Nach diesen praktischen Betrachtungen über die Lösung von Gleichungssystemen, lässt sich das Vorgehen vom abstrakteren Standpunkt betrachten. Die Eigenschaften der Matrix-Vektor-Multiplikation motivieren das Studium der folgenden Begrifflichkeit.
Definition 8.46 (Lineare Abbildung)
Seien V und W zwei K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V ! W heißt lineare Abbil-dung, wenn gilt:
(L1) die Abbildung ist additiv bzgl. der Vektoraddition, d.h.
f(v+w) =f(v) +f(w) für alle v,w2V,
(L2) die Abbildung ist homogen bzgl. der Skalarmultiplikation, d.h.
f( ·v) = ·f(v) für alle v2V, 2K,
oder zusammengefasst
f( ·v+µ·w) = ·f(v) +µ·f(w) für alle v,w2V, , µ2K.
Statt linearer Abbildung ist auch der präzisere BegriffK-lineare Abbildung gebräuchlich.
Zudem hat es sich eingebürgert die folgenden griechischen Begriffe zu verwenden, falls die lineare Abbildung zusätzliche Eigenschaften erfüllt. Dabei greift die Wortwahl stets auf das griechische Wort morphé =ˆ “Form, Gestalt” zurück.
Definition 8.47 (Vektorraum-Morphismen)
Eine Abbildung f :V !W zwischen zwei K-Vektorräumen V und W heißt Homomorphismus, fallsf linear ist. (griech.: homos =ˆ gleich)
Man nennt einen Homomorphismus f :V !W zudem
Monomorphismus, fallsf injektiv ist. (griech.: monos =ˆ ein, allein) Epimorphismus, fallsf surjektiv ist. (griech.: epi =ˆ auf)
Isomorphismus, fallsf bijektiv ist. (griech.: ísos =ˆ gleich) Endomorphismus, falls V =W ist. (griech.: endo =ˆ innen) Automorphismus, fallsf bijektiv ist undV =W gilt. (griech.: autos =ˆ selbst) Beispiele 8.48
(i) Für jede Matrix A2Km⇥n ist die Abbildung
f :Kn!Km, x7!A·x,
eine lineare Abbildung. Speziell gilt für den Fall n = m = 1, dass die Abbildung f :R1 !R1, x7!a·x (oder kurz: f(x) = a·x) eine lineare Abbildung ist.
(a)
Abbildung 8.1: Drehung (a) eines Vektors im R2 (b) der Einheitsvektoren.
(a)
Abbildung 8.2: Spiegelung (a) eines Vektors im R2 (b) der Einheitsvektoren.
(ii) Die Abbildung f :R2 !R2, die jeden Vektorx2R2 durch eine Drehung mit dem Winkel ↵ um den Ursprung abbildet, ist gegeben durch
✓x1
wie man anhand der Bilder der Einheitsvektoren sieht.
(iii) Die Abbildung f : R2 ! R2, die jeden Vektor x 2 R2 durch Spieglung an einer Ursprungsgerade mit Winkel↵zwischen Abszisse und Gerade abbildet, ist gegeben durch
wie man anhand der Bilder der Einheitsvektoren sieht.
(iv) Die Abbildung
die jeden Punkt des drei-dimensionalen Raums auf die Ebene projiziert, ist eine lineare Abbildung, denn es gilt für x,y2R3 und , µ2R
P( ·x+µ·y) =
✓ ·x1+µ·y1
·x2+µ·y2
◆
= ·
✓x1
x2
◆ +µ·
✓y1
y2
◆
= ·P(x) +µ·P(y).
(v) Sei C1(R;R) der Vektorraum aller beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen R7!R. Die Summe und das Produkt von differenzierbaren Funktionen ist ebenfalls differenzierbar, die konstante Funktion p(x) = 2 R ist differenzierbar und für beliebige Funktionen g, h2C1(R;R) gilt
(f+g)0(x) =f0(x) +g0(x), ( ·f)0(x) = ·f0(x).
Daher ist die Differentiation aufgefasst als Abbildung D:C1(R;R)!C1(R;R), f 7!f0 eine linear Abbildung.
(vi) Sei C([a, b];R) der Raum aller stetigen Funktionen auf einem Interval [a, b] ⇢ R.
