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4.4 Polare Winkelverteilung
Da die Messungen bei der Strahlenergie von 1.93 AGeV bei mehreren Laborwinkel durchgef¨uhrt wurden ist es m¨oglich, die Annahme einer isotropen Teilchenemission zu ¨uberpr¨ufen. Eine M¨oglichkeit ist der Vergleich der Lorentz-invarianten Wirkungs-querschnitte, da diese Darstellung, wie bereits erw¨ahnt, vom Laborwinkel unabh¨angig ist, wenn es sich um eine isotrope Emission handelt. Wie man aus Abbildung 4.20se-hen kann, fallen die unter verschiedenen Laborwinkeln gemessenen und dann in dieses System transformierten Daten nicht aufeinander, wie es im Fall einer isotropen Teilche-nemission sein m¨usste. Zu erkennen ist außerdem eine f¨urK+st¨arkere Anisotropie, als f¨urK−. Um die Abweichung von einer isotropen Verteilung quantifizieren zu k¨onnen, wurde die Polarwinkelabh¨angigkeit als Funktion von cos(Θcm) parametrisiert.
Da das untersuchte Stoßsystem Ni+Ni massensymmetrisch ist, m¨ussen hierbei nur gradzahlige Potenzen von cos(Θcm) ber¨ucksichtigt werden. Der invariante Wirkungs-querschnitt kann unter Verwendung von Kugelkoordinaten wie folgt umgeschrieben werden Eine gebr¨auchliche Form um die Polarwinkelabh¨angigkeit zu beschreiben ist hierbei
Polare Winkelverteilung — 10 9
E cm kin [ GeV ] E ⋅ (d 3 σ /dp 3 ) [ barn/(GeV 2 /c 3 ) ]
K +
K
-Θ lab
32 o 40 o 50 o 60 o
10 -5 10 -3 10 -1
1
0 0.2 0.4 0.6
Abbildung 4.20:Invariante Wirkungsquerschnitte der K+ und K− f¨ur alle bei der Strahlenergie von 1.93 AGeV gemessenen Laborwinkel. Zu erkennen ist deutlich die Abweichung von einer isotropen Teilchenemission, da in diesem Fall die Spektren je-weils einer Teilchensorte aufeinander fallen sollten. Ebenfalls zu erkennen ist, dass die Abweichung von einer isotropen Emission f¨ur K+ gr¨oßer ist als f¨ur K−.
dσ
dcos(Θcm) = (1 +a2·cos2(Θcm)) , (4.17) womit sich f¨ur die Gleichung 4.12 f¨ur Kaonen (j=1), bzw 4.13 f¨ur Pionen (j=2)
Ecm
Im folgenden werden zwei verschiedene Methoden besprochen, mit denen die St¨arke der anisotropen polaren Emission, der so genannte Anisotropieparametera2 bestimmt werden kann. Ein negatives a2 bedeutet hierbei eine bevorzugte Emission bei Θcm = 90◦. Ein positiver Wert f¨ura2 bedeutet eine bevorzugte Emission bei Θcm = 0◦ und Θcm = 180◦.
Simultanfit
Bei dieser Methode werden alle Datenpunkte simultan mit einer einzigen Funktion be-schrieben. Hierzu wird die Anpassungsfunktion 4.18 f¨ur jeden gemessen Laborwinkel in das Laborsystem transformiert und simultan an alle gemessenen Spektren angepasst.
Die freien Anpassungsparameter sind dabei der Steigungsparameter T, der Skalie-rungsfaktor C und der Anisotropieparameter a2. F¨ur Pionen sind die Anpassungs-parameter entsprechend T1, T2, C1, C2 und a2. F¨ur Kaonen sind die entsprechenden Anpassungen in Abbildungen 4.4 und 4.5 eingezeichnet. Die sich ergebenden Parame-ter sind in Tabelle 4.9 zu finden. Durch Integration mit Hilfe der AnpassungsparameParame-ter kann der totale Wirkungsquerschnitt wie folgt berechnet werden
σ =
F¨ur Kaonen gilt wieder j=1 bzw. f¨ur Pionen j=2. Unter der Annahme eines impulsun-abh¨angigen Anisotropieparameters kann die Integration ¨uber den polaren und azimu-talen Winkel wieder analytisch durchgef¨uhrt werden
σ = 4π 1 + a2
wohingegen das Integral ¨uber den Impuls wieder numerisch mit einer Simpson-Prozedur bestimmt wird. Bevor in Abschnitt 4.5 die Ergebnisse dieser Methode
Polare Winkelverteilung — 111 diskuttiert werden, wird im folgenden noch die zweite Methode zur Bestimmung der polaren Anisotropie besprochen.
