a
b 0 0 0
0 b 0 0
0 0 d 0
0 0 0 gkdτ
(t,x), N1≡ N1(t,x) =
0 −∂x 0 0
−∂x 0 ∂x 0 0 ∂x 0 ∂x 0 0 ∂x gkd
(t,x).
Die Randbedingungen können nun aufgrund der speziellen Beschaffenheit des VektorsVleicht mit Hilfe von (zeitunabhängigen) Sobolevräumen verallgemeinert werden. Schließlich wird mit Hilfe der Theorie von Kato auf eine Lösung geschlossen.
Die Wohlgestelltheit der klassischen Thermoelastizitätsgleichungen ρUtt− D0SDU+D0Γθ = ρb, δθt−div(K∇θ) +Γ0DUt = r,
mit entsprechenden Anfangs- und Randbedingungen wird in[6]im zeitunabhängigen, dreidi-mensionalen Fall ebenfalls mit einer geschickten Transformation und Resultaten der Halbgrup-pentheorie gezeigt. Mit einer Lösung(U,θ)und
V :=
SDU Ut
θ
, Q:=
S−1 0 0
0 ρ 0
0 0 δ
, N:=
0 −D 0
−D0 0 D0Γ 0 Γ0D −div(K∇·)
undF :=
0 b
rδ
ergibt sich
Vt+Q−1NV =F.
Wir führen nun beide Vorgehensweisen zusammen und erarbeiten daraus eine Strategie um die Wohlgestelltheit des Problems(2.1)−(2.8)zu beweisen. Zunächst aber definieren wir Sobolev-räume, welche es uns später erlauben werden, die Randbedingungen zu verallgemeinern.
2.2 Sobolevräume und Skalarprodukt
In diesem Abschnitt definieren wir Sobolevräume, welche zur verallgemeinerten Formulierung der Randbedingungen(2.5)−(2.8)hilfreich sein werden. Außerdem werden einige Eigenschaf-ten dieser Sobolevräume aufgezeigt, welche in spätere Argumentationen eingehen werden. Wir benötigen zunächst die folgenden „verallgemeinerten“ Testfunktionen:
CΓ∞1(G) :=©
ϕ∈ C∞(G):∃G0 ⊂Goffen,Γ1 ⊂G0,ϕ|G0 =0ª .
Bevor wir mit Hilfe dieser verallgemeinerten Testfunktionen zu jeder Randbedingung von(2.5)− (2.8)einen passenden Sobolevraum definieren, führen wir einen Grundraum ein, welcher eben-falls von Nutzen sein wird:
WD1(G):=
n u∈¡
L2(G)¢3
:Du∈¡
L2(G)¢6o . Mit Hilfe des Raumes
WΓ12,D0(G):=
n u∈¡
L2(G)¢6
:D0u∈¡
L2(G)¢3 ,
∀ϕ∈
³
CΓ∞1(G)∩H1(G)
´3 :
Z
G
(D0u)ϕdx=− Z
G
uDϕdx o
ϕ=0 Γ1
Γ2 G
G0
Abbildung 2.1: Verallgemeinerte Testfunktionen.
wird die Randbedingung(2.5)verallgemeinert. Der Raum WΓ11,D(G):=
n
u∈WD1(G) :∀ϕ∈WΓ12,D0(G): Z
G
(Du)ϕdx=− Z
G
uD0ϕdx o
wird zur Verallgemeinerung der Randbedingung(2.7)notwendig werden. Die Randbedingung (2.6)wird mit Hilfe des Raumes
WΓ12,div(G):=
n u∈¡
L2(G)¢3
: divu∈L2(G),
∀ϕ∈ CΓ∞1(G)∩H1(G): Z
G
(divu)ϕdx =− Z
G
u∇ϕdx o
beschrieben. Schließlich wird die verbleibende Randbedingung(2.8)mit Hilfe des Raumes WΓ11(G):=
n
u∈H1(G):∀ϕ∈WΓ12,div(G): Z
G
(∇u)ϕdx=− Z
G
udiv ϕdx o
verallgemeinert. Ein rein technisches Hilfsmittel ist nun, dass der Raum H1Γ1(G):=CΓ∞
1(G)∩H1(G)k·kH1
mit dem vorigen übereinstimmt. Wir zeigen im Folgenden einige Zusammenhänge und Eigen-schaften der obigen Räume auf. Insbesondere ergibt sich, dass sämtliche der genannten Räume Hilberträume bezüglich entsprechender Skalarprodukte sind. Weiter lassen Resultate von Racke in [6] bereits vermuten, dass die Gleichheit WΓ11,D(G) =
³
WΓ11(G)
´3
erfüllt ist. Dies wird sich auch tatsächlich als richtig erweisen.
