Da die den folgenden Abschnitten behandelten Entfernungszentralit¨aten nur f¨ur ungerichtete Graphen definiert sind, werden wir bei den Beispielen jeweils den in (3.2.3, S. 52) definierten Graphen GB˜ betrachten.
▲ Im folgenden werden die Zentralit¨ats-Vektoren als Zeilenvektoren be-trachtet! Außerdem beinhalten die Gleichheitszeichen in diesem Ab-schnitt numerische Rundungsfehler.
4.4.1 Stresszentralit¨ at ST
Die Stresszentralit¨at des GraphenGB˜ wurde in (3.3.1) bestimmt, sie betr¨agt ST(GB˜) = (0,0,14,3,1,3,4).
innere Relativ-Stresszentralit¨at
Das innere Maximum von ST(GB˜) berechnet sich zu maxST(GB˜) = max
i∈{1,...,n}ST(vi)
= max(0,0,14,3,1,3,4)
= 14.
Damit ergibt sich f¨ur die innere Relativ-Stresszentralit¨at der Vektor ST2(GB˜) = ST(GB˜)
Die Gesamtzentralit¨at vonST(GB˜) berechnet sich zu
sumST(GB˜) =
Damit ergibt sich f¨ur die prozentuale Relativ-Stresszentralit¨at der Vektor ST3(GB˜) = ST(GB˜)
4.4.2 Zwischenzentralit¨ at ZW
Die Zwischenzentralit¨at des Graphen GB˜ wurde in (3.3.2) bestimmt, sie be-tr¨agt
ZW(GB˜) = µ
0,0,91 3,1,1
3,1,11 3
¶ .
¨außere Relativ-Zwischenzentralit¨at
Wir suchen also ein Maß, das den Wert der Zwischenzentralit¨at eines Gra-phen G relativ zum maximal m¨oglichen Wert eines Graphen gleicher Gr¨oße angibt. Zun¨achst ist also das ¨außere Maximum zu berechnen. [10] zeigt, dass dieser maximale WertZWmax(n), den ZW in einem Graphen mitn Knoten annehmen kann, nur von dem Zentrum eines Sterns erreicht wird. Er betr¨agt
ZWmax(n) = n2−3n+ 2
2 .
Daher definieren wir f¨ur einen GraphenG
ZW1(G) := ZW(G) ZWmax(n)
= 2· ZW(G) n2−3n+ 2 die ¨außere Relativ-Zwischenzentralit¨at von G.
Selbstverst¨andlich bewegt sichZW1(vk) im Intervall [0,1]. Nur das Zentrum eines Sterns erreicht hierbei den Wert 1. Der Wert Null wird z.B. von den Knoten eines vollst¨andigen Graphen angenommen.
Das ¨außere Maximum von Graphen mit 7 Knoten, wie unser Beispielgraph GB˜, berechnet sich demnach zu
ZWmax(7) = 72−3·7 + 2 2
= 15.
Damit ergibt sich f¨ur die ¨außere Relativ-Zwischenzentralit¨at vonGB˜ der
Das innere Maximum von ZW(GB˜) berechnet sich zu
maxZW(GB˜) = max
Damit ergibt sich f¨ur die innere Relativ-Zwischenzentralit¨at der Vektor
ZW2(GB˜) = ZW(GB˜)
Die Gesamtzentralit¨at vonZW(GB˜) berechnet sich zu
sumZW(GB˜) =
Damit ergibt sich f¨ur die prozentuale Relativ-Zwischenzentralit¨at der Vektor
ZW3(GB˜) = ZW(GB˜)
4.4.3 Abstandszentralit¨ at AB
Die Abstandszentralit¨at des Graphen GB˜ wurde in (3.3.3) bestimmt, sie be-tr¨agt
¨außere Relativ-Abstandszentralit¨at
Wie in den vorangegangenen Abschnitten ist auch die Abstandszentralit¨at abh¨angig von der Anzahl der Knoten des betrachteten Netzwerks. Um Gra-phen unterschiedlicher Gr¨oße vergleichen zu k¨onnen, wollen wir diesen Ein-fluss daher auch hier eliminieren.
