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Exponentielle Stabilität

Im Dokument Dual-Phase-Lag Thermoelastizität (Seite 99-148)

∩ C1

³

[0,T],H01(G)∩H2(G)

´

∩ C0

³

[0,T],H01(G)∩H3(G)

´ , θ ∈ C2

³

[0,T],H01(G)

´

∩ C1

³

[0,T],H01(G)∩H2(G)

´ , q∈ C3¡

[0,T],L2(G)¢

∩ C2

³

[0,T],H1(G)

´

∩ C1¡

[0,T],H2(G)¢ zu(5.1)-(5.5)folgt. Hierbei ist T nur vonδabhängig.

Steht ein solcher Satz zur Verfügung, so beweisen die folgenden Resultate insbesondere die glo-bale Existenz einer eindeutigen Lösung zu(5.1)-(5.5). Deshalb formulieren wir im letzten Ab-schnitt sämtliche Resultate für ein Zeitintervall[0,T].

5.3 Exponentielle Stabilität

Wir definieren nun fürt 0 die Energieterme erster, zweiter und dritter Ordnung:

E1(t):= 1 2

Z

G

ad

gbu2x+ d

gbu2t +1

2+ τq2

2kτθq2+ 1 θ

Ãτq2

2 qt+τqq+θθx τq2θq

!2 dx,

E2(t):= 1 2

Z

G

ad

gbu2tx+ d

gbu2tt+1

t2+ τq2

2kτθq2t + 1 θ

Ãτq2

2 qtt+τqqt+θθtx τq2θqt

!2 dx,

E3(t):= 1 2

Z

G

ad

gbu2ttx+ d

gbu2ttt+ 1

2tt+ τq2

2kτθq2tt+ 1 θ

Ãτq2

2 qttt+τqqtt+θθttx τq2θqtt

!2 dx.

Mit Hilfe vonE1,E2undE3definieren wir nun die EnergieEfürt≥0 durch E(t):=E1(t) +E2(t) +E3(t).

5.3.1 Ableitungen der Energieterme

Um die Zeitableitung vonE1geschickt abschätzen zu können, verwenden wir mehrfach die Dif-ferentialgleichungen(5.1)-(5.3). Wir multiplizieren die Gleichung(5.1)mitbgdutund integrieren überG. Dies ergibt:

Z

Partielle Integration des markierten Integralterms bezüglichxergibt nun:

Z

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

Z Wir multiplizieren die Gleichung(5.2)mit 1gθund integrieren. Dies ergibt:

Z bzw. nach partieller Integration des markierten Terms:

d

Wir multiplizieren nun die Gleichung(5.3)mit 2kττq2

θqtund erhalten nach Integration:

Z

Wir multiplizieren die Gleichung(5.3)mit τq

θqund es ergibt sich nach Integration:

Z Wir multiplizieren die Gleichung(5.3)mitθxund es ergibt sich nach Integration:

Z Abschließend multiplizieren wir die Gleichung(5.3)mit2kττq22

θ

qund erhalten nach Integration:

Unter Verwendung von(5.9)-(5.12)erhalten wir:

d

Damit können wir unter Verwendung von(5.7),(5.8)und(5.13)wie folgt die Zeitableitung von E1bestimmen:

d

Um die Energie weiter abzuschätzen, stellen wir die folgende Abschätzung zur Verfügung, wo-bei zu bemerken ist, dass bereits hier ττθ

q 12 eingeht.

Mit Hilfe von(5.14)und(5.15)erhalten wir d

Damit wäre die Zeitableitung des ersten Energieterms abgeschätzt. Die Zeitableitungen der ver-bleibenden Enerergieterme sollen nun im Folgenden auf die selbe Weise abgeschätzt werden.

Wir differenzieren die Gleichungen(5.1)-(5.3)nach der Zeit und erhalten:

uttt−autxx−atuxx+tx+btθx =α1qtqx+α1qqxt+α1,tqqx, (5.18) θtt+gqxt+gtqx+duttx+dtutx =α2q2t +α2qqtt+α2,tqtq, (5.19)

τq2

2 qttt+τqqtt+qt =−kθtx−kτθθttx. (5.20)

Wir berechnen die Zeitableitung des EnergietermsE2. Hierzu multiplizieren wir die Gleichung (5.18)mit bgdutt und integrieren überG. Dies liefert:

Z

Partielle Integration des markierten Integralterms liefert:

Z Wir multiplizieren die Gleichung(5.19)mit1gθtund integrieren überG. Dies ergibt:

Z

Durch das selbe Vorgehen wie bei(5.9)-(5.12)erhalten wir:

Dies liefert uns letztlich:

d

Eine zu(5.15)analoge Abschätzung liefert uns nun:

d

Wir schätzen die Zeitableitung des verbleibenden Terms E3 ab. Hierzu differenzieren wir zu-nächst die Gleichungen(5.18)-(5.20)nach der Zeit und erhalten:

utttt−auttxx2atutxx−attuxx+ttx+2btθtx+bttθx

=α1qttqx+2α1qtqtx+2α1,tqtqx+α1qqxtt+2α1,tqqxt+α1,ttqqx, (5.26) θttt+2gtqxt+gqxtt+gttqx+dutttx+2dtuttx+dttutx

=2α2,tq2t +3α2qtqtt+2α2,tqqtt+α2qqttt+α2,ttqtq, (5.27) 0= τq2

2 qtttt+τqqttt+qtt+ttx+θθtttx. (5.28)

Nun zur Ableitung vonE3. Wir multiplizieren die Gleichung(5.26)mitbgd utttund erhalten nach Integration:

Z

G

d

bgutttuttttdx Z

G

ad

bguttxxutttdx Z

G

2atd

bg utxxutttdx

Z

G

attd

bg uxxutttdx+ Z

G

d

ttxutttdx+ Z

G

2btd

bg θtxutttdx+ Z

G

bttd

bg θxutttdx

= Z

G

α1d

bg qttqxutttdx+ Z

G

1d

bg qtqtxutttdx+ Z

G

1,td

bg qtqxutttdx +

Z

G

α1d

bgqqxttutttdx+ Z

G

1,td

bg qqxtutttdx+ Z

G

α1,ttd

bg qqxutttdx.

