GEPSE-Sch¨ atzung des allgemeinen Modells

Aus dieser Darstellung wird deutlich, dass die Parameter αtj und ζ_tjktj (k_tj = 1, . . . , K_tj) nicht unabh¨angig voneinander identifizierbar sind. Dar¨ u-ber hinaus sind hier, wie in Abschnitt 4.1 f¨ur bin¨are Probitmodelle bereits begr¨undet, mit

Pr(ǫ_ntj ≤η_ntj −ζ_tjktj) = Φ(σ⁻¹_ǫntj(η_ntj −ζ_tjktj)),

die Parameter des systematischen Teils der Regressionsgleichung lediglich bis auf ein positives Vielfaches identifizierbar. Dies gilt f¨ur jede Gleichung mit einer ordinalen oder bin¨aren Responsevariablen. Bezeichnet β_tj den Vektor, der die Parameter β_tj1, . . . , β_tjPtj enth¨alt, dann k¨onnen die Para-meter β^∗_tj = σ_ǫ⁻¹_tjβ_tj und ζ_tjk^∗

tj = σ⁻¹_ǫtj(α_tj −ζ_tjktj) gesch¨atzt werden. F¨ur jede Gleichung mit einer stetigen Responsevariablen sind selbstverst¨andlich alle Parameter, die Regressionsparameter sowie die Varianz identifizierbar.

Uber die Gleichungen hinweg k¨onnen zus¨atzlich die Korrelationen gesch¨atzt¨ werden.

Im Folgenden enthalte der Vektorδ= (δ^′₍₁₎,δ^′₍₂₎,δ^′₍₃₎)^′ s¨amtliche identi-fizierbaren Parameter des Modells, ohne Ber¨ucksichtigung etwaiger Restrik-tionen. Dabei sei δ₍₁₎ der Teilvektor, der alle identifizierbaren Parameter des systematischen Modellteils enthalte,δ₍₂₎ enthalte, falls stetige Respon-sevariablen beobachtet wurden, alle Varianzen undδ₍₃₎ enthalte alle Korre-lationen. Der Vektorθ= (θ^′₁,θ^′₂,θ^′₃)^′ enthalte die letztlich interessierenden Parameter unter Ber¨ucksichtigung aller Restriktionen, wobeiθ₁ die interes-sierenden Parameter des systematischen Teils,θ₂, falls Varianzen gesch¨atzt werden sollen, die interessierenden Varianzen und θ₃ die interessierenden Korrelationsstrukturparameter.

ist man allerdings h¨aufig an Modellen, die die Abh¨angigkeiten in den Fehler-variablen beschreiben interessiert. Daher wird in diesem Abschnitt vorran-gig die Sch¨atzung dieser Modelle mit Hilfe des in Abschnitt 4.6.2 beschriebe-nen GEPSE-Ansatzes beschrieben. Die entsprechenden GEE-Sch¨atzer f¨ur den systematischen Teil des Modells ergeben sich dabei sozusagen

” neben-her“. Zun¨achst werden die Sch¨atzgleichungen f¨ur den systematischen Teil des Modells und anschließend die Sch¨atzgleichungen, falls stetige Response-variablen vorhanden, f¨ur die Varianzen sowie f¨ur die Parameter der Korrela-tionsstruktur beschrieben. Zu beachten ist, dass die jeweiligen Teilvektoren des Parametervektors θ nicht ausschließlich Funktion der entsprechenden Teilvektoren des Parameters δ sein m¨ussen. So k¨onnte etwa θ₍₂₎ aus zu sch¨atzenden Varianzen der Fehlerterme der Gleichungen mit ordinalen Re-sponsevariablen aufgebaut werden, obwohl diese nur indirekt — und auch dann nicht v¨ollig unrestringiert — ¨uber die Sch¨atzung der Parameter des systematischen Teils dieser Gleichungen identifiziert werden k¨onnen.

5.2.1 Sch¨atzgleichungen f¨ur die identifizierbaren Regressi-onsparameter

In die Sch¨atzgleichungen f¨ur die identifizierbaren Parameter des systemati-schen Teils des Regressionsmodells, δ₁, geht neben der Differenz zwischen den beobachtbaren Responsevariablen und den modellierten Erwartungs-werten dieser Variablen, µ_n, eine Gewichtungsmatrix, Ωn, ein. Sowohl die Gewichtungsmatrix als auch der Responsevektor und dessen Erwartungs-wert unterscheiden sich in Abh¨angigkeit vom Skalenniveau der jeweiligen Responsevariablen.

Wenn lediglich stetige Responsevariablen beobachtet werden, dann sind alle Regressionsparameter identifizierbar und δ₍₁₎ besteht aus allen Ele-menten der Parametermatrix Π, die nicht a priori auf einen bestimmten Wert restringiert sind. Man erh¨alt Ωn = Ω f¨ur alle n, µ_n = η_n = Πxn

und ^∂µ_∂δⁿ

1 = _∂δ^∂Π

1(I⊗x_n). Werden an allen Messpunkten f¨ur alle Einheiten dieselben Einflussgr¨oßen betrachtet, werden die Parameter des systemati-schen Teils auf ¨uber alle Gleichungen hinweg identische Werte restringiert und fasst man die Einflussgr¨oßen jeder Einheitnwie in Abschnitt 3.1.1

be-schrieben in einer MatrixXn zusammen, dann l¨asst sich ^∂µ_∂θⁿ₁ =X^′_n schrei-ben. Mit einem geeigneten Sch¨atzer f¨ur Ω, der Kovarianzmatrix der ste-tigen Responsevariablen, erh¨alt man den in Abschnitt 3.3.1 beschriebenen EGLS-Sch¨atzer.

