2.3 Wohlgestelltheit
2.3.3 Existenz einer Lösung
H:=¡
L2(G)¢6
ס
L2(G)¢3
×L2(G)ס
L2(G)¢3
(2.27) für festes t ∈ [0,T] mit dem Skalarprodukt h·,·it, welches für U,V ∈ H durch hU,Vit :=
hU,QVi(L2(G))13 definiert ist. Die diesem Skalarprodukt zugeordnete Norm sei mitk · kt bezeich-net. Zu bemerken ist, dass die Normk · kt aufgrund der Voraussetzungen an die Koeffizienten zur Standard-L2-Norm gleichmäßig äquivalent ist. Den so entstandenen Hilbertraum(H,h·,·it) bezeichnen wir mitHt.
Wir wählen nunt ∈[0,T]beliebig aber fest und definieren damit die folgenden, vont abhängi-gen, Operatoren:
A0(t): D(A0(t))⊂ Ht −→ Ht (2.28) sei fürV ∈ D(A0(t))durch
A0(t)V :=Q−1(t)N0(t)V (2.29)
definiert. Hierbei ist:
D(A0(t)):=
n
(V1,V2,V3,V4)0 ∈¡
L2(G)¢6
ס
L2(G)¢3
×L2(G)ס
L2(G)¢3 : V1−ΓV3∈WΓ12,D0(G),V2∈
³
WΓ11(G)
´3
,V3∈WΓ11(G),V4 ∈WΓ12,div(G) o
. (2.30) Weiter definieren wir den Operator
A1(t): Ht−→ Ht fürV ∈ Htdurch:
A1(t)V :=Q−1(t)N1(t)V.
Mit Hilfe dieser Operatoren definieren wir nun den Operator
A(t): D(A(t))⊂ Ht −→ Ht (2.31)
für
V ∈ D(A(t)):=D(A0(t)) (2.32)
durch
A(t)V :=A0(t)V+A1(t)V. (2.33) Zu beachten ist, dassA(t)zwar vontabhängig ist, nicht aberD(A(t)). Wir beweisen nun, dass A0(t)für fest gewähltest ∈ [0,T]dicht definiert und abgeschlossen ist. Ausserdem zeigen wir,
dass der Operator−A0(t) dissipativ ist. Schließlich beweisen wir, dass sich der Definitionsbe-reich des adjungierten OperatorsA0∗(t) nicht von D(A(t)) = D(A0(t))unterscheidet. Zusam-men erlauben uns diese Eigenschaften darauf zu schließen, dass−A0(t)der Erzeuger einerC0 -Kontraktionshalbgruppe aufHt ist. Wir verwenden im Folgenden für einen Vektor V ∈ Hdie naheliegende SchreibweiseV = (V1,V2,V3,V4)0, wobei dieVi füri = 1, .., 4 durch die Auftei-lung(2.27)bestimmt sind. Ferner schreiben wir im FolgendenD(A)fürD(A(t)).
Lemma 2.10 Es sei t ∈ [0,T]fest gewählt. Der in(2.28),(2.29)und(2.30)definierte OperatorA0 = A0(t)ist abgeschlossen.
Beweis:Es sei(Vn)n∈Neine Folge inD(A)mitVn→ V ∈ Htfürn→ ∞undA0Vn−→ W ∈ Ht fürn → ∞. Zu beweisen ist nunV ∈ D(A) und A0V = W. AusA0Vn → W fürn → ∞ folgt insbesondere für alleΦ∈ Ht:
D
−DVn2,Φ1 E
+ D
−D0Vn1+D0(ΓVn3),Φ2 E
+ D
(Γ0D)Vn2+ (Γ0D)Vn4,Φ3 E
(2.34) +
¿
D0(ΓVn3) + δ
γK−1Vn4,Φ4 À
=hN0Vn,Φi= D
Q−1N0Vn,QΦ E
=hA0Vn,Φit
→ hW,Φit= D
W1,βS−1Φ1 E
+
¿ W2, 1
βρΦ2 À
+
¿ W3,1
δΦ3 À
+
¿
W4,τ0δ γ K−1Φ4
À
(2.35) fürn→∞.
Wir gliedern den weiteren Beweis in mehrere Schritte:
(i) Wir wählenΦ1 ∈ ¡
L2(G)¢6
beliebig und setzen damitΦ := (Φ1, 0, 0, 0)0. Aus(2.35) folgt
dann D
−DVn2,Φ1 E
→ D
W1,βS−1Φ1 E
für n→∞. (2.36)
Ist speziellΦ1∈¡
C0∞(G)¢6
, so geht(2.36)in D
Vn2,D0Φ1 E
→ D
W1,βS−1Φ1 E
für n→ ∞ über. Dies bedeutet aber
V2,D0Φ1®
=
W1,βS−1Φ1®
und somit DV2 ∈ ¡
L2(G)¢6 mit
−1βSDV2 = W1. Wir wählen nunΦ1 ∈ WΓ1
2,D0(G) beliebig. Dann gilt wegen Korollar 2.5 wiederum
V2,D0Φ1®
= −
DV2,Φ1®
und also ist V2 ∈ WΓ11,D(G). Nach Lemma 2.6 ist dies aber gleichbedeutend mitV2∈
³ WΓ1
1(G)
´3
und das war zu zeigen.
(ii) Wir wählenΦ3 ∈L2(G)und setzen damitΦ:= (0, 0,Φ3, 0)0. Aus(2.35)folgt dann D
(Γ0D)Vn2+ (Γ0D)Vn4,Φ3 E
→
¿ W3,1
δΦ3 À
für n→∞. (2.37)
Ist speziellΦ3∈ C0∞(G), so geht(2.37)in
(Γ0D)Vn2,Φ3®
− D
Vn4,D0ΓΦ3 E
→
¿ W3,1
δΦ3 À
für n→∞
über. Dies bedeutet aber
(Γ0D)V2,Φ3®
−
V4,D0ΓΦ3®
=
W3,1δΦ3®
. Damit existiert die Ableitung(Γ0D)V4im schwachen Sinn und es gilt(Γ0D)V4= 1δW3−(Γ0D)V2. Wählen wir Φ3∈ CΓ∞
1(G)∩H1(G), so folgtV4 ∈WΓ1
2,div(G)mit der analogen Argumentation.
(iii) Wir wählenΦ4 ∈¡
L2(G)¢3
und setzen damitΦ:= (0, 0, 0,Φ4)0. Aus(2.35)folgt dann
¿
D0(ΓVn3) + δ
γK−1Vn4,Φ4 À
→
¿
W4,τ0δ γ K−1Φ4
À
für n→∞. (2.38) Ist speziellΦ4∈¡
C0∞(G)¢3
, so geht(2.38)in
− D
Vn3,Γ0DΦ4 E
+
¿δ
γK−1Vn4,Φ4 À
→
¿
W4,τ0δ γ K−1Φ4
À
für n→∞ über. Dies bedeutet aber −
V3,Γ0DΦ4® +
Dδ
γK−1V4,Φ4 E
= D
W4,τγ0δK−1Φ4 E
. Damit exi-stiert D0ΓV3 im schwachen Sinn und es gilt D0ΓV3 = τγ0δK−1W4− γδK−1V4. Wählen wir Φ4∈WΓ12,div(G), so folgt wiederum analogV3∈WΓ11(G).
