µ V+(v1)
sumV+(G), . . . , V+(vn) sumV+(G)
¶
= ¡
V3+(v1), . . . ,V3+(vn)¢ .
Dieprozentuale Relativ-Verhandlungszentralit¨atV3definieren wir dann durch
V3(G) = V3+(G)− V3−(G).
4.3 Normierung der Nachbarzentralit¨ aten
In den folgenden Abschnitten werden die verschiedenen Normierungen f¨ur die Nachbarschaftszentralit¨aten bestimmt. Dabei betrachten wir f¨ur den Status-Index S, den Hubbell-Index H, die Verhandlungszentralit¨at, den PageRank Rund die Kleinberg-Zentralit¨aten HubsKH und AuthoritiesKAden in (3.1, S. 25) definierten gerichteten Graphen GB. Bei den Standardzentralit¨at B werden die Ergebnisse des in (3.2.3, S. 52) definierten ungerichteten Graphen GB˜ normiert.
▲ Im folgenden werden die Zentralit¨ats-Vektoren als Zeilenvektoren be-trachtet! Die Dezimalzahlen in diesem Abschnitt sind auf drei Stellen gerundet.
¨außere Relativ-Zentralit¨at
Wenn m¨oglich, bestimmen wir hier zu einem Zentralit¨ats-Index Z(G) also zun¨achst sein ¨außeres Maximum,
Zmax(n) = max
G=(V,E)
|V|=n
max
v∈V Z(v)
und kommen so zur ¨außeren Relativ-Zentralit¨at
Z1(G) = Z(G) Zmax(n). innere Relativ-Zentralit¨at
Hier bestimmen wir zu einem Zentralit¨ats-Index Z(G) also zun¨achst sein inneres Maximum,
maxZ(G) = max
i∈{1,...,n}Z(vi) und kommen so zur inneren Relativ-Zentralit¨at
Z2(G) = Z(G) maxZ(G). prozentuale Relativ-Zentralit¨at
In diesem Fall bestimmen wir zu einem Zentralit¨ats-Index Z(G) zun¨achst seine Gesamtzentralit¨at,
sumZ(G) = Xn
i=1
Z(vi) und kommen so zur prozentualen Relativ-Zentralit¨at
Z3(G) = Z(G) sumZ(G).
4.3.1 Status-Index S
Der Status-Index des Graphen GB wurde in (3.2.1) bestimmt, er betr¨agt
S(GB) = µ8
3,0,13 3 ,17
3 ,2,0,2
¶ .
innerer Relativ-Status-Index
Das innere Maximum von S(GB) berechnet sich zu
maxS(GB) = max
Damit ergibt sich f¨ur den inneren Relativ-Status-Index der Vektor
S2(GB) = S(GB)
Die Gesamtzentralit¨at vonS(GB) berechnet sich zu
sumS(GB) =
Damit ergibt sich f¨ur den prozentualen Relativ-Status-Index der Vektor
S3(GB) = S(GB)
Der Hubbell-Index des Graphen GB wurde in (3.2.2) bestimmt, er betr¨agt H(GB) =
Das innere Maximum von H(GB) berechnet sich zu maxH(GB) = max
Damit ergibt sich f¨ur den inneren Relativ-Hubbell-Index der Vektor H2(GB) = H(GB)
prozentualer Relativ-Hubbell-Index
Die Gesamtzentralit¨at vonH(GB) berechnet sich zu
sumH(GB) =
Damit ergibt sich f¨ur den prozentualen Relativ-Hubbell-Index der Vektor
H3(GB) = H(GB)
= (0.155,0.042,0.225,0.282,0.127,0.042,0.127).
4.3.3 Standardzentralit¨ at B
Die Standardzentralit¨at des Graphen GB˜ wurde in (3.2.3) bestimmt, sie be-tr¨agt
B(GB˜) = (0.141,0.141,0.475,0.407,0.391,0.407,0.500).
¨außere Relativ-Standardzentralit¨at
Wir wollen das ¨außere Maximum der Standardzentralit¨atB bestimmen. Da-zu betrachten wir einen ungerichteten, einfachen Graphen G mit Adjazenz-matrix A. Die Standardzentralit¨at B bestimmt sich als Eigenvektor v¯ zum gr¨oßten Eigenwert ¯λ der Gleichung
Av=λv.