Lemma 2.1 WD1(G)ist bezüglich der Abbildungsvorschrifth·,·iD :=h·,·i+hD·,D·iein Hilbertraum.
Beweis:Offensichtlich ist, dass es sich beih·,·iD um ein Skalarprodukt aufWD1(G)handelt. Die zugehörige Norm bezeichnen wir mitk · kD. Es sei(un)n∈N eine Cauchyfolge inWD1(G). Nach Konstruktion des Skalarproduktesh·,·iDist sofort ersichtlich, dass(un)n∈Neine Cauchyfolge in
¡L2(G)¢3
und(Dun)n∈Neine Cauchyfolge in¡
L2(G)¢6
ist. Wegen der Vollständigkeit vonL2(G) existieren also einu∈¡
L2(G)¢3
und einv∈¡
L2(G)¢6
mitkun−uk →0 undkDun−vk →0 für n→∞. Sei nunϕ∈¡
C0∞(G)¢6
beliebig gewählt. Wir erhalten:
Z
G
uD0ϕdx=
u,D0ϕ®
= lim
n→∞
un,D0ϕ®
=−lim
n→∞hDun,ϕi =− lim
n→∞hv,ϕi=− Z
G
vϕdx.
Letzteres bedeutet aber, dassDu= v ∈¡
L2(G)¢6
gilt. Insgesamt ist alsou ∈WD1(G)und es gilt
ku−unkD →0 fürn→∞und das war zu zeigen. ¤
Lemma 2.2 WΓ12,D0(G)ist bezüglich der Abbildungsvorschrifth·,·iD0 :=h·,·i+hD0·,D0·iein Hilbert-raum.
Beweis:Klar ist, dass es sich beih·,·iD0 um ein Skalarprodukt aufWΓ1
2,D0(G)handelt. Die zuge-hörige Norm bezeichnen wir mitk · kD0. Es sei(un)n∈Neine Cauchyfolge inWΓ1
2,D0(G). Offenbar ist dann (un)n∈N auch eine Cauchyfolge in ¡
L2(G)¢6
und (D0un)n∈N ist eine Cauchyfolge in
¡L2(G)¢3 . Da ¡
L2(G)¢6
bzw. ¡
L2(G)¢3
jeweils vollständig sind, existiert ein u ∈ ¡
L2(G)¢6 bzw.
einv∈¡
L2(G)¢3
mitkun−uk →0 bzw.kD0un−vk →0 fürn→ ∞. Für eine beliebige Testfunk-tionϕ∈¡
C0∞(G)¢3
gilt nun hu,Dϕi =
D
n→∞lim un,Dϕ E
= lim
n→∞hun,Dϕi=−lim
n→∞
D0un,ϕ®
=− hv,ϕi. Das bedeutet aberD0u=v∈¡
L2(G)¢3
. Ferner gilt für ϕ∈
³
CΓ∞1(G)∩H1(G)
´3 : Z
G
¡D0u¢
ϕdx=
D0u,ϕ®
= lim
n→∞
D0un,ϕ®
=− lim
n→∞hun,Dϕi =− hu,Dϕi= Z
G
uDϕdx und somit istu ∈ WΓ12,D0(G). Natürlich gilt nach Definition des Skalarprodukts h·,·iD0 und der Beschaffenheit vonuauchkun−ukD0 →0 fürn→∞und damit ist alles gezeigt. ¤ Lemma 2.3 WΓ1
2,div(G) ist bezüglich der Abbildungsvorschrift h·,·idiv := h·,·i+hdiv·, div·i ein Hilbertraum.