(iv) Wir wählenΦ2 ∈¡
L2(G)¢3
und setzen damitΦ:= (0,Φ2, 0, 0)0. Aus(2.35)folgt dann D
−D0Vn1+D0ΓVn3,Φ2 E
→
¿ W2,1
βρΦ2 À
für n→ ∞. (2.39)
Ist speziellΦ2∈¡
C0∞(G)¢3
, so geht(2.39)in D
Vn1−ΓVn3,DΦ2 E
→
¿ W2,1
βρΦ2 À
für n→∞ über. Dies bedeutet aber
V1−ΓV3,DΦ2®
= D
W2,1βρΦ2 E
. Damit existiertD0(V1−ΓV3)im schwachen Sinn und es giltD0(V1−ΓV3) =−1βρW2. Wählen wirΦ2 ∈
³
CΓ∞1(G)∩H1(G)
´3 , so folgtV1−ΓV3 ∈WΓ1
2,D(G)
und damit ist alles gezeigt. ¤
Lemma 2.11 Es sei t ∈ [0,T] fest gewählt. Weiter sei A0 = A0(t) wie in (2.28),(2.29) und (2.30) definiert. Dann gilt D(A0(t)) =D((A0∗(t))und
(A∗0)(t) = Q−1
0 D 0 0
D0 0 −D0(Γ·) 0 0 −(Γ0D) 0 −(Γ0D) 0 0 −D0(Γ·) δγK−1
. (2.40)
Beweis:Der OperatorA0(t)ist für festest ∈ [0,T]dicht definiert. Wir betrachten ein beliebiges W ∈D(A∗0(t)). Dann existiert einF∈ Htso dass
hA0Φ,Wit =hΦ,Fit
für alleΦ∈ D(A0(t))gilt. Letzteres ist wegen hA0Φ,Wit = h−DΦ2,W1i+
−D0Φ1+D0(ΓΦ3),W2® +
(Γ0D)Φ2+ (Γ0D)Φ4,W3® +
¿
D0(ΓΦ3) + δ
γK−1Φ4,W4 À
und
hΦ,Fit = D
Φ1,βS−1F1 E
+
¿ Φ2, 1
βρF2 À
+
¿ Φ3,1
δF3 À
+
¿
Φ4,τ0δ γ K−1F4
À
gleichbedeutend mit
h−DΦ2,W1i+
−D0Φ1+D0(ΓΦ3),W2® +
(Γ0D)Φ2+ (Γ0D)Φ4,W3®
(2.41) +
¿
D0(ΓΦ3) + δ
γK−1Φ4,W4 À
= D
Φ1,βS−1F1 E
+
¿ Φ2, 1
βρF2 À
+
¿ Φ3,1
δF3 À
+
¿ Φ4,τ0δ
γ K−1F4 À
. (2.42)
(i) Wir wählenΦ1 ∈¡
C0∞(G)¢6
und setzen damitΦ:= (Φ1, 0, 0, 0). Aus(2.42)folgt dann
−
D0Φ1,W2®
= D
Φ1,βS−1F1 E
.
Das bedeutet, dassDW2 =βS−1F1 ∈(L2(G))6existiert. Wählen wirΦ1∈WΓ1
2,D0(G) belie-big und setzen wiederumΦ:= (Φ1, 0, 0, 0), so folgt wiederum aus(2.42), dass
−
D0Φ1,W2®
=hΦ1,DW2i gilt. Zusammenfassend haben wir also
W2 ∈WΓ11,D(G) und F1= 1 βSDW2 erhalten.
(ii) Wir wählenΦ2 ∈¡
C0∞(G)¢3
und setzen damitΦ:= (0,Φ2, 0, 0). Aus(2.42)folgt dann h−DΦ2,W1i+
Γ0DΦ2,W3®
=
¿ Φ2, 1
βρF2 À
. Dies wiederum ist gleichbedeutend mit
− hDΦ2,W1−ΓW3i=
¿ Φ2, 1
βρF2 À
.
Letzteres bedeutet aber, dassD0(W1−ΓW3) = 1βρF2 ∈(L2(G))3existiert. Wählen wirΦ2∈ WΓ1
1,D(G) und setzen damit wiederumΦ := (0,Φ2, 0, 0), dann ergibt sich wiederum aus (2.42), dass
hDΦ2,W1−ΓW3i=−
Φ2,D0(W1−ΓW3)®
gilt. Zusammenfassend haben wir also
W1−ΓW3 ∈WΓ12,D0(G) und F2=βρ−1D0(W1−ΓW3) erhalten.
(iii) Wir wählenΦ3 ∈ C0∞(G)und setzen damitΦ:= (0, 0,Φ3, 0). Aus(2.42)folgt dann
(D0Γ)Φ3,W2® +
D0(ΓΦ3),W4®
=
¿ Φ3,1
δF3 À
. Obiges ist nun mit
D0ΓΦ3,W4®
=
Φ3,Γ0DW2® +
¿ Φ3,1
δF3 À
äquivalent. Dies bedeutet aber, dass(Γ0D)W4 =−Γ0DW2−1δF3 ∈ L2(G) existiert. Wählen wirΦ3∈WΓ11(G)und setzen damitΦ:= (ΓΦ3, 0,Φ3, 0), so ergibt sich aus(2.42):
−D0ΓΦ3+D0ΓΦ3,W2® +
D0ΓΦ3,W4®
= D
ΓΦ3,βS−1F1 E
+
¿ Φ3,1
δF3 À
⇐⇒
D0ΓΦ3,W4®
=
Φ3,Γ0DW2® +
¿ Φ3,1
δF3 À
⇐⇒
D0ΓΦ3,W4®
=−
Φ3,(Γ0D)W4® . Zusammenfassend haben wir also
W4∈WΓ12,div(G) und F3 =−δ(Γ0D)W4−δΓ0DW2 erhalten.
(iv) Wir wählenΦ4∈(C0∞(G))3und setzen damitΦ:= (0, 0, 0,Φ4). Aus(2.42)folgt dann sofort
Γ0DΦ4,W3® +
¿δ
γK−1Φ4,W4 À
=
¿
Φ4,τ0δ γ K−1F4
À .
Dies bedeutet aber, dass D0ΓW3 = −τγ0δK−1F4+ γδK−1W4 ∈ (L2(G))3 gilt. Wählen wir schließlichΦ4 ∈WΓ1
2,div(G), so ergibt sich wiederum aus(2.42):
Γ0DΦ4,W3®
=−
Φ4,D0ΓΦ4® . Zusammenfassend haben wir also
W3 ∈WΓ11(G) und F4 =− γ
τ0δKD0ΓW3+ 1 τ0W4 erhalten.
Die Schritte(i),(ii),(iii)und(iv)beweisen nunD(A0∗(t)) ⊂ D(A0(t)). Die verbleibende
Inklu-sion ist aber leicht einzusehen. ¤
Lemma 2.12 Es sei t∈ [0,T]fest undA0 =A0(t)wie in(2.28),(2.29)und(2.30)definiert. Dann ist
−A0dissipativ.
Beweis:Es seiV ∈D(A0)beliebig gewählt. Dann ergibt sich hA0V,Vit = − hDV2,V1i+
−D0V1+D0(ΓV3),V2® +
(Γ0D)V2+ (Γ0D)V4,V3® +
¿
D0(ΓV3) + δ
γK−1V4,V4 À
= − hDV2,V1i+hV1−ΓV3,DV2i+
Γ0DV2,V3® +
(Γ0D)V4,V3® +
D0ΓV3,V4® +
¿δ
γK−1V4,V4 À
= − hDV2,V1i+hDV2,V1i − hΓV3,DV2i+hΓV3,DV2i
−
V4,D0ΓV3®
+hV4,D0ΓV3i+
¿δ
γK−1V4,V4 À
= −2ImhDV2,V1i −2ImhΓV3,DV2i −2Im
V4,D0ΓV3® +
¿δ
γK−1V4,V4 À
. Somit ist also RehA0V,Vit =
Dδ
γK−1V4,V4 E
> 0 und das bedeutet, dass der Operator −A0
dissipativ ist. ¤
Unter Verwendung der Lemmata 2.10 - 2.12 können wir nun unseren ersten Satz beweisen, wel-cher für die Existenz einer Lösung für unser Problem(2.1)-(2.8)eine wesentliche Rolle spielen wird.
