Die entsprechenden Sch¨atzer werden im Folgenden als GEPSE∗-Sch¨atzer bezeichnet.
Im folgenden Abschnitt sollen die beiden hier beschriebenen GEPSE-Sch¨atzer im Rahmen einer Simulationsstudie evaluiert und mit dem im vorherigen Abschnitt beschriebenen GEE-Sch¨atzer verglichen werden.
Sch¨at-zer, mit Ausnahme des GEPSE∗-Sch¨atzers, zum Teil erhebliche Konver-genzprobleme. Das galt insbesondere f¨ur den von Qu, Williams, Beck und Medendorp (1992) und Qu, Piedmonte und Williams (1994) vorgeschla-genen GEE-Sch¨atzer. Im Extremfall, einer Equi-Korrelationsstruktur mit σ2 = .8, konvergierte dieser lediglich f¨ur 450 der 500 simulierten Da-tens¨atze. Sowohl GEPSE- als auch ML-Sch¨atzer waren deutlich problemlo-ser, auch wenn in bis zu 9 von 500 F¨allen Konvergenzprobleme auftraten.
Der GEPSE∗-Sch¨atzer konvergierte in allen betrachteten F¨allen. Da der Anteil an Konvergenzproblemen f¨ur den GEE-Sch¨atzer relativ hoch war, werden f¨ur die weiter unten durchgef¨uhrten Vergleiche der verschiedenen Sch¨atzer nur die Ergebnisse jener Simulationen mitN = 100 undN = 500 ber¨ucksichtigt werden.
Generell war in den hier betrachteten Simulationen der Bias der Sch¨atzer, unabh¨angig vom Ansatz, tendenziell kleiner f¨ur gr¨oßeresN. Syste-matische Unterschiede zwischen den Sch¨atzern waren nicht zu beobachten.
Dar¨uber hinaus traten keine systematischen oder wesentlichen Abweichun-gen zwischen den gemittelten Sch¨atzwerten und den wahren Werten auf, wodurch der Unterschied zwischen mittlerem quadratischen Fehler und Va-rianz der Sch¨atzwerte ¨uber die Simulationen praktisch unbedeutend ist.
Auch die prinzipiellen Ergebnismuster f¨ur die verschiedenen Regressions-parameterβ1, β2 und β3 zwischen den Sch¨atzern unterschieden sich nicht.
Daher werden in den folgenden Abbildungen nur die Ergebnisse f¨ur die Pa-rameterβ3undσ2beziehungsweiseϑber¨ucksichtigt. In jeder Einzelgraphik sind das arithmetische Mittel m der jeweils S Sch¨atzwerte, mit S der An-zahl an simulierten Datens¨atzen pro Modellspezifikation, die Wurzel aus dem mittleren quadratischen Fehler (rmse) und der Anteil an Ablehnun-gen der Nullhypothese H0: β3 = β3,0 beziehungsweise H0: σ2 = σ02 oder H0:ϑ=ϑ0 (approximativer Gaußtest) abgetragen.
Ergebnisse f¨ur die unter einer Equi-Korrelationsstruktur berechneten Sch¨atzer GEPSE∗E, GEEE, GEPSEE und ML f¨ur eine simulierte Equi-Kor-relationsmatrix mit N = 100 sind in Abbildung 4.7 abgetragen. Dabei ist zu beachten, dass die Sch¨atzergebnisse f¨ur den ML-Sch¨atzer bei σ2 = .2 auf lediglich S = 499, die Sch¨atzergebnisse f¨ur den GEE-Sch¨atzer bei σ2 = .8 auf lediglich S = 498 erfolgreichen Simulationen beruhen. Die
entsprechenden Sch¨atzergebnisse f¨ur N = 500 findet man in Abbildung 4.8. F¨urN = 500 waren alle Simulationen erfolgreich.
Abbildung 4.7: Sch¨atzergebnissem, rmseund rej ¨uber jeweilsS Simulatio-nen f¨ur β3 und σ2 unter einer simulierten Equi-Korrelationsstruktur mit σ2 =.2 beziehungsweise σ2 =.8 f¨ur GEE-, GEPSE∗-, GEPSE- und ML-Sch¨atzer bei N = 100und T = 5.
σ2 =.2a
.03 .05 .07
GEEE GEPSEE* GEPSEE ML
rej
.185 .2 .215
rmse
−1.52
−1.5
−1.48
β3
m
.03 .05 .07 .09 .11
GEEE GEPSEE* GEPSEE ML
rej
.055 .07 .085
rmse
.19 .2 .21
σ2
m
σ2 =.8b
.03 .05 .07
GEEE GEPSEE* GEPSEE ML
rej
.185 .2 .215
rmse
−1.52
−1.5
−1.48
β3
m
.03 .05 .07 .09 .11
GEEE GEPSEE* GEPSEE ML
rej
.055 .07 .085
rmse
.79 .8 .81
σ2
m
aDie Ergebnisse f¨ur die ML-Sch¨atzer basieren auf S = 499, alle anderen auf S = 500 erfolgreichen Simulationen.
bDie Ergebnisse f¨ur die GEEE-Sch¨atzer basieren aufS= 498, alle anderen aufS = 500 erfolgreichen Simulationen.
Bei einer geringen Korrelation vonσ2=.2 sind mit einer Ausnahme die
Abbildung 4.8: Sch¨atzergebnisse m, rmse und rej ¨uber jeweils 500 Simu-lationen f¨ur β3 und σ2 unter einer simulierten Equi-Korrelationsstruktur mit σ2 = .2 beziehungsweise σ2 = .8 f¨ur GEE-, GEPSE∗-, GEPSE- und ML-Sch¨atzer bei N = 500 und T = 5.
σ2 =.2
.03 .05 .07
GEEE GEPSEE* GEPSEE ML
rej
.087 .094 .101
rmse
−1.51
−1.5
−1.49
β3
m
.03 .05 .07
GEEE GEPSEE* GEPSEE ML
rej .023
.029 .035
rmse
.19 .2 .21
σ2
σ2 =.8
.03 .05 .07
GEEE GEPSEE* GEPSEE ML
rej
.087 .094 .101
rmse
−1.51
−1.5
−1.49
β3
m
.03 .05 .07
GEEE GEPSEE* GEPSEE ML
rej
.023 .029 .035
rmse
.79 .8 .815
σ2
m
Unterschiede zwischen den betrachteten Kennwerten sowohl f¨urN = 100 als auch f¨urN = 500 praktisch vernachl¨assigbar. Bei der Ausnahme handelt es sich um den Kennwert rmse f¨urσ2 beiN = 100, der f¨ur den GEE-Sch¨atzer etwas gr¨oßer (.0825) ist als f¨ur den GEPSE∗- (.0816) beziehungsweise den GEPSE-Sch¨atzer (.0817) und f¨ur diese wiederum etwas gr¨oßer als f¨ur den ML-Sch¨atzer (.0807). Die Werte f¨ur rej sind in allen F¨allen in einem akzep-tablen Bereich.
Anders sieht es bei einer hohen Korrelation von σ2=.8 aus. Zwar sind
Unterschiede in den mittleren Sch¨atzwerten vernachl¨assigbar und nur un-wesentlich von den jeweiligen wahren Werten verschieden, deutliche und systematische Unterschiede gibt es dagegen in den Kennwerten rmse. Nicht uberraschend ist der ML-Sch¨atzer der effizienteste Sch¨atzer im Sinne klein-¨ ster Werte f¨ur rmse. Nur geringf¨ugig weniger effizient ist der GEPSEE -Sch¨atzer mit etwas gr¨oßeren Werten. Betrachtet man die Ergebnisse f¨ur den Parameter des systematischen Teils, so ist der GEEE-Sch¨atzer nur un-wesentlich ineffizienter als der GEPSEE-Sch¨atzer, w¨ahrend der GEPSE∗ -Sch¨atzer deutlich ineffizienter ist. Das ¨andert sich, wenn man die Ergeb-nisse f¨ur den Korrelationsstrukturparameter betrachtet. In diesem Fall ist der GEPSE∗-Sch¨atzer deutlich effizienter als der GEEE-Sch¨atzer. Bei der Sch¨atzung der Parameter des systematischen Teils scheint eine individuelle Korrelationsmatrix, selbst wenn die Korrelationsstrukturparameter selbst weniger effizient gesch¨atzt werden, zu effizienteren Sch¨atzern zu f¨uhren.
Auffallend ist, dass der Anteil an Ablehnungen der Nullhypothese H0: σ2 = .8 bei N = 100 und σ2 = .8 f¨ur GEEE-, GEPSE∗E- und GEPSEE -Sch¨atzer außerhalb des Bereiches .05±.02 liegt (Abbildung 4.7). In allen anderen F¨allen ist diese Statistik unauff¨allig. Die f¨urβ4 beschriebenen Er-gebnisse ¨ahneln jenen f¨ur die anderen, hier nicht betrachteten Regressions-parameter. Das generelle Ergebnismuster gilt, wenn auch in einem nicht so deutlich ausgepr¨agten Maße f¨ur das Modell mit σ2 =.5.
Das bereits f¨ur das Equi-Korrelationsmodell gefundene Muster bez¨ ug-lich der relativen Effizienz findet sich, was die GEE-, GEPSE- sowie die GEPSE∗-Sch¨atzer angeht, auch im Falle einer AR(1)-Struktur wieder. Die entsprechenden Ergebnisse sind in den Abbildungen 4.9 und 4.10 abgetra-gen.
Generell zeigt sich auch hier, dass sich die mittleren Sch¨atzwerte bei Verwendung der verschiedenen Verfahren nicht wesentlich voneinander und von dem jeweiligen wahren Wert unterscheiden. Weiterhin sind die Unter-schiede in den Kennwerten rmse bei einem niedrigen Wert f¨ur ϑ(ϑ= .2) vernachl¨assigbar. Beiϑ=.8 ist der, im Sinne kleinster Werte f¨ur rmse, ef-fizienteste Sch¨atzer wieder der GEPSE-Sch¨atzer. Der GEE-Sch¨atzer weist relativ zu dem GEPSE∗-Sch¨atzer etwas kleinere Werte in den Kennwerten rmse bez¨uglich des Regressionsparameters, gr¨oßere dagegen bez¨uglich des
Abbildung 4.9:Sch¨atzergebnisse m, rmse und rej ¨uber jeweils500 Simula-tionen f¨ur β3 und σ2 unter einer simulierten AR(1)-Struktur mit ϑ = .2 beziehungsweise ϑ = .8 f¨ur GEE-, GEPSE∗- und GEPSE-Sch¨atzer bei N = 100 und T = 5.
ϑ=.2
.03 .05 .07
GEEA GEPSEA* GEPSEA
rej
.199 .208 .217
rmse
−1.52
−1.5
−1.48
β3
m
.03 .05 .07
GEEA GEPSEA* GEPSEA
rej
.0951 .1018 .1085
rmse
.1992 .2 .2008
ϑ
m
ϑ=.8
.03 .05 .07
GEEA GEPSEA* GEPSEA
rej
.199 .208 .217
rmse
−1.52
−1.5
−1.48
β3
m
.03 .05 .07
GEEA GEPSEA* GEPSEA
rej
.048 .0515 .055
rmse
.795 .8 .805
ϑ
m
Parametersϑauf. Dasselbe Ergebnismuster ergab sich auch hier, wenn die anderen Regressionsparameter betrachtet werden und, etwas weniger deut-lich, f¨ur ϑ = .5. In keinem der betrachteten F¨alle lag der Kennwert rej außerhalb des Bereiches .05±.02.
Diese Ergebnisse legen den Schluss nahe, dass der in Abschnitt 4.6.2 be-schriebene GEPSE-Ansatz f¨ur mittlere bis hohe Korrelationen zu Sch¨atzern f¨uhrt, die sehr effizient, relativ zu dem entsprechenden ML-Sch¨atzer und
ef-Abbildung 4.10: Sch¨atzergebnisse m, rmse und rej ¨uber jeweils 500 Simu-lationen f¨ur β3 und σ2 unter einer simulierten AR(1)-Struktur mit ϑ=.2 beziehungsweise ϑ = .8 f¨ur GEE-, GEPSE∗-, GEPSE- und ML-Sch¨atzer bei N = 500und T = 5.
ϑ=.2
.03 .05 .07
GEEA GEPSEA* GEPSEA
rej
.091 .096 .101
rmse
−1.51
−1.5
−1.49
β3
m
.03 .05 .07
GEEA GEPSEA* GEPSEA
rej
.041 .0436 .0462
rmse
.19 .2 .21
ϑ
m
ϑ=.8
.03 .05 .07
GEEA GEPSEA* GEPSEA
rej
.091 .096 .101
rmse
−1.51
−1.5
−1.49
β3
m
.03 .05 .07
GEEA GEPSEA* GEPSEA
rej
.0214 .0228 .0243
rmse
.795 .8 .805
ϑ
m
fizienter als der betrachtete GEE-Sch¨atzer sind. Der GEPSE∗-Sch¨atzer ist zwar bez¨uglich der Sch¨atzung der Regressionsparameter etwas ineffizien-ter als der GEPSE-Sch¨atzer, daf¨ur aber auch etwas robuster. Bei niedrigen Korrelationen scheint es weitgehend unerheblich zu sein, welches der be-trachteten Sch¨atzverfahren gew¨ahlt wird. Dieses generelle Ergebnismuster trat auch bei Variationen der Anzahl an Zeitpunkten, der wahren Parame-terwerte sowie der Arten der Einflussgr¨oßen auf.
Die Simulationsergebnisse weisen ebenfalls darauf hin, dass die ber¨ uck-sichtigten Sch¨atzer zumindest f¨ur die hier betrachteten Modellspezifikatio-nen auch in kleiModellspezifikatio-nen Stichproben bis zu N = 100 akzeptable Ergebnisse liefern. Allerdings h¨angt dies auch von der H¨ohe der wahren Korrelationen ab. So k¨onnen die Ergebnisse f¨ur σ2 in den Kennwerten rej in Abbildung 4.7 als Hinweis auf Sch¨atzprobleme in kleinen Stichproben mit sehr hohen Korrelationen aufgefasst werden. Tats¨achlich werden in diesen F¨allen die mittleren quadratischen Fehler deutlich untersch¨atzt. Dies gilt nicht mehr f¨ur den Parameter ϑ unter der AR(1)-Struktur mit ϑ = .8, bei der die Korrelationen mit zunehmendem zeitlichen Abstand abnehmen.