Hyperchaotische verrauschte Systeme

Die Parameterbestimmung durch Nullstellenbestimmung von Glg. (5.5) soll am hyper-chaotischen verallgemeinerten R¨osslersystem demonstriert werden. Das wohlbekannte

(a) 5-Dim (b) 11-Dim

Abbildung 5.1.: Konvergenz der Parameter beim 5- und 11-dimensionalen hyperchao-tischen R¨osslersystem. Die Parameter wurden durch Bestimmung der Nullstellen von Glg. (5.5) durchgef¨uhrt, wobei auf der Abszisse die Ite-rationen des Newtonverfahrens aufgetragen sind. Die Zeitreihe wurde mit den Parametern p1 = 0.29, p2 = 0.1, p3 = 4.0, p4 = 2.0 erzeugt, die im Bild gestrichelt eingezeichnet sind.

R¨osslersystem kann durch lineare Kopplung mitM −3 zus¨atzlichen Freiheitsgraden zu einem hyperchaotischen System M’ter Ordnung mit hochdimensionaler Dynamik verall-gemeinert werden [9,72]. In [9] wurde gezeigt, daß Glg. (5.7) hyperchaotische Dynamik, mit steigender Anzahl von positiven Lyapunovexponenten bei zunehmendenM, zeigt.

dx1

dt = −x₂+p₁x₁ dxm

dt = x_m−1−xm+1 (m= 2, . . . , M−1) dx_M

dt = p₂+p₃x_M(x_M−1−p₄) (5.7)

Es wurden alle 4 Parameter von Glg. (5.7) f¨ur den FallM = 5 undM = 11 mit dem Null-stellenverfahren bestimmt. Dazu wurde einer Zeitreihe der x1-Komponente der L¨ange 500, mit einer Abtastrate von 1 f¨ur das 5- und 11-dimensionale System mit den Pa-rametern p₁ = 0.29, p₂ = 0.1, p₃ = 4.0, p₄ = 2.0, numerisch erzeugt. Bestimmung der Lyapunovdimension ergibt f¨ur das 5-dimensionale System einen Wert von DL ≈ 4.029 und f¨urM = 11 von D_L≈10.029. Die Synchronisation wurde durch periodische Erset-zung (

”sporadic driving“) der x₁-Komponente in den Modellgleichungen erreicht. F¨ur den Fehlervektor im Nullstellenverfahren wurde ein Delay von 1 verwendet. Die Ergeb-nisse eines typischen Suchlaufes des Verfahrens sind in Abb.5.1aufgetragen. Aufgrund der schlechten Sch¨atzung der Parameterstartwertep₀ konvergiert das Verfahren am An-fang sehr langsam, aber in der N¨ahe der richtigen Werte adaptiert es sehr schnell und der Synchronisationsfehler f¨allt auf die verwendete Rechengenauigkeit ab. Die Anzahl der ben¨otigten Iterationen h¨angt stark von den Parameterstartwerten ab. Verschiedene L¨aufe haben gezeigt, daß typischerweise 50−150 Iterationen n¨otig sind, wobei beim h¨oherdimensionalen System im Mittel etwa die doppelte Anzahl ben¨otigt wurde. Die richtigen Parameter werden f¨ur die meisten Parameterstartwerte gefunden, so daß auch hier die Fehlerlandschaft relativ gutm¨utig und glatt sein wird.

In Abb.5.2 ist der Einfluß der zur Verf¨ugung stehenden L¨ange der Zeitreihe auf die Parameterbestimmung untersucht. Es wurde auch hier ein Delay von 1 f¨ur den Fehler-vektor verwendet und Parameteranfangsbedingungen, die ¨ahnlich wie in Abb.5.1, weit entfernt von den richtigen liegen, verwendet. Gezeigt sind die gefundenen Parameter-werte einzelner Suchl¨aufe, wobei die Abweichungen von den echten Werte repr¨asentativ f¨ur alle L¨aufe bei dieser L¨ange sind. Beim 5-dimensionalen System muß die Zeitreihe eine minimale L¨ange von ≈40¹ besitzen, damit mit hinreichender Genauigkeit die Pa-rameter bestimmt werden k¨onnen, w¨ahrend f¨ur das 11-dimensionale System schon eine L¨ange von ≈ 180 ben¨otigt wird. Es f¨allt auf, daß einige Parameter empfindlicher auf kurze L¨angen reagieren als andere, so daß der Synchronisationsfehler nicht mehr auf Rechengenauigkeit abf¨allt. Dies deutet darauf hin, daß die Parameterbestimmung noch in der Transientphase stattgefunden hat, so daß die Systeme bei Berechnung der Feh-lerfunktion noch nicht vollst¨andig synchronisiert waren. Daß f¨ur das h¨oherdimensionale System l¨angere Zeitreihen erforderlich sind, ist nicht verwunderlich, da die Kopplung in derx₁-Komponente endliche Zeit braucht um diex_M-Koponente beeinflussen zu k¨onnen und dadurch die Zeit zum synchronisieren sicherlich ansteigen wird.

Nachdem die Anwendbarkeit der Nullstellenstrategie zur Parameterbestimmung gezeigt wurde, soll diese nun mit dem Minimierungsverfahren verglichen werden, wobei insbe-sondere auf die Empfindlichkeit gegen¨uber additivem Rauschen geachtet werden soll.

Dazu wurde wieder das 5-dimensionale verallgemeinerte R¨osslersystem mit den gleichen Parametern verwendet und auf die

”gemessene“ Zeitreihe weißes Rauschen mit vorge-gebenem Signalrauschverh¨altnis (SNR) addiert, so daß nun ein verrauschtes treibendes Signal der Form s = ˆx₁ +η vorliegt. F¨ur das Minimierungsverfahren wurde nach ei-ner Einschwingl¨ange von 500 Samples der Fehler ¨uber eine Zeitspanne von 300 Samples

1Die Anzahl der Samples entspricht aufgrund der Abtastrate von 1 auch gleichzeitig den Zeiteinheiten des Systems.

a) 5−dim b) 11−dim

Abbildung 5.2.: Konvergenz der Parameter und des Fehlers gegen die L¨ange der Zeitreihe beim a) 5-dimensionalen und b) 11-dimensionalen R¨osslersystem. Die Zeitreihe wurde mit den Parametern p1 = 0.29, p2 = 0.1, p3 = 4.0, p4 = 2.0 erzeugt, welche im Bild durch die gestrichelten Linien angedeutet sind.

a) Nullstellenverfahren b) Minimierungsverfahren

Abbildung 5.3.: Konvergenz der Parameter und des Fehlers gegen SNR beim a) Null-stellenverfahren und b) Minimierungsverfahren, mit den Parametern p1 = 0.29, p2= 0.1, p3 = 4.0, p4 = 2.0.

gemittelt. Beim Nullstellenverfahren wurde eine Zeitreihe ungef¨ahr gleicher L¨ange ver-wendet, wobei die ersten 700 Samples f¨ur die Transiente verwendet wurden und der Fehlervektor f¨ur die 4 Parameter einen Delay von 20 Samples hatte. Die Kostenfunkti-on f¨ur das Nullstellenverfahren wurde aber, aufgrund des nun vorhandenen Rauschens, leicht modifiziert. Es wurde, ¨ahnlich wie beim Minimierungsverfahren, eine Zeitmittelung

¨uber das Delayintervall eingef¨uhrt, welche die Kostenfunktion etwas unempfindlicher ge-gen¨uber Rauschen machen soll, ohne die guten Konvergenzeigenschaften zu vermindern

e=max Dabei heißt max, daß die betragsm¨aßig gr¨oßte Summe als Fehler genommen wird. In Abb.5.3 sind die beiden Verfahren bei verschiedenen SNRs gegen¨ubergestellt. Beide Methoden finden die richtigen Parameterwerte bis hinunter zu Signalrauschverh¨ altnis-sen von ≈15, was je nach Anwendung gut oder schlecht sein kann. Man darf aber nicht vergessen, daß nur ein Signal gemessen wurde und die Zeitreihe f¨ur globale Modellie-rungsanwendungen sehr kurz ist. Hat man l¨angere Zeitreihen zur Verf¨ugung, kann man versuchen durch nichtlineare Rauschunterdr¨uckung das Signal zu verbessern, oder man benutzt l¨angere Mittelungsintervalle bzw. Delayzeiten zur Berechnung der Kostenfunk-tion, welche einiges von den Rauscheinfl¨ussen herausmitteln und dadurch die Methoden gegen¨uber Rauschen robuster machten. Den Einfluß des Rauschens auf die Qualit¨at der Synchronisation sieht man am deutlichsten im Plot des gemittelten Synchronisationsfeh-lers (Kostenfunktion) gegen das SNR, wo der Synchronisationsfehler offensichtlich nur von der St¨arke des Rauschens bestimmt wird. In [35] haben wir den Einfluß von Rauschen auf die Parameterbestimmung neben dem hyperchaotischen R¨osslersystem noch bei meh-reren niederdimensionalen Systemen getestet, wo im wesentlichen das gleiche Verhalten beobachtet werden konnte. Eine Verbesserungsm¨oglichkeit besteht m¨oglicherweise noch in der Verwendung anderer Kopplungsvarianten, bei denen das System weniger stark auf Rauschen reagiert, wodurch die Robustheit des Verfahrens noch verbessert werden k¨onnte.