Um die identifizierbaren Parameter des systematischen Teils des Modells mit ordinalen Responsevariablen im Rahmen des GEE- beziehungsweise GEPSE-Ansatzes sch¨atzen zu k¨onnen, wird jede ordinale Responsevariable durch eine mehrdimensionale bin¨are Variable ersetzt. In den Sch¨atzglei-chungen wird dann der Erwartungswert jeder dieser bin¨aren Variablen bei festen Einflussgr¨oßen modelliert.

Der ¨ubersichtlicheren Darstellung wegen soll im Folgenden auf die In-dizesn,tund j zun¨achst verzichtet werden. Weiterhin sei η=α+x₁β₁+

· · ·+xPβP, mitx1, . . . xP den relevanten Einflussgr¨oßen,β1, . . . , βP den ent-sprechenden Regressionsparametern und η_k^∗ = σ⁻¹_ǫ (η−ζ_k). Eine ordinale Responsevariable y mit K + 1 Auspr¨agungen kann durch einen (K+ 1)-dimensionalen Vektorz, der aus den bin¨aren Variablenz_k+1= I(y=k) mit (k= 0, . . . , K) besteht, ersetzt werden. Dabei ist I(·) dieIndikatorfunktion (siehe Anhang A.6). Genau ein Element des Vektorsznimmt, in Abh¨angig-keit von der Auspr¨agung der Variableny, den Wert eins an, alle anderen den Wert null. Ausgehend von einem Probitmodell ist der mitµ_k+1 bezeichnete Erwartungswert dieser bin¨aren Variablen f¨ur feste Einflussgr¨oßen

E(z_k+1|η, ζ_k, ζ_k+1) = Pr(z_k+1 = 1|η, ζ_k, ζ_k+1) = Pr(y=k|η, ζ_k, ζ_k+1)

= Pr(ǫ≤η−ζ_k)−Pr(ǫ≤η−ζ_k+1)

= Φ(η^∗_k)−Φ(η_k+1^∗ ), mit Φ(η^∗₀)≈1 und Φ(η_K+1^∗ )≈0.

F¨ur ein univariates Modell mit einer ordinalen Responsevariablen sind die Sch¨atzgleichungen identisch mit der Score-Funktion, der ersten Ab-leitung der log-Likelihood-Funktion nach dem identifizierbaren Parame-ter des systematischen Teils (siehe Anhang B.3). Statt des ((K + 1)× 1)-dimensionalen Vektors z geht in die Sch¨atzgleichungen ein (K × 1)-dimensionaler Vektor, hier ˜y = (˜y₁, . . . ,y˜_K)^′ ein, denn genau ein Ele-ment ist mit z₁ = 1− PK+1

l=2 z_l redundant. Entsprechendes gilt wegen

Pr(z1= 1|η, ζ0, ζ1) = 1−PK+1

l=2 Pr(z_l = 1|η, ζ_l−1, ζ_l) f¨ur die Erwartungswer-te, so dass der in die Sch¨atzgleichungen eingehende Erwartungswertvektor f¨ur eine ordinale Responsevariable als µ= (µ₁, . . . , µ_K)^′ geschrieben wird.

Weiterhin sind diese bin¨aren Variablen nicht unabh¨angig voneinander. Die entsprechende Gewichtungsmatrix in den Sch¨atzgleichungen ist — im All-gemeinen nicht f¨ur alle Einheiten identisch — Ω= Diag(µ)−µµ^′ (siehe Anhang B.3).

Die Gleichungen zur Sch¨atzung der identifizierbaren Parameter des systematischen Teils des allgemeinen Mehrgleichungs-L¨angsschnittmodells (5.2) werden — je nach beobachtbaren Responsevariablen — aus Sch¨atz-gleichungen ausgehend von ordinalen, stetigen oder gemischt ordinalen und stetigen Variablen gebildet. Allgemein lassen sich die Sch¨atzgleichungen in der bekannten Weise anschreiben als

v₁= XN n=1

∂µ_n

∂δ₁ Ω⁻¹_n (˜y_n−µ_n) =0.

Dabei besteht der Vektorµ_naus den Erwartungswerten der ¨uber alle Glei-chungen und Messzeitpunkte beobachteten stetigen Responsevariablen, η, und aus den Erwartungswertvektoren der ¨uber alle Gleichungen und Mes-szeitpunkte beobachteten dichotomisierten ordinalen Responsevariablen je-weils bei festen Einflussgr¨oßen. Der Vektor ˜y_nbesteht aus den entsprechen-den stetigen und gegebenenfalls dichotomisierten ordinalen Responsevaria-blen.

Die KovarianzmatrixΩ_n wird entsprechend den Eintr¨agen in ˜y_n gebil-det. F¨ur jeden Teilvektor ˜y_ntj, der eine ordinale Responsevariable kodiert, steht an der entsprechenden Stelle auf der Diagonalen ein wie oben be-schriebener Block Diag(µ_ntj)−µ_ntjµ^′_ntj. F¨ur eine bin¨are Responsevariable wird dieser Block zu einem Skalarµ_ntj(1−µ_ntj), der Varianz dieser bin¨aren Variablen. F¨ur eine stetige Responsevariable ist der entsprechende Diago-naleintrag gerade die Varianzσ²_ǫntj.