Aus den Eigenschaften des Integrals (Additivität, Linearität) fürf, g 2C([a, b];R) Z b
a
f(x) +g(x)dx= Z b
a
f(x)dx+ Z b
a
g(x)dx, Z b
a ·f(x)dx= · Z b
a
f(x)dx
sieht man, dass die Abbildung
I :C([a, b];R)!R, f 7!
Z b a
f(x)dx
eine lineare Abbildung ist.
Als direkte Folgerung aus der Definition der linearen Abbildungen lassen sich folgende Eigenschaften ableiten:
Satz 8.49 (Eigenschaften linearer Abbildungen)
Seien V, W Vektorräume, f :V !W eine lineare Abbildung, so gilt:
(i) f(0) = 0
(ii) f(v w) =f(v) f(w).
(iii) f( 1v1+...+ nvn) = 1f(v1) +...+ nf(vn).
(iv) Ist eine Familie(vi)i2I inV linear abhängig, so ist auch(f(vi))i2I linear abhängig.
(v) Ist U ⇢V ein Untervektorraum, so ist f(U)⇢W Untervektorraum.
(vi) Ist f ein Isomorphismus, so ist auch f 1 :W !V ein Isomorphismus.
Beweis.
(i)f(0) =f(0·0) =0·f(0) =0.
(ii) f(v w) = f(v+ ( 1)·w) =f(v) + ( 1)f(w) =f(v) f(w). (iii) Mehrfache Anwendung der Eigenschaft der Linearität.
(iv) Gibt es eine endliche, linear abhängige Teilfamilie(vi1, . . . ,vin), so gibt 1, ... n 2K mit mindestens einem i 6= 0, so dass
1vi1 +...+ nvin = 0.
Nach (ii) gilt dann aber auch
1f(vi1) +...+ nf(vin) = 0.
(v) Untervektorraumeigenschaften des Raums f(U) nachprüfen. Dazu betrachte man Vektorenu,u0 2f(U) und nutze die Eigenschaften der linearen Abbildung f.
(vi) Umkehrungen von bijektiven Abbildungen sind wieder bijektiv. Es verbleibt die Linearität zu zeigen. Es sei v,v0 2V, w:=f(v), w0 :=f(v0). Mit
f( v+µv0) = w+µw0
und v=f 1(w)sowie v0 =f 1(w0) folgt nach Anwendung von f 1 schließlich f 1(w) +µf 1(w0) = f 1( w+µw0).
⇤ Bei der Matrix-Matrix-Multiplikation war das Resultat wieder als eine Matrix definiert worden. Ganz allgemein gilt, dass die Hintereinanderausführung mehrerer linearer Ab-bildungen wiederum eine lineare Abbildung ist.
Satz 8.50 (Die Verkettung linearer Abbildungen ist linear)
Seien f :V !W und g :W !U lineare Abbildungen auf Vektorräumen V, W und U, so ist die Verkettung
f g :V !U, v 7!f(g(v)), eine lineare Abbildung zwischen den VektorräumenV und U.
Beweis. Es gilt:
(f g)( v+µw) = f(g( v+µw)) =f( g(v) +µg(w))
= f(g(v)) +µf(g(w)) = (f g)(v) +µ(f g)(w)
⇤
Zunächst stellt sich die Frage, ob und wie viele lineare Abbildungen existieren.
Satz 8.51 (Existenz und Eindeutigkeit linearer Abbildungen)
SeienV, W Vektorräume und(v1, . . . ,vn)eine Basis vonV. Dann gibt es zu jeder Familie an Vektoren (w1, . . . ,wn) aus W genau eine lineare Abbildung f : V ! W mit der Eigenschaft
f(vi) = wi für alle 1in.
Beweis. Die Existenz zeigt sich durch explizite Konstruktion. Jedes v 2 V lässt sich eindeutig durch geeignete Koeffizienten als Linearkombination v = 1v1 +. . .+ nvn
darstellen. Das Bild dieses Vektors sei nun definiert alsf(v) := 1w1+. . .+ nwn. Diese Abbildung f :V !W ist linear und erfüllt f(vi) =wi für alle 1in.
Zum Beweis der Eindeutig sei angenommen, dass zwei Abbildungen f und f0 die Anfor-derungen erfüllen. Dann folgt aber für beliebiges v= 1v1+. . .+ nvn auch
f(v) =f( 1v1+. . .+ nvn) = 1f(v1) +. . .+ nf(vn)
= 1w1+. . .+ nwn = 1f0(v1) +. . .+ nf0(vn) = f0( 1v1+. . .+ nvn) =f0(v).