Satz 2.13 Es seiA0=A0(t)wie in(2.28),(2.29)und(2.30)definiert.
(i) Für jedes feste t ∈ [0,T]ist der Operator−A0(t) der Erzeuger einerC0-Kontraktionshalbgruppe aufHt.
(ii) Die Familie(−A0(t))t∈[0,T]ist eine stabile Famile vonC0-Halbgruppenerzeugern auf dem Hilbert-raum(H,h·,·i).
Beweis:
(i) Seit∈[0,T]fest. Offensichtlich istA0(t)dicht definiert. Nach Lemma 2.10 ist der Operator A0(t) abgeschlossen. Nach Lemma 2.12 ist der Operator −A0(t) dissipativ. Sofort ergibt sich aus Lemma 2.11, dass auch−A0∗(t)dissipativ ist. Damit istA0(t)nach Korollar 1.7 der Erzeuger einerC0-Kontraktionshalbgruppe auf dem HilbertraumHt.
(ii) Es seiV ∈ HmitV6=0. Wir betrachten die Funktion
fV :[0,T]−→R, t7−→ln(kVk2t).
WegenV6=0 ist diese wohldefiniert und stetig differenzierbar. Weiter gilt fV0 (t) =¡
ln¡
kVk2t¢¢0
=2 1
kVkt (kVkt)0 ≤C.
Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung erhalten wir nun
|ln(kVkt)−ln(kVks|=|fV(t)−fV(s)|=¯
¯fV0 (ξ)¯
¯|t−s| ≤C|t−s|.
Dies bedeutet aber
kVkt
kVks ≤eC|t−s|
und somit folgt mit Hilfe von Lemma 1.10, dass die Familie (−A0(t))t∈[0,T] eine stabile Familie vonC0-Halbgruppenerzeugern auf dem Hilbertraum(H,h·,·i)ist.
¤ Eine direkte Folgerung aus Satz 2.13 und Satz 1.11 ist das
Korollar 2.14 Die Familie(−A(t))t∈[0,T]ist eine stabile Familie vonC0-Halbgruppenerzeugern auf dem Hilbertraum(H,h·,·i).
Aufgrund der Abgeschlossenheit des Operators A ist klar, dass der Definitionsbereich D(A) versehen mit der Graphennorm ein Hilbertraum ist. Zu beachten ist aber, dass wir es damit wiederum mit einem „zeitabhängigen“ Hilbertraum zu tun haben. Wir wollen nun ein neues Skalarprodukth·,·iD(A)aufD(A)definieren, welches nicht von der Zeit abhängt, aber die Eigen-schaft besitzt, dass die zugehörige Normk · kD(A) mit der Graphennorm aufD(A) äquivalent ist. Zu diesem Zwecke sei fürW,W0 ∈ WD1(G) das SkalarprodukthW,W0iD durchhW,W0iD :=
hW,W0i+hDW,DW0i definiert. Analog seien die Skalarprodukte h·,·iD0 und h·,·idiv auf den entsprechenden Räumen definiert. Unter Verwendung dieser Skalarprodukte definieren wir nun fürU,V∈D(A):
hU,ViD(A):=hU1,V1iD0 +hU2,V2iD+hU3,V3iH1+hU4,V4idiv .
Letzteres ist nun ein Skalarprodukt aufD(A), welches nicht von der Zeit abhängt. Es gilt aber auch wie gewünscht das
Lemma 2.15 Der in(2.32)definierte Definitionsbereich D(A)versehen mit dem Skalarprodukth·,·iD(A) ist ein Hilbertraum. Ferner ist die Normk · kD(A)mit der Graphennorm auf D(A)äquivalent.
Beweis:Wir beweisen nur, dass die Graphennormk · kGäquivalent zuk · kD(A)ist. Es giltA :=
A0+A1=Q−1N0+Q−1N1. Nach(2.20)und(2.21)haben wir
Q−1N0=
0 −1βSD 0 0
−βρ−1D0 0 βρ−1D0(Γ·) 0
0 δ(Γ0D) 0 δ(Γ0D)
0 0 τγ
0δKD0(Γ·) τ1
0Id
und
Q−1N1=
−
³1 βS
´
tβS−1 0 0 0
βρ−1D0
³1 β Id
´
β 0 ρ−1D0(βΓ) 0
0 0 0 δ(−Γ0D)¡γ
δ Id¢δ
γ
0 0 0 −γδ ¡γ
δ
¢
t Id
.
Ist nunV∈D(A), so erhalten wir vier Terme abzuschätzen. In den folgenden Abschätzungen wird der Einfachheit halber eine vontunabhängige Konstante C > 0 verwendet, die von Zeile zu Zeile verschieden sein kann.
Wir beginnen mitDV2: Als nächstes behandeln wir∇V3:
k∇V3k2=kD0ΓV3k2 = Schließlich schätzen wir divV4ab:
kdivV4k2=
Demnach existiert eine Konstante C > 0, so dass für alle V ∈ D(A) und alle t ∈ [0,T] die Abschätzung
kVk2D(A)≤CkVk2G
besteht. Um die Äquivalenz der beiden Normen zu beweisen, benötigen wir noch eine Abschät-zung vonkVkD(A)nach unten. Wegen der Äquivalenz von k · kt und k · kerhalten wir die fol-gende Abschätzung
Dies vervollständigt unseren Beweis. ¤
Lemma 2.16 Es seiAwie in(2.31),(2.33)und(2.32)definiert. Dann gilt
∂tA ∈L∞¡
[0,T];L¡
D(A),L2(G)¢¢
. Beweis:Wir beweisen die Existenz einer KonstantenC>0, so dass
∀t∈[0,T]∀V∈D(A): k(∂tA) (t)Vk ≤CkVkD(A).
Aufgrund der Regularität der Koeffizienten erhalten wir damit sofort eine Abschätzung der
be-sagten Form. ¤
Fassen wir die vorigen Resultate zusammen, so liefert uns Satz 1.13 den folgenden
Satz 2.17 Der Operator A = A(t) sei wie in (2.31),(2.33) und (2.32) definiert. Weiter gelte V0 ∈ D(A) undF ∈ Lip([0,T],H), wobei V0 undF wie in(2.18) definiert sind. Die Koeffizienten mögen die Regularitätsforderungen(i)-(iv)in Abschnitt2.3.1erfüllen. Dann existiert eine eindeutige Lösung V ∈ C0([0,T],D(A))∩ C1([0,T],H)von
Vt− A(t)V =F, V(0) =V0.
Entsprechend Lemma 2.9 können wir damit auf eine Lösung von(2.1)-(2.8)schließen.
Dirichlet-Randbedingungen
3.1 Einführung
Um das in diesem Abschnitt behandelte thermoelastische Modell zu motivieren, betrachten wir noch einmal die Gleichungen der klassischen Thermoelastizität und schreiben diese zunächst in der folgenden Form:
ρUtt− D0SDU+D0Γθ =ρb, (3.1) δθt+divq+Γ0DUt =r, (3.2)
q+K∇θ =0. (3.3)
Hierbei ist ersichtlich, in welcher Weise das Fouriersche Gesetz wirkt. Wie bereits in der Ein-leitung erwähnt, führt diese Art der Modellierung des Wärmeflusses zu dem Phänomen der unendlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit. Obwohl dieses Phänomen keinesfalls durch einen natürlichen Vorgang motiviert werden kann, beschreiben Lösungen dieses Systems natürliche Vorgänge für die Anwendungen hinreichend genau. Trotzdem ist die Forschung bestrebt, besse-re Modelle zu entwickeln, bei welchen keine unendliche Ausbbesse-reitungsgeschwindigkeit auftritt.