Letzteres ist gleichbedeutend mit

d dt

·1 2

Z

G

d

bgu2tttdx+ ad bgu2ttxdx

¸

= Z

G

µad bg

x

uttxutttdx+ Z

G

2atd

bg utxxutttdx+ Z

G

attd

bg uxxutttdx

Z

G

d

ttxutttdx Z

G

2btd

bg θtxutttdx Z

G

bttd

bg θxutttdx +

Z

G

α1d

bgqttqxutttdx+ Z

G

1d

bg qtqtxutttdx+ Z

G

1,td

bg qtqxutttdx +

Z

G

α1d

bgqqxttutttdx+ Z

G

1,td

bg qqxtutttdx+ Z

G

α1,ttd

bg qqxutttdx +1

2 Z

G

µ d bg

t

u2tttdx+1 2

Z

G

µad bg

t

u2ttxdx. (5.29)

Wir multiplizieren die Gleichung(5.27)mit 1gθttund erhalten nach Integration:

Durch das selbe Vorgehen wie bei(5.9)-(5.12)erhalten wir:

d

Dies liefert uns letztlich:

Wiederum liefert eine zu(5.15)analoge Abschätzung:

d

Betrachtet man nun die TermeT1 :=R

G α1d

bgqqxttutttdxundT2 :=R

Gα2

gqqtttθttdx, so erkennt man sofort, dass Ableitungen auftauchen, welche nicht unmittelbar kontrolliert werden können. Die-se Terme müsDie-sen also gesondert behandelt werden. Wir gehen in Abschnitt 5.3.3 im Detail darauf ein.

5.3.2 Energieabschätzungen

Wir betrachten die Gleichung(5.3)und multiplizieren diese mitθx. Dies liefert zunächst:

τq2

2 qttθx+τqqtθx+x =−kθ2x−kτθθtxθx. Integration und Umstellen der Terme liefert:

Z

G

2xdx= Z

G

τqqtθxdx Z

G

xdx Z

G

τq2

2 qttθxdx Z

G

θθtxθxdx.

Wir können wie folgt abschätzen:

Z

G

2xdx= Z

G

r2 k

Ãτq2

2 qtt+τqqt+θθtx τq2θqt

! rk 2θxdx

Z

G

r2 k

τq2θqt

rk

2θxdx Z

G

r2 kq

rk 2θxdx

Z

G

1 k

Ãτq2

2 qtt+τqqt+θθtx τq2θqt

!2

dx+k 4

Z

G

θx2dx +

Z

G

τq4

θ2kq2tdx+k 4

Z

G

θx2dx+ Z

G

1

kq2dx+k 4

Z

G

θ2xdx.

Diese Abschätzung liefert uns nun sofort:

Z

G

θ2xdx Z

G

4 k2

Ãτq2

2 qtt+τqqt+θθtx τq2θqt

!2 dx+

Z

G

τq4

τθ2k2q2tdx+ Z

G

4

k2q2dx. (5.34) UmR

Gθ2txdxabzuschätzen gehen wir analog vor. Wir multiplizieren die Gleichung(5.20)mitθtx und erhalten mit der selben Argumentation wie oben:

Z

G

θ2txdx Z

G

4 k2

Ãτq2

2 qttt+τqqtt+θθttx τq2θqtt

!2 dx+

Z

G

τq4

τθ2k2q2ttdx+ Z

G

4

k2q2tdx. (5.35) Wir multiplizieren(5.1)mit 1auxxund integrieren. Dies ergibt:

Z

G

1

auttuxxdx Z

G

u2xxdx+ Z

G

b

xuxxdx= Z

G

α1

a uxxqqxdx.

Partielle Integration des markierten Terms liefert:

Dies ergibt nun:

Z

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

2

Wir multiplizieren(5.2)mitad3utxund erhalten nach Integration:

Z

Partielle Integration des markierten Terms liefert:

Z

Letzteres können wir folgendermaßen schreiben:

Z

Partielle Integration des markierten Terms und die Gleichung(5.1)ergeben: In der obigen Abschätzung tritt nun ein Randterm auf, bei welchem zunächst nicht klar ist, wie er abgeschätzt werden soll. Dieser Term wird im nächsten Abschnitt gesondert behandelt.

Zunächst aber kombinieren wir(5.36)und(5.37)und erhalten:

Z Wir multiplizieren die Gleichung(5.18)mit 1autxxund erhalten:

Z

bzw:

Wir multiplizieren die Gleichung(5.19)mitad3uttxund erhalten:

Z Wir multiplizieren(5.18)mit ad3θxtund erhalten:

Z

Umschreiben des markierten Terms liefert uns:

d

Partielle Integration des markierten Terms liefert uns:

d

bzw. Partielle Integration liefert:

wobei hier ein weiterer Randterm entstanden ist, welcher ebenfalls im nächsten Abschnitt be-handelt werden soll. Sofort sieht man ein, dass

gilt. Wir kombinieren nun(5.41)-(5.45). Dies liefert uns:

Z Nun kombinieren wir(5.40)und(5.46)und erhalten:

Z

wobei

Wir multiplizieren(5.1)mituttund erhalten:

Z

Damit ergibt sich:

Z

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

Z

Mit Hilfe der Poincaréschen Ungleichung erhalten wir nun mit einer entsprechenden Konstanten c>0 Wir multiplizieren(5.18)mitutttund erhalten:

Z

Damit ergibt sich wie vorher:

Z

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

Z

G

u2tttdx2 Z

G

a2u2txxdx+2 Z

G

b2θ2txdx+2 Z

G

atuxxutttdx2 Z

G

btθxutttdx +2

Z

G

α1qtqxutttdx+2 Z

G

α1qqxtutttdx+2 Z

G

α1,tqqxutttdx.

