Um die Teilchenwechselwirkung im System zu charakterisieren, wurde der Wechselwir-kungsparameter Γ benutzt. Er ist als Verh¨altnis von potentieller (vergl. Gl. (3.1)) zu thermischer Energie definiert:
Hier bezeichnet ρ die Teilchenzahldichte. Γ ist damit ein Mass f¨ur die St¨arke oder Steifigkeit des Kristalls. Gleichzeitig ist das Reziproke von Γ als Systemtemperatur Tsys = Γ−1 interpretierbar. Aus den Vorarbeiten von K. Zahn [14, 26] ist bekannt, das der Phasen¨ubergang in diesem 2D-System von kristalliner zu hexatischer Phase bei Γm = 60 und von hexatischer zu isotrop fl¨ussiger Phase bei Γi ≈57 stattfindet.
Die Bestimmung von Γ reduzierte sich im Experiment im Wesentlichen auf die Bestim-mung der Teilchenzahldichte. Die Suszeptibilit¨at der Partikel wurde in einem Diffu-sionsexperiment gemessen und zu χ= 7.37·10−11 Am2/T bestimmt. F¨ur die Details dieser Methode sei auf die Arbeit von K. Zahn verwiesen [26]. Das Magnetfeld wurde ausgemessen und war ¨uber die Strom-Feldst¨arken-Kennlinie (siehe Abb. 3.4) zug¨ang-lich.
Die Dichte konnte, w¨ahrend das Experiment lief, aus den Teilchenkoordinaten bestimmt werden. Dazu wurde die sogenannte Voronoikonstruktion durchgef¨uhrt, um die Fl¨ache der Wigner-Seitz-Zellen zu bestimmen. Dazu wurden alle Mittelsenkrechten zwischen dem betrachteten Teilchen und seinen Nachbarn berechnet. Die eingeschlossene Fl¨ache war die Elementarzelle des Partikels. Abb. 3.10 zeigt so eine Konstruktion. Dies wur-de f¨ur alle Teilchen durchgef¨uhrt außer wur-den Randteilchen, um daraus die Dichte zu berechnen.
Obwohl alle Randteilchen bei dieser Konstruktion vernachl¨assigt wurden, gab es Teil-chen in der N¨ahe des Randes, deren Elementarzelle nicht korrekt berechnet wurde.
Dies lag daran, dass f¨ur diese Teilchen nicht alle Nachbarkoordinaten vorlagen. Diese Teilchen besassen dadurch f¨ur die Konstruktion nur 5 Nachbarn, da der 6. Nachbar von der Bildverarbeitung nicht erkannt werden konnte. Die Elementarzellen ergaben dann ein F¨unfeck (vergleiche Abb. 3.10) statt eines Sechsecks. Dies f¨uhrte zu einer syste-matischen Vergr¨oßerung der mittleren Zellenfl¨ache beziehungsweise Verkleinerung des berechneten Wechselwirkungparameters Γ. Bei einer Teilchenzahl von 100 lag dieser Fehler bei 1%.
Desweiteren konnte die Teilchenzahldichte ρ durch die Kontrolle der Grenzfl¨achen-kr¨ummung zeitlich konstant gehalten werden. Diese Kr¨ummung wurde durch die H¨ohe des Objektivfokus bestimmt, da die Spritzensteuerung (Abschnitt 3.2.3) jederzeit daf¨ur sorgte, dass die Partikel im Fokus waren. Wurde die H¨ohe des Fokus ver¨andert, f¨uhr-te die Spritzensf¨uhr-teuerung die Partikel und damit die Grenzfl¨ache in einigen Sekunden automatisch nach. Mit einer PID-Regelung konnte die Grenzfl¨achenkr¨ummung und
da-3.4. BESTIMMUNG DES WECHSELWIRKUNGPARAMETERS Γ 27
Abbildung 3.10: Voronoikonstruktion. Bestimmung der Einheitszelle aus der Berech-nung der Mittelsenkrechten.
mit die Teilchenzahldichte auf einen beliebigen Wert gesetzt und ¨uber mehrere Tage konstant gehalten werden. Die Schwankungen dieser PID-Regelung bzw. der Teilchen-zahldichte lagen im Bereich einiger Stunden.
