Es hat sich gezeigt, dass jeder linearen Abbildung Kn ! Km genau eine Matrix A 2 Km⇥n entspricht und dass dabei die Spalten der Matrix den Bildern der kanonischen Einheitsvektoren entsprechen. Dies lässt fragen, ob auch jede Abbildung f : V ! W zwischen zwei beliebigenK-VektorräumenV, W durch eine MatrixA2Km⇥ndarstellbar ist, wenn diese endliche Dimensionen n = dimV, m = dimW besitzen. Zudem muss man sich selbst im Falle des Kn nicht auf die kanonischen Basisvektoren beschränken wollen und kann sich fragen, ob man eine Matrix auch verwenden kann, um Abbildungen bezüglich einer anderen Wahl der Basis darzustellen.
Satz 8.61 (Äquivalenz Matrizen und lineare Abbildungen)
Seien zu denK-VektorräumenV, W die BasenBV = (v1, . . . ,vn)undBW = (w1, . . . ,wm) gewählt. Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung f : V ! W genau eine Matrix A 2Km⇥n mit
f(vj) = Xm
i=1
aijwi für alle 1j n.
Die dabei verwendete Matrix A =: MBW,BV(f) nennt man die Matrixdarstellung der linearen Abbildung f bezüglich der Basen BV und BW.
Beweis. Der Satz über die Existenz und Eindeutigkeit hat gezeigt, dass genau eine Abbildung mit der Eigenschaft f(vj) = w0j,1 j m, existiert. Diese Bilder lassen sich in der Basis BW entwickeln durch w0j = Pm
i=1aijwi,1 j m, und die Wahl der Koeffizienten ist eindeutig, da es sich um eine Basis handelt. ⇤ Dies zeigt: Wählt man eine feste Basis der Vektorräume, dann entspricht jeder linearen Abbildung eine Matrix. Dadurch kann man sich bei der Betrachtung von linearen Abbil-dungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen durch eine Basiswahl auf Matrizen zurückziehen.
Beispiel 8.62 Sei
V =R[x]n={p | p(x) = a0+a1x+a2x2+. . .+anxn mit ai 2R für 0in} der Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich n. Dann ist eine Basis vonV gegeben durch BV = (1, x, x2, . . . , xn) = (xi)i=0,...,n. Für die Bilder der Basis unter der Differen-tiation findet man D(xj) = j ·xj 1 und daher lässt sich die Differentiation als lineare Abbildung
D:R[x]n!R[x]n 1, p7!p0
auffassen. Wählt man daher den Bildraum als W =R[x]n 1 und verwendet die Basis Die Darstellungsmatrix ergibt sich also zu
MBW,BV(D) =
Sind die Vektorräume V = Kn und W = Km und wählt man die kanonische Basis ei = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)T, so erhält man
die Darstellung f(x) =Ax.
Da es beliebig viele verschiedene Basen gibt, stellt sich nun natürlich die Frage, ob man zu einer linearen Abbildung f : V ! W die Basen von V und W so wählen kann, dass die Darstellungsmatrix besonders einfach wird. Dies ist implizit bereits durch den Satz der Dimensionsformel beantwortet: Für jede lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen lässt sich eine Basis vom Kern zu einer Basis des Urbildraums ergänzen, so dass die Bilder der zusätzlichen Basisvektoren eine Basis vom Bild sind - und diese lässt sich zu einer Basis vonW ergänzen. In diesen Basen ist dann die Darstellung besonders einfach.
