4.4 Ergebnisse und Diskussion
7.1.2 Manipulation mit optischer Pinzette
Zur Wiederholung sind in Abb. 7.1 die Ergebnisse f¨ur den Kompressions- und Scher-modul aus Kapitel 4 und 5 gemeinsam dargestellt.
Abbildung 7.1: Dargestellt sind die Ergebnisse f¨ur den Scher- und Kompressionsmodul aus den lokalen Deformationsmessungen. Zum Vergleich sind das lineare Verhalten dieser Gr¨oßen nach der idealen Gitter-Theorie und der lineare Fit der experimentellen Daten abgebildet. Γ−m1 = 1/60 markiert den Schmelzpunkt.
Ein linearer Fit wurde f¨ur niedrige Temperaturen (Γ ≥ 100) durchgef¨uhrt, da das ideale Gitter-Modell in der N¨ahe des Schmelzpunktes seine G¨ultigkeit verliert. F¨ur die
7.2. 2D SCHMELZSZENARIO 57 Moduln ergab sich
(K+µ)· a2
kBT = (3.21±0.22)·Γ µ· a2
kBT = (0.27±0.02)·Γ. (7.2) Diese Werte liegen in der N¨ahe der theoretisch vorhergesagten von 3.81·Γ und 0.346·Γ.
Die Steigungen sind ungef¨ahr 16% und 22% kleiner als die Steigungen im idealen Gitter-Modell. Abweichungen der experimentellen Werte bei h¨oheren Temperaturen insbesondere des Kompressionsmoduls sind durch die N¨ahe zum Schmelzpunkt wie erwartet vorhanden.
7.2 2D Schmelzszenario
Die Schmelztheorie zweidimensionaler Systeme und die quantitativen Zusammenh¨ange der elastischen Eigenschaften, die f¨ur diese Arbeit wichtig sind, sind in Abschnitt 2.2.1 beschrieben. Im Folgenden wird in erster Linie das Verhalten der Kopplungskonstanten K, die aus den elastischen Moduln gebildet wird, untersucht. Daraus resultieren die Schmelztemperatur Γm und die Entstehungsenergie EC der Dislokationen.
7.2.1 Volumenfluktuationen
Die in Kapitel 6 vorgestellte Messmethode basiert auf den fluktuierenden Verzerrun-gen eines Kristalls, der frei von Fehlstellen ist. Diese VerzerrunVerzerrun-gen werden aus den Verschiebungen berechnet. In der N¨ahe des Schmelzpunktes entstehen aber Disloka-tionspaare, die wesentlich h¨ohere Diffusionskonstanten haben als einzelne Partikel im Gitterpotential, so dass die Verschiebungen stark zunehmen. Dies f¨uhrt zu unrealisti-schen elastiunrealisti-schen Konstanten. Aus diesem Grund ist diese Methode zur Bestimmung der Moduln in der N¨ahe des Schmelzpunktes ungeeignet. Ungef¨ahr ab Γ ≥ 70 ist die Zahl der Fehlstellen so gering, dass die Auswertung der Fluktuationen sinnvoll ist, wie im Abschnitt 7.1.1 gezeigt wurde.
Der Vergleich der Methode mit der KTHNY-Theorie, die in der N¨ahe des Schmelz-punktes g¨ultig ist, ist damit nicht sinnvoll, da diese Theorie durch die Renormierung der Systemenergie auf der Existenz der Dislokationen basiert. Eine Aussage soll hier rein aus Interesse doch getroffen werden. Wo liegt die Schmelztemperatur, wenn das lineare Verhalten der elastischen Moduln zur Berechnung der Kopplungskonstanten K angenommen wird? Gl.(2.11) ausgedr¨uckt durch das lineare Verhalten (siehe Gl. (7.1) ) von K und µlautet:
K= 4a2 kBT
µ·K
µ+K → K= 1.257 Γ. (7.3)
K soll am Schmelzpunkt den Wert 16π annehmen, wie in Abschnitt 2.2.2 dargestellt.
