Prozess der Tropfenauadung

Wird ein Tropfen elektrisch aufgeladen, so wird in ihm die Ladungsträgerdich-te (positiv oder negativ) erhöht. Durch die CoulombAbstoÿung zwischen zwei gleichen Ladungen Q entsteht eine nach auÿen wirkende Kraft, die der nach innen gerichteten Oberächenspannung σ entgegenwirkt. Überwiegt die elektro-statische Abstoÿung, so wird der Tropfen instabil und zerfällt solange in kleine-re Teiltropfen, bis die Oberächenspannung die Abstoÿung wieder kompensiert.

Durch die Abschätzung beider Eekte zeigte Rayleigh [101], wie die maximale Ladungsträgeranzahl in einem Tropfen bestimmt werden kann das sogenannte RayleighLimit:

Q_Ray = 8πp

ε₀σR³ ,

wobei ε₀ die Permittivität des Vakuums und R der Tropfenradius ist. Während der kontinuierlichen Erzeugung einer monodispersen Tropfenkette (entsprechend Kap. 1), lässt sich ein einzelner Tropfen auaden, indem für den Zeitraum sei-ner Ablösung vom Flüssigkeitsstrahl ein elektrisches Feld eine Verschiebung von Ladungsträgern im Flüssigkeitsstrahl hervorruft [33,102104]. Dazu bendet sich um die Position der Tropfenablösung eine ringförmige Auadungselektrode. Da der Strahl über die Düse leitend mit dem Schutzleiter verbunden ist, verursacht ein Spannungspuls an der Auadungselektrode kurzzeitig eine entgegengesetzte Polarisierung der Spitze des Strahls. Endet der Spannungspuls nach der Trop-fenablösung, so ist nur dieser Tropfen geladen und der nachfolgende Tropfen wieder neutral. Ähnlich einem Kugelkondensator lässt sich dem Tropfen eine Ka-pazität C = 4πε₀R zuordnen. Mit der Auadungsspannung U_au und der re-lativen Permittivität der umgebenden Luft ε_r ≈ 1 kann so die Ladungsmenge bestimmt werden

Q= 4πε₀ε_rRU_au .

Dieses Modell lässt sich erweitern [82, 105, 106], indem die Auadungselektro-de und Auadungselektro-der Flüssigkeitsstrahl als ZylinAuadungselektro-derkonAuadungselektro-densator moAuadungselektro-delliert werAuadungselektro-den. Dieser Kondensator wird über einen Widerstand aufgeladen, der dem Teil des Flüssig-keitsstrahls entspricht, welcher sich zwischen der Auadungselektrode und der Düse bendet. Die Ladungsmenge pro Einheitsmasse m beträgt in diesem Fall

Q/m= 2ε₀ε_rU_au

ρ_la²ln (R_au/a) , (2.1) mit der Dichte der Flüssigkeit ρ_l, dem Radius des Flüssigkeitsstrahlsa und dem Radius des Auadungselektrode R_au. Diese Ladungsmenge wird im Fall einer unendlich lange Auadungsdauer erreicht. Abhängig von der tatsächlichen Dauer der Auadung t beträgt die Ladungsmenge pro Tropfen

Q(t) = 8

3π· R³ε₀ε_rU_au

a²ln (R_au/a)· 1−e^−t/τ

, (2.2)

wobei die Zeitkonstante der Auadung τ durch die Leitfähigkeit der Flüssigkeit gegeben ist. Da sich pro Periode der akustischen AnregungT = 1/f je ein Trop-fen (mit einer Gröÿe entsprechend einer Wellenlängeλder akustischen Anregung) vom Flüssigkeitsstrahl ablöst, muss die Auadungsdauer stets t≤T sein, damit keine weiteren Tropfen aufgeladen werden. Auÿerdem muss der Auadungspuls für eine Dauer von t < T zum Ende der Tropfenablösung geschehen, da anson-sten ein Ladungsaustausch mit dem Flüssigkeitsstrahl erfolgt und eine geringere Ladungsmenge auf dem sich ablösenden Tropfen verbleibt. Hierbei gilt die An-nahme, dass die Zeit für den Ladungstransport/-ausgleich im Vergleich zur Zeit, die sich das zu ladende Flüssigkeitssegment durch die Auadungselektrode be-wegt, klein ist [106].

Zur Bestimmung der Zeitkonstante lässt sich der Zusammenhang τ = R_RC mit dem Widerstand R_R benutzen [105], über den die Kapazität C aufgeladen wird.