Als Nicht-Diagonaleintr¨age erh¨alt man die Kovarianzen der entspre-chenden Responsevariablen. F¨ur zwei ordinale Responsevariablen mitK₁+1 beziehungsweise mitK₂+ 1 Auspr¨agungen unter Nichtber¨ucksichtigung des

Indexesn, cov(˜y_tjk1y˜_t^′_j^′_k2) =E(˜y_tjk1y˜_t^′_j^′_k2)−E(˜y_tjk1)E(˜y_t^′_j^′_k2). Dabei ist E(˜y_tjk1y˜_t^′_j^′_k2) =

Pr(˜y_tjk1 = 1,y˜_t^′_j^′_k2 = 1|ηtj, η_t^′_j^′, ζ_k1, ζ_k1+1, ζ_k2, ζ_k2+1, ρ_tj,t^′_j^′) (siehe Anhang E.2) mitk₁ = 1, . . . , K₁ und k₂ = 1, . . . , K₂, wobei wenig-stens eint6=t^′,j 6=t^′. F¨ur die Kovarianz zweier stetiger Responsevariablen erh¨alt manσ_ǫtjσ_ǫt′j′ρ_tj,t^′_j^′ f¨ur wenigstens eint6=t^′,j 6=t^′. Das entsprechen-de Element f¨ur die Kovarianz einer stetigen (˜y_tj) mit einer bin¨aren Respon-sevariablen (˜y_t^′_j^′_k) erh¨alt man mitσ_ǫtjρ_tj,t^′_j^′{ϕ(η^∗_t′j^′k)−ϕ(η^∗_t′j^′(k+1))}(siehe Anhang B.4). Dabei ist zu beachten, dass die Korrelationρ_tj,t^′_j^′ f¨ur alle die entsprechende ordinale Variable kodierenden bin¨aren Variablen dieselbe ist.

Die Korrelationenρ_tj,t^′_j^′ mit wenigstens einemt6=t^′oderj 6=j^′ werden selbst als Funktionen von Korrelationsstrukturparametern θ₃ aufgefasst.

Die entsprechende Struktur in den Fehlern des latenten Modells spiegelt sich in der Kovarianzmatrix der beobachtbaren Responsevariablen ˜y_n wider.

5.2.2 Sch¨atzgleichungen f¨ur die identifizierbaren Kovarianz-strukturparameter

In diesem Abschnitt werden die Sch¨atzgleichungen f¨ur die Kovarianzstruk-turparameter beschrieben. Betrachtet man ein Modell mit ausschließlich or-dinalen Responsevariablen, dann unterscheidet sich der Aufbau der Sch¨atz-gleichungen nur unwesentlich von dem in Abschnitt 4.6.2 beschriebenen Vorgehen. Anstatt der Pseudo-log-Likelihood-Funktion der Korrelationen der latenten Fehlervariablen der Gleichungen mit bin¨aren Responsevaria-blen ist in diesem Fall die Pseudo-log-Likelihood-Funktion der Korrela-tionen der latenten Fehlervariablen der Gleichungen mit ordinalen oder bin¨aren Responsevariablen zu betrachten. Deutliche Unterschiede ergeben sich, wenn das Modell neben ordinalen oder bin¨aren auch stetige Respon-sevariablen aufweist. In diesem Fall sind zus¨atzlich Sch¨atzgleichungen f¨ur die Varianzen derjenigen Gleichungen mit stetigen Responsevariablen zu ber¨ucksichtigen. Weiterhin m¨ussen Pseudo-log-Likelihood-Funktionen so-wohl f¨ur die Korrelationen der Fehlervariablen derjenigen Gleichungen mit

stetigen Responsevariablen als auch f¨ur die Korrelationen von Fehlervaria-blen derjenigen Gleichungen mit stetigen und ordinalen ResponsevariaFehlervaria-blen formuliert und abgeleitet werden.

Im Folgenden soll die Korrelation der latenten Fehlervariablen einer Gleichung mit einer ordinalen und jener mit einer stetigen Responsevaria-blen als polyseriale Korrelation bezeichnet werden. Die Korrelation zwi-schen den latenten Fehlervariablen einer Gleichung mit einer bin¨aren und einer stetigen Responsevariablen k¨onnte alsbiseriale Korrelationbezeichnet werden. Da bin¨are Responsevariablen im Kontext der hier beschriebenen Sch¨atzgleichungen aber als Spezialfall ordinaler Responsevariablen aufge-fasst werden, soll auf diese zus¨atzliche Unterscheidung verzichtet werden.

Entsprechend werden die Korrelationen zwischen latenten Fehlervariablen der Gleichungen mit ordinalen oder bin¨aren Responsevariablen als polycho-rische Korrelation bezeichnet, das heißt auch hier wird nicht unterschieden, ob lediglich zwei bin¨are (tetrachorische Korrelation) oder zwei ordinale Re-sponsevariablen beteiligt sind.

Wird pro Einheit mehr als eine stetige Responsevariable erhoben, dann l¨asst sich f¨ur alle stetigen Beobachtungen eine Pseudo-Likelihood-Funktion formulieren. Durch Ableiten der logarithmierten Pseudo-Likelihood-Funk-tion nach den Varianzen und KorrelaPseudo-Likelihood-Funk-tionen gewinnt man Pseudo-Score-Gleichungen, die an den entsprechenden Stellen in die Sch¨atzgleichungen eingehen. Im Folgenden sei Σ_s die Kovarianzmatrix der Fehlervariablen derjenigen Gleichungen mit stetigen Responsevariablen und S_n = (˜y_n,s− µ_n,s)(˜y_n,s−µ_n,s)^′, wobei der Index s die Menge derjenigen Elemente be-zeichnet, die f¨ur Gleichungen mit stetigen Responsevariablen stehen. Als Sch¨atzgleichungen f¨ur Varianzen und Kovarianzen erh¨alt man