⇤ Daran sieht man: Eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen ist bereits durch die Bilder von Basisvektoren eindeutig festgelegt. Man besitzt also nicht die Freiheit die Abbildung für jeden Vektor des Vektorraums einzeln festzulegen. Vielmehr legt die Vorgabe von f(vi) =wi für eini= 1, . . . , nschon die Werte auf der ganzen “Ursprungs-geraden” vi fest, denn auf Grund der Linearität muss gelten f( vi) = f(vi) = wi. Setzt man nun einen weiteren Wert f(vj) = wj für j 6= i fest, so ist der gesamte Un-tervektorraumspan(vi,vj) festgelegt, denn es giltf( ivi+ jvj) = if(vi) + jf(vj) =
iwi+ jwj.
Aus den Beispielen ist bekannt, dass Matrizen A2Km⇥n lineare Abbildungen zwischen den Vektorräumen Kn und Km beschreiben, A : Kn ! Km,v 7! Av. Der Satz über die Existenz und Eindeutigkeit von linearen Abbildungen zeigt jedoch, dass auch die Umkehrung gilt.
Satz 8.52 (Äquivalenz Matrizen und lineare Abbildungen)
Zu jeder linearen Abbildung f :Kn !Km gibt es genau eine Matrix A2Km⇥n mit der Eigenschaft f(v) =Av für alle v2Kn.
Beweis. Man wähle als Spalten der Matrix (f(e1), . . . , f(en)) die Bilder der Einheits-vektoren. Dann gilt Aei = f(ei) und diese Abbildung ist eindeutig. Für das Bild eines allgemeinen Vektors v=v1e1+. . .+vnen findet man zudem
f(v) =f(v1e1+. . .+vnen) = v1f(e1) +. . .+vn(en)
=v1Ae1 +. . .+vnAen=A(v1e1+. . .+vnen) = Av.
⇤
Somit lassen sich die lineare Abbildungen zwischen den VektorräumenKn und Km und die Matrizen A2Km⇥n direkt miteinander identifizieren.
Analog zu den Betrachtungen über Matrizen sind beim Umgang mit linearen Abbildun-gen die Begriffe Bild und Kern besonders hilfreich.
Definition 8.53 (Bild und Kern einer linearen Abbildung) Für eine lineare Abbildung f :V !W bezeichnet
Im(f) :=f(V) ={f(v)| v2V}⇢W das Bild von f, Kern(f) :=f 1(0) ={v 2V | f(v) = 0}⇢V den Kern von f.
und Rang(f) := dim Im(f)die Dimension des Bildes von f.
Kern und Bild einer Abbildung besitzen charakteristische Eigenschaften.
Satz 8.54
Für eine lineare Abbildungenf :V !W zwischen zwei VektorräumenV, W gilt (i) Im(f)⇢W und Kern(f)⇢V sind Untervektorräume,
(ii) f surjektiv, Im(f) =W, (iii) f injektiv ,Kern(f) ={0}.
Beweis. Die Unterrraumeigenschaften prüft man direkt nach und (ii) ist die Definition von Surjektivität. Die Aussage (iii) folgt direkt aus der Linearität vonf, denn es gilt
f(v) =f(w),f(v w) = 0.
⇤ Ist der Urbildraum zu einer linearen Abbildung endlichdimensional, dann besitzen Kern und Bild dieser Abbildung eine äußerst bemerkenswerte Eigenschaft: Es lässt sich daraus eine Basis des Urbildraums ermitteln. Bereits bei der Untersuchung für Matrizen war aufgefallen, dass für eine Matrix vom Rangr der Kern die Dimensionk :=n rbesitzt, d.h. es gilt n=k+r. Dies gilt ganz allgemein für lineare Abbildungen.
Satz 8.55 (Dimensionsformel)
SeienV, W Vektorräume, V endlichdimensional (n:= dimV <1) und f :V !W eine lineare Abbildung. Seien
(v1, . . . ,vk) eine Basis von Kern(f), (w1, . . . ,wr) eine Basis von Im(f), und beliebige Vektoren aus dem Urbild
(vk+1, . . . ,vk+r) mit f(vk+1) = w1, . . . , f(vk+r) = wr,
gewählt. Dann ist
B= (v1, . . . ,vk,vk+1, . . . ,vk+r)
eine Basis von V, somitn =k+r und es gilt die Dimensionsformel dimV = dim Kern(f) + dim Im(f).
