Niederdimensionale Halbleiterstrukturen

Die Bewegung eines freien Elektrons der Massem0 wird durch die Schr ¨odinger-gleichung

− ^h¯

2

2m₀∇²ψ_~k =E(~_k)ψ_~k (4.1) beschrieben. Die L ¨osungen von Gl. 4.1 sind ebene Wellen der Form ψ_~k(~r) =

√1

L³e^i~k·~r mit der Energie

E(~_k) = ^¯h

2

2m0

(k²_x+k²_y+k²_z). (4.2)

ψ_~k(~_r) = √¹

Die funktionale Abh¨angigkeit der EnergieeigenwerteE~_k = E(~_k)wird als Disper-sionsrelation und die graphische AuftragungE = f(~_k)als Bandstruktur bezeich-net. Der Punkt~_k = 0 wirdΓ-Punktgenannt. Die Abh¨angigkeit der Teilchenener-gie vom Wellenzahlvektor unterscheidet sich meist erheblich von der freier Elek-tronen (Gl.4.2). Oft kann man aber an den Extremalpunkten in der Bandstruktur eine parabolische N¨aherung der Dispersion vornehmen, und man erh¨alt ad¨aquat zu Gl.4.2

E(~_k) = ^¯h

2k²

2m^∗, (4.5)

wobei die Masse des freien Elektrons durch die effektive Masse des Elektrons im Kristall m^∗ ersetzt wurde. Die effektive Masse ist sozusagen der Anpassungspa-rameter der Energieparabel an den realen Bandverlauf. Durch einen Analogie-schluss bei Betrachtung der Bewegungsgleichung(en) eines Elektrons kann man zeigen, dass allgemein gilt:

In Halbleitern wie GaAs (Zinkblendestruktur) ist das Valenzband dreifach auf-gespalten in ein Band schwerer L ¨ocher (engl. heavy holes, hh), ein Band leich-ter L ¨ocher (light holes, lh) sowie ein Split-off-Band. Die Unterteilung in schwere und leichte L ¨ocher r ¨uhrt von der unterschiedlichen Kr ¨ummung der B¨ander her (vgl. Gl. 4.6). In kubischen Materialien sind leichte und schwere L ¨ocher am Γ -Punkt entartet, wohingegen dasSplit-off-Band durch die Spin-Bahn-Aufspaltung um einen Energiebetrag∆_soabgesenkt ist.

Die Beschr¨ankung der Bewegungsfreiheit der Elektronen im Kristall in ein, zwei oder drei Dimensionen durch entsprechende Potenzialbarrieren f ¨uhrt zu neu-en Quantisierungseigneu-enschaftneu-en der Elektronneu-en. Je nach Anzahl der verbleibneu-en- verbleiben-den Freiheitsgrade unterscheidet man Quantenfilme (engl. quantum well, QW,

1F ¨ur die Bewegung von L ¨ochern gelten die gleichen Beziehungen, nur dass die Masse me

durchmhund die Ladungqedurchqh=−qeersetzt werden muss.

2-dimensional), Quantendr¨ahte (engl. quantum wire, QWR, 1-dimensional) und Quantenpunkte (engl.quantum dot, QD, 0-dimensional).

Niederdimensionale Systeme k ¨onnen mit Hilfe von Halbleitermaterialien unter-schiedlicher Bandl ¨ucke realisiert werden. Ein Quantenfilm entsteht dadurch, dass in einer Heterostruktur ein schmall ¨uckiger Halbleiter zwischen zwei breitl ¨ucki-gen eingebaut ist: HL1–HL2–HL1 mit Eg1 > Eg2. Solche Strukturen wurden zu-erst von Dingle et al. realisiert [54]. Um eine Quantisierung zu erreichen, muss die DickeLzdes Quantenfilms in der Gr ¨oßenordnung der de Broglie-Wellenl¨ange der Ladungstr¨ager liegen. Zweidimensionale Ladungstr¨agersysteme k ¨onnen sich aber auch an der Grenzfl¨ache zweier verschiedener Halbleiter ausbilden (sog. In-versionsschichten mit asymmetrischem, dreieckigem Potenzial).