Satz 8.64 (Diagonaldarstellung von linearen Abbildungen)
Für jede lineare Abbildung f :V !W zwischen zwei K-VektorräumenV, W kann man eine BasisBV = (v1, . . . ,vn)vonV und eine BasisBW = (w1, . . . ,wm)vonW so wählen,
Beweis. Sei (vr+1, . . . ,vn) eine Basis von Kern(f). Dann lässt sich diese gemäß des Dimensionssatzes zu einer Basis BV = (v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn)vonV ergänzen und die zusätzlichen Vektoren können so gewählt werden, dass f(v1) =w1, . . . , f(vr) =wr gilt und die (w1, . . . ,wr)eine Basis von Im(f)sind. Nun ergänzt man einfach diese zu einer Basis BW = (w1, . . . ,wr,wr+1, . . . ,wm) von W. Für die so gewählten Basen gilt dann aber stets die Darstellung
f(vj) =wj = Xm
i=1
ji·wi, j = 1, . . . , r,
f(vj) =0= Xm
i=1
0·wi, j =r+ 1, . . . , n,
d.h. die Matrix hat die gesuchte Gestalt. ⇤
Beispiel 8.65
Sei erneut V =R[x]n gewählt und als lineare Abbildung die Ableitung D:R[x]n!R[x]n 1, p7!p0
betrachtet. Man sieht schnell, dass nur die konstanten Polynome auf das Nullpoly-nom abgebildet wird, d.h es gilt Kern(f) = {p 2 R[x]n | p(x) = cmit c 2 R} = span(1) und der Kern wird von nur einem Vektor aufgespannt. Diese Basis vom Kern wird nun durch die Vektoren x, x2, . . . , xn zu einer Basis des gesamten Raums BV = (x, x2, . . . , xn,1) ergänzt. Die Bilder der zusätzlichen Vektoren ergeben sich zu D(x) = 1,D(x2) = 2x, . . . ,D(xn) = nxn 1 und somit wird die Basis vom Bild gewählt als (1,2x,3x2, . . . , nxn 1). Dies spannt aber auch gleich den gesamten Raum R[x]n 1 auf.
Somit hat man die gesuchten Basen gefunden und für die Wahl BV = (x, x2, . . . , xn,1),
BW = (1,2x,3x2, . . . , nxn 1) gilt die Darstellungsmatrix
MBW,BV(D) = 0 BB BB BB B@
1 0 0 . . . 0
0 1 0 0 . . . 0
... ... 0 0 . . . ...
... ... ... 0 ...
0 . . . 1 0 0
0 . . . 1 0
1 CC CC CC CA
2Rn⇥(n+1).
Gerne möchte man dieses Vorgehen systematisieren. Dazu stellt man zunächst fest, dass man zu jedem n-dimensionalen K-Vektorraum einen kanonischen Isomorphismus zum Kn konstruieren kann.
Definition 8.66 (Kanonischer Basisisomorphismus)
Sei V ein K-Vektorraum und B = (v1, . . . ,vn) eine Basis von V. Dann bezeichnet die Abbildung
B :Kn !V, x= (x1, . . . , xn)T 7!x1v1 +. . .+xnvn
den kanonischen Basisisomorphismus oder das Koordinatensystem bezüglich der Basis B und die Koeffizienten x1, . . . , xn2K in dieser Summe
x= 0 B@
x1
...
xn
1 CA
B
= B1(v)
werden alsKoordinaten von v2V bzgl. der Basis B bezeichnet.
Ist aus dem Kontext ersichtlich, um welche Basis es sich handelt, so wird der Subskript bei der Angabe der Koordinaten weggelassen. Speziell wird bei der üblichen Wahl der kanonischen Basisvektoren desKn die Basis nicht explizit notiert.
Bemerkung 8.67
Gemäß des Satzes über die Existenz und Eindeutigkeit linearer Abbildungen gibt es zu jeder Basis B = (v1, . . . ,vn) eines Vektorraums V genau eine lineare Abbildung mit
B(ej) = vj, die sogar bijektiv ist, da das Bild von einer Basis des Raums aufgespannt wird. Somit existiert zu jeder Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums genau ein kanonische Basisisomorphismus.
Somit lässt sich jedes Element in einem Vektorraum durch verschiedene Koordinaten darstellen und da alle Koordinatensysteme Isomorphismen sind, lässt sich damit auch eine Koordinatentransformation zwischen je zwei solcher Koordinatensystemen konstru-ieren.
Beispiel 8.68 (i) Sei V =R[x]2 und die Basis E = (1, x, x2) gewählt. Dann ergeben sich die Koordinaten eines Polynoms p(x) = a0+a1x+a2x2 durch die Zuordnung
E :R3 !R[x]2, x= (x0, x1, x2)TE 7!x0·1 +x1·x+x2·x2 zu
1 E (p) =
0
@a0
a1 a2
1 A
E
(ii) SeiV =R[x]2 und die BasisB = (4, x 1, x2)gewählt. Ein allgemeines Polynoms lässt sich auch schreiben als
p(x) =a0+a1x+a2x2 = (a0
4 +a1
4)·4 +a1·(x 1) +a2·x2
und man findet die Koordinaten
) ergeben sich die Koordinaten bezüglich der BasisB zu
✓x1
Hat man nun die Koordinaten bezüglich einer Basis bestimmt, so möchte man diese Koordinaten auch gerne bezüglich einer anderen Basis ausdrücken können.
