Exponentielle Stabilität

∩ C¹

³

[0,T],H₀¹(G)∩H²(G)

´

∩ C⁰

³

[0,T],H₀¹(G)∩H³(G)

´ , θ ∈ C²

³

[0,T],H₀¹(G)

´

∩ C¹

³

[0,T],H₀¹(G)∩H²(G)

´ , q∈ C³¡

[0,T],L²(G)¢

∩ C²

³

[0,T],H¹(G)

´

∩ C¹¡

[0,T],H²(G)¢ zu(5.1)-(5.5)folgt. Hierbei ist T nur vonδabhängig.

Steht ein solcher Satz zur Verfügung, so beweisen die folgenden Resultate insbesondere die glo-bale Existenz einer eindeutigen Lösung zu(5.1)-(5.5). Deshalb formulieren wir im letzten Ab-schnitt sämtliche Resultate für ein Zeitintervall[0,T].

5.3 Exponentielle Stabilität

Wir definieren nun fürt ≥0 die Energieterme erster, zweiter und dritter Ordnung:

E₁(t):= 1 2

Z

G

ad

gbu²_x+ d

gbu²_t +1

gθ²+ τ_q²

2kτ_θq²+ 1 kτ_θ

Ãτ_q²

2 q_t+τ_qq+kτ_θθ_x− τ_q² 2τ_θq

!₂ dx,

E₂(t):= 1 2

Z

G

ad

gbu²_tx+ d

gbu²_tt+1

gθ_t²+ τ_q²

2kτ_θq²_t + 1 kτ_θ

Ãτ_q²

2 q_tt+τ_qq_t+kτ_θθ_tx− τ_q² 2τ_θq_t

!₂ dx,

E₃(t):= 1 2

Z

G

ad

gbu²_ttx+ d

gbu²_ttt+ 1

gθ²_tt+ τ_q²

2kτ_θq²_tt+ 1 kτ_θ

Ãτ_q²

2 q_ttt+τ_qq_tt+kτ_θθ_ttx− τ_q² 2τ_θq_tt

!₂ dx.

Mit Hilfe vonE₁,E₂undE₃definieren wir nun die EnergieEfürt≥0 durch E(t):=E₁(t) +E₂(t) +E₃(t).

5.3.1 Ableitungen der Energieterme

Um die Zeitableitung vonE₁geschickt abschätzen zu können, verwenden wir mehrfach die Dif-ferentialgleichungen(5.1)-(5.3). Wir multiplizieren die Gleichung(5.1)mit_bg^du_tund integrieren überG. Dies ergibt:

Z

Partielle Integration des markierten Integralterms bezüglichxergibt nun:

Z

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

Z Wir multiplizieren die Gleichung(5.2)mit ¹_gθund integrieren. Dies ergibt:

Z bzw. nach partieller Integration des markierten Terms:

d

Wir multiplizieren nun die Gleichung(5.3)mit _2kτ^τq2

θq_tund erhalten nach Integration:

Z

Wir multiplizieren die Gleichung(5.3)mit _kτ^τq

θqund es ergibt sich nach Integration:

Z Wir multiplizieren die Gleichung(5.3)mitθ_xund es ergibt sich nach Integration:

Z Abschließend multiplizieren wir die Gleichung(5.3)mit−_2kτ^τq2₂

θ

qund erhalten nach Integration:

−

Unter Verwendung von(5.9)-(5.12)erhalten wir:

d

Damit können wir unter Verwendung von(5.7),(5.8)und(5.13)wie folgt die Zeitableitung von E₁bestimmen:

d

Um die Energie weiter abzuschätzen, stellen wir die folgende Abschätzung zur Verfügung, wo-bei zu bemerken ist, dass bereits hier ^τ_τ^θ

q ≥ ¹₂ eingeht.

Mit Hilfe von(5.14)und(5.15)erhalten wir d

Damit wäre die Zeitableitung des ersten Energieterms abgeschätzt. Die Zeitableitungen der ver-bleibenden Enerergieterme sollen nun im Folgenden auf die selbe Weise abgeschätzt werden.

Wir differenzieren die Gleichungen(5.1)-(5.3)nach der Zeit und erhalten:

u_ttt−au_txx−a_tu_xx+bθ_tx+b_tθ_x =α₁q_tq_x+α₁qq_xt+α_1,tqq_x, (5.18) θ_tt+gq_xt+g_tq_x+du_ttx+d_tu_tx =α₂q²_t +α₂qq_tt+α_2,tq_tq, (5.19)

τ_q²

2 q_ttt+τ_qq_tt+q_t =−kθ_tx−kτ_θθ_ttx. (5.20)

Wir berechnen die Zeitableitung des EnergietermsE₂. Hierzu multiplizieren wir die Gleichung (5.18)mit _bg^du_tt und integrieren überG. Dies liefert:

Z

Partielle Integration des markierten Integralterms liefert:

Z Wir multiplizieren die Gleichung(5.19)mit¹_gθ_tund integrieren überG. Dies ergibt:

Z

Durch das selbe Vorgehen wie bei(5.9)-(5.12)erhalten wir:

Dies liefert uns letztlich:

d

Eine zu(5.15)analoge Abschätzung liefert uns nun:

d

Wir schätzen die Zeitableitung des verbleibenden Terms E₃ ab. Hierzu differenzieren wir zu-nächst die Gleichungen(5.18)-(5.20)nach der Zeit und erhalten:

u_tttt−au_ttxx−2a_tu_txx−a_ttu_xx+bθ_ttx+2b_tθ_tx+b_ttθ_x

=α₁q_ttq_x+2α₁q_tq_tx+2α_1,tq_tq_x+α₁qq_xtt+2α_1,tqq_xt+α_1,ttqq_x, (5.26) θ_ttt+2g_tq_xt+gq_xtt+g_ttq_x+du_tttx+2d_tu_ttx+d_ttu_tx

=2α_2,tq²_t +3α₂q_tq_tt+2α_2,tqq_tt+α₂qq_ttt+α_2,ttq_tq, (5.27) 0= τ_q²

2 q_tttt+τ_qq_ttt+q_tt+kθ_ttx+kτ_θθ_tttx. (5.28)

Nun zur Ableitung vonE₃. Wir multiplizieren die Gleichung(5.26)mit_bg^d u_tttund erhalten nach Integration:

Z

G

d

bgu_tttu_ttttdx− Z

G

ad

bgu_ttxxu_tttdx− Z

G

2a_td

bg u_txxu_tttdx

− Z

G

a_ttd

bg u_xxu_tttdx+ Z

G

d

gθ_ttxu_tttdx+ Z

G

2b_td

bg θ_txu_tttdx+ Z

G

b_ttd

bg θ_xu_tttdx

= Z

G

α₁d

bg q_ttq_xu_tttdx+ Z

G

2α₁d

bg q_tq_txu_tttdx+ Z

G

2α_1,td

bg q_tq_xu_tttdx +

Z

G

α₁d

bgqq_xttu_tttdx+ Z

G

2α_1,td

bg qq_xtu_tttdx+ Z

G

α_1,ttd

bg qq_xu_tttdx.