Die in einem Graphen mitnKnoten minimal m¨ogliche Gesamtentfernung eines Knotens zu allen anderen Knoten entspricht dem maximal m¨oglichen Grad eines Knoten, n¨amlich
min
Die maximal erreichbare Abstandszentralit¨at betr¨agt daher ABmax(n) = 1
n−1.
Diese wird genau von den Knoten erreicht, welche zu allen anderen Knoten des Netzwerks adjazent sind. Wir definieren daher f¨ur k= 1, . . . , n
die ¨außere Relativ-Abstandszentralit¨at des Knotens vk.
AB1(vk) bewegt sich im Intervall (0,1] ⊂ [0,1], wobei der Wert 1 genau von den Knoten maximalen Eingangsgrades angenommen wird. Der Wert Null wird nicht angenommen, da, ausgehend von Graphen mit mindestens zwei Knoten, f¨ur den Z¨ahler n − 1 > 0 gilt, und der Nenner wegen der Beschr¨ankung auf zusammenh¨angende Graphen immer <∞ ist.
Das ¨außere Maximum von Graphen mit 7 Knoten, wie unser Beispielgraph GB˜, berechnet sich demnach zu
ABmax(7) = 1 7−1
= 1 6.
Damit ergibt sich f¨ur die ¨außere Relativ-Abstandszentralit¨at der Vektor
Das innere Maximum von AB(GB˜) berechnet sich zu
maxAB(GB˜) = max
Damit ergibt sich f¨ur die innere Relativ-Abstandszentralit¨at der Vektor
AB2(GB˜) = AB(GB˜)
= (0.583,0.583,1,0.778,0.636,0.778,0.875).
prozentuale Relativ-Abstandszentralit¨at
Die Gesamtzentralit¨at vonAB(GB˜) berechnet sich zu
sumAB(GB˜) =
Damit ergibt sich f¨ur die prozentuale Relativ-Abstandszentralit¨at der Vektor
AB3(GB˜) = AB(GB˜)
= (0.111,0.111,0.191,0.149,0.122,0.149,0.167).
4.4.4 Graphenzentralit¨ at GR
Die Graphenzentralit¨at des Graphen GB˜ wurde in (3.3.4) bestimmt, sie be-tr¨agt
¨außere Relativ-Graphenzentralit¨at
Wie in den vorangegangenen Abschnitten ist auch die Graphenzentralit¨at abh¨angig von der Anzahl der Knoten des betrachteten Netzwerks. Um Gra-phen unterschiedlicher Gr¨oße vergleichen zu k¨onnen, wollen wir diesen Ein-fluss daher auch hier eliminieren.
Das ¨außere Maximum der Graphenzentralit¨at bestimmt sich als Inver-ses des minimal m¨oglichen Maximalabstandes. Dieser ist sicherlich bei allen Knoten maximalen Grades gleich 1, da deren Entfernung zu allen Knoten gleich 1 ist, d.h.
GRmax(n) = 1.
Die ¨außere Relativ-Graphenzentralit¨at GR1 entspricht daher der (gew¨ von den Knoten maximalen Grades angenommen wird. Der Wert Null wird nicht angenommen, da in endlichen Graphen der maximale Abstand zu den anderen Knoten immer endlich ist, und das Inverse daher ungleich Null.
Das ¨außere Maximum von Graphen mit 7 Knoten, wie unser Beispielgraph GB˜, berechnet sich demnach zu
GRmax(7) = 1.
Damit ergibt sich f¨ur unseren BeispielgraphGB˜ eine ¨außere Relativ-Graphen-zentralit¨at von
Das innere Maximum von GR(GB˜) berechnet sich zu maxGR(GB˜) = max
Damit ergibt sich f¨ur die innere Relativ-Graphenzentralit¨at der Vektor
Die Gesamtzentralit¨at vonGR(GB˜) berechnet sich zu
sumGR(GB˜) =
Damit ergibt sich f¨ur die prozentuale Relativ-Graphenzentralit¨at der Vektor
GR3(GB˜) = GR(GB˜)
= (0.111,0.111,0.167,0.167,0.111,0.167,0.167).
