116.519030.137705580.0101744264148.5678699.21781.36755339.396816.523024316.5233116.521130.160941680.0048018096148.5805699.34901.36675439.394816.523084716.5231616.522530.163499900.00165362128148.5838699.35401.36656639.395016.523090616.5231216.522830.163773080.00079420
C148.6699.21.36639.3916.52316.52330.165D148.6699.21.36638.9416.52316.55716.52330.162
Tabelle7.4:Benchmark-Wertef¨urQ2Q1Q2-ElementeaufanisotropenGitternmitN 2Zellen.
7.6. Druckseparation
kRaN√ Raumax√ RavmaxNuminNumaxNuavgNu0Numid√ RaΦmaxk∇·uhk0 3106 1664.83557220.665370.98189117.497298.82509788.8231738.82762916.793220.00972060 2464.86497220.573430.98003417.540718.82519518.8247018.82702116.804070.00379809 3264.84835220.566340.97970317.534838.82520038.8249988.82592016.802310.00183703 4864.83712220.565270.97954417.536348.82520158.8251438.82532816.807290.00061407 6464.83511220.564980.97949417.535938.82520168.8251778.82523616.810750.00027227 9664.83451220.565090.97946117.535948.82520168.8251948.82520716.810940.00008431 107 16148.63595698.098981.38381739.7252616.517183516.51520316.52124030.161760.02615706 24148.84634699.241271.36997239.4318116.522584516.52178916.53068630.152170.01021640 32148.67808699.329531.36741939.3813916.522964816.52260816.52661230.131810.00530647 48148.60866699.334341.36661939.3867716.523077916.52296516.52393930.161250.00199226 64148.59350699.331751.36648539.3974516.523090016.52304116.52342330.163230.00094058 96148.58746699.330471.36639439.3939716.523092616.52307816.52317430.161820.00030539 4106 1664.81309220.557890.97973917.533898.82519798.8251028.82416816.803560.00109978 2464.83348220.565630.97957517.534818.82520158.8251898.82512516.803810.00019976 3264.83423220.565050.97950217.535928.82520168.8251988.82518516.809520.00007153 4864.83438220.565100.97945617.535988.82520168.8252018.82519916.810790.00002230 6464.83439220.565120.97944917.535988.82520168.8252018.82520116.809940.00001012 107 16149.17045699.401321.36684739.4321516.522860816.52253716.54487730.159050.00538207 24148.57751699.337931.36657739.3894916.523078316.52304716.52398230.133970.00134227 32148.58701699.330571.36653039.3975516.523092016.52308316.52331330.161600.00037758 48148.58566699.329931.36640639.3950716.523092716.52309116.52312230.163400.00007571 64148.58555699.330011.36635639.3947716.523092616.52309216.52309930.163770.00003177 Tabelle7.5:Benchmark-Werte f¨ur QkQk−1Qk-ElementeaufanisotropenGitternmitN2 Zellen.
Kapitel 7: Laminare nicht-isotherme Hohlraumstr¨omung
Kapitel 8
Turbulente nicht-isotherme Hohlraumstr¨ omung
Nach den Untersuchungen zu laminaren Hohlraumstr¨omungen im vorherigen Kapitel wird nun der Fall einer turbulenten Hohlraumstr¨omung bei Ra = 1,58×109 betrachtet.
Dabei handelt es sich um ein verbreitetes Testproblem, das sowohl experimentell in den Arbeiten [2] und [69], als auch numerisch in den Arbeiten [58] und [40] gut untersucht wurde. F¨ur die folgenden Rechnungen werden das Lilly-Eidson-Turbulenzmodell und erstmals f¨ur nicht-isotherme Str¨omungen das VMS-Turbulenzmodell verwendet.
8.1 Beschreibung des Experiments
Die folgende Beschreibung des Versuchsaufbaus ist Ref. [2] entnommen. Es handelt sich um eine luftgef¨ullte Kammer mit quadratischem Querschnitt, Breite und H¨ohe sind 0,75 m. Die L¨ange der Kammer ist 1,5 m, so dass die Str¨omung in der Mitte der Kam-mer bis auf kleine St¨orungen zweidimensional ist. Die vertikalen Seitenw¨ande werden bei konstant 10 ±0,15 ◦C bzw. 50 ±0,15◦C gehalten, w¨ahrend die Raumtemperatur 30 ±0,2 ◦C betr¨agt. Die resultierende Rayleigh-Zahl wird mit 1,58×109 angegeben.
Die horizontalen Seitenw¨ande oben und unten bestehen aus einem 1,5 mm dicken Stahl-blech und 10 cm Styropor. Ihre thermischen Eigenschaften sind in der Beschreibung des Experiments jedoch nicht genau angegeben und lassen sich bei der numerischen Rechnung somit nicht befriedigend modellieren. Stattdessen werden, wie auch bei den anderen numerischen Studien [40,58], interpolierte Daten des Experiments als Dirichlet-Randwerte verwendet.
Bei der Auswertung der experimentellen Daten ist zu beobachten, dass die Symme-trie zwischen heißer und kalter Seitenwand deutlich gest¨ort ist. Eine m¨ogliche Ursache hierf¨ur k¨onnte der große Temperaturunterschied von 40 ◦C sein, bei dem sich
wesent-Kapitel 8: Turbulente nicht-isotherme Hohlraumstr¨omung
Abbildung 8.1: Abbildung zum Versuchsaufbau der thermisch angetriebenen Hohlraumstr¨omung aus Ref. [2].