Letzteres ist gleichbedeutend mit

d dt

·1 2

Z

G

d

bgu²_tttdx+ ad bgu²_ttxdx

¸

=− Z

G

µad bg

¶

x

u_ttxu_tttdx+ Z

G

2a_td

bg u_txxu_tttdx+ Z

G

a_ttd

bg u_xxu_tttdx

− Z

G

d

gθ_ttxu_tttdx− Z

G

2b_td

bg θ_txu_tttdx− Z

G

b_ttd

bg θ_xu_tttdx +

Z

G

α₁d

bgq_ttq_xu_tttdx+ Z

G

2α₁d

bg q_tq_txu_tttdx+ Z

G

2α_1,td

bg q_tq_xu_tttdx +

Z

G

α₁d

bgqq_xttu_tttdx+ Z

G

2α_1,td

bg qq_xtu_tttdx+ Z

G

α_1,ttd

bg qq_xu_tttdx +1

2 Z

G

µ d bg

¶

t

u²_tttdx+1 2

Z

G

µad bg

¶

t

u²_ttxdx. (5.29)

Wir multiplizieren die Gleichung(5.27)mit ¹_gθ_ttund erhalten nach Integration:

Durch das selbe Vorgehen wie bei(5.9)-(5.12)erhalten wir:

d

Dies liefert uns letztlich:

Wiederum liefert eine zu(5.15)analoge Abschätzung:

d

Betrachtet man nun die TermeT₁ :=R

G α1d

bgqq_xttu_tttdxundT₂ :=R

Gα2

gqq_tttθ_ttdx, so erkennt man sofort, dass Ableitungen auftauchen, welche nicht unmittelbar kontrolliert werden können. Die-se Terme müsDie-sen also gesondert behandelt werden. Wir gehen in Abschnitt 5.3.3 im Detail darauf ein.

5.3.2 Energieabschätzungen

Wir betrachten die Gleichung(5.3)und multiplizieren diese mitθ_x. Dies liefert zunächst:

τ_q²

2 q_ttθ_x+τ_qq_tθ_x+qθ_x =−kθ²_x−kτ_θθ_txθ_x. Integration und Umstellen der Terme liefert:

Z

G

kθ²_xdx=− Z

G

τ_qq_tθ_xdx− Z

G

qθ_xdx− Z

G

τ_q²

2 q_ttθ_xdx− Z

G

kτ_θθ_txθ_xdx.

Wir können wie folgt abschätzen:

Z

G

kθ²_xdx=− Z

G

r2 k

Ãτ_q²

2 q_tt+τ_qq_t+kτ_θθ_tx− τ_q² 2τ_θq_t

! rk 2θ_xdx

− Z

G

r2 k

τ_q² 2τ_θq_t

rk

2θ_xdx− Z

G

r2 kq

rk 2θ_xdx

≤ Z

G

1 k

Ãτ_q²

2 q_tt+τ_qq_t+kτ_θθ_tx− τ_q² 2τ_θq_t

!₂

dx+k 4

Z

G

θ_x²dx +

Z

G

τ_q⁴

4τ_θ²kq²_tdx+k 4

Z

G

θ_x²dx+ Z

G

1

kq²dx+k 4

Z

G

θ²_xdx.

Diese Abschätzung liefert uns nun sofort:

Z

G

θ²_xdx ≤ Z

G

4 k²

Ãτ_q²

2 q_tt+τ_qq_t+kτ_θθ_tx− τ_q² 2τ_θq_t

!₂ dx+

Z

G

τ_q⁴

τ_θ²k²q²_tdx+ Z

G

4

k²q²dx. (5.34) UmR

Gθ²_txdxabzuschätzen gehen wir analog vor. Wir multiplizieren die Gleichung(5.20)mitθ_tx und erhalten mit der selben Argumentation wie oben:

Z

G

θ²_txdx≤ Z

G

4 k²

Ãτ_q²

2 q_ttt+τ_qq_tt+kτ_θθ_ttx− τ_q² 2τ_θq_tt

!₂ dx+

Z

G

τ_q⁴

τ_θ²k²q²_ttdx+ Z

G

4

k²q²_tdx. (5.35) Wir multiplizieren(5.1)mit ¹_au_xxund integrieren. Dies ergibt:

Z

G

1

au_ttu_xxdx − Z

G

u²_xxdx+ Z

G

b

aθ_xu_xxdx= Z

G

α₁

a u_xxqq_xdx.

Partielle Integration des markierten Terms liefert:

Dies ergibt nun:

Z

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

2

Wir multiplizieren(5.2)mit_ad³u_txund erhalten nach Integration:

Z

Partielle Integration des markierten Terms liefert:

Z

Letzteres können wir folgendermaßen schreiben:

Z

Partielle Integration des markierten Terms und die Gleichung(5.1)ergeben: In der obigen Abschätzung tritt nun ein Randterm auf, bei welchem zunächst nicht klar ist, wie er abgeschätzt werden soll. Dieser Term wird im nächsten Abschnitt gesondert behandelt.

Zunächst aber kombinieren wir(5.36)und(5.37)und erhalten:

Z Wir multiplizieren die Gleichung(5.18)mit ¹_au_txxund erhalten:

Z

bzw:

Wir multiplizieren die Gleichung(5.19)mit_ad³u_ttxund erhalten:

Z Wir multiplizieren(5.18)mit _ad³θ_xtund erhalten:

Z

Umschreiben des markierten Terms liefert uns:

d

Partielle Integration des markierten Terms liefert uns:

d

bzw. Partielle Integration liefert:

−

wobei hier ein weiterer Randterm entstanden ist, welcher ebenfalls im nächsten Abschnitt be-handelt werden soll. Sofort sieht man ein, dass

− gilt. Wir kombinieren nun(5.41)-(5.45). Dies liefert uns:

Z Nun kombinieren wir(5.40)und(5.46)und erhalten:

Z

wobei

Wir multiplizieren(5.1)mitu_ttund erhalten:

Z

Damit ergibt sich:

Z

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

Z

Mit Hilfe der Poincaréschen Ungleichung erhalten wir nun mit einer entsprechenden Konstanten c>0 Wir multiplizieren(5.18)mitu_tttund erhalten:

Z

Damit ergibt sich wie vorher:

Z

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

Z

G

u²_tttdx≤2 Z

G

a²u²_txxdx+2 Z

G

b²θ²_txdx+2 Z

G

a_tu_xxu_tttdx−2 Z

G

b_tθ_xu_tttdx +2

Z

G

α₁q_tq_xu_tttdx+2 Z

G

α₁qq_xtu_tttdx+2 Z

G

α_1,tqq_xu_tttdx.