Gilt Gl. (7.3) w¨urde dies eine Schmelztemperatur von Γm = 40 bedeuten. Der Lite-raturwert liegt bei Γm = 60. Das lineare Gesetz f¨ur K, µ und K k¨onnte damit in der N¨ahe des Phasen¨ubergangs noch als obere Grenze dienen.
7.2.2 Manipulation mit optischer Pinzette
Zur Berechnung der Kopplungskonstanten K nach Gl. (7.3) wurden die Ergebnisse f¨ur den Kompressionsmodul K und den Schermodul µ, die in den Abb. 5.7 und 4.7 pr¨asentiert wurden, zu Grunde gelegt. Da die Messungen nicht bei einheitlichen Wech-selwirkungsparametern Γ durchgef¨uhrt wurden, musste zur Berechnung von K(K, µ) eine elastische Konstante auf die Γ-Werte der anderen elastischen Konstanten interpo-liert werden. Dazu wurden die Γ-Werte der Kompressionsmodulmessung vorgegeben und die Schermoduldaten in der Umgebung dieses Wechselwirkungsparameters mit einem Polynom 2. Ordnung interpoliert. Das Ergebnis ist in Abb. 7.2 dargestellt.
In den theoretischen Grundlagen wurde mit Gl. (2.12) die Abh¨angigkeit der Kopp-lungskonstanten von der reduzierten Temperatur beschrieben:
K(T) = 16π
Wird in dieser Gleichung die reduzierte Temperatur durch den reduzierten Wechsel-wirkungsparameter 1−Γm/Γ ersetzt, lassen sich durch einen Fit der Werte der Kopp-lungskonstanten in Abb. 7.2 die Parameter C,Γm und ν bestimmen. C beschreibt das Verh¨altnis des Dislokationskerndurchmessers zur Gitterkonstanten a, Γm ist die Schmelztemperatur des 2D-Systems und ν ein kritischer Exponent. Zur Vereinfachung wurden die Werte von K(Γ) mit der Gleichung 1−16π/K transformiert und in Abb.
7.3 dargestellt.
Es wurden zwei verschiedene Fits durchgef¨uhrt. Aus der Schmelztheorie ist ν = 0.3696 als universeller kritischer Exponent bekannt und Γm = 60 aus Vorexperimenten als Schmelztemperatur. Werden diese Parameter vorgegeben und nurC variiert, ergibt ein Fit C = 0.86±0.01. Beim zweiten Fit werden alle Parameter variiert:
C = 0.89±0.02, Γm = 59.6±5.4, ν = 0.48±0.12
Die bekannten Werte Γm = 60 undν = 0.3696 sind damit innerhalb der experimentellen Fehlertoleranzen. C≈0.87 wird benutzt, um mittels Gl. (2.13) die Kern-Energie eines Dislokationspaares zu bestimmen:
EC(Γm) = 2(C+ 1)kBTm → EC = 3.74kBTm .
7.2. 2D SCHMELZSZENARIO 59
Abbildung 7.2: Die experimentellen Daten wurden mittels Gl. (7.3) mit den Ergebnis-sen f¨ur K und µ aus Kapitel 4 und 5 bestimmt. Der Wert 16π ist der theoretische Wert f¨ur die Kopplungskonstante Kam Schmelzpunkt Γm. Die Geraden repr¨asentieren den Verlauf von K, wenn die ideale Gitter-Theorie zu Grunde gelegt wird. Die gestri-chelte Linie entspricht dem theoretischen Wert, w¨ahrend die durchgezogene Linie das Verhalten beschreibt, wenn K und µaus einem linearen Fit der experimentellen Daten bestimmt werden (siehe Gl. (7.2)).
Laut Chui [19] ist das Schmelzszenario von KTHNY f¨ur Energien EC >2.84kBTm
anwendbar. Der experimentell bestimmte Wert von EC = 3.8kBTm best¨atigt die bishe-rige Annahme, dass das untersuchte kolloidale 2D-System mit einem Phasen¨ubergang 2. Ordnung schmilzt.