Daraus folgt wieder unter Verwendung der Poincaréschen Ungleichung:

Z

G

(u2ttt+u2tt+θ2t)dx 2 Z

G

a2u2txxdx+ Z

G

(2b2+c)θtx2dx+c Z

G

u2ttxdx+2 Z

G

atuxxutttdx

2 Z

G

btθxutttdx+2 Z

G

α1qtqxutttdx+2 Z

G

α1qqxtutttdx +2

Z

G

α1,tqqxutttdx. (5.50)

Eine Kombination von(5.49)und(5.50)liefert:

Z

G

(u2ttt+u2tt+u2t +θ2+θt2)dx2 Z

G

a2¡

u2txx+u2xx¢ dx+

Z

G

(2b2+c)¡

θ2tx+θ2x¢ dx +c

Z

G

u2ttxdx+c Z

G

u2txdx+R6, (5.51) wobei

R6=2 Z

G

atuxxutttdx+2 Z

G

α1qqxuttdx2 Z

G

btθxutttdx +2

Z

G

α1qtqxutttdx+2 Z

G

α1qqxtutttdx+2 Z

G

α1,tqqxutttdx. (5.52) Wir multiplizieren die Gleichung(5.1)mituund erhalten:

Z

G

auxxudx = Z

G

uttudx− Z

G

xudx+ Z

G

α1qqxudx, bzw:

Z

G

axuxudx+ Z

G

au2xdx = Z

G

uttudx− Z

G

xudx+ Z

G

α1qqxudx.

Ist der Koeffizientadurch die Konstanteca >0 nach unten beschränkt, so erhalten wir mit einer gewissen positiven KonstantenC:

Z

G

u2xdx ≤C Z

G

u2tt+θ2xdx+R7, (5.53)

wobei

R7 = 2 ca

Z

G

α1qqxudx− 2 ca

Z

G

axuxudx. (5.54)

Wir multiplizieren(5.2)mitθt. Es ergibt sich: Wir multiplizieren die Gleichung(5.19)mitθttund erhalten:

Z Eine Kombination von(5.55)und(5.56)liefert uns nun:

Z

5.3.3 Problematische Terme bei der Ableitung der Energieterme

In diesem Abschnitt behandeln wir die beiden problematischen Terme, welche bei der Zeit-ableitung vonE3in(5.32)und(5.33)auftreten. Es wird sich herausstellen, dass der ResttermT2 durch Einsetzen der dritten Differentialgleichung und mit Hilfe von partieller Integration in Ter-me umwandeln läßt, welche einfach abzuschätzen sind. Allerdings werden bei der Behandlung des TermsT1gewisse Randterme auftreten. Diese Randterme werden später unter anderem un-ter Verwendung einer Kleinheitsbedingung an Terme niederer Ordnung abgeschätzt. Zunächst ergibt sich mit Hilfe von(5.20)

Z

G

α2

g qqtttθttdx= Z

G

2

qqqttθttdx Z

G

2

q2qqtθttdx

Z

G

2k

q2 txθttdx Z

G

2θ

q2 ttxθttdx. (5.59) Hier verbleibt nun nur noch der markierte Term zu behandeln. Wir gehen folgendermaßen vor:

Z

G

2θ

q2 ttxθttdx= Z

G

à 2α2θ

q2 tt

!

x

θttdx

= Z

G

à 2α2θ

q2

!

x

2ttdx+ Z

G

2θ

q2 qxθtt2dx+ Z

G

2θ

q2 ttxθttdx und dies ist gleichbedeutend mit

Z

G

2θ

q2 ttxθttdx = Z

G

à α2θ

q2

!

x

tt2dx+ Z

G

α2θ

q2 qxθ2ttdx. (5.60) Fassen wir(5.59)und(5.60)zusammen, so ergibt sich:

Z

G

α2

g qqtttθttdx= Z

G

2

qqqttθttdx Z

G

2

q2qqtθttdx Z

G

2k

q2 txθttdx +

Z

G

à α2θ

q2

!

x

2ttdx+ Z

G

α2θ

q2 qxθtt2dx. (5.61) Wir wenden uns dem verbleibenden problematischen Term zu. Zunächst erhalten wir mit Hilfe einer partiellen Integration:

Z

G

α1d

bgqqxttutttdx = Z

G

µα1d bg

x

qutttqttdx Z

G

α1d

bgqxutttqttdx Z

G

α1d

bgqutttxqttdx. (5.62) Offenbar ist nun der markierte Term zu behandeln. Hierzu multiplizieren wir die Gleichung

(5.27)mit αbg1qqttund erhalten nach Integration:

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

d Demnach sind noch die beiden markierten Terme abzuschätzen.

Weiter ergibt sich: Schließlich berechnen wir mit Hilfe von partieller Integration:

Z Wir kombinieren nun(5.62)-(5.66)und erhalten:

Z Hier ist nun ersichtlich, dass der auftretende Randterm 12£α

b1qq2tt¤L

0 weiter abgeschätzt werden muss. Dies wird unter anderem im folgenden Abschnitt erledigt.

5.3.4 Abschätzungen verschiedener Randterme

Wir wenden uns in diesem Abschnitt der Behandlung der Randterme zu, welche in den Abschät-zungen(5.37),(5.43)und(5.66)entstanden sind. Hierbei orientieren wir uns an den Techniken,

welche in[12]bzw. in[17]angewendet wurden. Zunächst ergibt sich:

Hierbei istC1eine positive Konstante, welche nur von den Koeffizientena,dundgabhängig ist.