Daraus folgt wieder unter Verwendung der Poincaréschen Ungleichung:

Z

G

(u²_ttt+u²_tt+θ²_t)dx ≤2 Z

G

a²u²_txxdx+ Z

G

(2b²+c)θ_tx²dx+c Z

G

u²_ttxdx+2 Z

G

a_tu_xxu_tttdx

−2 Z

G

b_tθ_xu_tttdx+2 Z

G

α₁q_tq_xu_tttdx+2 Z

G

α₁qq_xtu_tttdx +2

Z

G

α_1,tqq_xu_tttdx. (5.50)

Eine Kombination von(5.49)und(5.50)liefert:

Z

G

(u²_ttt+u²_tt+u²_t +θ²+θ_t²)dx≤2 Z

G

a²¡

u²_txx+u²_xx¢ dx+

Z

G

(2b²+c)¡

θ²_tx+θ²_x¢ dx +c

Z

G

u²_ttxdx+c Z

G

u²_txdx+R₆, (5.51) wobei

R₆=2 Z

G

a_tu_xxu_tttdx+2 Z

G

α₁qq_xu_ttdx−2 Z

G

b_tθ_xu_tttdx +2

Z

G

α₁q_tq_xu_tttdx+2 Z

G

α₁qq_xtu_tttdx+2 Z

G

α_1,tqq_xu_tttdx. (5.52) Wir multiplizieren die Gleichung(5.1)mituund erhalten:

− Z

G

au_xxudx =− Z

G

u_ttudx− Z

G

bθ_xudx+ Z

G

α₁qq_xudx, bzw:

Z

G

a_xu_xudx+ Z

G

au²_xdx =− Z

G

u_ttudx− Z

G

bθ_xudx+ Z

G

α₁qq_xudx.

Ist der Koeffizientadurch die Konstantec_a >0 nach unten beschränkt, so erhalten wir mit einer gewissen positiven KonstantenC:

Z

G

u²_xdx ≤C Z

G

u²_tt+θ²_xdx+R₇, (5.53)

wobei

R₇ = 2 c_a

Z

G

α₁qq_xudx− 2 c_a

Z

G

a_xu_xudx. (5.54)

Wir multiplizieren(5.2)mitθ_t. Es ergibt sich: Wir multiplizieren die Gleichung(5.19)mitθ_ttund erhalten:

Z Eine Kombination von(5.55)und(5.56)liefert uns nun:

Z

5.3.3 Problematische Terme bei der Ableitung der Energieterme

In diesem Abschnitt behandeln wir die beiden problematischen Terme, welche bei der Zeit-ableitung vonE₃in(5.32)und(5.33)auftreten. Es wird sich herausstellen, dass der ResttermT₂ durch Einsetzen der dritten Differentialgleichung und mit Hilfe von partieller Integration in Ter-me umwandeln läßt, welche einfach abzuschätzen sind. Allerdings werden bei der Behandlung des TermsT₁gewisse Randterme auftreten. Diese Randterme werden später unter anderem un-ter Verwendung einer Kleinheitsbedingung an Terme niederer Ordnung abgeschätzt. Zunächst ergibt sich mit Hilfe von(5.20)

Z

G

α₂

g qq_tttθ_ttdx=− Z

G

2α₂

gτ_qqq_ttθ_ttdx− Z

G

2α₂

gτ_q²qq_tθ_ttdx

− Z

G

2α₂k

gτ_q² qθ_txθ_ttdx− Z

G

2α₂kτ_θ

gτ_q² qθ_ttxθ_ttdx. (5.59) Hier verbleibt nun nur noch der markierte Term zu behandeln. Wir gehen folgendermaßen vor:

− Z

G

2α₂kτ_θ

gτ_q² qθ_ttxθ_ttdx= Z

G

à 2α₂kτ_θ

gτ_q² qθ_tt

!

x

θ_ttdx

= Z

G

à 2α₂kτ_θ

gτ_q²

!

x

qθ²_ttdx+ Z

G

2α₂kτ_θ

gτ_q² q_xθ_tt²dx+ Z

G

2α₂kτ_θ

gτ_q² qθ_ttxθ_ttdx und dies ist gleichbedeutend mit

− Z

G

2α₂kτ_θ

gτ_q² qθ_ttxθ_ttdx = Z

G

à α₂kτ_θ

gτ_q²

!

x

qθ_tt²dx+ Z

G

α₂kτ_θ

gτ_q² q_xθ²_ttdx. (5.60) Fassen wir(5.59)und(5.60)zusammen, so ergibt sich:

Z

G

α₂

g qq_tttθ_ttdx=− Z

G

2α₂

gτ_qqq_ttθ_ttdx− Z

G

2α₂

gτ_q²qq_tθ_ttdx− Z

G

2α₂k

gτ_q² qθ_txθ_ttdx +

Z

G

à α₂kτ_θ

gτ_q²

!

x

qθ²_ttdx+ Z

G

α₂kτ_θ

gτ_q² q_xθ_tt²dx. (5.61) Wir wenden uns dem verbleibenden problematischen Term zu. Zunächst erhalten wir mit Hilfe einer partiellen Integration:

Z

G

α₁d

bgqq_xttu_tttdx =− Z

G

µα₁d bg

¶

x

qu_tttq_ttdx− Z

G

α₁d

bgq_xu_tttq_ttdx− Z

G

α₁d

bgqu_tttxq_ttdx. (5.62) Offenbar ist nun der markierte Term zu behandeln. Hierzu multiplizieren wir die Gleichung

(5.27)mit ^α_bg¹qq_ttund erhalten nach Integration:

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

d Demnach sind noch die beiden markierten Terme abzuschätzen.

−

Weiter ergibt sich: Schließlich berechnen wir mit Hilfe von partieller Integration:

Z Wir kombinieren nun(5.62)-(5.66)und erhalten:

Z Hier ist nun ersichtlich, dass der auftretende Randterm ¹₂£_α

b1qq²_tt¤_L

0 weiter abgeschätzt werden muss. Dies wird unter anderem im folgenden Abschnitt erledigt.