Abbildung 7.3: Auf der y-Achse ist der temperaturabh¨angige Term der Kopplungskon-stanten K aufgetragen. Die durchgezogene Linie pr¨asentiert einen Fit, indem alle drei Parameter variiert wurden. In der anderen Kurve (gestrichelte Linie) wurden Γm = 60 und ν = 0.3696 festgelegt, nur C stand als Fitparameter zur Verf¨ugung.
Kapitel 8
Zusammenfassung
In dieser Arbeit wurde ein 2D Kolloidsystem verwendet, das aus superparamagneti-schen Kolloiden bestand, die in einer Ebene angeordnet sind und deren Dipol-Dipol Wechselwirkung durch ein externes Magnetfeld eingestellt wird. Die Partikelpositionen wurden mit digitaler Videomikroskopie erfasst. Ziel dieser Arbeit war es, aus den mi-kroskopischen Eigenschaften dieses Systems das makroskopische elastische Verhalten abzuleiten. Dazu mussten zun¨achst geeignete Methoden entwickelt bzw. angewendet werden, um im zweiten Schritt die Ergebnisse mit aktuellen Theorien zu vergleichen.
Eine Methode basiert auf den Fluktuationen der Partikelpositionen. Betrachtet wird ein Untersystem des beobachtbaren Probenausschnitts. Aus den einzelnen Verschiebungen der Teilchenkoordinaten werden die mittleren Verzerrungen berechnet, aus denen auf die radialen und angul¨aren Fluktuationen des Untersystems geschlossen wird. Diese Fluktuationen sind statistisch unabh¨angig und nach dem Gleichverteilungssatz l¨aßt sich jedem dieser zwei Freiheitsgrade die Energie kBT /2 zuordnen. Die elastische Energie des fluktuierenden Untersystems ist eine Funktion der elastischen Konstanten, so dass sich der Kompressionsmodul K und der Schermodul µextrahieren lassen.
Die ideale Gitter-Theorie, die auf einem perfekten hexagonalen Kristall mit der Tem-peratur T = 0 K beruht, sagt einen linearen Zusammenhang zwischen den elastischen Moduln und dem Wechselwirkungsparameter Γ voraus. Dies wird mit den Messun-gen best¨atigt. Allerdings setzen sowohl die Theorie als auch die Fluktuationsmethode ein fehlstellenfreies System voraus. Diese Bedingung ist nur bei tiefen Temperaturen (hohe Γ-Werte) erf¨ullt. Je n¨aher das System dem Phasen¨ubergang kristallin-hexatisch kommt (Literaturwert Γm = 60), um so h¨oher wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein Dislokationspaar thermisch angeregt wird.
Es w¨are interessant, die Fluktuationsmethode zu modifizieren, um sie auf eingeschr¨ank-te Syseingeschr¨ank-teme mit Teilchenzahlen N < 1000 anzuwenden. Ebenso w¨are eine angepasste Methode vorstellbar, mit der das elastische Verhalten bin¨arer Mischungen untersucht wird, mit denen sich kolloidale Modellsysteme f¨ur Gl¨aser darstellen lassen.
Die zweite Methode besteht darin, mit einer optischen Pinzette den kolloidalen Kristall 61
lokal zu deformieren, um aus dem Relaxationsverhalten auf die elastischen Konstanten zu schließen. Zwei unterschiedliche Deformationen werden erzeugt:
a) Lokale Scherung des Kristalls, indem drei Partikel auf einem Kreis einen kleinen Winkel bewegt werden.
b) Lokale Dehnung, indem drei Partikel radial von ihrem gemeinsamen Schwerpunkt entfernt werden.
Die Relaxation dieser Deformationen ist durch die R¨uckstellkr¨afte des umgebenden Gitters und der viskosen Reibungskr¨afte der Partikel in der Suspension bestimmt. Die R¨uckstellkr¨afte verhalten sich linear zum Auslenkungswinkel bzw. zur Dehnung, wie mit einer elastischen Kontinuumstheorie gezeigt wird. Wegen der hohen Reibungskr¨afte oszilliert das System nicht, sondern relaxiert exponentiell in seinen Gleichgewichtszu-stand. Aus dieser Relaxation wird der Schermodulµ(a) bzw. der Kompressionsmodul K (b) bestimmt.