Divisionsmethode
Der Vorteil der obigen Methode ist, dass simultan alle zur Berechnung des totalen Produktionswirkungsquerschnitts ben¨otigten Parameter bestimmt werden. Dem ge-gen¨uber steht allerdings der Nachteil, dass zur Anwendung der Methode eine Funkti-on f¨ur die Polarwinkelabh¨angigkeit angenommen werden muss, die man eigentlich erst bestimmen m¨ochte.
Daher wurde ein zweites Verfahren angewendet, bei dem alle Messwerte mit einer iso-tropen Verteilung verglichen werden. Als isotrope Verteilung wird die in Abschnitt 4.2.2 an die Daten bei Θcm= 90◦±10◦ (Kaonen) bzw. Θcm = 90◦±20◦ (Pionen) be-stimmte Anpassung benutzt. Diese Anpassung ist in Abbildung 4.20als Linie jeweils f¨ur K+ und K− eingezeichnet. Zum Vergleich werden nun alle gemessen Wirkungs-querschnitte mit dem Wirkungsquerschnitt verglichen, der sich bei der entsprechenden kinetischen Energie aus der Anpassungsfunktion ergibt. Dieses Verh¨altnis
R= σinv(Θcm)
σinv(Θ90◦) (4.21)
wird dann als Funktion von cos(Θcm) aufgetragen, wobei Θcm f¨ur jeden Datenpunkt nach Gleichung 4.11 berechnet wird. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.21 f¨ur Kaonen und in Abbildung 4.22 f¨ur Pionen dargestellt. Die ausgef¨ullten Punkte sind die gemes-senen Datenpunkte, wohingegen die offenen Punkte die bei cos(Θcm) = 0gespiegelten Datenpunkte sind. Diese Spiegelung ist aufgrund der Massensymmetrie des Stoßsy-stems m¨oglich. Zur Anpassung von Funktion 4.22 an die Daten wurden allerdings nur die gemessenen Datenpunkte benutzt. In den Abbildung 4.21 und 4.22 ist deutlich ein parabelf¨ormiger Verlauf der Datenpunkte zu sehen, was in guter ¨Ubereinstimmung zur Annahme einer quadratischen Funktion in Abh¨angigkeit von cos(Θcm) ist. Um die St¨arke der Anisotropie zu bestimmen, wird an die Verteilungen eine Funktion der Form
σinv ∼1 +a2cos2(Θcm) (4.22) angepasst. Die daraus bestimmten Parametera2 sind in Tabelle 4.9 zusammen mit den Anpassungsparametern an die Daten bei Θcm = 90±10◦ angegeben. Zum Vergleich sind in dieser Tabelle auch die Anpassungsparameter aus der Simultanfitmethode an-gegeben. Wie man sieht, stimmen die auf verschiedene Art bestimmten Parameter f¨ur a2 und T sehr gut miteinander ¨uberein.
Um zu ¨uberpr¨ufen, ob die Beschr¨ankung auf cos2(Θcm) gerechtfertigt ist oder ob wei-tere Terme zu ber¨ucksichtigen sind, wurden die Verteilungen auch mit der Funktion
0
Abbildung 4.21:Polare Winkelverteilung der K+ und K−-Emission f¨ur inklusive Daten gemessen bei einer Strahlenergie von 1.93AGeV. Die offenen Symbole sind die ancos(Θcm) = 0 gespiegelten Daten. Die Linien sind Anpassungen an die Daten nach Gleichung 4.22.
Abbildung 4.22:Polare Winkelverteilung der π+ und π−-Emission f¨ur inklusive Da-ten gemessen bei einer Strahlenergie von 1.93AGeV. Die offenen Symbole sind die an cos(Θcm) = 0 gespiegelten Daten. Die durchgezogenen Linien sind Anpassungen an die Daten nach Gleichung 4.22, wohingegen die gestrichelten Linien eine Anpassung nach Gleichung 4.23 darstellen.