XN n=1

1

2Kvec(Σ⁻¹_s S_nΣ⁻¹_s −Σ⁻¹_s ) =0

mit K der Ableitung von Σ_s nach Varianzen und Kovarianzen, das heißt einer Matrix bestehend aus Nullen und Einsen (siehe Anhang E.1). Die Kovarianzen sind Funktion der interessierenden Korrelationen sowie der Varianzen. Schreibt man f¨ur die Sch¨atzgleichungen der Varianzenv^∗₍₂₎, der

Kovarianzen v^∗_(3),s und ξ_s f¨ur den Vektor aller Kovarianzen, dann erh¨alt man bei entsprechender Anordnung der Sch¨atzgleichungen als Sch¨atzglei-chungen f¨ur Varianzen und Korrelationen

v₍₂₎ v_(3),s

= I _∂δ^∂ξs

(2)

0 _∂δ^∂ξs

(3),s

! v^∗₍₂₎ v^∗_(3),s

!

=0

mit v₍₂₎ den Sch¨atzgleichungen f¨ur die Varianzen und v_(3),s den Sch¨atz-gleichungen f¨ur die Korrelationen ¨uber alle Gleichungen mit stetigen Re-sponsevariablen (siehe Anhang E.1). Werden nur stetige Responsevaria-blen erhoben, dann ist die Pseudo-Likelihood-Funktion gerade die log-Likelihood-Funktion und man erh¨alt mit diesen Sch¨atzgleichungen und den Sch¨atzgleichungen f¨ur die Regressionsparameter die entsprechenden ML-Sch¨atzer.

Werden pro Einheit mehr als eine ordinale Responsevariable erho-ben, dann wird ausgehend von den Paaren ordinaler Responsevariablen (y_ntj, y_nt^′_j^′) f¨ur jede polychorische Korrelation ρ_tj,t^′_j^′ der entsprechenden Fehlervariablen, mit wenigstens einem t 6= t^′, j 6= j^′, ¨ahnlich wie in Ab-schnitt 4.6.2 f¨ur das bin¨are Modell, eine log-Likelihood formuliert, deren Ableitung nach der entsprechenden Korrelation in die Sch¨atzgleichungen eingeht. Mit

P_ntjk1,t^′_j^′_k2 =

Pr(y_ntj =k₁, y_nt^′_j^′ =k₂|η_ntj, η_nt^′_j^′, ζ_tjk1, ζ_tj(k1+1), ζ_t^′_j^′_k2, ζ_t^′_j^′_(k2+1), ρ_tj,t^′_j^′) der Wahrscheinlichkeit, daf¨ur dassy_ntj den Wertk₁ undy_nt^′_j^′ den Wertk₂ annimmt, und ϕ_ntjk1,t^′_j^′_k2 =ϕ(η_ntjk^∗ ₁, η_nt^∗ ′j^′k2, ρ_tj,t^′_j^′), dem Wert der Dich-tefunktion der bivariaten Standardnormalverteilung an den Stellen η_ntjk^∗

1, η^∗_nt′j^′k2 und ρ_tj,t^′_j^′, erh¨alt man als Sch¨atzgleichung f¨ur die polychorische Korrelationρ_tj,t^′_j^′

0 = XN n=1

ϕ_ntjk1,t^′_j^′_k2−ϕ_ntj(k1+1),t^′_j^′_k2−ϕ_ntjk1,t^′_j^′_(k2+1)+ϕ_ntj(k1+1),t^′_j^′_(k2+1)

P_ntjk1,t^′_j^′_k2 .

Die Sch¨atzgleichungen f¨ur alle polychorischen Korrelationen erh¨alt man als die Ableitung der Pseudo-log-Likelihood-Funktion nach den Korrela-tionen, bei der alle m¨oglichen Paare der ordinalen Responsevariablen — gegeben die Einflussgr¨oßen — als unabh¨angig voneinander aufgefasst wer-den. Die Herleitung der Ableitungen ausgehend von der entsprechenden Pseudo-Maximum-Likelihood-Funktion findet man in Anhang E.2.

Werden wenigstens eine stetige und eine ordinale Responsevariable erho-ben, dann sind auch Sch¨atzgleichungen f¨ur die entsprechenden polyserialen Korrelationen zu formulieren. Tats¨achlich werden f¨ur den hier beschriebe-nen Ansatz, ausgehend von der entsprechenden log-Likelihood-Funktion, Sch¨atzgleichungen f¨ur den Vektor der Korrelationen zwischen den Fehler-variablen jeder Gleichung mit einer ordinalen ResponseFehler-variablen und jenen aller Gleichungen mit stetigen Variablen verwendet (siehe auch Anhang E.3). Seiρ_so der Vektor der polyserialen Korrelationen der Fehlervariablen aller Gleichungen mit stetigen und der Fehlervariablen einer Gleichung mit einer ordinalen Responsevariablen, Σ_s = V^1/2s R_sV^1/2s die Kovarianzma-trix der Fehlervariablen der stetigen Gleichungen mit V_s den entsprechen-den Varianzen undR_sdie entsprechende Korrelationsmatrix. Weiterhin sei

̺ = 1−ρ^′_soR⁻¹_s ρ_so und ψ_ntjk = ̺^−1/2(η_ntjk^∗ +ρ^′_soR⁻¹_s V^−1/2s (y_n,s−µ_n,s)) mitη_ntjk^∗ =σ_ǫ⁻¹(α+x_ntj1β₁+· · ·+x_ntjPβ_P −ζ_ntjk) f¨ur die Gleichung mit der ordinalen Responsevariablen, y_n,s dem Vektor der stetigen Response-variablen undµ_n,s dem entsprechenden Erwartungswert. Dann erh¨alt man als Sch¨atzgleichungen f¨urρ_so

P_N

n=1 ̺^−1/2 XK k=0

I(y_ntj,o=k)(Φ(ψ_ntjk)−Φ(ψ_ntj(k+1)))⁻¹ R⁻¹_s

ρ_so̺^−1/2(ψ_ntjkϕ(ψ_ntjk)−ψ_ntj(k+1)ϕ(ψ_ntj(k+1))) +V^−1/2_s (y_n,s−µ_n,s)(ϕ(ψ_ntjk)−ϕ(ψ_ntj(k+1)))

=0,

mit yntj,o der ordinalen Response, Φ(ψntj0) ≈ 1, Φ(ψ_ntj(K+1)) ≈ 0, ϕ(ψ_ntj0)≈0 und ϕ(ψ_ntj(K+1))≈0. Die Sch¨atzgleichungen f¨ur alle polyse-rialen Korrelationen erh¨alt man auch hier indem die entsprechenden

log-Likelihood-Funktionen so zusammengefasst werden, als w¨aren alle m¨ogli-chen Kombinationen aller stetigen mit jeweils einer ordinalen Response-variablen — gegeben die Einflussgr¨oßen — unabh¨angig voneinander. Zur Sch¨atzung der eigentlich interessierenden Parameter werden die Sch¨atzglei-chungen f¨ur alle identifizierbaren Parameter zusammengefasst. Dabei wird implizit von einer Pseudo-log-Likelihood ausgegangen, in die die Beitr¨age f¨ur Korrelationen zwischen stetigen Variablen, polychorischen und polyse-rialen Korrelationen als voneinander unabh¨angig eingehen. Alle sch¨atzbaren Korrelationen gehen in den Vektor δ₍₃₎ ein. Weiterhin wird die Ableitung

∂δ

∂θ ben¨otigt.

5.2.3 Berechnung der Sch¨atzer

Anstatt an allen identifizierbaren Parameternδist man im Allgemeinen an sparsamer parametrisierten Modellen interessiert. So ist oft die Annahme plausibel, dass die Parameter des systematischen Teils ¨uber den betrach-teten Zeitraum hinweg konstant bleiben. Oft werden Varianzen auf den gleichen Wert restringiert, oder es wird eine Korrelationsmatrix mit weni-ger alsT J(T J−1)/2 Parametern gesch¨atzt. Die entsprechenden Parameter sollen als die interessierenden Parameter des systematischen Teils (θ₍₁₎), als Varianzstrukturparameter (θ₍₂₎) beziehungsweise als Korrelationsstruktur-parameter (θ₍₃₎) bezeichnet werden. Schreibt man f¨ur die Sch¨atzgleichungen aller identifizierbaren Parameter des systematischen Teilsv₍₁₎, f¨ur die der Varianzenv₍₂₎ und f¨ur die Sch¨atzgleichungen aller T J(T J−1)/2 Korrela-tionen v₍₃₎, dann erh¨alt man als Sch¨atzgleichungen f¨urθ

u= ∂δ

∂θ



 v₁ v₂ v3



.

F¨ur die im Allgemeinen iterative Berechnung der interessierenden Pa-rameter des systematischen Teils sowie — gegebenenfalls — der Sch¨atzung der Kovarianzstrukturparameter werden die Ableitungen der Sch¨atzglei-chungen nach den interessierenden Parameternθ — oder Approximationen an diese — ben¨otigt. Dabei h¨angt es von dem zu sch¨atzenden Modell, den

gew¨ahlten Restriktionen und der Art der Responsevariablen ab, wie die Sch¨atzgleichungen im Einzelnen aufzubauen sind. Recht allgemein erh¨alt man als aktualisierten Sch¨atzer in jeder Iteration l (l= 1,2, . . .)

θˆ_l = ˆθ_l−1−Q⁻¹_ˆ

θ_l−1u_ˆθ

l−1, (5.3)

mitu_ˆθ

l−1 den Sch¨atzgleichungen undQ_θˆ

l−1 derJacobi’schen Matrix, bezie-hungsweise einer Approximation an die Jacobi’sche Matrix vonu_θˆ

l−1 (siehe Anhang A.4), jeweils ausgewertet an der Stelle ˆθ_l−1.

Sind nur die identifizierbaren Parameter des systematischen Teils, θ₁, von Interesse, so erh¨alt man

u = ∂δ₁

∂θ₁ XN n=1

∂µ_n

∂δ₁Ω⁻¹_n (˜y_n−µ_n)

= XN n=1

∂ µ_n,s

µ_n,o

∂θ₁

Ω_s Ω_n,so Ω^′_n,so Ω_n,o

−1

˜ y_n,s

˜ y_n,o

− µ_n,s

µ_n,o

, (5.4) wobei der einfacheren Darstellung wegen die stetigen (˜y_n,s) ¨uber den dicho-tomisierten ordinalen Responsevariablen (˜y_n,o) angeordnet sind. Die Matrix Ωn setzt sich aus den Teilmatrizen Ωs, Ωn,so und Ωn,o zusammen, deren Struktur wie f¨ur den in Abschnitt 4.4 beschriebenen GEE-Sch¨atzer von den Annahmen bez¨uglich der Varianz- und Korrelationsstruktur in den beob-achtbaren Responsevariablen abh¨angt. Die Kovarianzmatrix ist

Ω_n=V^1/2_n R(γ)V^1/2_n ,

mitV_n einer Diagonalmatrix, auf deren Diagonalen entsprechend der An-ordnung in ˜y_n die gesch¨atzten Varianzen der stetigen Responsevariablen, diag(S), mitS=N⁻¹PN

n=1(˜y_n,s−µ_n,s)(˜y_n,s−µ_n,s)^′, beziehungsweise der ordinalen Responsevariablen, diag(Diag(µ_n,o)−µ_n,oµ^′_n,o), jeweils berechnet an der Stelle ˆθ_l−1 abgetragen sind.

Die Korrelationsmatrix l¨asst sich auf unterschiedliche Weise berechnen.

Da im Folgenden allerdings nicht die Sch¨atzung lediglich der Parameter des

systematischen Teils sondern auch der Kovarianzstruktur im Vordergrund steht, werden nur zwei einfache Varianten des GEE-Sch¨atzers betrachtet werden. Bei einer Variante wirdR(γ) =I gesetzt, das heißt, es wird unter Unabh¨angigkeit gesch¨atzt. Dies gilt auch f¨ur die dichotomisierten ordinalen Variablen, f¨ur die keine spezifische Struktur angenommen werden m¨usste.

Dieser Sch¨atzer soll lediglich als ein grober Vergleichssch¨atzer dienen. In einer anderen Version wird eine v¨ollig unrestringierte Matrix R(ˆγ) mit ˆγ dem Vektor der unteren Dreiecksmatrix der ¨uber alle (˜y_n−µ_n) berechneten Korrelationsmatrix verwendet. Diese Sch¨atzer werden, den Bezeichnungen in Kapitel 4 folgend, als GEE-Sch¨atzer bezeichnet werden.

Die MatrixQ ist im Falle dieser GEE-Sch¨atzer

Q=− XN n=1







∂ µ_n,s

µ_n,o

∂θ1







Ω_s Ω_n,so Ω^′_n,so Ω_n,o

−1







∂ µ_n,s

µ_n,o

∂θ1







′

. (5.5)

Werden simultan zus¨atzlich zu den identifizierbaren Parametern des sy-stematischen Teils die Kovarianzstrukturparameter gesch¨atzt, dann gehen in die Sch¨atzgleichungenuf¨ur die interessierenden Parameterθin (5.3) die Sch¨atzgleichungen f¨ur die identifizierbaren Parameter des systematischen Teils,v₍₁₎, und die im letzten Abschnitt beschriebenen Sch¨atzgleichungen f¨ur Varianzen (v₍₂₎) und Korrelationen (v₍₃₎) ein, wobei der einfacheren Darstellung wegen v₍₃₎ = (v^′_(3),s,v^′_(3),so,v^′_(3),o)^′ geschrieben werden soll, mitv_(3),s den Sch¨atzgleichungen f¨ur die Korrelationen der Fehlervariablen der Gleichungen mit stetigen Responsevariablen,v_(3),so denjenigen f¨ur die polyserialen undv_(3),oden polychorischen Korrelationen. Auch die Sch¨atz-gleichungenv₍₁₎sowieδ₍₁₎werden weiter unterteilt inv_(1),s undv_(1),o bezie-hungsweiseδ_(1),sundδ_(1),of¨ur die identifizierbaren Parameter des systema-tischen Teils mit stetigen und jenem Teil mit ordinalen Responsevariablen.

Die Sch¨atzgleichungen f¨ur die Parameter θ₍₁₎, θ₍₂₎, und θ₍₃₎ werden mit u₍₁₎,u₍₂₎ und u₍₃₎ bezeichnet.

Die MatrixQ ist in diesem Fall Q =

∂δ

∂θ

Q₁₁ 0 0 Q^′₂₂

∂δ

∂θ ′

, wobei

Q₁₁=− XN n=1







∂ µ_n,s

µ_n,o

∂δ₍₁₎







Ω_s Ω_n,so Ω^′_n,so Ω_n,o

−1







∂ µ_n,s

µ_n,o

∂δ₍₁₎







′

. (5.6)

Die Matrix Q₂₂ ist

Q₂₂=







A₁ A₁₂ A₁₃ 0 A^′₁₂ A2 A23 0 0 0 A₃ 0 0 0 0 A₄





, (5.7)

mit

A₁ A₁₂ A^′₁₂ A₂

der zweiten Ableitung der log-Likelihood-Funktion f¨ur Va-rianzen und Korrelationen der Fehlervariablen aller Gleichungen mit ste-tigen Responsevariablen nach δ₍₂₎ und δ_(3),s (siehe Anhang E.1). Die Ma-trix A₃ ist eine Blockdiagonalmatrix wobei als Bl¨ocke auf der Diagonalen die zweiten Ableitungen der log-Likelihood-Funktionen f¨ur die polyseria-len Korrelationen aller Fehlervariabpolyseria-len derjenigen Gleichungen mit stetigen und jeweils einer mit einer ordinalen Responsevariablen abzutragen sind. Da diese Ableitungen sehr aufw¨andig abzuleiten und zu berechnen und daher fehleranf¨allig sind, werden hier numerische Ableitungen verwendet (siehe Dennis und Schnabel, 1983, S. 103 ff., Algorithmus A 5.6.1). Zur entspre-chenden Pseudo-log-Likelihood-Funktion und deren erste Ableitung siehe Anhang E.3. Auch die Matrizen A13 und A23 sind unter Verwendung des in Dennis und Schnabel (1983) beschriebenen Algorithmus A 5.6.1 (S. 105) berechnete numerische Ableitungen dieser Pseudo-log-Likelihood-Funktion nach δ₍₂₎ und δ_(3),s.A4 schließlich ist eine Diagonalmatrix auf deren Dia-gonalen die zweiten Ableitungen der log-Likelihood-Funktionen der poly-chorischen Korrelationen (siehe Anhang E.2) abgetragen sind. Alle anderen

Teilmatrizen in Q beziehungsweise Q₂₂ sind entweder im Erwartungswert null oder sind, weil sie nicht existieren, null zu setzen.

Die MatrizenΩ_nsind nicht bekannt und m¨ussen gesch¨atzt werden. Dazu sind diese Matrizen zu berechnen wie in Abschnitt 5.2.1 beschrieben, wobei die wahren Parameter durch die entsprechenden Sch¨atzer zu ersetzen sind.

Diese gesch¨atzten MatrizenΩb_nsind nicht immer positiv definit. Daher wird dies bei der Berechnung der Inversen² jeder MatrixΩbnjeweils gepr¨uft. Ge-gebenenfalls wird f¨ur die entsprechende Einheit, f¨ur die das nicht gilt, eine

¨uber die Z-transformierten individuellen Korrelationsmatrizen gemittelte Matrix verwendet um die MatrixΩ_n zu berechnen. Den Bezeichnungen in Kapitel 4 folgend werden die Sch¨atzer, bei denen die interessierenden und identifizierbaren Parameter des systematischen Teiles und der Kovarianz-struktur simultan unter Verwendung der hier und im letzten Abschnitt be-schriebenen GewichtungsmatrixΩ_ngesch¨atzt werden, als GEPSE-Sch¨atzer bezeichnet. Neben diesen GEPSE-Sch¨atzern kann, ebenfalls dem in Kapitel 4 beschriebenen Vorgehen folgend, auch hier wieder von vorneherein eine mittlere Korrelationsmatrix verwendet werden. Der entsprechende Sch¨atzer wird als GEPSE^∗-Sch¨atzer bezeichnet.

Als GEE- beziehungsweise GEPSE-Sch¨atzer sind auch die hier beschrie-benen Sch¨atzer des allgemeinen Modells (5.2), unabh¨angig von der je-weils gew¨ahlten MatrixΩ_nunter recht allgemeinen Bedingungen konsistent und asymptotisch normalverteilt. Als Sch¨atzer f¨ur die Kovarianzmatrix der GEE-Sch¨atzer erh¨alt man mit

u_n= ∂µ_n

∂θ₁ Ω⁻¹_n (˜y_n−µ_n) undQ der in (5.5) gegebenen Matrix

Cov(ˆd θ₁) =Qb⁻¹ˆθ1,ˆγ

XN n=1

ˆ u_nuˆ^′_n

!

θˆ₁,ˆγ

Qb^−1′θˆ1,ˆγ.

2Die Inversen werden unter Verwendung der in Golub und Van Loan (1996) beschrie-benen entsprechend angepassten Algorithmen 3.1.1 und 3.1.2 sowie der auf den Seiten 167 und 112 in Golub und Van Loan (1996) beschriebenen Methoden berechnet.

Dabei istQb⁻¹ˆθ1,ˆγ die unter der jeweiligen Annahme bez¨uglich der Korrelati-onsstruktur gesch¨atzte MatrixQ, ausgewertet an der Stelle ˆθ₁ beziehungs-weise ˆγ, dem gesch¨atzten Korrelationsstrukturparameter in den Residuen (˜y_n−µ_n). Entsprechendes gilt f¨ur ˆu_n. F¨ur die GEPSE- beziehungsweise GEPSE^∗-Sch¨atzer erh¨alt man

Cov(ˆd θ) =Qb⁻¹_(+),θˆWc_θˆQb^−1′_(+),ˆθ

mit

Q₍₊₎ = ∂δ

∂θ

Q₁₁ 0 Q^′₁₂ Q^′₂₂

∂δ

∂θ ′

ausgewertet an der Stelle ˆθ. Dabei istQ₁₁ wie in (5.5) undQ₂₂wie in (5.7) gegeben. Die Matrix Q₁₂ setzt sich aus den (approximierten) Ableitungen der Sch¨atzfunktionen f¨urδ₍₂₎,δ_(3),s,δ_(3),soundδ_(3),onach den Parametern des systematischen Teils, δ₍₁₎, zusammen (siehe die Anh¨ange E.1, E.2 und E.3). Geht man von der Anordnung v₍₁₎ = (v^′_(1),s,v^′_(1),o)^′ aus, dann erh¨alt man

Q₁₂=





∂v₍₂₎

∂δ_(1),s

∂v_(3),s

∂δ_(1),s

∂v_(3),so

∂δ_(1),s 0

0 0 ^∂v_∂δ^(3),so

(1),o

∂v_(3),o

∂δ_(1),o



,

wobei f¨ur ^∂v_∂δ^(3),so

(1),s und ^∂v_∂δ^(3),so

(1),o jeweils — wie bereits beschrieben — die nu-merischen Ableitungen verwendet werden. Auch hier sind die verbleibenden Teilmatrizen inQ₍₊₎beziehungsweiseQ₁₂entweder im Erwartungswert null oder, weil sie nicht existieren, null zu setzen.

Mit den in den beiden Abschnitten 5.2.1 und 5.2.2 beschriebenen indi-viduellen Sch¨atzgleichungen f¨ur alle identifizierbaren Parameter des syste-matischen Teils,v_(1),n, f¨ur alle Varianzen,v_(2),n, und f¨ur die Korrelationen, v_(3),n, zusammengefasst im Vektorv_n= (v^′_(1),n,v^′_(2),n,v^′_(3),n)^′ erh¨alt man

W= ∂δ

∂θ

XN n=1

v_nv^′_n

! ∂δ

∂θ ′

.

5.2.4 Evaluation des GEPSE-Sch¨atzers

In diesem Abschnitt soll der GEPSE-Sch¨atzer des allgemeinen Modells (5.2) mit Hilfe simulierter Datens¨atze evaluiert werden. Zum Vergleich werden der ebenfalls in den letzten Abschnitten beschriebene GEE- und der GEPSE^∗-Sch¨atzer betrachtet. Die GEE-Sch¨atzer wurden unter der Un-abh¨angigkeitsannahme, gekennzeichnet durch den IndexU, beziehungswei-se unter Verwendung einer unrestringierten Korrelationsmatrix, gekenn-zeichnet durch den Index ¯Rberechnet. Sowohl GEPSE- als auch GEPSE^∗ -Sch¨atzer wurden unter Annahme der korrekten Korrelationsstruktur be-rechnet.

Die Daten wurden entsprechend der bereits in Abschnitt 4.5 beschriebe-nen prinzipiellen Vorgehensweise erzeugt. Als Anzahl an Einheiten wurden N = 100, N = 200, N = 500 und N = 1000, als Anzahl an Zeitpunkten T = 5 und als Anzahl an Gleichungen pro Zeitpunkt J = 2 gew¨ahlt. Die normalverteilten Fehlervariablen des latenten Modells wurden unter Ver-wendung einersymmetrischen Block-Toeplitzmatrix mitθ₃ = (ϑ₁, . . . , ϑ_T)^′

R_ǫ= (M_θ3 ⊗1_J1^′_J) + (1−ϑ₁)I_{T J}, wobei

Mθ₃ =







ϑ₁ ϑ₂ ϑ₃ · · · ϑ_T ϑ2 ϑ1 ϑ2 · · · ϑT−1

... ... ... . .. ...

ϑ_T ϑ_T−1 ϑ_T−2 · · · ϑ₁







simuliert. F¨ur eine insgesamt h¨ohere Korrelation wurdenϑ₁=.8,ϑ₂ =.68, ϑ₃ = .584, ϑ₄ = .507, ϑ₅ = .446, f¨ur insgesamt geringere Korrelationen ϑ₁ =.4, ϑ₂ =.25, ϑ₃ =.175, ϑ₄ =.138, ϑ₅ =.119 verwendet. Die wahren Varianzen betrugen an jedem Beobachtungspunkt eins.

Als Einflussgr¨oßen wurden eine dichotome mit Erwartungswert.3, eine normalverteilte mit Erwartungswert null und Varianz eins, eine gleichver-teilte mit Erwartungswert null und Varianz 1/12 und eine gemischt gamma-und gleichverteilte Variable mit Erwartungswert null gamma-und Varianz eins si-muliert. Die generierten Werte der dichotomen Variablen wurden ¨uber die

Gleichungen pro Zeitpunkt konstant gehalten. Zur Erzeugung der Werte der gemischt gamma- und gleichverteilten Variablen wurden, unter Verwendung des Zufallszahlengenerators RANGAM, zun¨achst Werte aus einer Gammaver-teilung mit Erwartungswert null und Varianz.5 unabh¨angig ¨uber alle Beob-achtungspunkte erzeugt. Zu diesen Werten wurden dann die f¨ur jede Einheit uber die Beobachtungspunkte invarianten simulierten Werte einer gleichver-¨ teilten Variablen mit Erwartungswert null und Varianz .5 summiert. Dies ergibt eine Korrelation dieser Variablen ¨uber die Messpunkte innerhalb der Einheiten von .5. Die Werte der normalverteilten und der gleichverteilten Einflussgr¨oßen wurden als unabh¨angig ¨uber alle Beobachtungspunkte simu-liert. Die generierten Werte der dichotomen, der normalverteilten und der gleichverteilten Variable gingen als Auspr¨agungen der releventen Einfluss-gr¨oßen in die jeweils erste Gleichung eines jeden Zeitpunktes ein. Auch in die zweite Gleichung gingen die simulierten Werte der dichotomen und der normalverteilten Variablen, zus¨atzlich aber die Werte der gemischt gamma-und gleichverteilten Variablen ein. ¨Uber die Simulationen wurde die Werte der Einflussgr¨oßen jeweils konstant gehalten.

Uber alle Gleichungen hinweg wurden die simulierten Werte der di-¨ chotomen Variablen mit dem wahren Parameterwert −1 und die der nor-malverteilten Variablen mit .8 gewichtet. Die an jedem Zeitpunkt jeweils nur in der ersten Gleichung relevanten Werte der gleichverteilten Variablen wurden mit dem wahren Parameterwert−.8 und die nur in der jeweils zwei-ten Gleichung relevanzwei-ten Werte der gemischt gamma- und gleichverteilzwei-ten Variablen mit−.1 gewichtet. Die Werte der wahren Regressionsparameter aber auch der Schwellenwerte wurden ¨ubert= 1, . . . , T konstant gehalten.

Es wurden drei verschiedene Kombinationen von Responsevariablen si-muliert. In einer ersten Version, dem linearen Modell, wurden zwei stetige Responsevariablen erzeugt. Als wahre Parameterwerte, die die Konstante gewichten wurde f¨ur die jeweils erste Gleichung pro Zeitpunkt .7 und f¨ur die zweite −.3 gew¨ahlt. In einer zweiten Version, dem gemischten Modell, wurden eine ordinale und eine stetige Responsevariable generiert. F¨ur die jeweils erste Gleichung mit der ordinalen Responsevariablen wurde als wah-rer Parameterwert, der die Konstante gewichtet, der Wert null gew¨ahlt und f¨ur die zweite Gleichung mit einer stetigen Responsevariablen der Wert−.3.

Im Dokument Analyse von Längsschnittdaten mit fehlenden Werten: Grundlagen, Verfahren und Anwendungen. (Seite 165-189)