Definition 8.69 (Koordinatentransformation)
Seien B = (v1, . . . ,vn) und Be = (ev1, . . . ,evn) zwei Basen eines K-Vektorraums V mit den zugehörigen kanonischen Basisisomorphismen B und Be, so dass ein Vektorv2V mit den jeweiligen Koordinaten
x= (x1, . . . , xn)TB = B1(v) bzw. xe= (xe1, . . . ,exn)Te
heißt Koordinatentransformation von der Basis B auf die Basis B.e
Da die Koordinatentransformation eine lineare Abbildung ist, lässt sie sich durch eine Matrix beschreiben.
Satz 8.70 (Transformationsmatrix)
Seien B = (v1, . . . ,vn) und Be = (ve1, . . . ,evn) zwei Basen eines Vektorraums V und TB,Be 2Kn⇥n die Matrixdarstellung der Koordinatentransformation, d.h.
e
x=TBe,B·x , ex= e1
B ( B(x)) Dann gilt
(i) Für die Matrixdarstellung der inversen Transformation x= B1( Be(x)), d.h.e x= TB,Be·exergibt sich
TB,Be=⇣
TBe,B⌘ 1
.
(ii) Die Koeffizienten der Matrix TB,Be bilden die eindeutige Darstellung der Vektoren der Basis Bedurch die Basis B gemäß
e vj =⇣
TB,Be⌘
1jv1+. . .+⇣ TB,Be⌘
njvn, j = 1, . . . , n.
Beweis. (i) Liest sich direkt ausxe=TB,Be ·x,⇣
TB,Be ⌘ 1
·ex=xab.
(ii) Man zieht sich auf die Darstellung der kanonischen Basisvektoren des Kn zurück, denn gilt die Aussage für diese, so auch für alle Vektoren. Für jedes j = 1, . . . , n findet man
Be(ej) =evj =⇣ TB,Be⌘
1jv1+. . .+⇣ TB,Be⌘
njvn
= B ✓⇣
TB,Be⌘
1j, . . . ,⇣ TB,Be⌘
nj
◆T!
= B⇣
TB,Be·ej
⌘
und somit
TB,Be·ej = B1 Be(ej) .
⇤ Dies liefert auch eine schnelle Möglichkeit die Transformationsmatrix zu berechnen, so-fern man die Abbildung der Basisvektoren kennt: Man ermittelt zunächst die Lineardar-stellung der neuen Basis durch die alte und schreibt diese Koeffizienten als Spalten in die Matrix TB,Be. Daraus ermittelt man die Transformationsmatrix TB,Be durch invertieren.
Besonders einfach wird dabei die Ermittlung, wenn der VektorraumV der Kn selbst ist und man die kanonischen Einheitsvektoren als Basis B = (e1, . . . ,en) wählt. Dann gilt nämlich direkt evj =ev1e1+. . .+evnen und die Spalten der Matrix TB,Bewerden von den neuen Basisvektoren gebildet.
Beispiel 8.71
Somit ergibt sich die Koordinatentransformation eines Polynoms p(x) =a0+a1x+a2x2 zu
Einer linearen Abbildung entspricht nach Basiswahl eine Matrixdarstellung. Diese Dar-stellung ändert sich natürlich, wenn man eine andere Basis wählt. Dabei gilt der folgende Zusammenhang.
Satz 8.72 (Koordinatendarstellung bei Matrizen)
Seien V, W zwei K-Vektorräume mit den Basen BV und BW. Dann lässt sich eine Vektorräu-men V, W gewählt. Dann lässt sich f :V !W eindeutig darstellen als
f(vj) = Xm
i=1
aijwi für alle 1j n
mit der Matrix MBW,BV(f) = (aij)m,ni,j=1 und die Basisvektoren über die Basisisomorphis-menvj = BV(ej)und wj = BW(ej). Für jedes j = 1, . . . , ngilt nun für die Abbildung eines kanonischen Basisvektorsej:
f( BV(ej)) = f(vj) = Xm
i=1
aijwi = BW((a1j, . . . , amj)TBW) = BW(MBW,BV(f)·ej).