Beweis:Es ist wieder offensichtlich, dassh·,·idiv ein Skalarprodukt ist. Die zugehörige Norm wird mit k · kdiv bezeichnet. Sei (un)n∈N eine Cauchyfolge in WΓ12,div(G). Offenbar ist dann (un)n∈Neine Cauchyfolge in¡
L2(G)¢3
und(divun)n∈Neine Cauchyfolge inL2(G). Es existieren demnach ein u ∈ ¡
L2(G)¢3
bzw. einv ∈ L2(G) mitkun−uk → 0 bzw.kdiv un−vk → 0 für n→∞. Seiϕ∈ C0∞(G)beliebig gewählt, so erhalten wir
hu,∇ϕi= lim
n→∞hun,∇ϕi=−lim
n→∞hdivun,ϕi =− hv,ϕi und also ist divu=v∈L2(G). Ferner gilt für alleϕ∈ CΓ∞1(G)∩H1(G):
Z
G
(divu)ϕdx=hdivu,ϕi = lim
n→∞hdivun,ϕi=−lim
n→∞hun,∇ϕi=− Z
G
u∇ϕdx
und somit istu∈WΓ12,div(G). Natürlich gilt auchku−unkdiv →0 fürn→ ∞und damit ist alles
gezeigt. ¤
Lemma 2.4 (i) WΓ11(G)ist bezüglich des Standard H1-Skalarprodukts ein Hilbertraum.
(ii) Es gilt die Gleichheit WΓ11(G) =HΓ11(G).
(iii) Erfüllt das Gebiet G die strikte Kegeleigenschaft und ist
³ WΓ1
1(G)
´3
mit dem Skalarprodukth·,·iD versehen, so ist
³
WΓ11(G)
´3
ein abgeschlossener Unterraum von WD1(G).
Beweis:
(i) Zuerst beweisen wir, dass WΓ11(G) ein Hilbertraum bezüglich desW1-Skalarprodukts ist:
Wir beweisen nur die Vollständigkeit: Es sei(un)n∈Neine Cauchyfolge inWΓ11(G). Wegen WΓ11(G) ⊂ W1(G)existiert einu ∈ W1(G)mitkun−ukH1 → 0 fürn → ∞. Für beliebiges
ϕ∈WΓ12,div(G)gilt nun aber Z
G
(∇u)ϕdx=h∇u,ϕi= lim
n→∞h∇un,ϕi=−lim
n→∞hun, divϕi
=− D
n→∞limun, div ϕ E
=− hu, div ϕi=− Z
G
udiv ϕdx.
Daϕ∈WΓ12,div(G)beliebig gewählt war, folgtu∈WΓ11(G).
(ii) Den Beweis dieser Aussage gliedern wir in mehrere Schritte:
(a) Wir beweisen die Inklusion H1Γ
1(G) ⊂ WΓ1
1(G): Hierzu sei u ∈ HΓ1
1(G) beliebig ge-wählt. Nach Definition vonHΓ1
1(G)finden wir eine Folge(un)n∈NinCΓ∞
1(G)∩H1(G)
mitkun−ukH1 →0 fürn→∞. Es folgt für beliebigesϕ∈WΓ1
2,div(G):
Z
G
(∇u)ϕdx=h∇u,ϕi= lim
n→∞h∇un,ϕi =− lim
n→∞hun, div ϕi
=− hu, divϕi=− Z
G
udivϕdx und das war zu zeigen.
(b) Schließlich beweisen wir HΓ11(G) = WΓ11(G): Der Projektionssatz liefert uns (denn HΓ11(G) ⊂WΓ11(G)ist abgeschlossen), dass die folgende Identität richtig ist:
HΓ11(G)⊕
³
HΓ11(G)
´⊥
=WΓ11(G).
Wir wählenu∈
³
HΓ11(G)
´⊥
. Insbesondere folgt für alleϕ∈ C0∞(G):
hu,ϕi+h∇u,∇ϕi=0 bzw. hu,ϕi=− h∇u,∇ϕi,
das heißt es existiert div (∇u) = u ∈ L2(G). Es gilt also für alle ϕ∈ CΓ∞1(G)∩H1(G) die Gleichheithdiv∇u,ϕi+h∇u,∇ϕi=0 und somit ist∇u∈WΓ12,div(G). Wir erhal-ten (man beachte, dassu∈WΓ11(G)gilt)
kuk2 =hu,ui=hdiv∇u,ui=− h∇u,∇ui=−k∇uk2,
alsokuk = 0 und damit u = 0. Letzteres bedeutet aber, dass
³
H1Γ1(G)
´⊥
= {0}gilt und somit ist die Behauptung bewiesen.