Der Widerstand ergibt sich aus dem spezischen elektrischen Leitwert σ_R der Flüssigkeit und dem Radius a und der Länge L des Flüssigkeitsstrahls, der au-ÿerhalb der Auadungselektrode ist. Die Zeitkonstante ergibt sich dann zu

τ = 8/π²·ε₀ε_r/σ_R·(L/a)²/ln (R_au/a) . (2.3) Die bisher gemachten Annahmen über den Prozess der Auadung sollen im Fol-genden experimentell untersucht werden. Aus der Distanz der Auslenkung des ge-ladenen Tropfens nach einer Zeittaufgrund des elektrischen Ablenkfelds lässt sich die Menge der auf den Tropfen übertragenen Ladungen durch eine Vereinfachung

2.3 Auswertung zur Erzeugung einzelner Mikrotropfen 53

der Bewegungsgleichung in xRichtung abschätzen als

¨

mit der Tropfenmasse m und der elektrischen Feldstärke E_{x, abl} zwischen den Ablenkungselektroden.

In Abb. 2.5 sind die experimentellen Messergebnisse für einen Tropfen mit 37,5µm Durchmesser und einer Geschwindigkeit von 26 m s⁻¹ aufgezeigt. Als Flüssigkeit wurde DI Wasser mit einer Dichte von ρ_l = 1000 kg m⁻³ verwen-det. Der Radius der Auadungselektrode betrug R_au = 0,5 mm, der Radius des Flüssigkeitsstrahls⁵ a = 8,4µm, die Länge des Flüssigkeitsstrahls⁶ 0,5 mm und der spezische Leitwert⁷ der Flüssigkeit σ_R = 1,48 mS m⁻¹. Da die Fre-quenz der akustischen Anregung f = 210 kHz (entspricht einer Periode von etwa 4,76µs) betrug, wurde die Dauer der Auadung t bei einer Spannung von U_au = 300 V zwischen 0µs und 4,7µs variiert. Für ein konstantes elektrisches Ablenkungsfeld von E_{x, abl} = 0,4 kV mm⁻¹ werden die jeweiligen Ablenkungen

∆x_abl in den Hochgeschwindigkeitsaufnahmen bestimmt und mittels Gl.(2.4) in die übertragene Ladungsmenge umgerechnet. Ein Fit der Messdaten mit Q(t) = Q_max · 1−e^−t/τ

ermöglicht die Bestimmung der maximal möglichen Ladungsmenge zu Q_max = 1,1×10⁻¹³C und der Zeitkonstante zu τ = 2,8µs. Die maximal mögliche Ladungsmenge Q_Ray = 1,63×10⁻¹²C (bzw. in Elemen-tarladungen n = Q_Ray/e = 1,0×10⁷ mit e = 1,602×10⁻¹⁹C) wurde nicht erreicht. In der Abbildung ist ebenfalls die erwartete Kurve mit den theoretisch nach Gl. (2.1) und (2.3) bestimmten Gröÿen Q_max = 5,1×10⁻¹³C und der Zeitkonstanteτ = 4,3µs gegeben.

5 Es wird angenommen, dass der Flüssigkeitsstrahl nach Verlassen der Düse den gleichen Radius wie die Düse hat.

6 Wie in Kap. 1.4.4 beschrieben, konnten kleinere Zerfallslängen messtechnisch nicht erfasst werden. Die tatsächliche Zerfallslänge kann entsprechend kürzer sein.

7 Durch die Zugabe einer geringen Menge Ammoniak wurde der Leitwert des Wassers erhöht, um eine bessere Kontrollierbarkeit der Tropfenauadung zu gewährleisten. Der gemittelte Leitwert wurde durch Probenentnahmen über einen Zeitraum von zwei Wochen bestimmt, um Schwankungen bei der Messung der Ammoniakkonzentration zu kompensieren. Während der Tropfenerzeugung im Experiment sind jedoch noch weitere Schwankungen zu erwarten, die zum einen durch mögliche Konzentrationsunterschiede aufgrund der Länge des verwen-deten Schlauch- und Anschlusssystems, als auch durch eine hohe Flüchtigkeit des gelösten Ammoniaks verursacht sind.

Abbildung 2.5: Vergleich der auf den Tropfen übertragenen LadungsmengeQals Funktion der Auadungsdauer t. Die experimentellen Messdaten (Kreissymbole) lassen sich mit dem Modell (gestrichelte Linie) nach Gl. (2.4) beschreiben. Die nach Gl. (2.1) und (2.3) theoretisch erwartete Ladungsmenge pro Tropfen (durchgezogene Linie) weicht deutlich vom Experiment ab.

Unter Anbetracht der Reduzierung des Auadungsprozesses auf das Modell eines Zylinderkondensators und die Vereinfachung der Bewegungsgleichung war diese Abweichung zu erwarten. Die Hauptgründe der Abweichung sind die folgenden:

Die Auadungselektrode ist kein ausgedehnter Zylinder, sondern eine dünne Iris, was ein verändertes elektrisches Feld zur Folge hat. Durch die Verdeckung des Flüssigkeitsstrahls durch die Iris konnte sie nicht exakt an der Position des Strahlzerfalls angebracht werden. Sie befand sich, begründet durch die Ergeb-nisse in Abb. 1.14, in einem konstanten Abstand von 1 mm unterhalb der Düse.