Zusammenfassung
In Kapitel 3 haben wir verschiedene Ans¨atze zur Definition von Zentralit¨ ats-maßen betrachtet. Dabei gehen wir jeweils aus von einer Problemstellung aus der realen Welt. Die Vorgaben dabei sind eine Menge von Objekten O (z.B. Personen, Webpages) und eine darauf existierende Struktur, die durch Beziehungen zwischen den einzelnen Objekten gegeben ist. Bei diesen Bezie-hungen handelt es sich zum Beispiel um Freundschaften zwischen Personen oder um die Verlinkung von Webpages. Den Objekten wird nun aufgrund ih-rer strukturellen Lage ein sogenanntes Zentralit¨atsmaß zugeordnet. Die H¨ohe des zugeordneten Wertes soll dabei f¨ur etwas stehen wie Beliebtheit, Qualit¨at, Wichtigkeit, usw., kurz Zentralit¨at des bewerteten Objektes.
Um das gegebene Problem l¨osen zu k¨onnen, werden die Grundmengen an Objekten und Beziehungen modelliert durch einen Graph G = (V, E), d.h.
jedes Objekt oi ∈ O wird identifiziert mit einem Knoten vi ∈ V, die Be-ziehungen zwischen den Objekten werden dargestellt durch Kanten e ∈ E, wobei e:= (vi, vj)∈E gdw. “Objekt oi steht in Beziehung zu Objekt oj“.
Unser so entstandenes Graphenmodell kann nun dargestellt werden durch ei-ne Adjazenzmatrix A= (aij)i,j=1,...,n, deren Eintr¨age bestimmt werden durch die Zuordnung
aij = (
1 , falls (vi, vj)∈E
0 , sonst .
Manchmal erweist es sich als sinnvoll, die Intensit¨at einer Beziehung durch die Angabe eines Wertes auszudr¨ucken. Daher wird noch eine Gewichtsfunktion c:E →R+ f¨ur die Bewertung der Kanten vorgesehen.
Unser Graphenmodell wird dann dargestellt durch die gewichtete Adjazenz-matrix W = (wij)i,j=1,...,n, wobei
wij = (
c(vi, vj) , falls (vi, vj)∈E
0 , sonst .
Die Vorgaben aus der realen Welt sind damit vollst¨andig modelliert durch einen Graphen G bzw. die dazugeh¨orende Adjazenzmatrix A (oder W).
Zur Bewertung der Knoten eines Graphen werden zwei verschiedene Ans¨atze betrachtet.
1. Nachbarzentralit¨aten:
Die Bewertung eines Knotens h¨angt ab von seinen Nachbarn und/oder ihrer Bewertung.
Die Bestimmung der Maße erfolgt jeweils ¨uber die L¨osung eines linearen Gleichungssystems oder einer Eigenwertgleichung.
2. Entfernungszentralit¨aten:
Die Bewertung eines Knotens h¨angt ab von seiner Entfernung zu den anderen Knoten.
Die Bestimmung der Maße erfolgt ¨uber verschiedene Graphenalgorith-men, wobei jeweils die Bestimmung der Menge der k¨urzesten Wege eines Graphen hilfreich sein kann.
Die so bestimmten Werte sind auch von der Gr¨oße des betrachteten Gra-phen abh¨angig. Daher ist es nicht sinnvoll m¨oglich, Graphen unterschiedlicher Gr¨oße untereinander zu vergleichen. In Kapitel 4 werden drei verschiedene Ans¨atze aufgezeigt, um diese Abh¨angigkeit zu eliminieren.
1. ¨außere Relativ-Zentralit¨at:
Das ¨außere Maximum, d.h. der maximal erreichbare Zentralit¨atswert in einem Graphen gleicher Gr¨oße wird bestimmt. Die tats¨achlich erreich-ten Werte werden dazu in Relation gestellt.