¯
v wird dabei jeweils so gew¨ahlt, dass er ausschließlich nichtnegative Ein-tr¨age hat. Um die zu verschiedenen Graphen geh¨orenden Vektoren sinnvoll vergleichen zu k¨onnen, werden wir diese zun¨achst euklidisch, d.h. bzgl. || ||2
normieren.
[21] zeigt, dass der maximal m¨ogliche Eintrag in einem solchen Vektor durch
√1
2 nach oben beschr¨ankt ist. Außerdem wird der Wert √1
2 genau vom Zen-trum eines Sterns angenommen [20], d.h.
Bmax(n) = 1
√2. Daher definieren wir
B1(G) := B(G) Bmax(n)
= B(G)
√1 2
= √
2· B(G) die ¨außere Relativ-Standardzentralit¨at vonG.
Das ¨außere Maximum ist von der Gr¨oße des betrachteten Graphen unabh¨angig, auch f¨ur unseren ungerichteten Beispielgraphen GB˜ mit 7 Knoten berechnet es sich demnach zu
Bmax(7) = 1
√2.
Da der uns vorliegende Standardzentralit¨ats-Vektor bereits euklidisch nor-miert ist, ergibt sich f¨ur die ¨außere Relativ-Standardzentralit¨at der Vektor
B1(GB˜) = B(GB˜) Bmax(7)
= (0.141,0.141,0.475,0.407,0.391,0.407,0.500) 0.707
= (0.199,0.199,0.672,0.576,0.552,0.576,0.707).
innere Relativ-Standardzentralit¨at
Das innere Maximum von B(GB˜) berechnet sich zu
maxB(GB˜) = max
i∈{1,...,n}B(vi)
= max(0.141,0.141,0.475,0.407,0.391,0.407,0.500)
= 0.500.
Damit ergibt sich f¨ur die innere Relativ-Standardzentralit¨at der Vektor
B2(GB˜) = B(GB˜) maxB(GB˜)
= (0.141,0.141,0.475,0.407,0.391,0.407,0.500) 0.500
= (0.282,0.282,0.950,0.814,0.782,0.814,1).
prozentuale Relativ-Standardzentralit¨at Die Gesamtzentralit¨at vonB(GB˜) berechnet sich zu
sumB(GB˜) = Xn
i=1
B(vi)
= X
(0.141,0.141,0.475,0.407,0.391,0.407,0.500)
= 0.141 + 0.141 + 0.475 + 0.407 + 0.391 + 0.407 + 0.500
= 2.462.
Damit ergibt sich f¨ur die prozentuale Relativ-Standardzentralit¨at der Vektor
B3(GB˜) = B(GB˜) sumB(GB˜)
= (0.141,0.141,0.475,0.407,0.391,0.407,0.500) 2.462
= (0.057,0.057,0.193,0.165,0.159,0.165,0.203).
4.3.4 Verhandlungszentralit¨ at V
Die Verhandlungszentralit¨at des Graphen GB wurde in (3.2.4) bestimmt, sie betr¨agt
V(GB) = (−1.143,−1.143,2.857,0,3.102,−0.367,−1.469).
innere Relativ-Verhandlungszentralit¨at
Das innere Maximum von V(GB) berechnet sich in diesem Fall durch das Maximum der Betr¨age der Komponenten (4.2.2) zu
maxV(GB) = max
i∈{1,...,n}|V(vi)|
= max (| −1.143|,| −1.143|,|2.857|,|0|,|3.102|,| −0.367|,| −1.469|)
= 3.102.
Damit ergibt sich f¨ur die innere Relativ-Verhandlungszentralit¨at der Vektor
V2(GB) = V(GB) maxV(GB)
= (−1.143,−1.143,2.857,0,3.102,−0.367,−1.469) 3.102
= (−0.368,−0.368,0.921,0,1,−0.118,−0.474).
prozentuale Relativ-Verhandlungszentralit¨at
Wie in (4.2.3) bereits angek¨undigt, werden wir den Verhandlungszentralit¨ ats-Vektor V(GB) zun¨achst in einen Verlust-Vektor V−(GB) und einen Gewinn-Vektor V+(GB) zerlegen. Wir erhalten
V−(GB) = (−1.143,−1.143,0,0,0,−0.367,−1.469).
und
V+(GB) = (0,0,2.857,0,3.102,0,0).