Beweis. Es muss gezeigt werden, dass B ein Erzeugendensystem von V ist und die Vektoren linear unabhängig sind.
Sei ein v2V vorgegeben und das Bild davon durch die Basis (w1, . . . ,wr) dargestellt, f(v) = 1w1 +. . .+ rwr.
Nun stellt man fest, dass man wegen
f(v 1vk+1 . . . rvk+r) = f(v) 1f(vk+1) . . . rf(vk+r)
=f(v) 1w1 . . . rwr =0
einen Vektor im Kern von f finden kann und dieser kann durch die Basis von Kern(f) dargestellt werden,
v 1vk+1 . . . rvk+r=µ1v1+. . .+µkvk. Somit findet man die Darstellung
v=µ1v1+. . .+µkvk+ 1vk+1+. . .+ rvk+r
und da v2V beliebig war, kann jeder Vektor durchB erzeugt werden.
Die lineare Unabhängigkeit sieht man folgendermaßen: Sei
0= 1v1+. . .+ kvk+ k+1vk+1+. . .+ k+rvk+r.
Durch Anwendung der linearen Abbildung und unter Beachtung von f(v1) = . . . = f(vk) = 0 folgt daraus zunächst
0=f(0) = 1f(v1) +. . .+ kf(vk) + k+1f(vk+1) +. . .+ k+rf(vk+r)
= k+1f(vk+1) +. . .+ k+rf(vk+r)
= k+1w1+. . .+ k+rwr
und da die(w1, . . . ,wr)linear unabhängig sind, folgt k+1 =. . .= k+r= 0. Es verbleibt 0= 1v1 +. . .+ kvk
und da die (v1, . . . ,vk) linear unabhängig sind, folgt ebenfalls 1 =. . .= k= 0. ⇤
Aus dieser Formel lässt sich direkt eine ganz wesentliche, wiederum äußerst bemer-kenswerte Eigenschaft von linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen mit gleicher endlicher Dimension ablesen. Im Speziellen trifft dies auf Abbildungen f :Rn!Rn zu.
Satz 8.56
Ist f :V !W linear und dimV = dimW <1. Dann gilt f injektiv ,f surjektiv ,f bijektiv.
Beweis. Ist f injektiv, so gilt dim Kern(f) = 0. Nach der Dimensionsformel ist dann dim Im(f) = dimV = dimW, also f surjektiv. Ist umgekehrt f surjektiv, dann gilt dim Im(f) = dimW und nach der Dimensionsformel somit dim Kern(f) = 0, also f
injektiv. ⇤
Zudem liefert dies die Möglichkeit die endlichdimensionalen Vektorräume zu klassifizie-ren. Dazu benötigt man zunächst eine Vorschrift, wie Vektorräume verglichen werden können. Zum Vergleich von endlichen Mengen verwendet man bijektive Abbildungen.
Dies bietet sich auch für Vektorräume an, wobei man jedoch fordert, dass lineare Eigen-schaften unter der Abbildung erhalten bleiben sollen, d.h. die vermittelnde Abbildung soll bijektiv und zudem linear sein.
Definition 8.57 (Isomophie)
Zwei VektorräumeV, W heißenisomorph, wenn es eine Isomorphismus :V !W gibt.
Dies bezeichnet man mit V ⇠=W.
Gibt es einen Isomorphismus : V ! W, dann ist bereits bekannt, dass dann auch
1 : W ! V ein Isomorphismus ist und daher gilt V ⇠= W genau dann wenn W ⇠=V gilt. Zudem ist die Verkettung von Isomorphismen wieder ein Isomorphismus. Sind also U ⇠= V und V ⇠= W, dann gilt auch U ⇠= W. Durch die Wahl der Identität ist zudem jeder Vektorraum isomorph zu sich selbst, V ⇠= V, und somit ist die Isomorphie eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Vektorräume.
Es stellt sich also die Frage, ob man zu zwei VektorräumenV, W einen Isomorphismus, d.h. eine lineare, bijektive Abbildung, finden kann. Gemäß des Satzes über die Existenz von linearen Abbildungen lässt sich für eine Basis(v1, . . . ,vn)zu gegebenen(w1, . . . ,wn) genau eine lineare Abbildung :V !W konstruieren, die (vi) = wi,1in,erfüllt.