Es stellt sich heraus, dass die Bestimmung des ¨außeren Maximums nicht f¨ur alle Zentralit¨atsmaße m¨oglich ist.
2. innere Relativ-Zentralit¨at:
Die berechneten Werte werden durch das innere Maximum, d.h. den im betrachteten Graphen maximal erreichten Zentralit¨atswert geteilt.
Da bei der Verhandlungszentralit¨at V (3.2.4) negative Werte auftre-ten k¨onnen, wird das innere Maximum ¨uber die Betr¨age der erreichten Werte bestimmt.
3. prozentuale Relativ-Zentralit¨at:
Der Zentralit¨atsvektor wird durch die Gesamtzentralit¨at, d.h. die Sum-me seiner Komponenten dividiert.
Da bei der Verhandlungszentralit¨atV (3.2.4) negative Werte auftreten k¨onnen, wird der Zentralit¨atsvektor f¨ur die Normierung in Gewinn- und Verlust-Vektor zerlegt.
Damit stehen uns vielf¨altige M¨oglichkeiten zur Auswahl und Bestimmung von Zentralit¨atsmaßen in Graphen zur Verf¨ugung. Die Beispiele zeigen, dass die Auswertung von Graphen durch unterschiedliche Maße zu verschiedenen Ergebnissen f¨uhren kann (s.a. Anhang A). Dies macht die passende Auswahl eines Maßes notwendig. Die Kriterien hierf¨ur sind nicht mathematischer Na-tur.
Beispielgraph G C
In den Kapiteln 3 und 4 wurden die vorgestellten Zentralit¨atsmaße anhand von Beispielgraphen ausgewertet. Da einige der Maße f¨ur gerichtete, andere lediglich f¨ur ungerichtete Graphen geeignet sind, wurden dabei zwei unter-schiedliche Graphen betrachtet. Zum einen der gerichtete Graph GB, zum anderen der ungerichtete Graph GB˜. Ein direkter Vergleich der Zentralit¨ ats-werte dieser beiden Graphen ist wenig sinnvoll. Daher werden wir hier s¨ amt-liche vorgestellten normierten Zentralit¨atsmaße f¨ur einen ausgew¨ahlten un-gerichteten Graphen bestimmen und visualisieren.
Im folgenden betrachten wir den durch die Adjazenzmatrix C dargestellten Graph GC.
Abb. A.1 zeigt eine Einbettung des resultierenden Graphen.
1 2
3
4
5 6
7 8
9
10 11
Abbildung A.1: Beispielgraph GC
Nachfolgend werden f¨ur GC zu jedem der Zentralit¨atsmaße die normierten Vektoren, d.h. ¨außere Relativ-Zentralit¨atZ1(GC), innere Relativ-Zentralit¨at Z2(GC) und prozentuale Relativzentralit¨atZ3(GC) angegeben und in einem Diagramm dargestellt. Die Bestimmung der Zentralit¨atswerte erfolgte, wenn m¨oglich, mit Visone(www.visone.de).
Bemerkung: Der Graph GC ist der kleinste bekannte Graph, der auf vier unterschiedlichen Knoten die Maximalwerte der vier Zentralit¨atsmaße Popu-larit¨atsindex, Standardzentralit¨at, Zwischenzentralit¨at und Abstandszentra-lit¨at annimmt.
An der Vielf¨altigkeit der aufgef¨uhrten Zentralit¨atsmaße und ihrer Ergebnisse bei der Auswertung von Beispielgraphen erkennen wir, dass die sorgf¨altige Auswahl des zu einer Situation aus der realen Welt passenden Zentralit¨ ats-maßes wesentlich f¨ur die Aussagekraft des Bewertungsergebnisses ist.