Daher errechnet sich der Gesamtverlust sumV−(GB) durch
sumV−(GB) = Xn
i=1
V−(vi)
= (−1.143) + (−1.143) + 0 + 0 + 0 + (−0.367) + (−1.469)
= −4.122
sowie der GesamtgewinnsumV+(GB) durch
sumV+(GB) = Xn
i=1
V+(vi)
= 0 + 0 + 2.857 + 0 + 3.102 + 0 + 0
= 5.959.
Die prozentuale Relativ-Verlustzentralit¨at bestimmt sich dann durch V3−(GB) = V−(GB)
sumV−(GB)
= (−1.143,−1.143,0,0,0,−0.367,−1.469)
−4.122
= (0.277,0.277,0,0,0,0.089,0.356).
Entsprechend erhalten wir die prozentuale Relativ-Gewinnzentralit¨at durch V3+(GB) = V+(GB)
sumV+(GB)
= (0,0,2.857,0,3.102,0,0) 5.959
= (0,0,0.479,0,0.521,0,0).
Somit erhalten wir eine prozentuale Relativ-Verhandlungszentralit¨at von V3(GB) = V3+(GB)− V3−(GB)
= (0,0,0.479,0,0.521,0,0)−(0.277,0.277,0,0,0,0.089,0.356)
= (−0.277,−0.277,0.479,0,0.521,−0.089,−0.356).
4.3.5 PageRank R
Der PageRank des Graphen GB wurde in (3.2.5) bestimmt, er betr¨agt
R(GB) = (0.211,0.026,0.330,0.273,0.063,0.026,0.071).
innerer Relativ-PageRank
Das innere Maximum von R(GB) berechnet sich zu
maxR(GB) = max
i∈{1,...,n}R(vi)
= max(0.211,0.026,0.330,0.273,0.063,0.026,0.071)
= 0.330.
Damit ergibt sich f¨ur den inneren Relativ-PageRank der Vektor
R2(GB) = R(GB) maxR(GB)
= (0.211,0.026,0.330,0.273,0.063,0.026,0.071) 0.330
= (0.639,0.079,1,0.827,0.191,0.079,0.215).
prozentualer Relativ-PageRank
Die Gesamtzentralit¨at vonR(GB) berechnet sich zu
sumR(GB) = Xn
i=1
R(vi)
= X
(0.211,0.026,0.330,0.273,0.063,0.026,0.071)
= 0.211 + 0.026 + 0.330 + 0.273 + 0.063 + 0.026 + 0.071
= 1.
Damit ergibt sich f¨ur den prozentualen Relativ-PageRank der Vektor
R3(GB) = R(GB) sumR(GB)
= (0.211,0.026,0.330,0.273,0.063,0.026,0.071) 1
= R(GB).
4.3.6 Authorities K
Aund Hubs K
HAuthorities
Der Authorities-Vektor des GraphenGB wurde in (3.2.6) bestimmt, er lautet
KA(GB) = (0.079,0,0.676,0.442,0.470,0,0.348).
¨außere Relativ-Authorities
Wir wollen das ¨außere Maximum der Authorities KA bestimmen. KA be-stimmt sich als Eigenvektor zum gr¨oßten Eigenwert der Gleichung
ATAv=λv.
1
2
3
4
5
6 7 8
9
Abbildung 4.2: nach innen gerichteter Stern mit 9 Knoten
Um die zu verschiedenen Graphen geh¨orenden Vektoren sinnvoll vergleichen zu k¨onnen, werden wir diese zun¨achst euklidisch, d.h. bzgl. || ||2 normieren.
Der maximale Eintrag eines solchen Vektors ist ganz allgemein durch 1 nach oben beschr¨ankt. Dieser Wert 1 wird vom Zentrum eines nach innen gerich-teten Sterns (Abb. 4.2) angenommen. Daher gilt
KAmax(n) = 1.