Aus den Moduln K und µ wird die Kopplungskonstante K berechnet. Deren tempe-raturabh¨angiges Verhalten, angeglichen an die 2D Schmelztheorie von KTHNY, liefert drei Schmelzparameter. Der universelle kritische Exponent ν ist nahe dem theoretisch vorhergesagten Wert. Wesentlich interessanter sind die systemabh¨angigen Parameter.
Aus der Literatur und aus Vorarbeiten ist als Schmelztemperatur Γm = 60 bekannt. Die vorgestellten Messungen mit der optischen Pinzette ergeben Γm = 59.6±5, was inner-halb der Fehlertoleranzen liegt. Erstmals wird die Dislokationskernenergie EC, die f¨ur das Schmelzverhalten des 2D Systems entscheidend ist, experimentell zuEC ≈3.74kBT bestimmt. Nach dem Argument von Chui (EC >2.84kBT) ist dies eine weitere Best¨ati-gung f¨ur die Annahme, dass das verwendete Kolloidsystem nach dem Szenario von KTHNY mit zwei Phasen¨uberg¨angen von kristallin zu hexatisch und von hexatisch zu isotrop-fl¨ussig schmilzt.
Mit der beweglichen optischen Pinzette ist das 2D Kolloidsystem um ein vielseiti-ges Instrument bereichert worden. Die lokalen Deformationsexperimente ließen sich an der hexatischen Phase des vorgestellten Systems durchf¨uhren, um weitere Vorher-sagen des 2D Schmelzszenarios zu pr¨ufen. ¨Ahnliche Experimente w¨aren ebenfalls an 2D bin¨aren Mischungen denkbar, um das elastische Verhalten von Gl¨asern zu erfor-schen. Desweiteren k¨onnten gezielt Dislokationen erzeugt werden, um die Entstehung und Rekombination, Diffusion und Wechselwirkung mehrerer Dislokationen zu unter-suchen. Eine weitere Einsatzm¨oglichkeit der optischen Pinzette, die in dieser Arbeit nicht angesprochen wurde, zu der aber Vorexperimente durchgef¨uhrt wurden, ist die Untersuchung eingeschr¨ankter Systeme mit kleinen Teilchenzahlen, sowohl im monodis-persen System als auch in bin¨aren Mischungen. Der Galvanometer-Scanner ließe dazu die Pinzette einen Kreis beschreiben, der wie eine
”optische Wand“ eine endliche Zahl an Partikeln einsperren w¨urde. Korrelationsfunktionen, elastische Eigenschaften und Phasen¨uberg¨ange dieser endlichen Systeme k¨onnten in Abh¨angigkeit der Teilchenzahl studiert werden.
Literaturverzeichnis
[1] C. Grimes und G. Adams, Phys. Rev. Lett. 42, 795 (1979).
[2] N. Mermin, Phys. Rev. 176, 250 (1968).
[3] J. Kosterlitz und D. Thouless, J. Phys. C: Solid State Phys. 5, 124 (1972).
[4] J. Kosterlitz und D. Thouless, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, 1181 (1973).
[5] B. Halperin und D. Nelson, Phys. Rev. Lett. 41, 121 (1978).
[6] D. Nelson und B. Halperin, Phys. Rev. B 19, 2457 (1979).
[7] A. Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979).
[8] P. Pieranski, Phys. Rev. Lett. 45, 569 (1980).
[9] R. Kalia und P. Vashishta, J. Phys. C: Solid State Phys.14, L643 (1981).
[10] C. Murray und D. Van Winkle, Phys. Rev. Lett. 58, 1200 (1987).
[11] E. Chang und D. Hone, Europhys. Lett. 5, 635 (1988).
[12] R. Kusner, J. Mann, J. Kerins und A. Dahm, Phys. Rev. Lett. 73, 3113 (1994).