Zur Herstellung von Quantendr¨ahten des Materialsystems GaAs/(Al,Ga)As be-dient man sich oft der Technologie des ¨Uberwachsens von strukturierten Sub-straten mit Quantenfilmen. Zum Beispiel entsteht im Scheitel eines V-f ¨ormigen Grabens eine Verdickung des Quantenfilms auf Grund der langsameren Wachs-tumsgeschwindigkeit an den Seitenfl¨achen [55]. Eine weitere M ¨oglichkeit ist das Wachsen des Quantenfilms ¨uber in das Substrat ge¨atzte Stufen, wobei auch hier Unterschiede in der Wachstumsgeschwindigkeit ausgenutzt werden [6]. In Ab-schnitt 4.3 wird auf die Einzelheiten dieser speziellen Variante eingegangen, da entsprechende Systeme im Rahmen dieser Arbeit untersucht wurden.

Quantenpunkte k ¨onnen in epitaktischen Schichten entstehen, wenn die Verspan-nung des Materials zu einem 3-dimensionalen Inselwachstum f ¨uhrt, dem Stranski-Krastanov-Modus [56]. Die entstehenden pyramidalen Strukturen bil-den ein quasi 3-dimensionales Einschlusspotenzial f ¨ur die Elektronen. Auch Wachstumsinseln in Quantenfilmen k ¨onnen als Quantenpunkte angesehen wer-den, wenn ihr Einschlusspotenzial hoch genug ist.

Bei der Berechnung der Wellenfunktionen in Heterostrukturen wird in den mei-sten F¨allen von der Methode der Effektivmassenn¨aherung Gebrauch gemacht.

Darunter ist zu verstehen, dass nur die Zust¨ande im Minimum des Leitungs-oder Maximum des Valenzbandes betrachtet werden. Die effektive Masse, die die Ladungstr¨ager in diesen Extremalpunkten nach Gl. 4.6besitzen, wird damit in dem jeweiligen Halbleitermaterial als konstant angenommen. Mit den jeweili-gen Leitungs- und Valenzbandkanten wird der Potenzialverlauf in der Struktur gekennzeichnet.

Definiertzdie Richtung der Quantisierung in einem Quantenfilm, so hat die Wel-lenfunktion des Elektrons die Form

ψ_~^2D

k,nz(~r) = _p ¹ LxLy

e^ikxxe^ikyyφ_nz(z)u~_k(~r). (4.7) Der abseparierte Anteil φ_nz(z) (Enveloppenfunktion) stellt eine stehende Welle zwischen den Potenzialbarrieren mit einem diskreten Energiespektrum dar:

E^2D_nz (kx,ky) = ^¯h

2(k²_x+k²_y)

2m^∗ +Enz. (4.8)

ψ^0D_n

x,n_y,n_z(~r) = η_nx(x)χ_ny(y)φ_nz(z), E^0D_nx,ny,nz = Enx +Eny +Enz.

(4.10) Bei Quantenpunkten liegt anstelle von Subb¨andern ein Spektrum von diskreten Energieniveaus vor (

’k ¨unstliches Atom‘).

Die Quantisierungsenergien lassen sich f ¨ur den einfachen Fall eines rechtecki-gen Potenzialverlaufs mit unendlich hohen Barrieren (Randbedingunrechtecki-gen: ψ ≡ 0;ψ⁰ ≡0) wie folgt angeben:

En_i = ^π

2¯h²

2m^∗L²_in²_i , i =x,y,z. (4.11) Der reale Fall endlich hoher Potenzialbarrieren hat zur Folge, dass sich die Wel-lenfunktionen in die Barriere hinein erstrecken. Die Berechnung der Energienive-aus wird demnach auch abh¨angig von den Materialeigenschaften der Barriere (z.

B. von der effektiven Masse, die die Elektronen darin besitzen). Im Realfall sind die EnergienEn_i geringer als durch Gl.4.11beschrieben.