Da f¨ur die Authorities KA bereits euklidisch normierte Vektoren gefordert werden, gilt f¨ur die ¨außeren Relativ-Authorities
KA1(GB) := KA(GB)
1 = (0.079,0,0.676,0.442,0.470,0,0.348).
innere Relativ-Authorities
Das innere Maximum von KA(GB) berechnet sich zu
maxKA(GB) = max
i∈{1,...,n}KA(vi)
= max(0.079,0,0.676,0.442,0.470,0,0.348)
= 0.676.
Damit ergibt sich f¨ur die inneren Relativ-Authorities der Vektor
KA2(GB) = KA(GB) maxKA(GB)
= (0.079,0,0.676,0.442,0.470,0,0.348) 0.676
= (0.117,0,1,0.654,0.695,0,0.515).
prozentuale Relativ-Authorities
Die Gesamtzentralit¨at vonKA(GB) berechnet sich zu
sumKA(GB) = Xn
i=1
KA(vi)
= X
(0.079,0,0.676,0.442,0.470,0,0.348)
= 0.079 + 0 + 0.676 + 0.442 + 0.470 + 0 + 0.348
= 2.015.
Damit ergibt sich f¨ur die prozentualen Relativ-Authorities der Vektor
KA3(GB) = KA(GB) sumKA(GB)
= (0.079,0,0.676,0.442,0.470,0,0.348) 2.015
= (0.039,0,0.335,0.219,0.233,0,0.173).
Hubs
Der Hubs-Vektor des Graphen GB wurde in (3.2.6) bestimmt, er lautet
KH(GB) = (0.264,0.264,0.204,0,0.308,0.583,0.620).
¨außere Relativ-Hubs
Wir wollen das ¨außere Maximum der Hubs KH bestimmen. KH bestimmt sich als Eigenvektor zum gr¨oßten Eigenwert der Gleichung
AATv =λv.
Um die zu verschiedenen Graphen geh¨orenden Vektoren sinnvoll vergleichen zu k¨onnen, werden wir diese zun¨achst euklidisch, d.h. bzgl. || ||2 normie-ren. Der maximale Eintrag eines solchen Vektors ist ganz allgemein durch 1 nach oben beschr¨ankt. Dieser Wert 1 wird vom Zentrum eines nach außen gerichteten Sterns (Abb. 4.3) angenommen. Daher gilt
KH max(n) = 1.
1
2
3
4
5
6 7 8
9
Abbildung 4.3: nach außen gerichteter Stern mit 9 Knoten
Da f¨ur die Hubs KH bereits euklidisch normierte Vektoren gefordert werden, gilt f¨ur die ¨außeren Relativ-Hubs
KH1(GB) := KH(GB)
1 = (0.264,0.264,0.204,0,0.308,0.583,0.620).
innere Relativ-Hubs
Das innere Maximum von KH(GB) berechnet sich zu
maxKH(GB) = max
i∈{1,...,n}KH(vi)
= max(0.264,0.264,0.204,0,0.308,0.583,0.620)
= 0.620.
Damit ergibt sich f¨ur die inneren Relativ-Hubs der Vektor
KH2(GB) = KH(GB) maxKH(GB)
= (0.264,0.264,0.204,0,0.308,0.583,0.620) 0.620
= (0.426,0.426,0.329,0,0.497,0.940,1).
prozentuale Relativ-Hubs
Die Gesamtzentralit¨at vonKH(GB) berechnet sich zu
sumKH(GB) = Xn
i=1
KH(vi)
= X
(0.264,0.264,0.204,0,0.308,0.583,0.620)
= 0.264 + 0.264 + 0.204 + 0 + 0.308 + 0.583 + 0.620
= 2.243.
Damit ergibt sich f¨ur die prozentualen Relativ-Hubs der Vektor
KH3(GB) = KH(GB) sumKH(GB)
= (0.264,0.264,0.204,0,0.308,0.583,0.620) 2.243
= (0.118,0.118,0.091,0,0.137,0.260,0.276).