In diesem Zusammenhang wurde das Fouriersche Gesetz(3.3)durch das Gesetz von Cattaneo
τqqt+q+K∇θ =0 (3.4)
oder auch durch
τq2
2 qtt+τqqt+q+K∇θ+Kτθ∇θt =0 (3.5) ersetzt. In beiden Fällen liegt keine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit vor. Es hat sich nun ergeben, dass sich (natürlich unter entsprechenden Voraussetzungen) die für die klassische Thermoelastizität bekannten Resultate auf die modifizierte Situation übertragen. Die Gleichun-gen (3.3), (3.4) und (3.5) können nun jeweils als Spezialfall einer formalen Taylorentwicklung der linken und/oder rechten Seite der Gleichung
q(x,t+τq) =−K∇θ(x,t+τθ), (3.6)
39
welche die Grundlage einer von Tzou [25], [26] eingeführten Dual-Phase-Lag Theorie bildet, aufgefasst werden. Eine wichtige Fragestellung in diesem Zusammenhang ist nun, welche Tay-lorentwicklungen der beiden Seiten von(3.6)zu einem wohlgestellten Problem führen. Genauer stellt sich die Frage für welche natürlichen Zahlennundmdie Gleichungen(3.1)und (3.2) so-wie
∑
n k=0τqk
k!∂ktq+K
∑
m k=0τθk
k!∂kt∇θ =0
ein wohlgestelltes System bilden. Hierbei zeigten Untersuchungen in [4], dass bei obigem Sy-stem im Fall n−m > 2 keine Wohlgestelltheit zu erwarten ist. Wir geben nun eine positive Antwort auf die Frage nach Wohlgestelltheit in der Situationm=n−1. Wir betrachten also das System
ρUtt− D0SDU+D0Γθ =ρb, (3.7)
δθt+divq+Γ0DUt =r, (3.8)
∑
n k=0τqk
k!∂ktq+K
n−1
∑
k=0
τθk
k!∂kt∇θ =0, (3.9)
für die gesuchten FunktionenU = U(t,x), θ = θ(t,x) und q = q(t,x). Hierbei ist x ∈ G und t≥0, wobeiGein beschränktes Gebiet imR3darstellt.
Über die Wohlgestelltheit dieser Gleichungen (hinzu kommen natürlich Anfangs- und Rand-bedingungen) ist für n ≥ 3 nichts bekannt. Wir wenden uns dieser Frage zu, wobei wir die Gleichungen(3.7)-(3.9)mit den Anfangsbedingungen
U(0,·) = U0, Ut(0,·) =U1, θ(0,·) =θ0,
(∂ktq)(0,·) = qk, (k=0, . . . ,n−1), (3.10) und den Randbedingungen
U(t,x) =0, θ(t,x) =0 für(t,x) ∈[0,∞)×∂G (3.11) behandeln werden. Dabei werden wir wieder orts- und zeitabhängige Koeffizienten zulassen, gehen allerdings davon aus, dass die Koeffizienten der Gleichung(3.9) nicht von der Zeit ab-hängen. Diese Forderung wird sich bei unserer Wahl des Systems erster Ordnung als notwendig erweisen. Für dieses System erster Ordnung wiederum beweisen wir, dass eine Lösung existiert.
Für den Spezialfall n = 2 und G = (0,L) ⊂ R zeigen wir dann, dass die Lösung unter Zu-satzvoraussetzungen an die Koeffizienten höhere Regularität hat. Fortfolgend seiT>0 beliebig aber fest gewählt.
3.2 Sobolevräume und Skalarprodukt
Wie im vorigen Kapitel definieren wir zunächst Sobolevräume, welche uns später das Verallge-meinern der Randbedingungen erlauben werden:
WD1(G) :=
n u∈¡
L2(G)¢3
:Du∈¡
L2(G)¢6o , WD10(G) :=
n u∈¡
L2(G)¢6
:D0u∈¡
L2(G)¢3o , W0,D1 (G) :=
n
u∈WD1(G) :∀F∈WD10(G):hDu,Fi=−
u,D0F®o , Wdiv1 (G) :=
n u∈¡
L2(G)¢3
: divu∈ L2(G) o
. Für Elementeu,v∈WD1(G)definieren wir die Bilinearform
hu,viD :=hu,vi+hDu,Dvi. Füru,v∈WD10(G)definieren wir
hu,viD0 :=hu,vi+
D0u,D0v® und füru,v∈Wdiv1 (G)definieren wir
hu,vidiv :=hu,vi+hdivu, divvi.
Lemma 3.1 Erfüllt G die strikte Kegeleigenschaft, so sind die folgenden Aussagen richtig:
(i) WD1(G)und W0,D1 (G)sind Hilberträume bezüglichh·,·iD. (ii) WD10(G)ist ein Hilbertraum bezüglichh·,·iD0.
(iii) Wdiv1 (G)ist ein Hilbertraum bezüglichh·,·idiv. (iv) Es gilt W0,D1 (G) =¡
W01(G)¢3 .
Beweise zu den vorgestellten Resultaten findet man in [6].
3.3 Wohlgestelltheit
Wir wenden uns der Frage nach der Wohlgestelltheit des Problems(3.7)-(3.11)für festesn∈N mitn ≥ 2 zu. Tatsächlich wird sich zeigen, dass das genannte System in einem verallgemei-nerten Sinn wohlgestellt ist. Um dies zu beweisen transformieren wir die genannten Gleichun-gen zunächst auf ein System erster Ordnung, welches uns später einen Evolutionsoperator auf einem entsprechenden Definitionsbereich liefern wird. Dieser Evolutionsoperator wird dabei einige strukturelle Eigenschaften besitzen, welche es uns erlauben werden, mit Hilfe von Halb-gruppentheorie bzw. der Theorie von Kato auf (verallgemeinerte) Lösungen zu schließen. Der Einfachheit halber gehen wir bei der Transformation auf ein System erster Ordnung von glatten Koeffizienten aus.
3.3.1 Transformation in ein System erster Ordnung
Um ein System erster Ordnung zu finden, gehen wir zunächst von der Existenz von glatten Lösungen aus. Für eine Lösung(U,θ,q)zu unserem Problem(3.7)−(3.11)definieren wir
V1,1 :=
SDU Ut θ q
, V2,1 :=
à l
∑
k=0
τqn−k
(n−k)!∂l−kt q+K
l−1
∑
k=0
τθn−1−k
(n−1−k)!∂l−1−kt ∇θ
!
1≤l≤n−1
,
V1,2 :=
0 0 0 0
, V2,2:=
Ã
−τqn
τθl · (n−1)!
n!(n−1−l)!q
!
1≤l≤n−1
.
Ferner definieren wir vier TeilmatrizenN1,1,N1,2,N2,1sowieN2,2mit deren Hilfe wir später un-seren gesuchten (Differential-) Operator definieren werden. Bereits hier sei hervorgehoben, dass nur sechs Einträge innerhalb der MatrixN1,1Differentialoperatoren darstellen. Die Einträge der verbleibenden Matrizen werden Multiplikationsoperatoren darstellen. Im Wesentlichen werden wir uns also mitN1,1beschäftigen. Es seien
N1,1:=
0 D 0 0
D0 0 −D0(Γ·) 0
0 −Γ0D 0 −div
0 0 −∇ −
µτqn−1
τθn−1 −n−1n ·ττqnn θ
¶ K−1
, N2,1 :=
0 0 0 N1,42,1 0 0 0 N2,42,1 ... ... ... ... 0 0 0 Nn−1,42,1
,
N1,2:=
0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0
(n−1)!