4.1.2 Exzitonen

Die Anregung eines Elektrons aus dem Valenzband eines Halbleiters in das Lei-tungsband l¨asst ein Defektelektron oder kurz Loch im Valenzband zur ¨uck. Da das Loch eine positive Ladung tr¨agt, unterliegen beide einer attraktiven Wech-selwirkung. In diesem attraktiven Potenzial k ¨onnen sich gebundene Zust¨ande bilden. Derartige Zust¨ande werden Exzitonen genannt².

Die Beschreibung eines Exzitons kann in Analogie mit dem quantenmechani-schen Problem des Wasserstoffatoms erfolgen. Die Schr ¨odingergleichung zur Be-schreibung der Bindungszust¨ande, ber ¨ucksichtigt, dass sich das Exziton im Festk ¨orper mit einer gewissen Dielek-trizit¨atskonstante_b und einer Bandl ¨ucke Eg befindet.~_R bezeichnet die Relativ-koordinate, m_eh ist die reduzierte effektive Masse des Elektron-Loch-Paares. In

2Grundlegende Arbeiten zur Elektron-Loch-Wechselwirkung wurden von Frenkel [57] und Peierls [58] geleistet. Der BegriffExzitonwurde von Frenkel 1936 gepr¨agt [59].

Analogie zum Wasserstoffatom findet man die Energieeigenwerte wer-den. Je nach Gr ¨oße des Exzitonenradius unterscheidet man Frenkel-Exzitonen, deren Ausdehnung kleiner ist als die Gitterkonstante, und Wannier-Mott-Exzitonen, die sich ¨uber mehrere Gitterkonstanten erstrecken. Frenkel-Exzitonen werden z. B. bei angeregten Zust¨ande im Ionenkristall gebildet. Dagegen sind Wannier-Mott-Exzitonen eine typische Erscheinung in Halbleitern. In GaAs mit _b =13, 2, Masse des Elektrons amΓ-Punktme = 0, 067m₀ und Masse des Lochs m_hh = 0, 5m0sind R_eh ≈ 5 meV,a_eh ≈ 10 nm. Wegen ihrer geringen Bindungs-energie sind Exzitonen in GaAs nur bei tiefen Temperaturen nachweisbar. Das

¨andert sich jedoch drastisch f ¨ur den Fall niederdimensionaler Systeme. Zum Bei-spiel ist der Grundzustand f ¨ur den Fall eines

’zweidimensionalen Wasserstof-fatoms‘auf Grund E^2D_n = Eg− R_eh/(n−¹₂)² um Faktor 4 gr ¨oßer (n = 1); der Bohrradius ista^2D_B =_{0, 5}×a^3D_B .

F ¨ur Exzitonen in einem Quantenfilm kann man zeigen [60], dass die L ¨osungen der Gl.4.12einen exponentiellen Anteilψ∼exp(−|^pρ²+ (ze−z_h)²|)besitzen, wobeiρund(ze−z_h)den Abstand zwischen Elektron und Loch in der Filmebene bzw. senkrecht dazu darstellen. Dadurch sind die Energieeigenwerte exponenti-ell abh¨angig von der Ausdehnung des Exzitons in z-Richtung bzw. der Dicke Lz des Quantenfilms. F ¨ur den Fall eines vollst¨andigen Confinements (unendlich hohe Potenzialbarrieren), bei dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Exzi-tons ausschließlich auf den Quantenfilm begrenzt ist, ist die Bindungsenergie im Grundzustand f ¨ur Lz → ₀ E^2D₁ = ₄× R^3D_eh und f¨allt f ¨ur Lz → _∞ exponentiell auf den Wert des Quantenfilmmaterials E₁ = R^3D_eh . In der Realit¨at sind die Po-tenzialbarrieren jedoch nur endlich hoch, und die Wellenfunktionen dringen in die Barriere ein. Die Grundzustandsenergie besitzt ein Maximum, bevor es f ¨ur Lz → 0 auf den Wert E₁ = (R^3D_eh )_barr des Barrierenmaterials abf¨allt: das Exziton wird ’in die Barriere gedr ¨uckt‘. In Abb.4.1 ist der Verlauf der Grundzustands-energie f ¨ur den Fall eines (Al,Ga)As/GaAs-Quantenfilms mit einem Al-Gehalt von 30% dargestellt.