Das Hauptaugenmerk f¨ur das vorhanden sein dieses Vorgangs ist die Existenz von schwereren Elementen als 209Bi f¨ur deren Entstehung keine andere Erkl¨arung be-kannt ist.
Um den Anteil durch r-Prozess entstandner Kerne abzusch¨atzen subtrahiert man von der beobachteten Verteilung den Anteil, der durch s-Prozess entstanden ist. Ein Ausschnitt des Ergebnisses dieser Durchf¨uhrung zeigt die Nachfolgende Abbildung.
Hier gibt es starke Anzeichen von Peaks bei A=80, 130, 195, diese sind um rund 10 unter den magischen Zahlen von Neutronen(90, 150, 208).
Abbildung 4.3: Differenz aus der theoretischen Verteilung der Elemente des s-Prozess und der gemessenen Verteilung
Die Verschiebung der Peaks nach niedrigeren Massenzahlen A kam man dadurch deuten, dass der r-Prozess direkt keine stabilen Kerne bildet. Dies geschieht indirekt durchβ-Zerfall der neutronenreichen Kerne. Durch denβ-Zerfall wird ein Neutron in ein Proton umgewandelt, damit bleib die Massenzahl erhalten. Die unterschiedlichen Pfade des s- und r-Prozesses sind nachfolgend dargestellt
Abbildung 4.4: Die gestrichelten Linien zeigen, wie weit entfernt vomβ -stabilen Tal die r-Prozess Kerne erzeugte werden. Im Gegensatz dazu folgt der s-Prozess diesem Tal sehr nahe.
5 Quantenmechanische Grundlagen
Wie bereits oben erw¨ahnt, kann die Kernfusion nicht ohne die Quantenmechanik erkl¨art werden. Vorher werden allerdings noch einmal die Grundgleichungen f¨ur den Sternaufbau wiederholt. Unter der Annahme der sph¨arischen Symmetrie erh¨alt man folgende Gleichung f¨ur die Masse:
M(r) = 4π
r
Z
0
dr0r02ρ(r0) (5.1)
Die Forderung nach hydrostatischem Gleichgewicht liefert:
dP(r) =−GM(r)ρ(r)
r2 dr (5.2)
Die Leuchtkraft ist gegeben durch
dL(r) = 4πr2drρ(r)(r) (5.3)
Den Temperaturverlauf erh¨alt man aus den Gleichungen des Energietransports durch
wobei σ die Stefan-Boltzmann-Konstante bezeichnet und die Opazit¨at eine kompli-ziertere Funktion ist
κ(r) = κ(ρ(r), T(r), Xi(r)) (5.5) Hier ist Xi die H¨aufigkeit eines bestimmten Elements. Zus¨atzlich ben¨otigt man zur L¨osung noch eine Zustandsgleichung
P(r) = P(ρ(r), T(r), Xi(r)) (5.6) All diese Gr¨oßen sind makroskopischer Natur und Sternmodelle k¨onnen berechnet werden, wenn man die Energieerzeugungsrate aus der Kernphysik gegeben hat.
Dieses soll nun mit relativ einfachen Mitteln abgesch¨atzt werden.
5.1 Das Schalenmodell
Bevor man allerdings eine quantenmechanische Rechnung anfangen kann, braucht man erst einmal ein Modell f¨ur den Atomkern. Da die genaue Form der Kernkraft, also der QCD, sehr kompliziert ist, wird deren Wirkung im Modell stark vereinfacht.
Um die Bindung der Nukleonen aneinander zu erkl¨aren, muss man annehmen, das das Coulomb-Potential der Nukleonen, das auf große Entfernungen dominant ist, bei dem Kernradius R durch ein anderes, attraktives Zentralpotential ¨uberlagert wird:
V(r) =
Wie dieses VK(r) genau aussieht, ist a priori unbekannt und dessen Wahl h¨angt von der gew¨unschten Genauigkeit des Modells ab. Denkbar ist zum Beispiel ein Kastenpotential
Beide Potentiale ergeben eingesetzt in die Schr¨odingergleichung nat¨urlich quantisier-te Energieniveaus, die man als Schalen versquantisier-tehen kann. Diese Niveaus sind, abh¨angig
Abbildung 5.1: Hier wurde ein abgerundetes Kastenpotential als effektives Kernpo-tential gew¨ahlt. Die einlaufende Welle von rechts symbolisiert ein Teilchen, das auf den Kern zufliegt und dabei Energie verliert, also langwelliger wird. Bild entnommen aus [1].