(iii) Zunächst erkennen wir, dass
³
WΓ11(G)
´3
⊂WD1(G)
gilt. Wir beweisen die Abgeschlossenheit. Sei also(un)n∈N eine Folge in
³ WΓ1
1(G)
´3 mit der Eigenschaft, dass einu∈WD1(G)mitkun−ukD →0 fürn→∞existiert. Damit ist also (un)n∈Nbzgl.k · kDeine Cauchyfolge. Wegen Satz 1.4 und der daraus resultierenden Äqui-valenz vonk · k(H1(G))3 und der Normk · kD auf
³
WΓ11(G)
´3
ist(un)n∈Neine Cauchyfolge in
µ³ WΓ1
1(G)
´3
,k · k(H1(G))3
¶
. Hierbei handelt es sich aber nach Teil(i)um einen Hilbert-raum. Demnach existiert also ein v ∈
³
WΓ11(G)
´3
mit kun−vk(H1(G))3 → 0 für n → ∞.
Wiederum wegen der Äquivalenz der besagten Normen erhalten wirkun−vkD → 0 für n→∞. Letzteres liefert aber sofortu=v.
¤
Korollar 2.5 Es gelten die folgenden Identitäten:
WΓ12,D0(G) =
½ u∈¡
L2(G)¢6
:D0u∈¡
L2(G)¢3 ,∀ϕ∈
³
WΓ11(G)
´3 : Z
G
(D0u)ϕdx=− Z
G
uDϕdx
¾ , WΓ12,div(G) =
½ u∈¡
L2(G)¢3
: divu∈ L2(G),∀ϕ∈WΓ11(G): Z
G
(divu)ϕdx=− Z
G
u∇ϕdx
¾ .
Beweis:
(i) Wir setzen Z:=
½ u ∈¡
L2(G)¢6
:D0u∈¡
L2(G)¢3 ,∀ϕ∈
³
WΓ11(G)
´3 :
Z
G
D0uϕdx=− Z
G
uDϕdx
¾
und beweisen, dass Z = WΓ12,D0(G) gilt. Die Inklusion „⊂“ ist dabei offensichtlich. Um die verbleibende Inklusion zu zeigen, wählen wir ein u ∈ WΓ12,D0(G) beliebig. Ist dann ϕ∈
³
WΓ11(G)
´3
, so existiert eine Folge(ϕn)n∈N⊂
³
CΓ∞1(G)∩H1(G)
´3
mitkϕ−ϕnkH1 →0 fürn→∞. Wir erhalten:
Z
G
(D0u)ϕdx=
D0u,ϕ®
= lim
n→∞
D0u,ϕn®
=−lim
n→∞hu,Dϕni=− hu,Dϕi =− Z
G
uDϕdx.
Letzteres bedeutetu∈Zund die Gleichheit ist gezeigt.
(ii) Wir setzen Z:=
½ u∈¡
L2(G)¢3
: divu∈L2(G),∀ϕ∈WΓ11(G): Z
G
ϕdivudx=− Z
G
∇ϕudx
¾
und beweisen, dass Z = WΓ1
2,div(G) gilt. Die Inklusion „⊂“ ist wieder offensichtlich. Um die verbleibende Inklusion zu zeigen, wählen wir ein u ∈ WΓ12,div(G) beliebig. Ist dann ϕ ∈ WΓ11(G), so existiert eine Folge (ϕn)n∈N ⊂ CΓ∞1(G)∩H1(G) mitkϕ−ϕnkH1 → 0 für n→∞. Wir erhalten:
Z
G
(divu)ϕdx =hdivu,ϕi= lim
n→∞hdivu,ϕni
=− lim
n→∞hu,∇ϕni =− hu,∇ϕi =− Z
G
u∇ϕdx
und damit ist alles gezeigt. ¤
Lemma 2.6 WΓ11,D(G)ist ein Hilbertraum bezüglich der Abbildungsvorschrifth·,·iD :=h·,·i+hD·,D·i.