[13] A. Marcus und S. Rice, Phys. Rev. E 55, 637 (1997).
[14] K. Zahn, R. Lenke und G. Maret, Phys. Rev. Lett. 82, 2721 (1999).
[15] L. Landau und E. Lifschitz, Elastizit¨atstheorie (Akademie-Verlag GmbH, Berlin, 1970).
[16] H. Hahn, Elastizit¨atstheorie (B.G. Teubner, Stuttgart, 1985).
[17] H. Kleinert, Phys. Lett. A 130, 443 (1988).
[18] H. Kleinert, Phys. Lett. A 136, 468 (1989).
[19] S. Chui, Phys. Rev. B 28, 178 (1983).
63
[20] K. J. Strandburg, Rev. Mod. Phys. 60, 161 (1988).
[21] C. Domb und J. Lebowitz, Phase transitions and critical phenomena (Academic Press, London, 1983), Vol. 7.
[22] M. Glaser und N. Clark, Adv. Chem. Phys. 83, 543 (1993).
[23] W. Janke und H. Kleinert, Phys. Rev. Lett. 61, 2344 (1988).
[24] K. Bagchi und H. Andersen, Phys. Rev. Lett. 76, 255 (1996).
[25] Y. Saito, Phys. Rev. Lett. 48, 1114 (1982).
[26] K. Zahn, Dissertation, Universit´e Louis Pasteur, Strasbourg, Frankreich, 1997.
[27] A. Ashkin, J. Dziedzic, J. Bjorkholm und S. Chu, Opt. Lett. 11, 288 (1986).
[28] K. Sasaki, M. Koshioka, H. Misawa, N. Kitamura und H. Masuhara, Jap. J. Appl.
Phys. 30, L907 (1991).
[29] D. Grier, Curr. Opin. Coll. Int. Sci. 2, 264 (1997).
[30] G. Wuite, S. Smith, M. Young, D. Keller und C. Bustamante, Nature 404, 103 (2000).
[31] A. Ashkin, Biophys. J. 61, 569 (1992).
[32] K. Ren, G. Gr´ehan und G. Gouesbet, Appl. Opt. 35, 2702 (1996).
[33] L. Novotny, R. Bian und X. Xie, Phys. Rev. Lett. 79, 645 (1997).
[34] P. Maia Neto und H. Nussenzveig, Europhys. Lett. 50, 702 (2000).
[35] F. Valmont, Dissertation, Universit´e Louis Pasteur, Strasbourg, Frankreich, 1998.
[36] K. Zahn, J. M´endez-Alcaraz und G. Maret, Phys. Rev. Lett. 79, 175 (1997).
[37] B. Rinn, K. Zahn, P. Maass und G. Maret, Europhys. Lett. 46, 537 (1999).
[38] S. Sengupta, P. Nielaba, M. Rao und K. Binder, Phys. Rev. E 61, 1072 (2000).
[39] R. Kusner, Dissertation, Case Western Reserve University, 1993.
Anhang A Anhang
A.1 Herstellung einer Suspension
An dieser Stelle werden die einzelnen Schritte beschrieben, wie die verwendeten Sus-pensionen hergestellt wurden.
• 20 ml Gef¨aß mit Ethanol und millipore-Wasser gereinigt
• 20 ml millipore-Wasser eingef¨ullt
• 40 mg Sodium Dodecyl Sulfat (SDS) zugegeben. Diese Menge lag knapp unter der cmc (criticalmicelle concentration).
• Gef¨aß 5 min im Ultraschall belassen zum Aufl¨osen des SDS
• Mit einer sterilen Pipette 100 µl der hochkonzentrierten Kolloidsuspension (Dy-nal) zugegeben
• Probe 16 h im Ultraschall belassen, damit das SDS sich an die Partikeloberfl¨ache heften kann. Um die Teilchensedimentation zu verhindern, wurde die Probe kon-tinuierlich gedreht.
• Partikel komplett sedimentieren lassen, um Schaum (entstanden durch das SDS) abzusch¨opfen.
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