vom gew¨ahlten Potential, unterschiedlich stark entartet und k¨onnen dadurch auf ih-re Realit¨atsn¨ahe ¨uberpr¨uft werden. Ein Beispiel f¨ur ein Kernpotential ist in Abb. 5.1 aufgetragen.
Wichtiger als die genaue Form des Potentials ist an dieser Stelle, ob die Annah-me eines Zentralpotentials ¨uberhaupt gerechtfertigt ist, da es ja im Gegensatz zum Atom kein echtes Zentralteilchen gibt. Man macht im Kern eine Zentralfeldn¨ ahe-rung, beschreibt also die Bewegung eines Nukleons im statischen Feld aller anderen.
Dies erscheint auf den ersten Blick etwas gewagt, aber es gibt dennoch Gr¨unde f¨ur dieses Vorgehen. Warum sollten denn zum Beispiel die Nukleonen ¨uberhaupt auf ih-ren Schalen bleiben und nicht durch St¨oße abgelenkt werden und letztlich chaotisch durch den Kern fliegen. Eine Begr¨unding liefert folgende ¨Uberlegung: Die Nukleo-nen sind FermioNukleo-nen, sie unterliegen also dem Pauliprinzip. Der Atomkern ist also ein Fermigas mit Potential bestehend aus Protonen und Neutronen. Entsprechend sind alle Energieniveaus des Kerns bis zur Fermikante gef¨ullt. Sollten also zwei Nukleonen zusammenprallen, wird ein Energie- und Impuls¨ubertrag stattfinden. Ein Stoßpart-ner wird also auf ein h¨oheres Niveau gehoben, der andere auf ein niedrigeres sinken.
Da allerdings im Fermigas alle Niveaus besetzt sind, k¨onnen die Nukleonen gar keine andere Schale als die besetzten, in der sie sich gerade befinden. Folglich k¨onnen die Nukleonen ihre Schalen nicht verlassen.
Eine Erweiterung dieses Zentralpotentials muss man allerdings von Hand einf¨ugen:
die Nukleonen haben eine sehr starke l·s-Kopplung, die nicht mehr als St¨orung behandelt werden kann. Dies f¨uhrt zu einer Aufspaltung der Niveaus, die nicht aus den Energieeigenwerten des Potentials ersichtlich ist. Die genauen Zahlen sind f¨ur uns hier allerdings sowieso nicht von Interesse, sondern nur die Tatsache, dass sich die Nukleonen auf diskreten Schalen bewegen.
Sollte nun ein Teilchen durch die Coulomb-Barriere hindurchtunneln und in den Kern eindringen, ordnet es sich unter Beachtung der Erhaltungss¨atze und des Pau-liprinzips in ein Niveau ein. Besonders interessant ist der Fall, wenn die Energie des einlaufenden Teilchens sehr nahe an einem freien Niveau im Kern ist. Dann kommt es zu sogenannten Resonanzen, also zu einer erh¨ohten Wahrscheinlichkeit f¨ur die Fusion. Dies ist von zentraler Bedeutung f¨ur das Temperaturverhalten der Reaktionsrate, wie im n¨achsten Abschnitt erl¨autert wird. All diese Effekte kann man durch Kernspektrokopie tats¨achlich beobachten. Das Schalenmodell, f¨ur das deren Erfinder Eugene Paul Wigner, Maria Goeppert-Mayer und J. Hans D. Jensen 1949 sehr bekannt wurden, sagt weiterhin, analog zu den Edelgasschalen der Atomphysik, besonders stabile Kerne mit ”magischen” Kernladungs- und Massenzahlen voraus, die auch experimentell best¨atigt sind.