τθn−1 K−1 0 · · · 0
, N2,2 :=
N1,12,2 1 0 · · · 0 N2,12,2 0 . .. ... ...
... ... . .. ... 0 0 · · · 0 1 Nn−1,12,2 0 · · · 0 0
.
Hierbei seien die skalaren EinträgeNl,42,1für 1≤l≤n−2 durch
Nl,42,1 := 1 (n−1−l)!
Ãτqn−1
τθl −(n−1) n · τqn
τθl+1
!
−
à τqn−1−l
(n−1−l)!− 1 n(n−2−l)!
τqn τθl+1
! ,
sowie durch Nn−1,42,1 :=
Ãτqn−1
τθn−1 −n−1 n
τqn τθn
!
−1
definiert. Schließlich gelte Nl,12,2:=− (n−1)!
(n−l−1)!τθl
für 1≤l≤n−1. Mit Hilfe der oben definierten MatrizenNi,jund den VektorenVi,j,i,j∈ {1, 2}
definieren wir nun
V :=
µ V1,1 V2,1
¶ +
µ V1,2 V2,2
¶
und N :=
µ N1,1 N1,2 N2,1 N2,2
¶
. (3.12) Ferner definieren wir nun eine GewichtsmatrixQdurch
Q:=
µ Q1,1 Q1,2 Q2,1 Q2,2
¶
, (3.13)
wobei hier
Q1,1:=
S−1 0 0 0
0 ρ 0 0
0 0 δ 0
0 0 0 τqn
τθn−1 1nK−1
, Q2,2 :=
1 0 · · · 0 0 . .. ... ...
... . .. ... 0 0 · · · 0 1
,
sowieQ1,2 :=0 undQ2,1 :=0 gelten soll. Diese Matrix wird es uns später erlauben, das Skalar-produkt des benötigten Grundraumes zu beschreiben. Schließlich definieren wir die Inhomoge-nitätF sowie eine technisch bedingt notwendige StörmatrixBdurch
B:=
S−1StS−1 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... ... 0 0 · · · 0
, F :=
0 b
rδ
0 (0)1≤l≤n−2
0
. (3.14)
Wir gehen nun auf den Zusammenhang von glatten Lösungen mit den oben definierten Vektoren und Matrizen ein. Genaueres liefert das
Lemma 3.2 Es sei T >0. Weiter seien Funktionen U∈ C2
³
[0,T],¡
L2(G)¢3´
∩ C1
³
[0,T],W0,D1 (G)
´ , θ ∈ Cn−1
³
[0,T],H1(G)
´
∩ C0
³
[0,T],H01(G)
´ , q∈ Cn
³
[0,T],¡
L2(G)¢3´
∩ C0
³
[0,T],Wdiv1 (G)
´
mitD0SDU ∈ ¡
L2(G)¢3
gegeben, welche(3.7)−(3.11) erfüllen. Ferner seien die Vektoren V und F sowie die MatrizenQ,N undBwie in(3.12),(3.13)und(3.14)definiert. Dann gilt
Vt=Q−1(N +B)V+F.
Beweis:Aufgrund der Regularität der MatrixSundU∈ C1¡
[0,T],W0,D1 (G)¢
können wir sofort
Vt1,1=
StDU+SDUt Utt
θt qt
berechnen. Entsprechend erhalten wir:
N1,1(V1,1+V1,2) = N1,1V1,1=
DUt
D0SDU− D0(Γθ)
−Γ0DUt−divq
−∇θ− µ
τqn−1
τθn−1 −n−1n ·ττqnn θ
¶ K−1q
.
Zu beachten ist, dass es sich bei den folgenden Rechnungen nur um Multiplikationen von Ma-trizen und Vektoren handelt. Innerhalb der MaMa-trizen treten keine Differentialoperatoren auf. Es gilt
N1,2(V2,1+V2,2) =
0 0 0
(n−1)!
τθn−1 K−1 µτqn
n!qt+(n−1)!τqn−1 q
¶ +∇θ
+
0 0 0
−ττqnn
θ ·n−1n K−1q
.
Ferner gelten die folgenden Identitäten:
N2,1(V1,1+V1,2) = N2,1V1,1=
³ Nl,42,1q
´
1≤l≤n−1, N2,2V2,1 =
µ³
Nl,12,2V12,1+Vl+12,1
´
1≤l≤n−2,Nn−1,12,2 V12,1
¶
und
N2,2V2,2 = µ³
Nl,12,2V12,2+Vl+12,2
´
1≤l≤n−2,Nn−1,12,2 V12,2
¶ . Fassen wir diese Rechnungen zusammen, so erhalten wir:
N V =
DUt D0SDU− D0Γθ
−Γ0DUt−divq
(n−1)!
n!
τqn τθn−1K−1qt
³
Nl,42,1q+Nl,12,2V12,1+Vl+12,1 +Nl,12,2V12,2+Vl+12,2
´
1≤l≤n−2
Nn−1,42,1 q+Nn−1,12,2 V12,1+Nn−1,12,2 V12,2
.
Wir berechnen nun die einzelnen Vektoreinträge explizit. Sei dazu l ∈ {1, ...,n−2} beliebig gewählt. Wir erhalten nach einer nicht schwierigen aber aufwändigen Rechnung:
Nl,42,1q+Nl,12,2V12,1+Vl+12,1 +Nl,12,2V12,2+Vl+12,2
=∂t
"
∑
l k=0τqn−k
(n−k)!∂l−kt q+K
l−1
∑
k=0
τθn−1−k
(n−1−k)!∂l−k−1t ∇θ
# +∂t
"
−τqn n!
(n−1)!
(n−l−1)!τθlq
#
=∂tVl2,1+∂tVl2,2. Schließlich gilt
Nn−1,42,1 q+Nn−1,12,2 V12,1+Nn−1,12,2 V12,2 =−(n−1)!
τθn−1 τqn
n!qt−q−K∇θ =∂tVn−12,2 −q−K∇θ.
Insgesamt haben wir also das Folgende erhalten:
Q−1N V+Q−1BV+F =
SDUt+StDU ρ−1D0SDU−ρ−1D0Γθ+b
−1δΓ0DUt−1δdivq+δr qt
(∂tVl2,1+∂tVl2,2)1≤l≤n−2
∂tVn−12,2 −q−K∇θ
,
und somit folgt die Behauptung mit Hilfe der Differentialgleichungen(3.7)−(3.9). ¤ Betrachten wir den in(3.12)definierten VektorV, so erkennen wir, dass die VektoreinträgeVkmit k ≥ 5 aus Linearkombinationen vonqund ∇θsowie deren Zeitableitungen bestehen. Dement-sprechend ist es notwendig, eine passende Anfangsbedingung für das zugehörige Evolutions-system zu konstruieren. Wir geben einen AnfangsvektorV0an und zeigen später, dass dieser die einzelnen Anfangsbedingungen auf das System erster Ordnung überträgt. Dies erfordert eini-gen Rechenaufwand, da zunächst nicht klar ist, wie∂kt∇θan der Stellet=0 beschrieben werden soll. Tatsächlich ist diese Beschreibung aber mit Hilfe der Differentialgleichungen möglich. Wir definieren den VektorV0durch
V0 :=
à V01,1 V02,1
! +
à V01,2 V02,2
!