5.3.4 Abschätzungen verschiedener Randterme

Wir wenden uns in diesem Abschnitt der Behandlung der Randterme zu, welche in den Abschät-zungen(5.37),(5.43)und(5.66)entstanden sind. Hierbei orientieren wir uns an den Techniken,

welche in[12]bzw. in[17]angewendet wurden. Zunächst ergibt sich:

Hierbei istC₁eine positive Konstante, welche nur von den Koeffizientena,dundgabhängig ist.

Unter Verwendung der Einbettung vonW^1,1(G)inL^∞(G)ergibt sich die Abschätzung

|q(x)|² ≤ Z

G

¡q²+ (q²)_x¢ dx für allex∈G. Damit können wir aber wie folgt abschätzen:

|q(x)|² ≤

Damit folgern wir unter Verwendung der Gleichung(5.2):

C₁ Unter Verwendung der Abschätzung

Z und(5.69)sowie(5.70)erhalten wir

¯¯ Mit den selben Techniken wie oben erhalten wir die Abschätzungen

¯¯

und mit Hilfe der Gleichung(5.19)ergibt sich weiterhin Unter Verwendung der Abschätzung

Z und(5.73)sowie(5.74)erhalten wir

¯¯

Addition der Gleichungen(5.72)und(5.75)liefert nun:

¯¯

Multiplikation der Gleichung(5.2)mitq_xliefert uns q²_x≤ 2

g²θ²_t +2d²

g² u²_tx+2α₂ g qq_tq_x.

Entsprechend liefert die Multiplikation der Gleichung(5.19)mitq_tx: Setzen wir die letzteren beiden Ungleichungen in(5.76)ein, so erhalten wir:

¯¯

Wir multiplizieren die Gleichung(5.18) mit φu_tx, wobei φ(x) = L−2x und integrieren. Dies liefert zunächst:

Partielle Integration ergibt nun:

d

Wir multiplizieren(5.26)mitφu_ttxund erhalten zunächst:

Partielle Integration liefert uns nun:

d

Wir behandeln nun den markierten Term. Mit Hilfe von Gleichung(5.19)erhalten wir zunächst:

− Der erste der beiden markierten Terme wird wie folgt behandelt:

Z

Der zweite markierte Term wird folgendermaßen behandelt:

−

Und dies ist gleichbedeutend mit:

−

Wir fassen nun(5.81)-(5.84)zusammen und erhalten schließlich:

d

wobei

Wir multiplizieren die Gleichung(5.19)mit−_d^bφθ_ttx und erhalten nach einer partiellen Integra-tion: In der letzteren Abschätzung tauchen nun zwei Terme auf, die zu behandeln sind. Wir betrachten zunächst den ersteren. Die Gleichung(5.3)liefert uns zunächst:

kτ_θθ_tx =−kθ_x−q−τ_qq_t−τ_q²

Damit erhalten wir:

Der markierte Term wird nun folgendermaßen behandelt:

−

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

−

Fassen wir(5.88)und(5.89)zusammen, so erhalten wir:

Z

Den verbleibenden, problematischen Term behandeln wir folgendermaßen:

Z

Partielle Integration der ersten beiden Integralterme, sowie Umformungen der zweiten beiden

Wir kombinieren nun(5.87),(5.90)und(5.91). Dies ergibt:

d

Nun kombinieren wir(5.85)mit(5.92). Dies ergibt:

Wir kombinieren nun(5.79)mit(5.94) d

Umstellen der Terme, vernachlässigen verschiedener quadratischer Terme und Multiplikation

mit^2ε_L liefert uns:

Kombinieren wir nun(5.77)mit(5.95), so erhalten wir:

¯¯

5.3.5 Zusammenfassung der Teilabschätzungen Wir kombinieren nun(5.38),(5.47)und(5.96). Dies liefert:

Z

Ebenfalls berechnet man erhalten wir somit aus(5.97)eine Abschätzung von der Form:

K₁

Wir multiplizieren(5.57) mitδ und kombinieren die entstehende Abschätzung mit(5.99). Wir

gilt. Betrachten wir die beiden markierten Terme, so ist ersichtlich, dass wir eine Abschätzung von der folgenden Form erhalten, sofern wirδhinreichend klein wählen:

K₁ Nun multiplizieren wir(5.51)mitγund kombinieren die entstehende Abschätzung mit(5.102).

Es ergibt sich dann:

Betrachten wir wieder die markierten Terme und wählenγ hinreichend klein, so erhalten wir die folgende Abschätzung:

K₁

Schließlich multiplizieren wir(5.53)mitµund erhalten unter Verwendung von(5.104):

Wir betrachten den markierten Term, wählenµhinreichend klein und erhalten:

K₁

Abschließend betrachten wir die markierten Terme, wählenεhinreichend klein und erhalten:

K₁ 8

Z

G

¡u²_tx+u²_ttx¢ dx+1

8 Z

G

u²_xx+u²_txxdx+δ 2

Z

G

θ²_t +θ_tt²dx +γ

4 Z

G

(u²_ttt+u²_tt+u²_t +θ²+θ_t²)dx+µ Z

G

u²_xdx+

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (L) +

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (0) +

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´ (L) +

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´

(0) + d dtG₂(t)

≤K₂⁰⁰⁰(1+δ+γ+µ) Z

G

θ²_xdx+K₃⁰(1+ε+δ+γ) Z

G

θ²_txdx +K₆

µ1 ε + 1

ε³

¶ Z

G

q²dx+K⁰₇ µ

δ+ε+1+1 ε + 1

ε³

¶ Z

G

q²_tdx+K⁰₈(1+ε+δ) Z

G

q²_ttdx +|R₄|+|R₅|+γ|R₆|+µ|R₇|+δ|R₈|+|R₉|+2ε

L|R₁₀|+2ε

L|R₁₁|+2ε

L|R₁₂|+2ε

L|R₁₃|. (5.107) Unter Verwendung der Abschätzungen (5.34) und (5.35) folgern wir nun die Existenz einer KonstantenK₁₃, so dass die folgende Abschätzung besteht:

K₁ 8

Z

G

¡u²_tx+u²_ttx¢ dx+1

8 Z

G

u²_xx+u²_txxdx+δ 2

Z

G

θ²_t +θ_tt²dx +γ

4 Z

G

(u²_ttt+u²_tt+u²_t +θ²+θ_t²)dx+µ Z

G

u²_xdx+

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (L) +

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (0) +

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´ (L) +

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´

(0) + d dtG₂(t)