Damit kann die tatsächliche elektrische Feldstärke der Auadung kleiner als die gemessene sein. Die elektrische Feldstärke des zeitlich konstanten Ablenkungs-feldes lieÿ sich nicht während des Experiments bestimmen. Entsprechend zuvor bestimmter Reglerstellungen an der Spannungsquelle konnte die Spannung auf etwa 5 % genau eingestellt werden. In der Bewegungsgleichung werden der Ein-uss der Luftreibung, eine initiale Geschwindigkeitskomponente in xRichtung

2.3 Auswertung zur Erzeugung einzelner Mikrotropfen 55 (durch eine vorangegangene Beschleunigung auÿerhalb des Sichtbereiches der Aufnahme) und die sich räumlich ändernde elektrische Feldstärke der Ablenkung vernachlässigt. Die Bestimmung der Zerfallslänge war messtechnisch limitiert.

Die tatsächliche Länge kann kürzer sein und hätte eine kleinere Zeitkonstante der Auadung τ zur Folge. Durch die Flüchtigkeit des zugegebenen Ammoniaks kann sich die tatsächliche Leitfähigkeit der Flüssigkeit sowohl zeitlich als auch räumlich unterscheiden.

Versuche mit drei weiteren Kombinationen aus Tropfengröÿen und -geschwindigkeiten und Auadungsspannungen weisen vergleichbare Abwei-chungen auf, siehe Abb. 2.6. In allen Fällen ist jedoch eine gute Beschreibung der mit der Auadungsdauer exponentiell steigenden Ladungsmenge zu sehen.

Der in Abb. 2.7 dargestellte Überblick zeigt die Abweichungen quantitativ.

Für drei Kombinationen aus Tropfengröÿe und -geschwindigkeit ist ein nahezu linearer Anstieg der maximal übertragenen Ladungsmenge mit der Auadungs-spannung zu sehen. Jedoch liegen die experimentell bestimmten Werte stets unterhalb der theoretisch erwarteten. Insbesondere ist die maximal übertragbare Ladungsmenge für den43µmTropfen kleiner als für den 40µm Tropfen. Ausge-hend von Gl. (2.1) wäre das Gegenteil zu erwarten. Von den zuvor genannten Gründen für die Abweichung ist in diesem Fall die unterschiedliche Tropfenge-schwindigkeit und damit die Position der Tropfenablösung hervorzuheben. Wenn sich die Auadungselektrode nicht genau an der Ablösungsposition bendet, ist das elektrische Feld und damit die übertragene Ladungsmenge geringer. Die theoretisch erwartete maximale Ladung liegt in allen Fällen um einen Faktor zwei bis fünf über der im Experiment bestimmten. Hierbei ist eine Tendenz zu geringer werdenden maximalen Werten mit steigender Auadungsspannung zu beobachten. Möglicherweise kommt es durch die begrenzte Leitfähigkeit der Flüssigkeit zu einer Limitierung der verfügbaren Ladungsmenge in der Spitze des Flüssigkeitsstrahls.

Es bleibt jedoch festzuhalten, dass Gl. (2.1) und (2.3) den Prozess der Auadung im Allgemeinen qualitativ gut beschreiben, jedoch die in der Modellannahme nicht berücksichtigten Faktoren zu einer quantitativen Unterschätzung beider Gröÿen führen.

(a) D= 31µm,U = 30 m s⁻¹

(b)D= 40µm,U = 30 m s⁻¹

(c)D= 43µm,U = 23 m s⁻¹

Abbildung 2.6: Die LadungsmengeQpro Tropfen in Abhängigkeit von der Dauer tund von der Amplitude der AuadungsspannungU_au. Für verschiedene Tropfen-gröÿen und -geschwindigkeiten (siehe Bildunterschrift) lässt sich der Auadungs-prozess mit Gl. (2.4) beschreiben (gestrichelte Linien).

2.3 Auswertung zur Erzeugung einzelner Mikrotropfen 57

(a)

(b)

Abbildung 2.7: (a): Bestimmung der maximalen LadungsmengeQ_max pro Trop-fen (aus Abb. 2.6) als Funktion der AuadungsspannungU_au für drei verschiedene Tropfengröÿen und -geschwindigkeiten. Es zeigt sich ein nahezu linearer Anstieg (gestrichelte Linien). (b): Verhältnis der nach Gl. (2.1) berechneten und der expe-rimentell bestimmten maximalen LadungsmengeQ_max. Die experimentellen Werte liegen unterhalb der theoretischen Erwartung mit einer Tendenz zu abnehmenden maximalen Ladungsmengen mit steigender Auadungsspannung.