, (3.15)
wobei dieV0i,jfüri,j∈ {1, 2}durch
V01,1 :=
SDU0 U1
θ0 q0
, V01,2 :=
0 0 0 0
, V02,2 :=
Ã
−τqn
τθl · (n−1)!
n!(n−1−l)!q0
!
1≤l≤n−1
und V02,1 :=
à l
∑
k=0
τqn−k
(n−k)!ql−k+Kl−1
∑
k=0
τθn−1−k
(n−1−k)!∇θl−1−k
!
1≤l≤n−1
definiert sind. Fürn ≥3 sind die auftretendenθk, 1≤k≤n−2 durch durch die Anfangsbedingungen vorgegeben. Fürk =2 seiUkdurch
U2(·) :=ρ−1(0,·)D0S(0,·)DU0(·)−ρ−1(0,·)D0Γ(0,·)θ0(·) +b(0,·) definiert. Damit wir unser nächstes Resultat formulieren können, setzen wir
H:=¡ so ist der durch die Vorschriften
U(t):=U0+ Z t
0
V2(s)ds, θ(t):=V3(t), q(t):=V4(t) definierte Vektor(U,θ,q)eine Lösung zu(3.7)−(3.11).
Beweis:Auf den Nachweis der Richtigkeit der ersten beiden Differentialgleichungen sei ver-zichtet. Dies rechnet man leicht nach. Zunächst befassen wir uns mit der dritten Differentialglei-chung. Wir betrachten eine LösungV = (Vk)1≤k≤n+3zu(3.20)mit der beschriebenen Regularität und berechnen zuerstN V. Es gilt (das rechnet man leicht nach)
N V =
DV2 D0V1− D0ΓV3
−Γ0DV2−divV4
−∇V3− µτqn−1
τθn−1 −n−1n ·ττqnn θ
¶
K−1V4+(n−1)!
τθn−1 K−1V5 (Nl,42,1V4+Nl,12,2V5+V5+l)1≤l≤n−2
Nn−1,42,1 V4+Nn−1,12,2 V5
und also erhalten wir
Q−1N V =
SDV2
ρ−1D0V1−ρ−1D0ΓV3
−1δΓ0DV2−1δdivV4
−nττθn−1n
q K∇V3−nττθn−1n q
µτqn−1
τθn−1 −n−1n ·ττqnn θ
¶
V4+τn!n qV5 (Nl,42,1V4+Nl,12,2V5+V5+l)1≤l≤n−2
Nn−1,42,1 V4+Nn−1,12,2 V5
. (3.21)
Unter Verwendung dieser Gleichung ergibt sich, dass die folgenden Gleichungen erfüllt sein müssen:
Vt4 = −nτθn−1
τqn K∇V3−n1
τqV4+(n−1)
τθ V4+ n!
τqnV5, Vtl+4 = Nl,42,1V4+Nl,12,2V5+Vl+5, (1≤l≤n−2), Vtn+3 = Nn−1,42,1 V4+Nn−1,12,2 V5.
Aus diesen Gleichungen folgen aber unmittelbar:
V5 = τqn
n!Vt4+ τθn−1
(n−1)!K∇V3+ τqn−1
(n−1)!V4−(n−1)τqn
n!τθ V4, (3.22) V5+l = Vtl+4−Nl,42,1V4−Nl,12,2V5, (1≤l≤n−2), (3.23)
Vtn+3 = Nn−1,42,1 V4+Nn−1,12,2 V5. (3.24)
Die Gleichung(3.23)läßt uns nun vermuten, dass für 1≤l≤n−2 die Identität Vl+5 =∂ltV5−
∑
l k=1Nk,42,1∂l−kt V4−
∑
l k=1Nk,12,2∂l−kt V5 (3.25) richtig ist. Dies wollen wir mit Hilfe von vollständiger Induktion beweisen.
IA: Nach Voraussetzung istV6=∂tV5−N1,42,1V4−N1,12,2V5richtig.
IS: Es giltVl+1+5 =Vtl+1+4−Nl+1,42,1 V4−Nl+1,12,2 V5. Unter Verwendung der Induktionsvoraus-setzung erhalten wir also
V(l+1)+5 = ∂t
"
∂ltV5−
∑
l k=1Nk,42,1∂l−kt V4−
∑
l k=1Nk,12,2∂l−kt V5
#
−Nl+1,42,1 V4−Nl+1,12,2 V5
= ∂l+1t V5−
∑
l k=1Nk,42,1∂(l+1)−kt V4−
∑
l k=1Nk,12,2∂(l+1)−kt V5−Nl+1,42,1 V4−Nl+1,12,2 V5
= ∂(l+1)t V5−
l+1
∑
k=1
Nk,42,1∂(l+1)−kt V4−
l+1
∑
k=1
Nk,12,2∂(l+1)−kt V5.
Wegen der Gleichung(3.22)ergibt sich aus(3.25)für 1≤l≤n−2 die folgende Identität:
Vl+5 = τqn
n!∂l+1t V4+ τθn−1
(n−1)!K∂lt(∇V3) + τqn−1
(n−1)!∂ltV4−τqn(n−1)
τθn! ∂ltV4−
∑
l k=1Nk,42,1∂l−kt V4
−
∑
l k=1Nk,12,2
"
τqn
n!∂l−k+1t V4+ τθn−1
(n−1)!K∂l−kt (∇V3) + τqn−1
(n−1)!∂l−kt V4−τqn(n−1) τθn! ∂l−kt V4
#
= τqn
n!∂l+1t V4+ τθn−1
(n−1)!K∂lt(∇V3) + τqn−1
(n−1)!∂ltV4−τqn(n−1)
τθn! ∂ltV4−
∑
l k=1Nk,42,1∂l−kt V4
−
∑
l k=1Nk,12,2
"
τqn−1
(n−1)!−(n−1) τθ
τqn n!
#
∂l−kt V4+
∑
l k=1τθn−k−1
(n−k−1)!K∂l−kt (∇V3) +
l−1
∑
k=0
(n−1)!
(n−k−2)!τθk+1 τqn
n!∂l−kt V4
=
l+1
∑
k=0
τqn−k
(n−k)!∂l+1−kt V4+
∑
l k=0τθn−k−1
(n−k−1)!K∂l−kt (∇V3)−τqn n!
(n−1)!
τθl+1(n−1−(l+1))V4. Berücksichtigen wir noch die Richtigkeit der Gleichung(3.22), so erhalten wir
V =
V1 V2 V3 V4 (Vl+4)1≤l≤n−1
(3.26)
wobei Vl+4 =
∑
l k=0τqn−k
(n−k)!∂l−kt V4+
l−1
∑
k=0
τθn−k−1
(n−k−1)!K∂l−k−1t (∇V3)−τqn
n!(n−1)! 1
τθl(n−l−1)!V4 für 1≤l≤n−1 gilt. Betrachten wir nun die Gleichung(3.24)und setzen das obige Resultat für
l=n−1 ein, so erhalten wir
n−1
∑
k=0
τqn−k
(n−k)!∂n−kt V4+
n−2
∑
k=0
τθn−k−1
(n−k−1)!K∂n−1−kt (∇V3)− τqn
n!τθn−1(n−1)!Vt4
= (n−1)! 1 τθn−1
à τqn−1
(n−1)!−(n−1)τqn τθn!
!
V4−V4+(n−1)!
τθn−1 τqn
n!(n−1)1 τθV4
−(n−1)!
τθn−1
"
τqn
n!∂tV4+ τqn−1
(n−1)!V4+ τθn−1
(n−1)!K∇V3
#
= −τqn n!
(n−1)!
τθn−1 ∂tV4−V4−K∇V3.