(3.1) Popularit¨atsindex P:
P1(GC) = (0.1,0.1,0.3,0.3,0.3,0.3,0.3,0.3,0.4,0.1,0.1)
P2(GC) = (0.25,0.25,0.75,0.75,0.5,0.75,0.75,0.5,1,0.25,0.25)
P3(GC) = (0.042,0.042,0.125,0.125,0.083,0.125,0.125,0.083,0.167,0.042,0.042)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
P1(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
P2(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
P3(GC)
Die folgende Abb. A.2 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
10 11
5
8 7
3
6 4
9
Abbildung A.2: Popularit¨atsindex am Beispielgraph GC
(3.2.1)Status-Index S:
Die folgende Abb. A.3 zeigt eine Einbettung des BeispielgraphenGC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
Abbildung A.3: Status-Index am Beispielgraph GC
(3.2.2) Hubbell-Index H (woW := 14A, q:=1):
Die folgende Abb. A.4 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
Abbildung A.4: Hubbell-Index am Beispielgraph GC
(3.2.3)Standardzentralit¨at B:
B1(GC) = (0.114,0.114,0.252,0.551,0.400,0.564,0.682,0.501,0.543,0.244,0.244) B2(GC) = (0.167,0.167,0.370,0.809,0.586,0.827,1,0.735,0.796,0.358,0.358) B3(GC) = (0.027,0.027,0.060,0.131,0.095,0.134,0.162,0.119,0.129,0.058,0.058)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
B1(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
B2(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
B3(GC)
Die folgende Abb. A.5 zeigt eine Einbettung des BeispielgraphenGC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
10 11
3
5
8
9 4
6
7
Abbildung A.5: Standardzentralit¨at am Beispielgraph GC
(3.2.4) Verhandlungszentralit¨at V:
Auf eine Darstellung des Beispielgraphen GC mit gr¨oßenver¨anderten Knoten wie bei den anderen Zentralit¨atsmaßen, wird hier, aufgrund der negativen Bewertung einzelner Knoten, verzichtet.
(3.2.5)PageRank P:
Die folgende Abb. A.6 zeigt eine Einbettung des BeispielgraphenGC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
11
Abbildung A.6: PageRank am Beispielgraph GC
(3.2.6) Authorities KA:
KA1(GC) = (0.071,0.071,0.204,0.342,0.325,0.455,0.425,0.313,0.440,0.153,0.153) KA2(GC) = (0.156,0.156,0.448,0.753,0.714,1,0.935,0.688,0.968,0.338,0.338) KA3(GC) = (0.024,0.024,0.069,0.116,0.110,0.154,0.144,0.106,0.149,0.052,0.052)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KA1(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KA2(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KA3(GC)
Die folgende Abb. A.7 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
10 11
3
8 5
4
7
9 6
Abbildung A.7: Authorities am Beispielgraph GC
(3.2.6)Hubs KH:
KH1(GC) = (0.077,0.077,0.187,0.378,0.294,0.413,0.467,0.342,0.401,0.169,0.169) KH2(GC) = (0.166,0.166,0.401,0.809,0.631,0.881,1,0.732,0.860,0.363,0.363) KH3(GC) = (0.026,0.026,0.063,0.127,0.099,0.139,0.157,0.115,0.135,0.057,0.057)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KH1(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KH2(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
KH3(GC)
Die folgende Abb. A.8 zeigt eine Einbettung des BeispielgraphenGC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
10 11
3
5
8 4
9 6
7
Abbildung A.8: Hubs am Beispielgraph GC
(3.3.1) Stresszentralit¨at ST:
Die folgende Abb. A.9 zeigt eine Einbettung des Beispielgraphen GC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
Abbildung A.9: Stresszentralit¨at am Beispielgraph GC