Unter Verwendung der Einbettung vonW1,1(G)inL(G)ergibt sich die Abschätzung

|q(x)|2 Z

G

¡q2+ (q2)x¢ dx für allex∈G. Damit können wir aber wie folgt abschätzen:

|q(x)|2

Damit folgern wir unter Verwendung der Gleichung(5.2):

C1 Unter Verwendung der Abschätzung

Z und(5.69)sowie(5.70)erhalten wir

¯¯ Mit den selben Techniken wie oben erhalten wir die Abschätzungen

¯¯

und mit Hilfe der Gleichung(5.19)ergibt sich weiterhin Unter Verwendung der Abschätzung

Z und(5.73)sowie(5.74)erhalten wir

¯¯

Addition der Gleichungen(5.72)und(5.75)liefert nun:

¯¯

Multiplikation der Gleichung(5.2)mitqxliefert uns q2x 2

g2θ2t +2d2

g2 u2tx+2α2 g qqtqx.

Entsprechend liefert die Multiplikation der Gleichung(5.19)mitqtx: Setzen wir die letzteren beiden Ungleichungen in(5.76)ein, so erhalten wir:

¯¯

Wir multiplizieren die Gleichung(5.18) mit φutx, wobei φ(x) = L−2x und integrieren. Dies liefert zunächst:

Partielle Integration ergibt nun:

d

Wir multiplizieren(5.26)mitφuttxund erhalten zunächst:

Partielle Integration liefert uns nun:

d

Wir behandeln nun den markierten Term. Mit Hilfe von Gleichung(5.19)erhalten wir zunächst:

Der erste der beiden markierten Terme wird wie folgt behandelt:

Z

Der zweite markierte Term wird folgendermaßen behandelt:

Und dies ist gleichbedeutend mit:

Wir fassen nun(5.81)-(5.84)zusammen und erhalten schließlich:

d

wobei

Wir multiplizieren die Gleichung(5.19)mitdbφθttx und erhalten nach einer partiellen Integra-tion: In der letzteren Abschätzung tauchen nun zwei Terme auf, die zu behandeln sind. Wir betrachten zunächst den ersteren. Die Gleichung(5.3)liefert uns zunächst:

θθtx =−kθx−q−τqqt−τq2

Damit erhalten wir:

Der markierte Term wird nun folgendermaßen behandelt:

Letzteres ist gleichbedeutend mit:

Fassen wir(5.88)und(5.89)zusammen, so erhalten wir:

Z

Den verbleibenden, problematischen Term behandeln wir folgendermaßen:

Z

Partielle Integration der ersten beiden Integralterme, sowie Umformungen der zweiten beiden

Wir kombinieren nun(5.87),(5.90)und(5.91). Dies ergibt:

d

Nun kombinieren wir(5.85)mit(5.92). Dies ergibt:

Wir kombinieren nun(5.79)mit(5.94) d

Umstellen der Terme, vernachlässigen verschiedener quadratischer Terme und Multiplikation

mitL liefert uns:

Kombinieren wir nun(5.77)mit(5.95), so erhalten wir:

¯¯

5.3.5 Zusammenfassung der Teilabschätzungen Wir kombinieren nun(5.38),(5.47)und(5.96). Dies liefert:

Z

Ebenfalls berechnet man erhalten wir somit aus(5.97)eine Abschätzung von der Form:

K1

Wir multiplizieren(5.57) mitδ und kombinieren die entstehende Abschätzung mit(5.99). Wir

gilt. Betrachten wir die beiden markierten Terme, so ist ersichtlich, dass wir eine Abschätzung von der folgenden Form erhalten, sofern wirδhinreichend klein wählen:

K1 Nun multiplizieren wir(5.51)mitγund kombinieren die entstehende Abschätzung mit(5.102).

Es ergibt sich dann:

Betrachten wir wieder die markierten Terme und wählenγ hinreichend klein, so erhalten wir die folgende Abschätzung:

K1

Schließlich multiplizieren wir(5.53)mitµund erhalten unter Verwendung von(5.104):

Wir betrachten den markierten Term, wählenµhinreichend klein und erhalten:

K1

Abschließend betrachten wir die markierten Terme, wählenεhinreichend klein und erhalten:

K1 8

Z

G

¡u2tx+u2ttx¢ dx+1

8 Z

G

u2xx+u2txxdx+δ 2

Z

G

θ2t +θtt2dx +γ

4 Z

G

(u2ttt+u2tt+u2t +θ2+θt2)dx+µ Z

G

u2xdx+

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (L) +

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (0) +

³εα1α2 d q2q2tt

´ (L) +

³εα1α2 d q2q2tt

´

(0) + d dtG2(t)

≤K2000(1+δ+γ+µ) Z

G

θ2xdx+K30(1+ε+δ+γ) Z

G

θ2txdx +K6

µ1 ε + 1

ε3

¶ Z

G

q2dx+K07 µ

δ+ε+1+1 ε + 1

ε3

¶ Z

G

q2tdx+K08(1+ε+δ) Z

G

q2ttdx +|R4|+|R5|+γ|R6|+µ|R7|+δ|R8|+|R9|+2ε

L|R10|+2ε

L|R11|+2ε

L|R12|+2ε

L|R13|. (5.107) Unter Verwendung der Abschätzungen (5.34) und (5.35) folgern wir nun die Existenz einer KonstantenK13, so dass die folgende Abschätzung besteht:

K1 8

Z

G

¡u2tx+u2ttx¢ dx+1

8 Z

G

u2xx+u2txxdx+δ 2

Z

G

θ2t +θtt2dx +γ

4 Z

G

(u2ttt+u2tt+u2t +θ2+θt2)dx+µ Z

G

u2xdx+

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (L) +

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (0) +

³εα1α2 d q2q2tt

´ (L) +

³εα1α2 d q2q2tt

´

(0) + d dtG2(t)

≤K13 Z

G

Ãτq2

2 qtt+τqqt+θθtx τq2θqt

!2

dx+K13 Z

G

q2tdx+K13 Z

G

q2dx

+K13 Z

G

Ãτq2

2 qttt+τqqtt+θθttx τq2θqtt

!2

dx+K13 Z

G

q2ttdx+K13 Z

G

q2tdx +|R4|+|R5|+γ|R6|+µ|R7|+δ|R8|+|R9|+2ε

L|R10|+2ε

L|R11|+2ε

L|R12|+2ε

L|R13|. (5.108)

5.3.6 Definition und Eigenschaften des Lyapunov - Funktionals

Wir definieren nun wie zu Anfang beschrieben ein Lyapunov-Funktional, welches uns später die gewünschte Energieabschätzung fürE(t)liefern wird.