≤K₁₃ Z

G

Ãτ_q²

2 q_tt+τ_qq_t+kτ_θθ_tx− τ_q² 2τ_θq_t

!₂

dx+K₁₃ Z

G

q²_tdx+K₁₃ Z

G

q²dx

+K₁₃ Z

G

Ãτ_q²

2 q_ttt+τ_qq_tt+kτ_θθ_ttx− τ_q² 2τ_θq_tt

!₂

dx+K₁₃ Z

G

q²_ttdx+K₁₃ Z

G

q²_tdx +|R₄|+|R₅|+γ|R₆|+µ|R₇|+δ|R₈|+|R₉|+2ε

L|R₁₀|+2ε

L|R₁₁|+2ε

L|R₁₂|+2ε

L|R₁₃|. (5.108)

5.3.6 Definition und Eigenschaften des Lyapunov - Funktionals

Wir definieren nun wie zu Anfang beschrieben ein Lyapunov-Funktional, welches uns später die gewünschte Energieabschätzung fürE(t)liefern wird.

Definition 5.1 Für beliebiges t≥0definieren wir:

F(t) := 1

νE(t)−1 ν

·Z

G

α₁

bgqq_ttθ_tt−α₁α₂

2bgq²q²_ttdx

¸

+G₂(t) wobei G₂durch(5.101)gegeben ist.

Bemerkt sei, dass die beiden Terme, welche zu G₂ hinzuaddiert werden, zur Behandlung der problematischen (Rest-) TermeT₁ und T₂ verwendet werden. Eine rein technische Bedeutung kommt den folgenden Definitionen der Terme α(t) und Λ₀ zu. Wir benötigen diese mehrfach, um Abschätzungen, sowie eine „Kleinheitsbedingung“ umsetzen zu können. Es sei:

α(t):= sup

0≤x≤L

(|θ|+|q|+|u|+|θ_x|+|θ_t|+|q_t|+|q_x|+|u_t|+|u_x|+|u_tx|+|u_xx|+|u_tt|), (5.109) Λ₀ :=ku₀k²_H3+ku₁k²_H2+kθ₀k²_H2 +kq₀k²_H2+kq₁k²_H1. (5.110) Wir stellen als erstes Zusammenhänge zwischenαund Eher. Zuerst schätzen wir alle inα vor-kommenden Terme abgesehen vonθ_xab.

Lemma 5.2 Es existieren Konstanten K_α,K_α⁰ >0, so dass die Abschätzungen

sup

0≤x≤L

(|θ|+|q|+|u|+|θ_t|+|q_t|+|q_x|+|u_t|+|u_x|+|u_tx|+|u_tt|) (t)≤K_α vu ut

à 8

∑

k=0

α(t)^k

! E(t)

und

sup

x∈G

|u_xx|(t)≤K_α⁰ Ã

sup

x∈G

|u_tt(t)|+sup

x∈G

|q(t)q_x(t)|+sup

x∈G

|θ_x(t)|

!

in jedem Intervall[0,T]gelten, in welchem die Lösung zu(5.1)-(5.5)existiert.

Wir bemerken, dass der Beweis zu diesem Lemma mit Standardargumentationen erbracht wer-den kann. Trotzdem erweist sich die Gesamtheit der einzelnen Rechnungen als sehr umfang-reich. Einen vollständigen Beweis erbringen wir für das folgende

Lemma 5.3 Es existiert eine Konstante K_α⁰⁰>0so dass kθ_x(t)k_H1 ≤ kθ_0,xk_H1+K⁰⁰_αkq_t(0)k_H1+K⁰⁰_α

à sup

t∈[0,T]

kq_t(t)k_H1+ sup

t∈[0,T]

kq(t)k_H1

!

in jedem Intervall[0,T]gilt, in welchem die Lösung zu(5.1)-(5.5)existiert.

Beweis:Für die Funktionenθundqgilt:

τ_q²

2 q_tt+τ_qq_t+q=−kθ_x−kτ_θθ_tx bzw.

−τ_q²

2kq_tt− τ_q k q_t−1

kq=θ_x+τ_θθ_tx Definieren wir damit fürt∈[0,T]die Funktion f durch

f(t) :=−τ_q²

2kq_tt−τ_q k q_t−1

kq, so gilt f ∈ C⁰¡

[0,T],H¹(G)¢

aufgrund der Regularität von q, q_t und q_tt. Ferner erfüllt θ_x ∈ C¹¡

[0,T],H¹(G)¢

die gewöhnliche Differentialgleichung

½ τ_θv_t+v= f(t) v(0) =θ_0,x

¾

. (5.111)

Wir definieren nun fürt∈[0,T]die Funktionw: [0,T]−→H¹(G)durch w(t):=e^−τθ1tθ_0,x+ 1

τ_θe^−τθ1t Z _t

0

e^τθ1sf(s)ds.

und erkennen, dassweine Lösung zu(5.111) darstellt. Wegen der eindeutigen Lösbarkeit der Differentialgleichung(5.111)erhalten wir damit fürθ_xdie folgende Darstellung:

θ_x(t) =e^−τθ1tθ_0,x+ 1 τ_θe^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1sf(s)ds

=e^−τθ1tθ_0,x− τ_q² 2kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1sq_tt(s)ds− τ_q kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1sq_t(s)ds− 1 kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1sq(s)ds.

Wir berechnen e^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1sq_tt(s)ds=−e^−τθ1t Z _t

0

1

τ_θe^τθ1sq_t(s)ds+e^−τθ1t h

e^τθ1sq_t(s) i_t

0

=−e^−τθ1t Z _t

0

1

τ_θe^τθ1sq_t(s)ds+q_t(t)−e^−τθ1tq_t(0).

Damit erhalten wir fürθ_xdie Darstellung:

θ_x(t) =e^−τθ1tθ_0,x− τ_q² 2kτ_θ

µ

−e^−τθ1t Z _t

0

1

τ_θe^τθ1sq_t(s)ds+q_t(t)−e^−τθ1tq_t(0)

¶

− τ_q kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1sq_t(s)ds− 1 kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1sq(s)ds

=e^−τθ1tθ_0,x+ τ_q² 2kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

1

τ_θe^τθ1sq_t(s)ds− τ_q kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1sq_t(s)ds

− 1 kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1sq(s)ds− τ_q²

2kτ_θq_t(t) + τ_q²

2kτ_θe^−τθ1tq_t(0).