Aus letzterer Gleichheit folgt nun unmittelbar
∑
n k=0τqn−k
(n−k)!∂n−kt V4+n−1
∑
k=0
τθn−k−1
(n−k−1)!K∂n−1−kt (∇V3) =0.
Damit wissen wir, dass die oben definierten FunktionenU,θ,qdie Differentialgleichungen(3.7) -(3.9)erfüllen. Klar ist, dass die FunktionenU,θ,qdie Randbedingungen(3.11)erfüllen. Etwas komplizierter ist der Nachweis, dass die genannten Funktionen auch die Anfangsbedingungen (3.10) erfüllen. Hierzu zunächst einige Vorüberlegungen: Der Einfachheit halber lassen wir in den folgenden Rechnungen die Argumente weg. Für 3≤k≤n−2 gilt:
θt = r δ −1
δdivq−1
δΓ0DUt, (3.27)
θtt =
³r δ
´
t− µ1
δdivq
¶
t
− µ1
δΓ0DUt
¶
t
=
³r δ
´
t− µ1
δ
¶
t
divq−1
δdivqt− µ1
δΓ0
¶
t
DUt−1
δΓ0DUtt, (3.28)
³
∂ktθ
´
= ∂k−1t
³r δ
´
−∂k−1t µ1
δdivq
¶
−∂k−1t µ1
δΓ0DUt
¶ ,
= ∂k−1t
³r δ
´
−
k−1
∑
j=0
µk−1 j
¶ µ
∂k−1−jt 1 δ
¶
div∂tjq
−
k−1
∑
j=0
µk−1 j
¶
∂k−1−jt µ1
δΓ0
¶ D
³
∂tj+1U
´
. (3.29)
Weiter ergibt sich für die Zeitableitungen vonU: Unter Verwendung dieser Rechnungen, wollen wir nun ausV(0) = V0 folgern, dass die An-fangsbedingungen(3.11)erfüllt sind. Zunächst gilt natürlich
U(0) =U0, Ut(0) =U1, und θ(0) =θ0. Zu beweisen verbleibt also nur, dass
³
∂ktq
´
(0) =qk
fürk=0, ...,n−1 gilt. Letzteres beweisen wir mit Hilfe von vollständiger Induktion.
IA: Nach Definition des VektorsV sowie des VektorsV0giltq(0) =q0. IV: Wir nehmen an, dass(∂ktq)(0) =qk,k=0, ...,lfür einl<n−1 gilt.
IS: Wir beweisen, unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, dass (∂l+1t q)(0) = ql+1 gilt. Mit Hilfe von (3.15), der Gleichung (3.26) sowie der Tatsache, dass V(0) = V0 gilt erhalten wir zunächst:
l+1
∑
Wegenq(0,·) =q0(·)folgt daraus unmittelbar
l+1
∑
k=0
τqn−k (n−k)!
³
∂l+1−kt q
´
(0,·) +
∑
l k=0τθn−k−1 (n−k−1)!K
³
∂l−kt ∇θ
´ (0,·)
=
l+1
∑
k=0
τqn−k
(n−k)!ql+1−k+
∑
l k=0τθn−k−1
(n−k−1)!K∇θl−k(·). (3.31) Können wir nun zeigen, dass die Gleichheit
∑
l k=0τθn−k−1 (n−k−1)!K
³
∂l−kt ∇θ
´
(0,·) =
∑
l k=0τθn−k−1
(n−k−1)!K∇θl−k (3.32) richtig ist, so ist die Aussage bewiesen, denn aus der Gleichung
l+1
∑
k=1
τqn−k (n−k)!
³
∂l+1−kt q
´
(0,·) =
l+1
∑
k=1
τqn−k
(n−k)!ql+1−k(·) und der Induktionsvoraussetzung folgt direkt
³
∂l+1t q
´
(0,·) =ql+1(·).
Um die Gleichung(3.32)zu beweisen, zeigen wir, dass für 0≤k≤ldie Identität
³
∂ktθ
´
(0,·) =θk(·)
gilt. Ist hierbeik =1 bzw.k=2, so folgt dies unmittelbar aus den Gleichungen(3.16)und (3.27) bzw.(3.17) und(3.28). Interessant ist also der Fall 3≤ k ≤ l. Betrachten wir(3.18) und(3.29), so ist also zu beweisen, dass
³
∂k−1t r δ
´
(0,·)−
k−1
∑
j=0
µk−1 j
¶ µ
∂k−1−jt 1 δ
¶
(0,·)divqj(·)
−
k−1
∑
j=0
µk−1 j
¶ ³
∂k−1−jt (Γ0D)
´
(0,·)Uj+1(·)
=
³
∂k−1t r δ
´
(0,·)−
k−1
∑
j=0
µk−1 j
¶ µ
∂k−1−jt 1 δ
¶
(0,·)div
³
∂tjq
´ (0,·)
−
k−1
∑
j=0
µk−1 j
¶ ³
∂k−1−jt (Γ0D)
´ (0,·)
³
∂tj+1U
´ (0,·)
für 3 ≤ k ≤ l richtig ist. Wegen der Induktionsvoraussetzung genügt es also zu zeigen, dass
k−1
∑
j=0
µk−1 j
¶ ³
∂k−1−jt (Γ0D)
´
(0,·)Uj+1(·)
=
k−1
∑
j=0
µk−1 j
¶ ³
∂k−1−jt (Γ0D)
´ (0,·)
³
∂j+1t U
´ (0,·)
für 3≤k≤lrichtig ist. Und also genügt es zu zeigen, dass
³
∂tjU
´
(0,·) =Uj(·)
für j = 1, ...,l erfüllt ist. DieUj sind nun aber über die selbe Rekursionsformel definiert, deren Richtigkeit wir für die ∂tjU bewiesen haben. Die Startwerte für diese Rekursionen stimmen überein und somit folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung.
¤ Wir sind nun in diesem Abschnitt der Einfachheit halber von glatten Daten ausgegangen. Na-türlich aber ist es möglich, die benötigte Regularität bei festemn∈Nexplizit anzugeben. So ist zum Beispiel im Falln=2 für die genannten Resultate keine Forderung notwendig, welche über die Voraussetzungen(V1) -(V5)im kommenden Abschnitt hinausgeht. Im Falln =2 erkennt man wegen(3.16), dass
³r δ
´
(0,·)−1
δ(0,·) (divq0) (·)−1
δ(0,·)Γ0(0,·) (DU1) (·) ∈H1(G)
erfüllt sein muss. Dem entnimmt man zusätzliche Forderungen. Entsprechend entnimmt man der Rekursionsformel(3.18)die benötigte Regularität für höhere Entwicklungen.
3.3.2 Existenz einer Lösung
In diesem Abschnitt wollen wir basierend auf den Lemmata 3.2 und 3.3 einen Lösungsbegriff definieren, welcher den „klassischen“ Begriff einer Lösung zu(3.7)-(3.11)verallgemeinert. Mit Hilfe der Theorie von Kato zeigen wir dann, dass tatsächlich eine Lösung dieser allgemeineren Form existiert. Zuvor allerdings geben wir Forderungen an die Koeffizienten und die Geometrie des Gebietes an, welche für unsere folgenden Resultate hinreichend sind.