Definition 5.1 Für beliebiges t≥0definieren wir:

F(t) := 1

νE(t)−1 ν

·Z

G

α1

bgqqttθtt−α1α2

2bgq2q2ttdx

¸

+G2(t) wobei G2durch(5.101)gegeben ist.

Bemerkt sei, dass die beiden Terme, welche zu G2 hinzuaddiert werden, zur Behandlung der problematischen (Rest-) TermeT1 und T2 verwendet werden. Eine rein technische Bedeutung kommt den folgenden Definitionen der Terme α(t) und Λ0 zu. Wir benötigen diese mehrfach, um Abschätzungen, sowie eine „Kleinheitsbedingung“ umsetzen zu können. Es sei:

α(t):= sup

0≤x≤L

(|θ|+|q|+|u|+x|+t|+|qt|+|qx|+|ut|+|ux|+|utx|+|uxx|+|utt|), (5.109) Λ0 :=ku0k2H3+ku1k2H2+0k2H2 +kq0k2H2+kq1k2H1. (5.110) Wir stellen als erstes Zusammenhänge zwischenαund Eher. Zuerst schätzen wir alle inα vor-kommenden Terme abgesehen vonθxab.

Lemma 5.2 Es existieren Konstanten Kα,Kα0 >0, so dass die Abschätzungen

sup

0≤x≤L

(|θ|+|q|+|u|+t|+|qt|+|qx|+|ut|+|ux|+|utx|+|utt|) (t)≤Kα vu ut

à 8

k=0

α(t)k

! E(t)

und

sup

x∈G

|uxx|(t)≤Kα0 Ã

sup

x∈G

|utt(t)|+sup

x∈G

|q(t)qx(t)|+sup

x∈G

x(t)|

!

in jedem Intervall[0,T]gelten, in welchem die Lösung zu(5.1)-(5.5)existiert.

Wir bemerken, dass der Beweis zu diesem Lemma mit Standardargumentationen erbracht wer-den kann. Trotzdem erweist sich die Gesamtheit der einzelnen Rechnungen als sehr umfang-reich. Einen vollständigen Beweis erbringen wir für das folgende

Lemma 5.3 Es existiert eine Konstante Kα00>0so dass x(t)kH1 ≤ kθ0,xkH1+K00αkqt(0)kH1+K00α

à sup

t∈[0,T]

kqt(t)kH1+ sup

t∈[0,T]

kq(t)kH1

!

in jedem Intervall[0,T]gilt, in welchem die Lösung zu(5.1)-(5.5)existiert.

Beweis:Für die Funktionenθundqgilt:

τq2

2 qtt+τqqt+q=−kθx−kτθθtx bzw.

−τq2

2kqtt τq k qt1

kq=θx+τθθtx Definieren wir damit fürt∈[0,T]die Funktion f durch

f(t) :=−τq2

2kqtt−τq k qt1

kq, so gilt f ∈ C0¡

[0,T],H1(G)¢

aufgrund der Regularität von q, qt und qtt. Ferner erfüllt θx C1¡

[0,T],H1(G)¢

die gewöhnliche Differentialgleichung

½ τθvt+v= f(t) v(0) =θ0,x

¾

. (5.111)

Wir definieren nun fürt∈[0,T]die Funktionw: [0,T]−→H1(G)durch w(t):=eτθ1tθ0,x+ 1

τθeτθ1t Z t

0

eτθ1sf(s)ds.

und erkennen, dassweine Lösung zu(5.111) darstellt. Wegen der eindeutigen Lösbarkeit der Differentialgleichung(5.111)erhalten wir damit fürθxdie folgende Darstellung:

θx(t) =eτθ1tθ0,x+ 1 τθeτθ1t

Z t

0

eτθ1sf(s)ds

=eτθ1tθ0,x τq2 2kτθeτθ1t

Z t

0

eτθ1sqtt(s)ds τq θeτθ1t

Z t

0

eτθ1sqt(s)ds 1 θeτθ1t

Z t

0

eτθ1sq(s)ds.

Wir berechnen eτθ1t

Z t

0

eτθ1sqtt(s)ds=−eτθ1t Z t

0

1

τθeτθ1sqt(s)ds+eτθ1t h

eτθ1sqt(s) it

0

=−eτθ1t Z t

0

1

τθeτθ1sqt(s)ds+qt(t)−eτθ1tqt(0).

Damit erhalten wir fürθxdie Darstellung:

θx(t) =eτθ1tθ0,x τq2 2kτθ

µ

−eτθ1t Z t

0

1

τθeτθ1sqt(s)ds+qt(t)−eτθ1tqt(0)

τq θeτθ1t

Z t

0

eτθ1sqt(s)ds 1 θeτθ1t

Z t

0

eτθ1sq(s)ds

=eτθ1tθ0,x+ τq2 2kτθeτθ1t

Z t

0

1

τθeτθ1sqt(s)ds τq θeτθ1t

Z t

0

eτθ1sqt(s)ds

1 θeτθ1t

Z t

0

eτθ1sq(s)ds− τq2

2kτθqt(t) + τq2

2kτθeτθ1tqt(0).

Letzteres bedeutet nun insbesondere:

x(t)kH1

°°

°eτθ1tθ0,x

°°

°H1 + τq2 2kτθeτθ1t

°°

°° Z t

0

1

τθeτθ1sqt(s)ds

°°

°°

H1

+ τq θeτθ1t

°°

°° Z t

0

eτθ1sqt(s)ds

°°

°°

H1

+ 1 θeτθ1t

°°

°° Z t

0

eτθ1sq(s)ds

°°

°°

H1

+ τq2

2kτθ kqt(t)kH1+ τq2

2kτθeτθ1tkqt(0)kH1

≤eτθ1t0,xkH1 + τq2 2kτθeτθ1t

Z t

0

1

τθeτθ1skqt(s)kH1ds+ τq θeτθ1t

Z t

0

eτθ1skqt(s)kH1ds + 1

θeτθ1t Z t

0

eτθ1skq(s)kH1ds+ τq2

2kτθ kqt(t)kH1+ τq2

2kτθeτθ1tkqt(0)kH1

≤eτθ1t0,xkH1 + τq2 2kτθ2 sup

t∈[0,T]

kqt(t)kH1eτθ1t Z t

0

eτθ1sds + τq

θ sup

t∈[0,T]

kqt(t)kH1eτθ1t Z t

0

eτθ1sds + 1

θ sup

t∈[0,T]

kq(t)kH1eτθ1t Z t

0

eτθ1sds+ τq2

2kτθ kqt(t)kH1 + τq2

2kτθeτθ1tkqt(0)kH1

≤ kθ0,xkH1+ τq2 θ sup

t∈[0,T]

kqt(t)kH1 +2τq k sup

t∈[0,T]

kqt(t)kH1+2 k sup

t∈[0,T]

kq(t)kH1

+ τq2

2kτθ kqt(t)kH1 + τq2

2kτθeτθ1tkqt(0)kH1

≤ kθ0,xkH1+Ckqt(0)kH1+C sup

t∈[0,T]

kqt(t)kH1+C sup

t∈[0,T]

kq(t)kH1.

Hieraus folgt unmittelbar die Behauptung. ¤

Wir stellen nun den Zusammenhang zwischenΛ0undE(0)her.

Lemma 5.4 Es existiert eine Konstante CΛ0 >0, so dass E(0)≤CΛ0

8 k=1

Λk0

gilt.

Der Beweis zu diesem Lemma ist wiederum technisch einfach aber umfangreich. Es stellt sich nun heraus, dass die TermeE(t)undF(t)unter gewissen Voraussetzungen äquivalent sind. Um dies einzusehen beweisen wir zunächst das folgende

Lemma 5.5 Es existieren positive Konstanten C1,C2und C3, so dass die Abschätzungen F(t)≤

µ1

ν +C1α(t) +C2α2(t)

ν +C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´¶

E(t)

und

F(t)≥ µ1

ν −C1α(t) +C2α2(t)

ν −C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´¶

E(t) in jedem Intervall[0,T]gelten, in welchem die Lösung zu(5.1)-(5.5)existiert.

Beweis:Um die Behauptung zu beweisen, schätzen wir zunächst die folgenden Integralterme ab. Es gilt:

¯¯

¯¯ Z

G

α1

bgqqttθttdx

¯¯

¯¯ ≤C10α(t) µZ

G

q2ttdx+ Z

G

θ2ttdx

≤C1α(t)E(t) und

¯¯

¯¯ Z

G

α1α2

2bgq2q2ttdx

¯¯

¯¯ ≤C20α2(t) Z

G

q2ttdx ≤C2α2(t)E(t).

Ferner existiert eine KonstanteC3 >0, so dass

|G2(t)| ≤C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´ E(t) gilt. Auf diese Rechnung sei hier verzichtet. Diese Ergebnisse liefern uns zunächst:

F(t)≤ 1

νE(t) +1 ν

¯¯

¯¯ Z

G

α1

bgqqttθtt α1α2

2bgq2q2ttdx

¯¯

¯¯+|G2(t)|

µ1

ν +C1α(t) +C2α2(t)

ν +C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´¶

E(t).

Andererseits ergibt sich

|G2(t)| ≤C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´ E(t)

=⇒ −G2(t)≤C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´ E(t)

=⇒ −C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´

E(t)≤G2(t)

= 1

νE(t)−C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´

E(t)≤ 1

νE(t) +G2(t) und

1 ν

¯¯

¯¯ Z

G

α1

bgqqttθtt−α1α2

2bgq2q2ttdx

¯¯

¯¯ C1α(t) +C2α2(t)

ν E(t)

= 1 ν

·Z

G

α1

bgqqttθtt−α1α2

2bgq2q2ttdx

¸

C1α(t) +C2α2(t)

ν E(t)

=⇒ −C1α(t) +C2α2(t)

ν E(t) ≤ −1 ν

·Z

G

α1

bgqqttθtt α1α2

2bgq2q2ttdx

¸ ,

also insgesamt:

µ1

ν −C1α(t) +C2α2(t)

ν −C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´¶

E(t)

1

νE(t)−1 ν

·Z

G

α1

bgqqttθtt−α1α2

2bgq2q2ttdx

¸

+G2(t) =F(t)

und damit ist alles gezeigt. ¤

Korollar 5.6 (Äquivalenz vonEundF) Es existieren Konstanten CE, CE >0,ν>0und1≥α>

0, so dass ausν < νund α(t) αin einem beliebigen Existenzintervall[0,T]der Lösung zu(5.1) -(5.5)folgt, dass

CEE(t)≤F(t)≤CE µ

1+1 ν

E(t), t [0,T].

gilt.

Beweis: Wir wählen T > 0. Ausgehend von Lemma 5.5 wählen wir ν := 12C1

3 und α :=

min n 1

4(C1+C2), 1 o

. Wir berechnen dann 1

ν−C1α(t) +C2α2(t)

ν −C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´

= 1

ν−α(t)(C1+α(t)C2)

ν −C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´

1

ν−α(t)(C1+C2)

ν 6C3 1 ν 1

6C3 = 3

6C3 >3C3. und setzen damitCE :=3C3. Weiter berechnen wir:

1

ν +C1α(t) +C2α2(t)

ν +C3

³

1+α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t)

´

1

ν+C1+C2

ν +6C3.

Setzen wir nunCE :=max{1+C1+C2, 6C3}, so folgt unmittelbar die Behauptung. ¤ Lemma 5.7 (Abschätzung der Ableitung vonF) Es existieren Konstanten K15 >0undν∗∗ >0, so dass für jedes festeν ν∗∗ die Existenz einesα∗∗ > 0folgt, so dass ausα(t) α∗∗in einem beliebigen Existenzintervall[0,T]der Lösung von(5.1)-(5.5)die Abschätzung

d

dtF(t)≤ −K15E(t) +1

ν|R1|+1

ν|R2|+1

ν|R3|+1 νfR3+

9 k=4

|Rk| +2ε

L|R10|+2ε

L|R11|+2ε

L|R12|+2ε L|R13| für alle t∈[0,T]folgt.

Beweis:Um die Zeitableitung von F abzuschätzen, verwenden wir zunächst die Ableitungen vonE1,E2undE3welche in(5.16),(5.24)und(5.32)berechnet wurden. Daraufhin schätzen wir die entstehende Zeitableitung vonG2und die weiteren Ableitungsterme mit Hilfe der Abschät-zungen(5.67)und(5.108)ab. Zunächst aber die Ableitung der Energieterme:

d

Setzen wir nun die oben genannten Abschätzungen ein, so erhalten wir:

d

Hier ist nun sofort ersichtlich, dass die Terme innerhalb der eckigen Klammern positiv werden, sofern wirνhinreichend klein wählen. Wir erhalten also die Existenz einer KonstantenK15, so dass:

d

dtF(t)≤ −K15E(t)−

εbgτq2

2dkτθq2tt

! (L) +

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (0) +

³εα1α2 d q2q2tt

´ (L) +

³εα1α2 d q2q2tt

´

(0) 1 2ν

hα1 bqq2tt

iL

0

¾

+1

ν|R1|+1

ν|R2|+1

ν|R3|+1

νRf3+|R4|+|R5|+γ|R6|+µ|R7| +δ|R8|+|R9|+2ε

L|R10|+2ε

L|R11|+2ε

L|R12|+2ε L|R13|

gilt.Um den Beweis zu vervollständigen müssen wir uns also noch mit der geschweiften Klam-mer befassen. Wir erhalten mit gewissen positiven KonstantenK015,K0015undK15000:

εbgτq2

2dkτθq2tt

! (L) +

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (0) +

³εα1α2 d q2q2tt

´ (L) +

³εα1α2 d q2q2tt

´

(0) 1 2ν

hα1 b qq2tt

iL

0

)

=

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (L)

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (0)

³εα1α2 d q2q2tt

´ (L)

³εα1α2 d q2q2tt

´

(0) + 1 2ν

hα1 b qq2tt

iL

0

≤ −

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (L)

Ãεbgτq2

2dkτθq2tt

! (0) +

¯¯

¯εα1α2 d q2q2tt

¯¯

¯(L) +

¯¯

¯εα1α2 d q2q2tt

¯¯

¯(0) + 1 2ν

¯¯

¯¯ hα1

b qq2tt iL

0

¯¯

¯¯

≤ −K150 q2tt(L)−K150 q2tt(0) +K0015α2(t)q2tt(L) +K1500α2(t)q2tt(0) + K00015

ν α(t)q2tt(L) +K00015

ν α(t)q2tt(0)

0,

sofernα(t)hinreichend klein ist. Damit ist die Behauptung bewiesen. ¤

Lemma 5.8 (Abschätzung der Restterme) Es existiert eine Konstante K16>0, so dass

R(t) := 1

ν|R1|+1

ν|R2|+1

ν|R3|+1 νfR3+

9 k=4

|Rk|+2ε

L|R10|+2ε

L|R11|+2ε

L|R12|+2ε L|R13|

≤K16 µ

1+1 ν

¶ Ã 7

k=1

αk(t)

! E(t)

in jedem beliebigen Existenzintervall[0,T]der Lösung zu(5.1)-(5.5)gilt.

Beweis:Die Details der Abschätzungen sollen hier nicht ausgeführt werden. Wir geben hier nur an, welche Potenzen vonα(t)zur Abschätzung notwendig sind:

Restterm Abschätzung R1 C1α(t)E(t) R2 C2¡

α(t) +α2(t) +α3(t)¢ E(t) R3 C3¡

α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t)¢ E(t) fR3 C˜3¡

α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t) +α6(t)¢ E(t) R4 C4¡

α(t) +α2(t) +α3(t)¢ E(t) R5 C5¡

α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t) +α6(t)¢ E(t) R6 C6¡

α(t) +α2(t) +α3(t)¢ E(t) R7 C7α(t)E(t)

R8 C8¡

α(t) +α2(t)¢ E(t) R9 C9¡

α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t) +α6(t)¢ E(t) R10 C10¡

α(t) +α2(t) +α3(t)¢ E(t) R11 C11¡

α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t) +α6(t) +α7(t)¢ E(t) R12 C12¡

α(t) +α2(t) +α3(t) +α4(t) +α5(t) +α6(t) +α7(t)¢ E(t) R13 C13¡

α(t) +α2(t)¢ E(t)

Wir bemerken, dass der Nachweis der Einzelnen Aussagen in der obigen Tabelle umfangreich,

jedoch nicht als schwierig einzustufen ist. ¤

Satz 5.9 Es existieren positive, reelle Konstantenν,δund d0, so dass F(t)≤F(0)e−d0t

für t≥0gilt, sofernΛ0 <δerfüllt ist.

Beweis:Wir gliedern den Beweis in mehrere Schritte. In den Schritten (i) - (iv) beweisen wir, dass die besagte Aussage aufgrund der vorigen Lemmata in einem gewissen Intervall[0, ˆT] rich-tig ist. Daraufhin beweisen wir in(v), dass die Argumentation ausgehend von der rechten Inter-vallgrenze zu einem größeren Intervall führt. Schließlich zeigen wir in(vi), dass dieses Verfahren zur globalen exponentiellen Stabilität führt.

(i) Mit Hilfe von Korollar 5.6 folgern wir zunächst die Existenz von Konstanten ν > 0 und 1≥α >0, so dass ausν<νundα(t)≤αin einem Intervall[0,T]die Abschätzung

CEE(t)≤F(t) ≤CE µ

1+1 ν

E(t), t∈[0,T] (5.112) erfüllt ist. Wir sehen also die Existenz einer KonstantenΛ0>0 ein, so dass ausν<νund Λ0 < Λ0 zunächstα(0) < α und damit die Richtigkeit von (5.112) für ein hinreichend kleinesT >0 folgt.

(ii) Mit Hilfe von Lemma 5.7 folgern wir die Existenz von Konstanten 0 < ν∗∗ < ν und 1 α∗∗ > 0, so dass fürν = ν∗∗ (fortfolgend sei νso gewählt) undα(t) α∗∗ in einem gewissen Intervall[0,T∗∗]die Existenz einer KonstantenK15 >0 folgt, so dass

d

dtF(t) ≤ −K15E(t) +R(t), t [0,T∗∗] (5.113) folgt. Wie in(i) sehen wir also ein, dass einΛ0∗∗ > 0 existiert, so dass aus Λ0 < Λ∗∗0 die Richtigkeit von(5.113)für ein hinreichend kleinesT∗∗ >0 folgt.

(iii) Mit Hilfe von Lemma 5.8 folgern wir die Existenz einer Konstanten 1 α∗∗∗ >0, so dass ausα(t)≤α∗∗∗in einem gewissen Intervall[0,T∗∗∗]die Abschätzung

R(t) < 1

2K15E(t), t∈[0,T∗∗∗] (5.114) folgt. Dies wiederum sichert uns die Existenz einer Konstanten Λ∗∗∗0 > 0, so dass aus Λ0<Λ∗∗∗0 die Richtigkeit von(5.114)für hinreichend kleinesT∗∗∗folgt.

(iv) Sind die AbschätzungenΛ0 <min{Λ0∗∗0∗∗∗0 }sowie ˆT<min{T,T∗∗,T∗∗∗}erfüllt, so ergibt sich nach(i),(ii)und(iii)mit einem passenden, positivend0:

d

dtF(t)≤ −d0F(t), t [0, ˆT], woraus mit Hilfe des Lemmas von Gronwall die Ungleichung

F(t)≤e−d0tF(0), t∈[0, ˆT] (5.115) folgt. Ferner gilt fürt∈[0, ˆT]:

α(t) ≤α0 :=min{α,α∗∗,α∗∗∗}. (5.116) (v) Es sei ein beliebiges Intervall[0,T]gegeben, in welchem(5.116) und damit insbesondere (5.115) und (5.112) gelten. Wir beweisen, dass α(T) < α0 gilt, sofern Λ0 einmalig hin-reichend klein gewählt wird. Zunächst wissen wir wegen Lemma 5.2, dass eine von T unabhängige KonstanteKα >0 mit

sup

0≤x≤L

(|θ|+|q|+|u|+t|+|qt|+|qx|+|ut|+|ux|+|utx|+|utt|) ≤Kα vu ut

à 8

k=0

α(t)k

! E(t) (man beachte, dass die Termeθxunduxxnoch nicht vorkommen) existiert. Wegen(5.116) können wir die auftretende Summe gegen 9 abschätzen, wegen(5.112) können wir E(t) gegen C1

EF(t)abschätzen und wegen(5.115)giltF(t)<F(0), also insgesamt:

sup

0≤x≤L

(|θ|+|q|+|u|+t|+|qt|+|qx|+|ut|+|ux|+|utx|+|utt|)≤ 3Kα

√CE

pF(0). (5.117)

Nach Lemma 5.3 existiert eine weitere, vonTunabhängige KonstanteK00α >0, so dass x(t)kH1 ≤ kθ0,xkH1+K00αkqt(0)kH1+K00α

à sup

t∈[0,T]

kqt(t)kH1 + sup

t∈[0,T]

kq(t)kH1

!

(5.118) für allet [0,T]gilt. Nun existieren aber von T unabhängige Konstanten K18 > 0 und K19>0, so dass

kqt(t)k2H1 ≤K18E(t)

und

kq(t)k2H1 ≤K19E(t) gilt. Damit folgt aber aus(5.112)und(5.115):

kqt(t)k2H1 ≤K18E(t) K18

CE F(t)< K18 CE F(0) und

kq(t)k2H1 ≤K19E(t) K19

CE F(t)< K19 CE F(0).

Setzen wir diese beiden Ungleichungen in(5.118)ein, so erhalten wir:

x(t)kH1 ≤ kθ0,xkH1+K00α s

K18

CE F(0) +K00α Ã

sup

t∈[0,T]

s K18

CE F(0) + sup

t∈[0,T]

s K19

CE F(0)

!

≤ kθ0,xkH1+2K00α s

K18

CE F(0) + s

K19

CE F(0). (5.119)

Schließlich liefert uns wiederum Lemma 5.2 die Existenz einer von Tunabhängigen Kon-stantenK0α >0, so dass

sup

x∈G

|uxx|(t) ≤Kα0 Ã

sup

x∈G

|utt(t)|+sup

x∈G

|q(t)qx(t)|+sup

x∈G

x(t)|

!

fürt∈[0,T]gilt. Setzen wir(5.117)und(5.119)ein, so erhalten wir

fürt∈[0,T]gilt. Setzen wir(5.117)und(5.119)ein, so erhalten wir

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