Somit stimmt das Bild auf jedem Basisvektor und somit auch auf jedem beliebigen
Vektor überein. ⇤
Damit lässt sich nun abschließend die Frage beantworten, wie sich die darstellende Matrix zu einer linearen Abbildung unter Basiswechsel verhält.
Satz 8.73 (Transformationssatz)
Seien V, W zwei K-Vektorräume mit den Basen BV,BW und den transformierten Basen BeV,BeW. Dann gilt für die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung f : V ! W der Zusammenhang
Kn Km
V W
Kn Km
BeV
MBe
W,BeV(f)
BeW
TBe f
V,BV
BV
MBW,BV(f)
TBe
W,BW
BW
und somit für die Matrizen
MBeW,BeV =TBeW,BW ·MBW,BV ·⇣
TBeV,BV⌘ 1
.
Beweis. Die Teile des Abbildungszusammenhangs wurden bereits in den vorherigen Sätzen gezeigt. Für die Zusammensetzung gilt daher die Abbildungskette ebenfalls. ⇤ Die Kernaussage dieser Transformation ist also folgendes: Hat man einen Matrix A gegeben, die eine lineare Abbildung f : V ! W bezüglich zweier gewählten Basen von V, W darstellt, und wählt nun zwei andere Basen, so stellt sich die lineare Abbildung bezüglich der neuen Basis als Matrix
Ae =S·A·T 1
dar und die Matrizen S und T beschreiben die Basistransformationen, sind daher Iso-morphismen und invertierbar. Diese Eigenschaft bezeichnet man als Äquivalenz von Matrizen und für eine Endomorphismus lässt sich die Anforderung noch verschärfen.
Definition 8.74 (Äquivalente und ähnliche Matrizen)
Zwei Matrizen A,Ae 2Km⇥n heißenäquivalent, falls es zwei invertierbare MatrizenS,T gibt mit
Ae =S·A·T 1.
Zwei MatrizenA,Ae 2Kn⇥n heißenähnlich, falls es eine invertierbare MatrixSgibt mit Ae =S·A·S 1.
Durch die Transformation auf Diagonalgestalt mittels Multiplikation von links und rechts mit Elementarmatrizen ergibt sich sofort die folgende Einteilung.
Satz 8.75 (Äquivalente Matrizen)
Jede Matrix vom Rang r 2Nist äquivalent zur Diagonalmatrix
✓1r 0 0 0
◆
und somit sind zwei Matrizen genau dann äquivalent, wenn sie denselben Rang besitzen.
Beweis. Man findet zu einer Matrix A stets Produkte von Elementarmatrizen (und diese sind invertierbar), so dass E·A·E0 die gesucht Gestalt besitzt. ⇤ Dies liefert auch direkt eine Möglichkeit eine neue Basis zu berechnen, bezüglich derer eine lineare Abbildung f :V !W eine besonders einfach Gestalt hat:
(1) Man wähle zwei Basen BV = (v1, . . . ,vn) und BW = (w1, . . . ,wm) und bestimme die MatrixdarstellungMBW,BV(f)2Km⇥n bezüglich dieser Basen, indem man jeden Basisvektor vj, j = 1, . . . , n abbildet und die Koeffizienten der Darstellung durch die Basis BW
f(vj) = Xm
i=1
aijwi für alle 1j n
alsj-te Spalte in die Matrix einträgt.
(2) Durch das Verfahren der Multiplikation mit Elementarmatrizen finde man ein Dar-stellung
E·MBW,BV(f)·E0 =
✓1 0 0 0
◆
=:MBeW,BeV(f) und wähle die Diagonalmatrix als neue Darstellung.
(3) Man interpretiere auf Grund von
TBeW,BW ·MBW,BV(f)·⇣
TBeV,BV⌘ 1
=MBeW,BeV(f) die Matrizen E,E0 als Basistransformation
E0 =⇣
TBeV,BV⌘ 1
=TBV,BeV, E=TBeW,BW, ) E 1 =⇣
TBeW,BW⌘ 1
=TBW,BeW.