(3.3.2)Zwischenzentralit¨at ZW:
ZW1(GC) = (0,0,0.378,0.486,0.134,0.337,0.304,0.123,0.397,0,0) ZW2(GC) = (0,0,0.778,1,0.276,0.693,0.627,0.253,0.818,0,0) ZW3(GC) = (0,0,0.175,0.225,0.062,0.156,0.141,0.057,0.184,0,0)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
ZW1(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
ZW2(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
ZW3(GC)
Die folgende Abb. A.10 zeigt eine Einbettung des BeispielgraphenGC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
10 11
8 5
7 6 3
9 4
Abbildung A.10: Zwischenzentralit¨at am Beispielgraph GC
(3.3.3) Abstandszentralit¨at AB:
AB1(GC) = (0.279,0.279,0.370,0.458,0.437,0.479,0.458,0.416,0.400,0.295,0.295) AB2(GC) = (0.583,0.583,0.774,0.957,0.913,1,0.957,0.870,0.835,0.617,0.617) AB3(GC) = (0.067,0.067,0.089,0.11,0.105,0.115,0.11,0.1,0.096,0.071,0.071)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
AB1(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
AB2(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
AB3(GC)
Die folgende Abb. A.11 zeigt eine Einbettung des BeispielgraphenGC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
10 11
3
9 8 5
4
7 6
Abbildung A.11: Abstandszentralit¨at am Beispielgraph GC
(3.3.4)Graphenzentralit¨at GR:
GR1(GC) = (0.167,0.167,0.200,0.250,0.333,0.333,0.250,0.250,0.200,0.167,0.167) GR2(GC) = (0.5,0.5,0.604,0.754,1,1,0.754,0.754,0.604,0.5,0.5)
GR3(GC) = (0.067,0.067,0.081,0.101,0.134,0.134,0.101,0.101,0.081,0.067,0.067)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
GR1(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
GR2(GC)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11
GR3(GC)
Die folgende Abb. A.12 zeigt eine Einbettung des BeispielgraphenGC, wobei die Gr¨oße der Knoten die H¨ohe ihrer Bewertung widerspiegelt.
1 2
10 11
9 3
4
7 8
5 6
Abbildung A.12: Graphenzentralit¨at am Beispielgraph GC
Grundlagen
Definition B.1. Mit 0 := (0, . . . ,0)T bezeichnen wir den Nullvektor, mit 1:= (1, . . . ,1)T den mit Einsen gef¨ullten Spaltenvektor jeweils passender Di-mension. MitI bezeichnen wir die Einheitsmatrixmit jeweils zum Kontext passender Gr¨oße, d.h.
Iij :=
(1 , falls i=j 0 , sonst .
Definition B.2. Sei A = (aij) ∈ Rn×n eine quadratische, reellwertige Ma-trix,x= (x1, . . . , xn)ein reellwertiger Vektor der Dimensionn. Das Matrix-Vektor-Produkt Ax=y= (y1, . . . , yn) ist definiert durch
(Ax)r =yr = Xn k=1
arkxk f¨ur alle r∈ {1, . . . , n}.
Definition B.3. Seien A = (aij), B = (bij) ∈ Rn×n quadratische, reellwer-tige Matrizen. Das Matrix-Produkt A·B = AB = C = (cij) ist definiert durch
cij = Xn k=1
aikbkj f¨ur alle i, j ∈ {1, . . . , n}.
Definition B.4. SeiAeine quadratische Matrix mit reellwertigen Eintr¨agen.
Mit Al bezeichnen wir die l−te Potenz von A, d.h.
Al :=A| · · · · ·{z A}
l-mal
. Mit (Al)ij bezeichnen wir ihre Eintr¨age.
Allgemein definieren wir A0 :=I.
Satz B.5. Seien A = (aij), B = (bij) ∈ Rn×n quadratische, reellwertige Matrizen. Dann gilt
(AB)T =BTAT. Beweis: siehe [9]
■
Definition B.6. Sei {x1, . . . ,xk} ⊂Rn. Dann heißt
span(x1, . . . ,xn) :={y∈Rn:y=c1x1+· · ·+ckxk, ci ∈R}
der von {x1, . . . ,xk} aufgespannte Raum.
Definition B.7. Eine Menge von Vektoren {x1, . . . ,xp} ⊂Rn heißt linear unabh¨angig, wenn f¨ur alle λ1, . . . , λp ∈R gilt
Xp i=1
λixi =0⇒λ1 =· · ·=λp = 0.