Es sei G ein beschränktes Gebiet dessen Rand die strikte Kegeleigenschaft erfülle. Die reellen Konstantenτθ und τqseien positiv. Weiter machen wir die folgenden Voraussetzungen an die Koeffizienten:
(V1) Es gelte S ∈ C2
³
[0,∞),(L∞(G))6×6
´
. Ferner sei S(t) für jedes t ∈ [0,∞) symmetrisch und invertierbar. Die zugehörige Inverse sei mitS(t)−1bezeichnet. Die dadurch gegebene FunktionS−1mögeS−1∈ C1
³
[0,∞),(L∞(G))6×6
´
erfüllen. Zudem existiere eine Konstan-teCS >0, so dass für alleV∈¡
L2(G)¢6
und allet∈[0,∞) CSkVk2 ≤
D
V,S−1V E
gilt.
(V2) Es gelteK ∈(L∞(G))3×3. Ferner sei die MatrixKsymmetrisch und invertierbar. Die zuge-hörige Inverse sei mitK(t)−1bezeichnet. Die dadurch gegebene FunktionK−1möge K−1 ∈ (L∞(G))3×3 erfüllen. Zudem existiere eine Konstante CK, so dass für alle V ∈
¡L2(G)¢3
CKkVk2 ≤ D
V,K−1V E
gilt.
(V3) Es gelte ρ ∈ C1
³
[0,∞),(L∞(G))3×3
´
. Weiter sei ρ(t) für jedes t ∈ [0,∞) symmetrisch und invertierbar. Die zugehörige Inverse sei mitρ(t)−1bezeichnet. Die dadurch gegebene Funktionρ−1mögeρ−1∈ C1
³
[0,∞),(L∞(G))3×3
´
. erfüllen Zudem existiere eine Konstan-teCρ >0, so dass für alleV ∈¡
L2(G)¢3
und allet∈[0,∞) CρkVk2 ≤ hV,ρ(t)Vi gilt.
(V4) Es seiδ ∈ C1([0,∞),L∞(G)) und es existiere eine KonstanteCδ > 0 so dassCδ ≤ δ(t) für allet∈[0,∞)gelte.
(V5) Es seiΓ∈ C1
³
[0,∞),¡
H3(G)¢6´ .
Unter Verwendung der in(3.13) definierten MatrixQ definieren wir für festest und beliebige U,V∈¡
L2(G)¢3n+10
das gewichtete Skalarprodukt hU,Vit :=hU,QVi und bezeichnen den entstehenden Hilbertraum³¡
L2(G)¢3n+10 ,h·,·it
´
mit Ht. Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm bezeichnen wir mitk · kt. Um im weiteren Verlauf die Schreib-weise zu vereinfachen, schreiben wir
H=¡
L2(G)¢3n+10
=¡
L2(G)¢6
ס
L2(G)¢3
×L2(G)ס
L2(G)¢3
ס
L2(G)¢3
×...ס
L2(G)¢3
| {z }
n−1−mal
und verstehenV = (V1,V2,V3,V4,(V4+k)1≤k≤n−1)∈¡
L2(G)¢3n+10
entsprechend. Wir definieren nun
D(N):=WD10(G)×W0,D1 (G)×W01(G)×Wdiv1 (G)׳¡
L2(G)¢3´n−1 und damit
D(A) :=D(A(t)):=D(N). (3.33)
Schließlich sei für festest ∈ [0,T]der Operator A(t): D(A(t)) ⊂ Ht −→ Ht fürV ∈ D(A(t)) durch
A(t)V:=Q−1(t)(N(t) +B(t))V (3.34) definiert.
Definition 3.4 IstV ∈ C0([0,T],D(A))∩ C1
³
[0,T],¡
L2(G)¢3n+10´
eine Lösung zu Vt = AV+F,
V(0) = V0
für ein gegebenesV0∈ D(A), welches die Gestalt(3.15)hat, so sprechen wir von einer verallgemeinerten Lösung zu(3.7)-(3.11).
Wir bemerken an dieser Stelle, dass die Gestalt vonV0 ∈ D(A)in die folgenden Argumentatio-nen nicht eingeht.
Lemma 3.5 Die vonh·,·it induzierte Normk · ktauf¡
L2(G)¢3n+10
ist mit der üblichen¡
L2(G)¢3n+10 - Norm gleichmäßig äquivalent, d.h. es existieren reelle Konstanten C1,C2 >0, so dass
∀t ∈[0,T]∀V ∈¡
L2(G)¢3n+10
: C1kVk ≤ kVkt ≤C2kVk gilt.
Beweis:Die Existenz von KonstantenC1undC2mit der obigen Eigenschaft ist wegen den
For-derungen an die inQvorkommenden Teilmatrizen klar. ¤
Unser nächstes Ziel ist es, zu beweisen, dass die Operatorfamilie(A(t))t∈[0,T]eine stabile Familie vonC0-Halbgruppenerzeugern auf¡
L2(G)¢3n+10
ist. Um dies zu beweisen gehen wir in mehreren Schritten vor. Zunächst schreiben wir den OperatorA(t)fürt∈[0,T]in der Form
A(t) =A1(t) +A2(t).
Der Operator A1(t) wird dabei für jedes t ∈ [0,T]gewisse Symmetrieeigenschaften erfüllen, welche es uns ermöglichen, darauf zu schließen, dass(A1(t))t∈[0,T] eine stabile Familie vonC0 -Halbgruppenerzeugern ist. Der OperatorA2(t)wird fürt∈[0,T]ein beschränkter Operator auf
¡L2(G)¢3n+10
sein und damit ergibt sich schließlich, dass auch(A(t))t∈[0,T] eine stabile Familie von Halbgruppenerzeugern ist.
Wir definieren für festest ∈[0,T]
D(A1(t)):=D(A(t)) (3.35)
und damit den OperatorA1(t): D(A1(t))⊂ Ht −→ HtfürV∈ D(A1(t))durch
A1(t)V :=Q−1·
0 D 0 0 0 · · · 0 D0 0 −D0(Γ·) 0 0 · · · 0 0 −Γ0D 0 −div 0 · · · 0 0 0 −∇ −Id 0 · · · 0 0 0 0 0 0 · · · 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 0 · · · 0
V. (3.36)
Lemma 3.6 Es sei t∈[0,T]fest. Der in(3.35)und(3.36)definierte OperatorA1(t)ist abgeschlossen.
Beweis:Es sei(Vn)n∈Neine Folge inD(A1(t))mitkVn−Vkt → 0 undkA1(t)Vn−Wkt → 0 für n → ∞. Wir beweisen nun, dassV ∈ D(A1(t))undA1(t)V = W gilt. WegenA1(t)Vn → W für n→∞und der Stetigkeit des Skalarprodukts inHtgilt insbesondere für alleΦ∈ Ht
hA1(t)Vn,Φit→ hW,Φit für n→∞.
Letzteres ist mit D
DVn2,Φ1 E
+ D
D0Vn1− D0ΓVn3,Φ2 E
+ D
−Γ0DVn2−divVn4,Φ3 E
+ D
−∇Vn3−Vn4,Φ4 E
→ D
W1,S−1Φ1 E
+
W2,ρΦ2® +
W3,δΦ3® +
*
W4, τqn τθn−1
1 nK−1Φ4
+ +n+3
∑
k=5
D Wk,Φk
E
(3.37) fürn→∞äquivalent. Wir gehen nun in mehreren Schritten vor:
(i) Wir wählenΦ1 ∈ ¡
L2(G)¢6
beliebig und setzen damitΦ:= (Φ1, 0, ..., 0), dann geht(3.37)
in D
DVn2,Φ1 E
→ D
W1,S−1Φ1 E
für n→ ∞ über. Ist speziellΦ1 ∈¡
C0∞(G)¢6
, so erhalten wir damit:
− D
Vn2,D0Φ1 E
→ D
W1,S−1Φ1 E
für n→ ∞, also mit der Stetigkeit des Skalarprodukts:
für n→ ∞, also mit der Stetigkeit des Skalarprodukts: