. Diese L¨osung hat zwei Nachteile:
Da A∈R beliebig, ist F nicht eindeutig gegeben.
Die Geschwindigkeit
∇φJ(w) = ∇φ(z)
J0(z) = ∇φ(z)
1−c2/z2, w=J(z),
ist singul¨ar an den Punkten z = ±c bzw. w = ±2c. Dies bedeutet, daß die Ge-schwindigkeit an der Hinterkante 2cnicht definiert ist.
Beide Nachteile k¨onnen auf einen Schlag beseitigt werden, wenn wir fordern, daß an der Hinterkante ein Staupunkt ist, d.h., daß an der Hinterkante die Geschwindigkeit ver-schwindet. Dies ist eine rein heuristische Forderung, die erf¨ullt ist, wennF0(c) = 0. Damit kann der Parameter A festgelegt werden. Es folgt wegen c−z0 =Re−iβ:
0 = F0(c) = Ai
c−z0 +u∞ µ
e−iγ− R2eiγ (c−z0)2
¶
= Ai
Reiβ +u∞¡
e−iγ −ei(γ+2β)¢ und folglich
A=iRu∞¡
e−i(γ+β)−ei(γ+β)¢
= 2Ru∞sin(β+γ).
Die Str¨omung um den Joukowski-Tragfl¨ugel haben wir damit bestimmt.
4.6 Hele-Shaw-Str¨ omung
Erd¨ol kann dadurch aus einem por¨osen Boden extrahiert werden, daß Wasser in den Boden gepumpt wird und das Erd¨ol durch spezielle R¨ohren nach oben dr¨uckt. Wegen der verschiedenen Z¨ahigkeit (bzw. Viskosit¨at) von Erd¨ol und Wasser k¨onnen sich “Finger”
ausbilden, die den Ertrag verringern (Abbildung 4.14). In diesem Abschnitt wollen wir eine Gleichung f¨ur die zeitliche Evolution des Randes ∂Ω(t) zwischen zwei verschieden viskosen Fl¨ussigkeiten herleiten. Vereinfachend nehmen wir an, daß sich die Fl¨ussigkeit zwischen zwei parallelen unendlich ausgedehnten Platten im Abstand 2h > 0 bewegt und dabei Luft verdr¨angt (Abbildung 4.15). Man nennt die Bewegung eine Hele-Shaw-Str¨omung. Die Bewegung der Fl¨ussigkeit ist durch die Navier-Stokes-Gleichungen
∂tn+ div(nu) = 0,
∂t(nu) + div(nu⊗u) +∇p = ∇((λ+µ)divu) +µ∆u
f¨ur die Teilchendichte n=n(x, t) und Geschwindigkeit u=u(x, t) gegeben. Wir machen die folgenden Annahmen:
Ω(t)
Ω(t) )ο
Wasser
Erdöl
Abbildung 4.14: Die Verdr¨angung von Erd¨ol durch Wasser f¨uhrt zur Bildung von “Fin-gern”.
h z
−h
x
y
Abbildung 4.15: Geometrie zweier paralleler Platten.
Die Fl¨ussigkeit sei homogen (n=n0 = const.) und station¨ar (∂tu= 0).
Der halbe Plattenabstandh sei so klein, daß es keine Str¨omung in z-Richtung gibt, d.h. u= (u1, u2,0)>.
Die Ableitungen von u nach x1 und x2 seien vernachl¨assigbar verglichen mit den Ableitungen von u nachx3.
An den Platten ruhe die Fl¨ussigkeit:u= 0 auf x3 =±h.
Die erste Voraussetzung impliziert
divu= 0, n0div(u⊗u) +∇p=µ∆u.
Wegen divu= 0 gilt
div(u⊗u)i =X
j
∂
∂xj
(ujui) =X
j
uj
∂
∂xj
ui = (u· ∇)ui,
so daß wir die zweite Gleichung auch schreiben k¨onnen als
n0(u· ∇)u+∇p=µ∆u. (4.51)
Aus der zweiten und dritten Voraussetzung folgt
(u· ∇)u=u1
Damit wird (4.51) zu
∇p=µ ∂2
bez¨uglich x3, so erhalten wir, da ∂p/∂x1 konstant bez¨uglich x3 ist, u1(x1, x2, x3) =A(x1, x2) +B(x1, x2)x3+ x23
2µ
∂p
∂x1 −h≤x3 ≤h.
Die Integrationskonstanten k¨onnen aus der Randbedingung u = 0 f¨ur x3 = ±h (vierte Voraussetzung) bestimmt werden: A=−(h2/2µ)∂p/∂x1 und B = 0. Damit folgt
u1(x1, x2, x3) = −h2−x23
Wir mitteln ¨uber x3 ∈ (−h, h), um einen Geschwindigkeitsvektor zu erhalten, der nur noch von x1 und x2 abh¨angt:
Insbesondere erf¨ullt p die Laplace-Gleichung ∆p = 0 in der Fl¨ussigkeit. Wir k¨onnen die Variablen so umskalieren, daß
v =−∇p, ∆p= 0 in Ω(t) (4.52)
gilt, wobei Ω(t)⊂R2 die zweidimensionale Projektion des Fl¨ussigkeitsgebietes sei.
Wir wollen eine Gleichung herleiten, die die zeitliche Entwicklung der Grenzkurve
∂Ω(t) beschreibt. Dazu nehmen wir an, daß der Druck konstant auf ∂Ω(t) ist. Diese Voraussetzung ist n¨aherungsweise erf¨ullt, wenn die Kr¨ummung des Randes ∂Ω(t) nicht zu groß ist. Anderenfalls gilt p=γκ auf∂Ω(t), wobei κ die Kr¨ummung von ∂Ω(t) und γ den Koeffizient der Oberfl¨achenspannung bezeichne. Durch Wahl eines Referenzpunktes f¨ur den Druck k¨onnen wir also
p= 0 auf ∂Ω(t) (4.53)
voraussetzen. Entlang der Trajektorien (x(t), y(t))> mit (x, y)0 =v gilt dann 0 = d
dtp(x(t), y(t), t) =∇p·(x0(t), y0(t))>+ ∂p
∂t =pt+v· ∇p auf∂Ω(t).
Aus (4.52) folgt
pt− |∇p|2 = 0 auf∂Ω(t). (4.54) Wir nehmen nun an, daß sich in Ω(t) eine Quelle bzw. Senke befindet:
p(x, y)∼ −Q
2π ln(x2+y2)1/2 f¨ur (x, y)→(0,0). (4.55) Hierbei gelte ohne Einschr¨ankung (0,0)∈Ω(t)0. Die Notation bedeutet, daß im Grenzwert (x, y)→(0,0) der Quotient p/(−Q/2π) ln(x2+y2)1/2 gegen Eins konvergiert.
Das Randwertproblem (4.52) und (4.53) (oder (4.54)) zusammen mit der Bedingung (4.55) ist ein freies Randwertproblem, da wir neben dem Druck noch den freien Rand
∂Ω(t) bestimmen m¨ussen. Wir bestimmen den Rand, indem wir ihn auf den Rand des Einheitskreises transformieren. Dazu setzen wir z = x+iy und transformieren Ω(t) auf den Einheitskreis {ζ ∈ C : |ζ| < 1}. Ist Ω(t) endlich und einfach zusammenh¨angend, so existiert nach dem Abbildungssatz von Riemann eine Funktion f mit den folgenden Eigenschaften:
f(·, t) :{|ζ| ≤1} →Ω(t), z =f(ζ, t),
und f({|ζ| = 1}) = ∂Ω(t), ζ 7→ ζf(ζ, t) ist analytisch und (f¨ur ζ = 0) reell und positiv.
Außerdem gilt∂f /∂ζ 6= 0.
Welcher Differentialgleichung gen¨ugt f? Dazu m¨ussen wir den Druck auf die ζ-Ebene transformieren. Sei w(z) = p(x, y) +iψ(x, y) der komplexe Druck. Dann gilt
w(f(ζ, t)) =−Q
2πlnζ, (4.56)
denn
∆p= Re∆w= 0 in{|ζ|<1}, p=−Q
2π ln|ζ|= 0 auf{|ζ|= 1}
und
p∼ −Q
2π ln|ζ| f¨ur ζ →0.
Es bleibt die Gleichung (4.54) zu transformieren. Es gilt auf |ζ|= 1 wegen (4.54):
Re
Aus (4.56) folgt einerseits
∂w Damit ergibt sich aus (4.57)
−Re Jede injektive Funktion f, die die obigen Eigenschaften und (4.58) erf¨ullt, liefert eine L¨osung der Hele-Shaw-Str¨omung.
Als Beispiel wollen wir untersuchen, welche Hele-Shaw-Str¨omungen Funktionen der Form
f(ζ, t) = Xn
k=−1
ak(t)ζk, ak(t) reell,
ergeben. Setzen wir diese Definition in (4.58) ein, sortieren nach Potenzen von ζk und identifizieren die Koeffizienten der ζk-Terme, erhalten wir
Xn
k=−1
kaka0k =−Q
2π (4.59)
f¨ur den ζ0-Term und f¨ur die restlichen Terme:
n−j
X
k=−1
(kaka0k+j + (k+j)ak+ja0k) = 0, j = 1, . . . , n+ 1. (4.60)
Dies sind gew¨ohnliche Differentialgleichungen f¨ur a−1, . . . , an mit den Anfangswerten aj(0) =αj, j =−1, . . . , n, (4.61) die sich aus der Transformation
f(ζ,0) = Xn
k=−1
αkζk
des gegebenen Gebietes Ω(0) ergeben. Wir behaupten nun: Die L¨osung von (4.60)–(4.61) kann nicht f¨ur allet≥0 existieren, wennn ≥2 undQ >0. Um dies einzusehen, schreiben wir (4.60) f¨ur j =n+ 1:
−a−1a0n+nana0−1 = 0.
Dies ist ¨aquivalent zu
na0−1
Die Gleichung (4.59) ist ¨aquivalent zu d liefert. Wir formulieren diese Gleichung um:
a2−1(t) = α2−1+Qt π +
Xn
k=1
k(a2k(t)−α2k)→ ∞ f¨ur t → ∞, (4.63) daQ >0. Andererseits folgt aus dieser Gleichung und (4.62)
a2−1(t) = Qt
Die linke Seite konvergiert jedoch f¨ur t → ∞ wegen (4.63) gegen −∞; Widerspruch.
Folglich kann die L¨osung von (4.60)–(4.61) nur in einem endlichen Zeitintervall existieren.
Physikalisch erwarten wir nat¨urlich zeitlich globale L¨osungen. Was ist passiert? Dazu betrachten wir die spezielle Funktion
f(ζ, t) =a1(t)ζ+a2(t)ζ2, |ζ| ≤1.
Die Gleichungen (4.59) und (4.60) ergeben d
dt(a21+ 2a22) =−Q
π, 1
a1
d
dt(a21a2) =a1a02+ 2a2a01 = 0, also
a21(t) + 2a22(t) = −Qt
π + (α21+ 2α22), (4.64)
a21(t)a2(t) = α21α2. (4.65)
Seien α1, α2 >0 so, daß
t∗ =−π Q
¡3(α21α2)2/3−(α21+ 2α22)¢
>0.
Dann folgt aus (4.64)–(4.65) a21(t∗) + 2a22(t∗) = −Qt∗
π +α21 + 2α22 = 3(α21α2)2/3 = 3(a21(t∗)a2(t∗))2/3. Diese Gleichung besitzt die L¨osung a2(t∗) =a1(t∗). Dies impliziert jedoch
∂f
∂ζ(ζ, t∗) = a1(t∗) + 2a2(t∗)ζ =a1(t∗)−a2(t∗) = 0
f¨ur ζ = −1/2, d.h., f(ζ, t∗) ist nicht mehr injektiv, und die Transformation ist nicht mehr zul¨assig. Dies ist ein mathematisches Argument. Was ist der physikalische Grund?
Zeichnet man den Rand z ∈∂Ω(t), d.h.
z =f(ζ, t) = a1(t)ζ+a2(t)ζ2, |ζ|= 1,
so ergibt sich beit =t∗ eine Singularit¨at (Abbildung 4.16). Die Singularit¨at bedeutet, daß die Kr¨ummung des Randes unendlich wird. Nun ist bei der Herleitung vorausgesetzt wor-den, daß die Kr¨ummung nicht zu groß werden darf. Diese Voraussetzung ist also verletzt.
In realen Fl¨ussigkeiten verhindert die Oberfl¨achenspannung derartige Singularit¨aten. Da wir die Oberfl¨achenspannung vernachl¨assigt haben, ist das Auftreten von Singularit¨aten nicht erstaunlich. Freilich gibt es andere Funktionen f, bei denen keine Singularit¨aten auftreten (siehe die Literatur in [6]).
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Realteil
Imaginärteil
Abbildung 4.16: Darstellung der Kurven {f(ζ, t) : |ζ| = 1} f¨ur t = 0,0.8,1.6,1.942 mit den Parameterwerten α1 =α2 = 1 undQ=−1.
5 Diffusion
5.1 Diffusionsgleichung
In diesem Abschnitt wollen wir eine Gleichung herleiten, die die Diffusion von Teilchen oder allgemein von physikalischen Gr¨oßen beschreibt. Wir beginnen mit einem Teilchen, das sich zur Zeit t = 0 an der Stelle x= 0 befindet und das sich in einer Zeitspanne 4t aufgrund von Kollisionen mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links oder rechts um eine Wegl¨ange 4xbewegt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich das Teilchen zur Zeit tk =k· 4t (k ∈N) an der Stelle xn=n· 4x (n∈Z)?
Sei Xk des Ort des Teilchens zur Zeit tk, d.h. Xk ∈ 4x·Z = {0,±4x,±24x, . . .}, und sei
u(xn, tk) =P(Xk =xn)
die Wahrscheinlichkeit, daß sich das Teilchen zur Zeit tk inxn befindet. Die Wahrschein-lichkeit kann rekursiv berechnet werden (Abbildung 5.1):
u(xn, tk+1) = 1
2u(xn−1, tk) + 1
2u(xn+1, tk), (5.1) wenn nund k entweder beide gerade oder beide ungerade sind, undu(xn, tk+1) = 0 sonst.
Die Anfangsbedingung lautet
u(xn,0) =
( 1 : n= 0,
0 : n6= 0. (5.2)
Ubungsaufgabe:¨ Berechnen Sie u(xn, tk) als L¨osung der Rekursionsgleichungen (5.1)–
(5.2).
x−3 x x x
∆ x
−2 x−1 x0 1 2 x3
1/2 1/2
1/4 2/4 1/4
1/8 3/8 3/8 1/8
1 k=0
k=1
k=2 k=3
Abbildung 5.1: Stochastische Irrfahrt. Die Zahlen geben die Wahrscheinichkeiten an, daß sich das Teilchen zur Zeittk an der entsprechenden Stelle befindet.
Was geschieht, wenn sowohl 4x als auch 4t gegen Null gehen? Wir nehmen an, daß diese Konvergenz so ist, daß
σ := (4x)2 24t konstant bleibt. Dann folgt aus (5.1)
σ (4x)2
³u(xn−1, tk)−2u(xn, tk) +u(xn+1, tk)´
− 1 4t
³u(xn, tk+1)−u(xn, tk)´
=
µ σ
(4x)2 − 1 24t
¶ ³
u(xn−1, tk) +u(xn+1, tk)−2u(xn, tn)´
= 0.
Im Grenzwert 4x → 0 bzw. 4t → 0 folgt aus dieser Differenzengleichung die partielle Differentialgleichung
σuxx−ut= 0, x∈R, t >0, (5.3) die wirDiffusionsgleichung nennen. Der Parameter σ >0 ist der Diffusionskoeffizient.
Ubrigens gibt es einen Zusammenhang zwischen der L¨osung von (5.3) und der stocha-¨ stischen Irrfahrt, die durch Xk beschrieben wird. Wir k¨onnen Xk formulieren als
Xk= Xk
j=1
Zj,
wobeiZj sogenannte (unabh¨angige) Zufallsvariablen sind, die mit Wahrscheinlichkeit 1/2 den Wert −4x und mit Wahrscheinlichkeit 1/2 den Wert +4x annehmen, d.h., Zj ist eine (Zufalls-)Funktion mit Werten in {−4x,4x}. Wir definieren den Erwartungswert und dieVarianz von Zj durch
E(Zj) := −4x·P(Zj =−4x) +4x·P(Zj =4x), Var(Zj) := E(Zj2)−E(Zj)2.
Aus E(Zj) = −4x· 12 +4x· 12 = 0 folgt eine Funktion X mit den Eigenschaften E(X) = 0, Var(X) = 2σt. Der Grenzwert X wird Brownsche Bewegung genannt. Man kann außerdem zeigen, daß nach dem zentralen Grenzwertsatz
gilt, wobeit =tkfest gew¨ahlt sei. Andererseits erf¨ullt auch die Brownsche Bewegung diese Beziehung: Die Funktion u ist eine spezielle L¨osung von (5.3):
ut−σuxx = exp
Beginnt die Diffusion mit einer endlichen Zahl von Teilchen, die ¨uber die reelle Zah-lenachse verteilt sind, m¨ussen wir (5.3) mit der Anfangsbedingung
u(x,0) =u0(x), x∈R, (5.5)
l¨osen. Durch ¨Uberlagerung der einzelnen Bewegungen, beschrieben durch (5.4), erhalten wir die L¨osung
Welchem Anfangswert entspricht die L¨osung (5.4)? Offensichtlich gilt limt→0u(x, t) =
Es gibt keine Funktion
u0(x) := lim
t→0u(x, t),
die die Eigenschaften (5.6) erf¨ullt. Wir nennen u0 daher eine Distribution; das ist ein Funktional, definiert durch
u0[φ] =φ(0) f¨ur alle φ∈C0∞(R),
wobeiC0∞(R) der Raum allerC∞-Funktionen mit kompaktem Tr¨ager sei. Diese Definition ergibt sichformal aus
u0[φ] =
Die Diffusionsgleichung (5.3) tritt auch bei Temperaturprozessen auf. Sei θ(x, t) die Temperatur eines K¨orpers zur Zeit t an der Stelle x ∈ R3. Die zeitliche ¨Anderung der Temperatur ist proportional zur Divergenz des W¨armestromes J:
n0cθt+ divJ = 0,
wobein0 die Dichte des K¨orpers und cseine spezifische W¨arme seien (siehe unten). Nach dem Fourier-Gesetz ist der W¨armestrom proportional zum Temperaturgradienten
J =−λ∇θ,
wobei λ >0 die W¨armeleitf¨ahigkeit genannt wird. Ist λ konstant, so folgt die W¨armelei-tungsgleichung
θt− λ
n0c4θ = 0.
Die Gleichung folgt auch aus der Energiebilanz (4.34) der Navier-Stokes-Gleichungen im Falle verschwindender Geschwindigkeit:
∂t
³3 2n0θ´
= div(K∇θ).
Die spezifische W¨arme ist hier c= 3/2, was drei Freiheitsgeraden entspricht (also einem Gas aus einzelnen Atomen). Wir betrachten folgendes Anwendungsbeispiel.
Beispiel 5.1 Wie lang sollte der metallene, nicht isolierte Griff einer Eisenpfanne sein, damit man sich nicht die H¨ande verbrennt?
Wir modellieren den Griff durch das Intervall [0, L]. Sei θ(x, t) die Temperatur des Griffes. Wir nehmen an, daß der Griff zur Zeitt = 0 Raumtemperatur hat. An der Stelle x = 0 sei der Griff in Kontakt mit der Pfanne, die eine Maximaltemperatur von 200◦C habe:
θ(0, t) = 200◦C.
Wie lautet die Randbedingung am Ende des Griffes (x=L)? Es ist sicherlich unrealistisch anzunehmen, daß der Griff gegen¨uber der Umgebung v¨ollig isoliert ist, da ein kleiner W¨armestrom stattfindet:
J(L, t) = −λθx(L, t) = 0.
Andererseits ist es unrealistisch anzunehmen, daß der W¨armefluß in die Umgebung so rasch ist, daß das Ende des Griffes Raumtemperatur aufweist:
θ(L, t) = 20◦C.
Wir kombinieren stattdessen diese beiden Randbedingungen:
−θx(L, t) =α(θ(L, t)−20◦C).
Liegt die Temperatur ¨uber der Raumtemperatur, gibt es einen W¨armestrom in die Um-gebung, anderenfalls erw¨armt sich der Griff. Die Konstante α > 0 kann nur empirisch bestimmt werden. Wir nehmen an, daß α= 0.3/cm gilt.
Die Temperatur erf¨ulle die eindimensionale W¨armeleitungsgleichung θt− λ
n0cθxx = 0, x∈(0, L), t >0.
F¨ur gen¨ugend große Zeiten erwarten wir, daß sich die Temperatur auf einen station¨aren Zustand einpendelt. Verschwinden die zeitlichen ¨Anderungen (θt= 0), l¨ost die station¨are Temperaturverteilung das Randwertproblem
θxx = 0, x∈(0, L),
θ(0) = 200◦C, −θx(L) = α(θ(L, t)−20◦C).
Die allgemeine L¨osung lautetθ(x) =ax+b. Die Konstantena und b k¨onnen wir aus den Randbedingungen bestimmen; dies ergibt die L¨osung
θ(x) =−180◦ αx
αL+ 1 + 200◦C.
Soll die Temperatur am Griffende 40◦C nicht ¨uberschreiten, ergibt sich die Griffl¨ange aus 40◦C ≥θ(L) = −180◦C αL
αL+ 1 + 200◦C
oder
L≥ 8 α = 80
3 cm ≈27cm.
Der Pfannengriff sollte also mindestens 27 cm lang sein.