Letzteres bedeutet nun insbesondere:

kθ_x(t)k_H1 ≤

°°

°e^−τθ1tθ_0,x

°°

°H¹ + τ_q² 2kτ_θe^−τθ1t

°°

°° Z _t

0

1

τ_θe^τθ1sq_t(s)ds

°°

°°

H¹

+ τ_q kτ_θe^−τθ1t

°°

°° Z _t

0

e^τθ1sq_t(s)ds

°°

°°

H¹

+ 1 kτ_θe^−τθ1t

°°

°° Z _t

0

e^τθ1sq(s)ds

°°

°°

H¹

+ τ_q²

2kτ_θ kq_t(t)k_H1+ τ_q²

2kτ_θe^−τθ1tkq_t(0)k_H1

≤e^−τθ1tkθ_0,xk_H1 + τ_q² 2kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

1

τ_θe^τθ1skq_t(s)k_H1ds+ τ_q kτ_θe^−τθ1t

Z _t

0

e^τθ1skq_t(s)k_H1ds + 1

kτ_θe^−τθ1t Z _t

0

e^τθ1skq(s)k_H1ds+ τ_q²

2kτ_θ kq_t(t)k_H1+ τ_q²

2kτ_θe^−τθ1tkq_t(0)k_H1

≤e^−τθ1tkθ_0,xk_H1 + τ_q² 2kτ_θ² sup

t∈[0,T]

kq_t(t)k_H1e^−τθ1t Z _t

0

e^τθ1sds + τ_q

kτ_θ sup

t∈[0,T]

kq_t(t)k_H1e^−τθ1t Z _t

0

e^τθ1sds + 1

kτ_θ sup

t∈[0,T]

kq(t)k_H1e^−τθ1t Z _t

0

e^τθ1sds+ τ_q²

2kτ_θ kq_t(t)k_H1 + τ_q²

2kτ_θe^−τθ1tkq_t(0)k_H1

≤ kθ_0,xk_H1+ τ_q² kτ_θ sup

t∈[0,T]

kq_t(t)k_H1 +2τ_q k sup

t∈[0,T]

kq_t(t)k_H1+2 k sup

t∈[0,T]

kq(t)k_H1

+ τ_q²

2kτ_θ kq_t(t)k_H1 + τ_q²

2kτ_θe^−τθ1tkq_t(0)k_H1

≤ kθ_0,xk_H1+Ckq_t(0)k_H1+C sup

t∈[0,T]

kq_t(t)k_H1+C sup

t∈[0,T]

kq(t)k_H1.

Hieraus folgt unmittelbar die Behauptung. ¤

Wir stellen nun den Zusammenhang zwischenΛ₀undE(0)her.

Lemma 5.4 Es existiert eine Konstante C_Λ0 >0, so dass E(0)≤C_Λ0

∑

8 k=1

Λ^k₀

gilt.

Der Beweis zu diesem Lemma ist wiederum technisch einfach aber umfangreich. Es stellt sich nun heraus, dass die TermeE(t)undF(t)unter gewissen Voraussetzungen äquivalent sind. Um dies einzusehen beweisen wir zunächst das folgende

Lemma 5.5 Es existieren positive Konstanten C₁,C₂und C₃, so dass die Abschätzungen F(t)≤

µ1

ν +C₁α(t) +C₂α²(t)

ν +C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´¶

E(t)

und

F(t)≥ µ1

ν −C₁α(t) +C₂α²(t)

ν −C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´¶

E(t) in jedem Intervall[0,T]gelten, in welchem die Lösung zu(5.1)-(5.5)existiert.

Beweis:Um die Behauptung zu beweisen, schätzen wir zunächst die folgenden Integralterme ab. Es gilt:

¯¯

¯¯ Z

G

α₁

bgqq_ttθ_ttdx

¯¯

¯¯ ≤C₁⁰α(t) µZ

G

q²_ttdx+ Z

G

θ²_ttdx

¶

≤C₁α(t)E(t) und

¯¯

¯¯ Z

G

α₁α₂

2bgq²q²_ttdx

¯¯

¯¯ ≤C₂⁰α²(t) Z

G

q²_ttdx ≤C₂α²(t)E(t).

Ferner existiert eine KonstanteC₃ >0, so dass

|G₂(t)| ≤C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´ E(t) gilt. Auf diese Rechnung sei hier verzichtet. Diese Ergebnisse liefern uns zunächst:

F(t)≤ 1

νE(t) +1 ν

¯¯

¯¯ Z

G

α₁

bgqq_ttθ_tt− α₁α₂

2bgq²q²_ttdx

¯¯

¯¯+|G₂(t)|

≤ µ1

ν +C₁α(t) +C₂α²(t)

ν +C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´¶

E(t).

Andererseits ergibt sich

|G₂(t)| ≤C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´ E(t)

=⇒ −G₂(t)≤C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´ E(t)

=⇒ −C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´

E(t)≤G₂(t)

=⇒ 1

νE(t)−C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´

E(t)≤ 1

νE(t) +G₂(t) und

1 ν

¯¯

¯¯ Z

G

α₁

bgqq_ttθ_tt−α₁α₂

2bgq²q²_ttdx

¯¯

¯¯≤ C₁α(t) +C₂α²(t)

ν E(t)

=⇒ 1 ν

·Z

G

α₁

bgqq_ttθ_tt−α₁α₂

2bgq²q²_ttdx

¸

≤ C₁α(t) +C₂α²(t)

ν E(t)

=⇒ −C₁α(t) +C₂α²(t)

ν E(t) ≤ −1 ν

·Z

G

α₁

bgqq_ttθ_tt− α₁α₂

2bgq²q²_ttdx

¸ ,

also insgesamt:

µ1

ν −C₁α(t) +C₂α²(t)

ν −C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´¶

E(t)

≤ 1

νE(t)−1 ν

·Z

G

α₁

bgqq_ttθ_tt−α₁α₂

2bgq²q²_ttdx

¸

+G₂(t) =F(t)

und damit ist alles gezeigt. ¤

Korollar 5.6 (Äquivalenz vonEundF) Es existieren Konstanten C_E, C^E >0,ν^∗>0und1≥α^∗>

0, so dass ausν < ν^∗und α(t) ≤ α^∗in einem beliebigen Existenzintervall[0,T]der Lösung zu(5.1) -(5.5)folgt, dass

C_EE(t)≤F(t)≤C^E µ

1+1 ν

¶

E(t), t ∈[0,T].

gilt.