Erfüllt G die strikte Kegeleigenschaft, so gilt WΓ11,D(G) =
³
WΓ11(G)
´3 . Beweis:
(i) Wir beweisen zuerst, dass es sich bei WΓ11,D(G) um einen Hilbertraum handelt. Es sei (un)n∈N eine Cauchyfolge in WΓ11,D(G). Natürlich ist (un)n∈N auch eine Cauchyfolge in WD1(G), was wiederum die Existenz einesu ∈ WD1(G)sichert, für welcheskun−ukD → 0 fürn→ ∞gilt. Zu beweisen ist also nuru∈WΓ11,D(G). Es gilt für beliebigesϕ∈WΓ12,D0(G):
Z
G
uD0ϕdx=
u,D0ϕ®
= lim
n→∞
un,D0ϕ®
=− lim
n→∞hDun,ϕi =− hDu,ϕi=− Z
G
Duϕdx.
Damit ist aberu∈WΓ1
1,D(G).
(ii) Nun zeigen wir die Richtigkeit der Inklusion n
u∈¡
CΓ∞1(G)¢3
,kuk(H1(G))3 <∞ o
⊂WΓ11,D(G): Istu∈
³ CΓ∞1(G)
´3
mitkuk(H1(G))3 <∞beliebig gewählt, so existiert offensichtlich der ver-allgemeinerte GradientDu∈ ¡
L2(G)¢6
. Ist nun weiterϕ∈WΓ12,D0(G), so giltR
GuD0ϕdx=
−R
GϕDudxnach Definition vonWΓ12,D0(G). Dies zeigt aber(ii).
(iii) Mit Hilfe von(ii)zeigen wir nun die Inklusion
³ WΓ1
1(G)
´3
⊂WΓ1
1,D(G). Zunächst erkennen wir, dass wegen den jeweiligen Definitionen der Räume sowie Lemma 2.4 die Inklusionen
³
CΓ∞1(G)∩H1(G)
´3
⊂
³
HΓ11(G)
´3
=
³
WΓ11(G)
´3
⊂
³ H1(G)
´3
⊂WD1(G)
sowie
³
CΓ∞1(G)∩H1(G)
´3
⊂WΓ11,D(G)⊂WD1(G)
richtig sind. Wegen der Abgeschlossenheit vonWΓ11,D(G)und
³
HΓ11(G)
´3
inWD1(G) erhal-ten wir weiter:
³ CΓ∞
1(G)∩H1(G)
´3k·kD
⊂
³
WΓ11(G)
´3
⊂WD1(G) sowie
³
CΓ∞1(G)∩H1(G)
´3k·kD
⊂WΓ11,D(G)⊂WD1(G).
Schließlich ergibt sich wegen der Äquivalenz der beiden Normenk · kD und k · k(H1(G))3
auf¡
H1(G)¢3
die Gleichheit:
³ CΓ∞
1(G)∩H1(G)
´3k·kD
=
³
WΓ11(G)
´3 , welche aber die Behauptung beweist.
(iv) Nach dem Beweis von(iii)ist klar, dass
³
WΓ11(G)
´3
⊂WΓ11,D(G)abgeschlossen ist.
(v) Wir beweisen nun
³
WΓ11(G)
´3
=WΓ11,D(G): Nach dem Projektionssatz gilt
WΓ11,D(G) =
³
WΓ11(G)
´3
⊕D µ³
WΓ11(G)
´3¶⊥ .
Wir wählenV ∈ µ³
WΓ1
1(G)
´3¶⊥
beliebig. Dann gilt für alleΦ∈
³ WΓ1
1(G)
´3
hDV,DΦi=− hV,Φi. Wegen¡
C0∞(G)¢3
⊂
³
WΓ11(G)
´3
existiert alsoD0DV = V ∈ ¡
L2(G)¢3
im schwachen Sinn.
Damit istDV∈WΓ1
2,D0(G). Wir erhalten kVk2=
V,D0DV®
=− hDV,DVi und somitV=0.
¤