Bestimmung des Schermoduls
Dieses Kapitel befasst sich mit der Messung des Schermoduls, wobei mit der optischen Pinzette der Kristall lokal geschert wurde. Aus der Relaxation dieser Deformation liessen sich Aussagen ¨uber das Scherverhalten des 2D-Systems ableiten.
Zun¨achst wird der Ablauf des Experimentes detailliert erkl¨art. Es folgen Messungen und deren Interpretation im Rahmen einer elastischen Kontinuumstheorie. Am Schluss des Kapitels werden die Ergebnisse vorgestellt und diskutiert.
4.1 Experimentelle Details
Um eine hohe Qualit¨at dieses Experimentes zu erzielen, mussten viele Messungen durchgef¨uhrt und gemittelt werden. Eine vollst¨andige Automatisierung des experimen-tellen Ablaufs war deshalb n¨otig. Die einzelnen Schritte einer Messung, von der Aus-wahl dreier Teilchen mittels der Partikelerkennung, ¨uber deren Manipulation durch die optische Pinzette, bis zur Datenerfassung der Teilchenkoordinaten, wurden alle vom Computer ausgef¨uhrt.
Der Kristall wurde in diesem Experiment lokal geschert, indem drei Teilchen auf einem Kreis, dessen Mitte der gemeinsame Teilchenschwerpunkt war, um 20 Grad ausgelenkt wurden (siehe auch Abb. 4.1). Dazu wurden mit der Partikelerkennung drei Teilchen ausgew¨ahlt, die sich in der N¨ahe der Mitte des beobachteten Probenausschnitts be-fanden. Die Koordinaten wurden an den Scanner weitergegeben, so dass der Tweezer abwechselnd die drei Teilchen einfangen konnte. Dazu wurde der Laser 50 ms auf ein Teilchen gerichtet und sprang dann in wenigen Mikrosekunden zum n¨achsten, um dort wieder 50 ms zu verharren und das Teilchen an dieser Stelle zu fixieren. ¨Uber einen Zeitraum von 45 s wurden die drei unterschiedlichen Positionen des Tweezers konti-nuierlich ver¨andert, so dass die drei Partikel 20 Grad aus ihrer Ruhelage ausgelenkt wurden. Der Laser wurde f¨ur dieses Experiment mit 0.5 mW betrieben. Nach Ausschal-ten des Lasers wurden f¨ur 60 s die TeilchenkoordinaAusschal-ten aufgezeichnet. Alle 200-250 ms wurde ein Koordinatensatz aufgenommen.
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4.1. EXPERIMENTELLE DETAILS 29
Abbildung 4.1: Ausschnitt (165 x 110 µm) eines Kristalls. Drei Teilchen auf einem Dreieck wurden aus ihrer Gleichgewichtsposition kreisf¨ormig ausgelenkt, angedeutet durch die Pfeile. Die eingezeichneten Gitterlinien sollen diese Rotation hervorheben.
Oben links ist der Winkelα(t)eingezeichnet, dessen zeitliche Relaxation gemessen wur-de.
Die Erkennung und Speicherung der Teilchenkoordinaten wurde im Abschnitt 3.2.2 beschrieben. Aus den so gewonnen Daten wurde wie folgt der zeitliche Verlauf der Winkelrelaxation bestimmt. Der Winkelα(t) (vergl. Abb. 4.1) wurde f¨ur alle drei Teil-chen zu jedem Zeitpunkt bestimmt und gemittelt.
Die Differenz des aktuellen Teilchenwinkels zu seinem Gleichgewichtswinkel (Winkel vor der Deformation) definierte den Deformationswinkel α(t). Der aktuelle Winkel ei-nes Teilchens war durch die Verbindungslinie von Partikel und dem Schwerpunkt des Dreiecks festgelegt. Der GleichgewichtswinkelαmGGdes Teilchensm = 0,1,2 war relativ zum Gitterwinkel ϕ0 (mit 0 ≤ ϕ0 < 60◦) definiert. Die Kristallachsen lagen auf den Winkelnϕ0+n·120◦ mit n= 0,1,2. Die drei Gleichgewichtswinkel waren um 30◦ ver-setzt αGGm =ϕ0+m·120◦±30◦. F¨ur jedes der drei Partikel wurde nun die Differenz zu diesem Gleichgewichtswinkel berechnet, gemittelt und zeitlich aufgetragen (α(t) siehe Abb. 4.1).