Beweis: Wir wählen T > 0. Ausgehend von Lemma 5.5 wählen wir ν^∗ := _12C¹

3 und α^∗ :=

min n 1

4(C1+C2), 1 o

. Wir berechnen dann 1

ν−C₁α(t) +C₂α²(t)

ν −C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´

= 1

ν−α(t)(C₁+α(t)C₂)

ν −C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´

≥ 1

ν−α(t)(C₁+C₂)

ν −6C₃≥ 1 ν − 1

4ν−6C₃ = 3

4ν−6C₃ >3C₃. und setzen damitC_E :=3C₃. Weiter berechnen wir:

1

ν +C₁α(t) +C₂α²(t)

ν +C₃

³

1+α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t)

´

≤ 1

ν+C₁+C₂

ν +6C₃.

Setzen wir nunC^E :=max{1+C₁+C₂, 6C₃}, so folgt unmittelbar die Behauptung. ¤ Lemma 5.7 (Abschätzung der Ableitung vonF) Es existieren Konstanten K₁₅ >0undν^∗∗ >0, so dass für jedes festeν ≤ ν^∗∗ die Existenz einesα^∗∗ > 0folgt, so dass ausα(t) ≤ α^∗∗in einem beliebigen Existenzintervall[0,T]der Lösung von(5.1)-(5.5)die Abschätzung

d

dtF(t)≤ −K₁₅E(t) +1

ν|R₁|+1

ν|R₂|+1

ν|R₃|+1 νfR₃+

∑

9 k=4

|R_k| +2ε

L|R₁₀|+2ε

L|R₁₁|+2ε

L|R₁₂|+2ε L|R₁₃| für alle t∈[0,T]folgt.

Beweis:Um die Zeitableitung von F abzuschätzen, verwenden wir zunächst die Ableitungen vonE₁,E₂undE₃welche in(5.16),(5.24)und(5.32)berechnet wurden. Daraufhin schätzen wir die entstehende Zeitableitung vonG₂und die weiteren Ableitungsterme mit Hilfe der Abschät-zungen(5.67)und(5.108)ab. Zunächst aber die Ableitung der Energieterme:

d

Setzen wir nun die oben genannten Abschätzungen ein, so erhalten wir:

d

Hier ist nun sofort ersichtlich, dass die Terme innerhalb der eckigen Klammern positiv werden, sofern wirνhinreichend klein wählen. Wir erhalten also die Existenz einer KonstantenK₁₅, so dass:

d

dtF(t)≤ −K₁₅E(t)−

(Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (L) +

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (0) +

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´ (L) +

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´

(0)− 1 2ν

hα₁ bqq²_tt

i_L

0

¾

+1

ν|R₁|+1

ν|R₂|+1

ν|R₃|+1

νRf₃+|R₄|+|R₅|+γ|R₆|+µ|R₇| +δ|R₈|+|R₉|+2ε

L|R₁₀|+2ε

L|R₁₁|+2ε

L|R₁₂|+2ε L|R₁₃|

gilt.Um den Beweis zu vervollständigen müssen wir uns also noch mit der geschweiften Klam-mer befassen. Wir erhalten mit gewissen positiven KonstantenK⁰₁₅,K⁰⁰₁₅undK₁₅⁰⁰⁰:

−

(Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (L) +

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (0) +

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´ (L) +

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´

(0)− 1 2ν

hα₁ b qq²_tt

i_L

0

)

=−

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (L)−

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (0)−

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´ (L)−

³εα₁α₂ d q²q²_tt

´

(0) + 1 2ν

hα₁ b qq²_tt

i_L

0

≤ −

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (L)−

Ãεbgτ_q²

2dkτ_θq²_tt

! (0) +

¯¯

¯εα₁α₂ d q²q²_tt

¯¯

¯(L) +

¯¯

¯εα₁α₂ d q²q²_tt

¯¯

¯(0) + 1 2ν

¯¯

¯¯ hα₁

b qq²_tt i_L

0

¯¯

¯¯

≤ −K₁₅⁰ q²_tt(L)−K₁₅⁰ q²_tt(0) +K⁰⁰₁₅α²(t)q²_tt(L) +K₁₅⁰⁰α²(t)q²_tt(0) + K⁰⁰⁰₁₅

ν α(t)q²_tt(L) +K⁰⁰⁰₁₅

ν α(t)q²_tt(0)

≤0,

sofernα(t)hinreichend klein ist. Damit ist die Behauptung bewiesen. ¤

Lemma 5.8 (Abschätzung der Restterme) Es existiert eine Konstante K₁₆>0, so dass

R(t) := 1

ν|R₁|+1

ν|R₂|+1

ν|R₃|+1 νfR₃+

∑

9 k=4

|R_k|+2ε

L|R₁₀|+2ε

L|R₁₁|+2ε

L|R₁₂|+2ε L|R₁₃|

≤K₁₆ µ

1+1 ν

¶ Ã ₇

∑

k=1

α^k(t)

! E(t)

in jedem beliebigen Existenzintervall[0,T]der Lösung zu(5.1)-(5.5)gilt.

Beweis:Die Details der Abschätzungen sollen hier nicht ausgeführt werden. Wir geben hier nur an, welche Potenzen vonα(t)zur Abschätzung notwendig sind:

Restterm Abschätzung R₁ C₁α(t)E(t) R₂ C₂¡

α(t) +α²(t) +α³(t)¢ E(t) R₃ C₃¡

α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t)¢ E(t) fR₃ C˜₃¡

α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t) +α⁶(t)¢ E(t) R₄ C₄¡

α(t) +α²(t) +α³(t)¢ E(t) R₅ C₅¡

α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t) +α⁶(t)¢ E(t) R₆ C₆¡

α(t) +α²(t) +α³(t)¢ E(t) R₇ C₇α(t)E(t)

R₈ C₈¡

α(t) +α²(t)¢ E(t) R₉ C₉¡

α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t) +α⁶(t)¢ E(t) R₁₀ C₁₀¡

α(t) +α²(t) +α³(t)¢ E(t) R₁₁ C₁₁¡

α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t) +α⁶(t) +α⁷(t)¢ E(t) R₁₂ C₁₂¡

α(t) +α²(t) +α³(t) +α⁴(t) +α⁵(t) +α⁶(t) +α⁷(t)¢ E(t) R₁₃ C₁₃¡

α(t) +α²(t)¢ E(t)

Wir bemerken, dass der Nachweis der Einzelnen Aussagen in der obigen Tabelle umfangreich,

jedoch nicht als schwierig einzustufen ist. ¤

Satz 5.9 Es existieren positive, reelle Konstantenν,δund d₀, so dass F(t)≤F(0)e^−d0t

für t≥0gilt, sofernΛ₀ <δerfüllt ist.