(4) Man bestimme die neuen Basen BeV = (ev1, . . . ,evn) und BeW = (we1, . . . ,wem) durch die Darstellung
e vj =⇣
TBV,BeV⌘
1jv1+. . .+⇣
TBV,BeV⌘
njvn, j = 1, . . . , n, und wej =⇣
TB
W,BeW
⌘
1jw1+. . .+⇣ TB
W,BeW
⌘
mjwm, j = 1, . . . , m,
d.h. die Koeffizienten derj-ten Spalte linear kombinieren den neuenj-ten Basisvek-tor.
In den so bestimmten Basen BeV,BeW besitzt die lineare Abbildung f : V ! W dann die gewünschte einfache Darstellung. Man beachte, dass für den Fall V =Kn, W =Km und die Wahl BV = (e1, . . . ,en) und BW = (e1, . . . ,em) die neue Basis direkt aus den Spalten der Transformationsmatrizen abgelesen werden kann.
Beispiel 8.76
Sei V = R[x]2 der Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich zwei und W = R4. Dann lässt sich die Auswertung eines Polynoms an den Stellen x= 0,1,2,3 als lineare Abbildung zwischen diesen Räume auffassen gemäß
f :R[x]2 !R4, p(x)7!
0 BB
@ p(0) p(1) p(2) p(3)
1 CC A.
(1) Wählt man zunächst die Basen BR[x]2 = (1, x, x2) und BR4 = (e1, . . . ,e4), so findet man
f(1) = (1,1,1,1)T = 1e1 + 1e2 + 1e3 + 1e4, f(x) = (0,1,2,3)T = 0e1 + 1e2 + 2e3 + 3e4, f(x2) = (0,1,4,9)T = 0e1 + 1e2 + 4e3 + 9e4, und somit die Matrixdarstellung
MBR4,BR[x]
2(f) = 0 BB
@
1 0 0 1 1 1 1 2 4 1 3 9
1 CC A.
(2) Hieraus berechnet man eine Zerlegung
(3) Man liest nun die gesuchte Transformationsmatrix des Raums R[x]2 ab als
TBR[x]
Für die Transformation desR4 muss man die Matrix noch invertieren und findet
TB
(4) Die neue Basis von R[x]2 ergibt sich mittels
Zur Abbildung eines allgemeinen Polynoms stellt man dieses daher durch p(x) = a0+a1x+a2x2 =a0·1 + (a1 +a2)·x+a2·(x2 x) zunächst in der Basis BeR[x]2 mit den Koordinaten (a0, a1+a2, a2)Be
R[x]2 dar.
Die Anwendung der linearen Abbildung ist nun besonders einfach durch 0
und das Ergebnis ist in kanonischen Basisvektoren ausgedrückt das vertraute Ver-halten bei Polynomauswertung
Bisher wurden lineare Abbildungen f : V ! W betrachtet, wobei im Allgemeinen die Vektorräume verschieden sein konnten und es hat sich gezeigt, dass man dabei die Basen BV,BW der Räume so geeignet wählen konnte, dass die Darstellungsmatrix eine Diagonalgestalt erhält, bei der auf der Diagonalen nur r = Rang(f) Einsen und sonst Nullen standen. Die Darstellungsmatrix und besonders ihre Anwendung auf einen Vektor war daher besonders einfach. Dieses Vorgehen ist natürlich auch dann noch möglich, wenn Bild und Urbild derselbe Raum sind, d.h. V = W - man muss nur für Bild und Urbild eine unterschiedliche Basis zulassen und geeignet wählen. Deutlich anders wird die Situation, wenn man für Bild und Urbild dieselbe Basis wählen möchte und zwar so, dass die Darstellungsmatrix erneut besonders einfach ist. Man sucht also nach einer BasisBV, so dass für eine linear Abbilungf :V !V die darstellende MatrixMBV,BV(f) einfach wird - oder anders gesagt: man sucht nach einer Basistransformation, so dass die ähnliche Matrix S·MBV,BV(f)·S 1 einfach wird. Dieses Problem ist deutlich schwerer zu behandeln und wird auf die Diagonalisierbarkeit einer Matrix führen.