σinv ∼1 +a2cos2(Θcm) +a4cos4(Θcm) (4.23) angepasst.
Wie man Abbildung 4.22 entnehmen kann ist f¨ur Pionen die ¨Anderung von a2 bei
Polare Winkelverteilung — 113 Hinzunahme einer weiteren Ordnung gering und die Werte von a4 sind mit Null ver-tr¨aglich. Dass die Hinzunahme einer weiteren Ordnung nicht n¨otig ist, sieht man auch an der Tatsache, dass das χ2 pro Freiheitsgrad bei Hinzunahme einer weiteren Ord-nung schlechter wird. Aus diesem Grund wird die Winkelverteilung f¨ur Pionen mit Funktion 4.22 angepasst.
Simultanfit Divisionsmethode
C [barn/(GeV3/c2)] T [MeV] a2 T [MeV] a2
K+ 20±1 112±2 0.90±0.06 108±5 0.89±0.06 K− 3±1 89±2 0.70±0.09 84±4 0.63±0.09
Tabelle 4.9: Anpassungsparameter f¨ur die inklusiven differentiellen Wirkungsquer-schnitte f¨ur K+ und K−. Die linken Spalten zeigen die Ergebnisse der Simultananpas-sung. Rechts sind die inversen Steigungsparameter aus der Anpassung der Spektren bei Θcm= 90±10◦ und der Anisotropieparameter a2 aus der Divisionsmethode gezeigt.
C1 [barn/(GeV3/c2)] T1 [MeV] C2 T2 a2 a4
π+ 285±12 97±1 4066±209 51±1 0.88±0.04 -π− 331±14 93±1 7641±418 46±1 0.93±0.04 -π+ 289±11 97±1 4087±198 50±1 0.77±0.09 0.36±0.28 π− 328±13 93±1 7412±382 46±1 1.02±0.10 -0.29±0.29 Tabelle 4.10: Anpassungsparameter der Simultanfitmethode f¨ur die inklusiven diffe-rentiellen Wirkungsquerschnitte f¨urπ+ und π−. Im oberen Teil sind die Werte gezeigt, die sich durch eine Anpassung der Funktion 4.18 an die Daten ergeben. Im unteren Teil sind die Anpassungsparameter gezeigt, die sich ergeben, wenn man die Polarwin-kelabh¨angigkeit wie in Gleichung 4.23 parametrisiert.
T1 [MeV] T2 [MeV] a2 a4
π+ 96±1 50±1 0.82±0.05 -π− 90±1 44±1 0.89±0.05 -π+ 96±1 50±1 0.73±0.13 0.32±0.41 π− 90±1 44±1 0.93±0.14 -0.14±0.43
Tabelle 4.11: Anpassungsparameter der Divisionsmethode f¨ur die inklusiven diffe-rentiellen Wirkungsquerschnitte f¨urπ+ und π−. Die inversen Steigungsparameter sind aus der Anpassung der Spektren bei Θcm= 90±20◦ bestimmt worden. Im oberen Teil sind die mit der Divisionsmethode bestimmten Werte f¨ur den Anisotropieparametera2
gezeigt. Im unteren Teil sind die Werte f¨ur die Anisotropieparametera2 unda4 gezeigt, die sich bei Anpassung der Funktion. 4.23 an dieselben Daten ergeben.
F¨ur Kaonen sind die ¨Anderungen bei Hinzunahme einer weiteren Ordnung deutlich gr¨oßer und auch das χ2 wird dadurch etwas besser. Demgegen¨uber steht allerdings
die Tatsache, das die Anpassung mit Funktion 4.23 bei großen Werten von |cos Θcm| nicht mehr monoton steigt, sondern abf¨allt, was physikalisch unsinnig ist. Da sich bei einer Anpassung der Kaonendaten mittels der Simultanfitmethode die Werte f¨ur den Steigungsparameter T und den totalen Produktionswirkungsquerschnitt σ nur minimal ¨andern, wird zur Anpassung der Winkelverteilung der Kaonen auch Funktion 4.22 verwendet.