Beweis:Wir gliedern den Beweis in mehrere Schritte. In den Schritten (i) - (iv) beweisen wir, dass die besagte Aussage aufgrund der vorigen Lemmata in einem gewissen Intervall[0, ˆT] rich-tig ist. Daraufhin beweisen wir in(v), dass die Argumentation ausgehend von der rechten Inter-vallgrenze zu einem größeren Intervall führt. Schließlich zeigen wir in(vi), dass dieses Verfahren zur globalen exponentiellen Stabilität führt.

(i) Mit Hilfe von Korollar 5.6 folgern wir zunächst die Existenz von Konstanten ν^∗ > 0 und 1≥α^∗ >0, so dass ausν<ν^∗undα(t)≤α^∗in einem Intervall[0,T^∗]die Abschätzung

C_EE(t)≤F(t) ≤C^E µ

1+1 ν

¶

E(t), t∈[0,T^∗] (5.112) erfüllt ist. Wir sehen also die Existenz einer KonstantenΛ₀^∗>0 ein, so dass ausν<ν^∗und Λ₀ < Λ^∗₀ zunächstα(0) < α^∗ und damit die Richtigkeit von (5.112) für ein hinreichend kleinesT^∗ >0 folgt.

(ii) Mit Hilfe von Lemma 5.7 folgern wir die Existenz von Konstanten 0 < ν^∗∗ < ν^∗ und 1 ≥ α^∗∗ > 0, so dass fürν = ν^∗∗ (fortfolgend sei νso gewählt) undα(t) ≤ α^∗∗ in einem gewissen Intervall[0,T^∗∗]die Existenz einer KonstantenK¹⁵ >0 folgt, so dass

d

dtF(t) ≤ −K₁₅E(t) +R(t), t ∈[0,T^∗∗] (5.113) folgt. Wie in(i) sehen wir also ein, dass einΛ₀^∗∗ > 0 existiert, so dass aus Λ₀ < Λ^∗∗₀ die Richtigkeit von(5.113)für ein hinreichend kleinesT^∗∗ >0 folgt.

(iii) Mit Hilfe von Lemma 5.8 folgern wir die Existenz einer Konstanten 1≥ α^∗∗∗ >0, so dass ausα(t)≤α^∗∗∗in einem gewissen Intervall[0,T^∗∗∗]die Abschätzung

R(t) < 1

2K₁₅E(t), t∈[0,T^∗∗∗] (5.114) folgt. Dies wiederum sichert uns die Existenz einer Konstanten Λ^∗∗∗₀ > 0, so dass aus Λ₀<Λ^∗∗∗₀ die Richtigkeit von(5.114)für hinreichend kleinesT^∗∗∗folgt.

(iv) Sind die AbschätzungenΛ₀ <min{Λ^∗₀,Λ^∗∗₀ ,Λ^∗∗∗₀ }sowie ˆT<min{T^∗,T^∗∗,T^∗∗∗}erfüllt, so ergibt sich nach(i),(ii)und(iii)mit einem passenden, positivend₀:

d

dtF(t)≤ −d₀F(t), t ∈[0, ˆT], woraus mit Hilfe des Lemmas von Gronwall die Ungleichung

F(t)≤e^−d0tF(0), t∈[0, ˆT] (5.115) folgt. Ferner gilt fürt∈[0, ˆT]:

α(t) ≤α₀ :=min{α^∗,α^∗∗,α^∗∗∗}. (5.116) (v) Es sei ein beliebiges Intervall[0,T]gegeben, in welchem(5.116) und damit insbesondere (5.115) und (5.112) gelten. Wir beweisen, dass α(T) < α₀ gilt, sofern Λ₀ einmalig hin-reichend klein gewählt wird. Zunächst wissen wir wegen Lemma 5.2, dass eine von T unabhängige KonstanteK_α >0 mit

sup

0≤x≤L

(|θ|+|q|+|u|+|θ_t|+|q_t|+|q_x|+|u_t|+|u_x|+|u_tx|+|u_tt|) ≤K_α vu ut

à 8

∑

k=0

α(t)^k

! E(t) (man beachte, dass die Termeθ_xundu_xxnoch nicht vorkommen) existiert. Wegen(5.116) können wir die auftretende Summe gegen 9 abschätzen, wegen(5.112) können wir E(t) gegen _C¹

EF(t)abschätzen und wegen(5.115)giltF(t)<F(0), also insgesamt:

sup

0≤x≤L

(|θ|+|q|+|u|+|θ_t|+|q_t|+|q_x|+|u_t|+|u_x|+|u_tx|+|u_tt|)≤ 3K_α

√C_E

pF(0). (5.117)

Nach Lemma 5.3 existiert eine weitere, vonTunabhängige KonstanteK⁰⁰_α >0, so dass kθ_x(t)k_H1 ≤ kθ_0,xk_H1+K⁰⁰_αkq_t(0)k_H1+K⁰⁰_α

à sup

t∈[0,T]

kq_t(t)k_H1 + sup

t∈[0,T]

kq(t)k_H1

!

(5.118) für allet ∈ [0,T]gilt. Nun existieren aber von T unabhängige Konstanten K₁₈ > 0 und K₁₉>0, so dass

kq_t(t)k²_H1 ≤K₁₈E(t)

und

kq(t)k²_H1 ≤K₁₉E(t) gilt. Damit folgt aber aus(5.112)und(5.115):

kq_t(t)k²_H1 ≤K₁₈E(t) ≤ K₁₈

C_E F(t)< K₁₈ C_E F(0) und

kq(t)k²_H1 ≤K₁₉E(t) ≤ K₁₉

C_E F(t)< K₁₉ C_E F(0).

Setzen wir diese beiden Ungleichungen in(5.118)ein, so erhalten wir:

kθ_x(t)k_H1 ≤ kθ_0,xk_H1+K⁰⁰_α s

K₁₈

C_E F(0) +K⁰⁰_α Ã

sup

t∈[0,T]

s K₁₈

C_E F(0) + sup

t∈[0,T]

s K₁₉

C_E F(0)

!

≤ kθ_0,xk_H1+2K⁰⁰_α s

K₁₈

C_E F(0) + s

K₁₉

C_E F(0). (5.119)

Schließlich liefert uns wiederum Lemma 5.2 die Existenz einer von Tunabhängigen Kon-stantenK⁰_α >0, so dass

sup

x∈G

|u_xx|(t) ≤K_α⁰ Ã

sup

x∈G

|u_tt(t)|+sup

x∈G

|q(t)q_x(t)|+sup

x∈G

|θ_x(t)|

!

fürt∈[0,T]gilt. Setzen wir(5.117)und(5.119)ein, so erhalten wir

fürt∈[0,T]gilt. Setzen wir(5.117)und(5.119)ein, so erhalten wir