Definition B.8. Eine Menge {x1, . . . ,xn} ⊂Rn von n linear unabh¨angigen Vektoren heißt Basis des Rn.
Satz B.9. Sei {x1, . . . ,xn} ⊂Rn eine Basis des Rn. Dann gilt span(x1, . . . ,xn) =Rn.
Beweis: siehe [9]
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Definition B.10. Eine Abbildung(., .) :Rn×Rn →Rmit den Eigenschaften
(S1) (x,x) ≥ 0 (Positivit¨at)
(S2) (x,x) = 0 ⇔ x=0 (Definitheit)
(S3) (x,y) = (y,x) (Symmetrie)
(S4) (αx+βy,z) = α(x,z) +β(y,z) (Linearit¨at)
f¨ur alle x,y,z∈Rn und alle α, β ∈R heißt Skalarprodukt auf Rn.
Definition B.11. Seien x= (x1, . . . , xn),y= (y1, . . . , yn)∈Rn. Dann heißt
<x,y> = Pn i=1
xiyi
= xTy
das Standardskalarprodukt des Rn.
Definition B.12. Eine Menge von Vektoren {x1, . . . ,xp} ⊂ Rn heißt or-thonormal, falls gilt:
<xi,xj> = 0 f¨ur alle i6=j und <xi,xi> = 1 f¨ur alle i
Definition B.13. Eine Basis {x1, . . . ,xn} ⊂Rn aus orthonormalen Vekto-ren heißt Orthonormalbasis des Rn.
Definition B.14. Seien A = (aij) ∈ Rn×n, eine Konstante λ ∈ R und ein vom Nullvektor verschiedener Vektor x∈Rn gegeben. Eine Gleichung
Ax=λx
heißt Eigenwertgleichung. x ist dann Eigenvektor von A zum Eigen-wert λ.
Satz B.15. Sei A ∈ Rn×n. Ist A symmetrisch, so existiert eine Menge von Eigenvektoren {x1, . . . ,xn} von A, die eine Orthonormalbasis des Rn bilden.
Beweis: siehe [9]
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Definition B.16. Eine Abbildung k k : Rn→R mit den Eigenschaften (N1) kxk ≥ 0 (Positivit¨at)
(N2) kxk = 0 ⇔ x= 0 (Definitheit) (N3) kγxk = |γ|kxk (Homogenit¨at)
(N4) kx+yk ≤ kxk+kyk (Dreiecksungleichung) f¨ur alle x,y∈Rn und alle γ ∈R heißt Norm auf Rn.
Definition B.17. Die euklidische Norm eines Vektors x = (x1, . . . , xn) ist definiert durch
kxk2 = vu utXn
i=1
(xi)2.
Definition B.18. Sei A ∈ Rn×n gegeben. Die von einer Vektornorm k k induzierte Matrixnorm ist definiert durch
kAk∗ : = sup
x6=0
kAxk kxk
= sup
kxk=1
kAxk.
Definition B.19. Zu einer Matrix A ist die euklidische Matrixnorm daher gegeben durch
kAk∗2 = sup
kwk2=1
kAxk2
= sup
kwk2=1
vu utXn
i=1
((Ax)i)2.
Satz B.20. Seien A, B ∈Rn×n. Dann gilt kABk∗ ≤ kAk∗kBk∗. Beweis: siehe [19]
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Satz B.21. Sei A∈Rn×n, λmax der gr¨oßte Eigenwert von A. Dann gibt es einen positiven Wert ² ∈ R+ und eine Norm k k² auf Rn so, dass f¨ur die induzierte Matrixnorm gilt:
λmax ≤ kAk∗² ≤λmax+² Beweis: siehe [19]
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Definition B.22. Zwei Normen k ka und k kb heißen ¨aquivalent, wenn positive Zahlen c und C existieren, so dass
ckxka≤ kxkb ≤Ckxka f¨ur alle x∈Rn.
Satz B.23. Im Rn sind alle Normen ¨aquivalent.
Beweis: siehe [19]
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