Haben nun beide Vektorräume dieselbe Dimension, so kann man für die (w1, . . . ,wn) sogar eine Basis wählen. Damit existiert eine lineare Abbildung f : V ! W und diese ist sogar bijektiv, denn dann giltImf =f(V) =W und die Dimensionsformel liefert die Behauptung. Dass sogar die Umkehrung gilt, folgt ebenfalls mit der Dimensionsformel.
Satz 8.58
Zwei endlichdimensionale Vektorräume V, W sind genau dann isomorph, wenn sie die-selbe Dimension haben, d.h.
V ⇠=W , dimV = dimW.
Beweis. Gibt es einen Isomorphismus f : V ! W, so gilt dim Kern(f) = 0 und dim Im(f) = dimW. Aus der Dimensionsformel folgtdimV = dim Kern(f) + dim Im(f)
= 0 + dimW = dimW. ⇤
Damit ist eine bedeutende Klassifizierung der endlichdimensionalen Vektorräume gefun-den: Zu jedemn 2Ngibt esbis auf Isomorphienur einenn-dimensionalenK-Vektorraum und man kann Kn als den Repräsentaten wählen.
Bemerkung 8.59 (Bedeutung der Isomorphie)
Sind zwei Vektorräume isomorph, so sind sie von “gleicher Struktur” - das sagt die Über-setzung des Griechischen ins Deutsche. Dies ist wie folgt zu verstehen: Die Elemente der beiden Vektorräume können zwar verschieden benannt sein, jedoch sind allelinearen Be-ziehungen zwischen den Elementen dieselben. Ein Isomorphismus :V !W garantiert dabei zwei Dinge:
(i) Da die Abbildung bijektiv ist, stellt sie eine eins-zu-eins Beziehung auf: Es wird jedem Element des einen Vektorraums genau ein Element des anderen zugeordnet.
Man kann folglich zwischen einem Element v2V und seinem Gegenstück ev2W beliebig hin und her wechseln durch ev= (v)und v= 1(ev).
(ii) Da die Abbildung linear ist, lässt sich zu jeder linearen Abbildung f : V ! V eine lineare Abbildung fe: W ! W konstruieren: Man bildet zunächst ve nach V ab, wendet dort f an und bildet dann zurück nach W ab,
fe:= f 1, ev7!fe(ev) := (f( 1(v))).e
Sucht man folglich Lösungen vonf(v) =0inV, so kann man stattdessen auch Lösungen von fe(ev) =e0 suchen. Denn hat man eine Lösung ev gefunden, so ist v = 1(v)e auch eine Lösung der Gleichung in V, denn
(f(v)) = (f( 1(v))) =e fe(ev) =e0= (0) ) f(v) = 0.
Gilt also eine lineare Beziehung in W, so gilt sie auch (mit anders bezeichneten, aber eindeutig miteinander identifierbaren Elementen) in V: Sind also Vektoren in V linear unabhängig, so sind auch die isomorphen Bilder in W linear unabhängig; isomorphe Bilder von Untervektorräumen haben diesselbe Dimension; eine lineare Gleichung hat einen Lösung in V genau dann, wenn sie auch eine Lösung inW besitzt. In diesem Sinne muss man zwischen den beiden Vektorräumen nicht unterscheiden, solange man sich für lineare Beziehungen von einem der Vektorräume interessiert. Der Sachverhalt wird - bis auf die Benennung der Elemente - derselbe sein.
Beispiel 8.60
Sei V = R3 und W = R[x]2 der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich zwei. Dann lässt sich eine Bijektion angeben durch
:R3 !R[x]2, 0
@a1
a2
a3
1
A7!a1+a2·x+a3·x2
mit der Umkehrung
d.h. jedem Vektor imR3 entspricht eineindeutig ein Polynom vom Grad zwei. Die Struk-tur der beiden Räume ist bezüglich der Vektoraddition und Skalarmultiplikation daher gleich und bis auf die “Bezeichnung” der Vektoren (speziell der Basisvektoren) führt eine Rechnung zum selben Ergebnis. Identifiziert man nämlich
a1+a2·x+a3·x2 ! a1 und die Ergebnisse sind bis auf Isomorphie gleich
(a1+b1) + (a2+b2)·x+ (a3+b3)·x2 !