Teil II: Digitale Unterstützung im Selbststudium
8.2 Funktionale Zusammenhänge
In diesem Abschnitt wird ein summatives Referenzmodell für den Themenbereich Funktionen vorgestellt. Das Modell gibt eine übersichtliche Zusammenfassung und integrierte Darstellung etablierterfachdidaktischer Positionenzum genannten Themenbereich. Der methodischen Vorgehensweise und dem grundlegenden Auf-bau der summativen Referenzmodelle aus Kapitel 8 wird gefolgt. Im Folgenden soll zuerst auf die Konkretisierung der beiden Modelldimensionen für den Inhalts-bereich funktionale Zusammenhänge eingegangen werden. Hierzu werden sowohl
Skizzieren Sie mind. drei grafische Darstellungen des Bruchs 5⁄8.
Aufgabe 8: Eine Aufgabe zu Aspekt (8) des Wissens und Könnens im Bereich der Arithmetik
Welchen Preis muss ein Unternehmen für ein Produkt verlangen, das in der Produktion 2400€ kostet, um einen Gewinn von 4% zu realisieren?
Aufgabe 9: Eine Aufgabe zu Aspekt (9) des Wissens und Könnens im Bereich der Arithmetik
der Themenbereich durch Benennung seiner Elemente charakterisiert als auch der verständige Umgang mit diesen.
Konkretisierung der Modelldimensionen für den Inhaltsbereich funktionale Zu-sammenhänge
Die erste Dimension besteht aus den wesentlichen Elementen des Inhaltsbereichs, dies sind Variablen und Funktionen.
Variablen mit Fokus auf den Einzelzahl- und Veränderlichenaspekt gemäß Malle (1993). Für die unterschiedlichen Repräsentationsformen einer Funktion ergibt sich, dass in algebraischer Repräsentationsform die unabhängige Vari-able explizit angegeben ist und die abhängige VariVari-able implizit als Wert des Funktionsterms angegeben ist. In grafischer Repräsentationsform nimmt die Variable Werte an, welche längs der Abszisse und Ordinate aufgetragen sind.
In numerischer (tabellarischer) Form treten diskrete Werte der unabhängigen und abhängigen Variable als Spalten der Wertetabelle auf.
Funktionen in all ihren Repräsentationen (grafische, numerische, algebraische und verbal-situative). Da das mathematische Objekt an sich nicht zugänglich ist, erhält man nur Zugang über die Repräsentationen des Objekts (Duval 2006, S.107).
Der verständige Umgang mit diesen Elementen, die zweite Dimension, ist durch die in 3.3 erörterten vier Ausprägungen des Wissens und Könnens charakterisiert.
Adaptiert für funktionale Zusammenhänge ergeben sie sich wie folgt.
Wissen
Es handelt sich um deklaratives Wissen, also fundiertes Faktenwissen bzw. das
„Wissen, dass...“, wie es Anderson (1996) beschreibt, sowie prototypisches Wissen, wie es etwa bei Rosch (1983) beschrieben wird. Unter prototypisches Wissen fällt beispielsweise das Wissen, dass quadratische Funktionen genau eine Extremstelle besitzen. Unter fundiertes Faktenwissen fällt hingegen, was der Begriff Extremstelle bedeutet.
Strukturieren
Darunter versteht man das sinnentnehmende Lesen bereichsspezifischer Aus-drücke. Es setzt sich zusammen aus Duvals (1995) „perceptual und discursive apprehension“. „Perceptual apprehension“ meint das sinnentnehmende Wahr-nehmen einer externen Repräsentation des Gegenstands, während „discursive apprehension“ durch Interpretationsleistungen dem Gelesenen weitere Eigen-schaften assoziiert, die nicht notwendigerweise Teil der externen Repräsenta-tion sind. Zusammen mit Musgrave, Hatfield und Thompsons (2015) Aspekt
der „substitution equivalence“ – diese bezieht sich auf die strukturelle Gleich-heit zweier mathematischer Ausdrücke, wenn ein Term mit einer Variable sub-stituiert wird, oder umgekehrt – ergibt sich das, was hier unter Strukturieren verstanden wird. Strukturieren ist damit eine strukturerhaltende Aktion ohne einen Wechsel der Repräsentation. Zum Beispiel können Terme mit Variablen als Funktionsterme gelesen werden oder Kurven der Ebene als Funktionsgra-phen interpretiert werden. Oder es werden, um eine weitere Repräsentations-form anzusprechen, Abszisse und Ordinate erkannt sowie die Skalierung die-ser.
Transformieren
Transformieren meint das Umformen von Repräsentationen, die typisch sind für den jeweiligen Inhaltsbereich. Von Duval (2006) als „treatment“ beschrie-ben und von Musgrave et al. (2015) als „transformational equivalence“, ist bei-den Ansätzen gleich, dass genauso wie beim Strukturieren kein Repräsentati-onswechsel stattfindet. Musgraves Aspekt unterstreicht zudem noch die Notwendigkeit der Äquivalenz zwischen Start- und Zielzustand, im Bereich der Funktionen steht die Termäquivalenz im Vordergrund. Betrachtet man etwa die Gleichung einer Funktion, dann versteht man unter einer Transformation beispielsweise den Wechsel von der faktorisierten Form eines Polynoms in die ausmultiplizierte Form. Eine Transformation eines Funktionsgraphen hingegen liegt zum Beispiel dann vor, wenn die Achsenskalierung geändert wird. Ersetzt man eine Wertetabelle einer Funktion durch eine andere Wertetabelle dersel-ben Funktion, liegt eine Transformation in Bezug auf die numerische Reprä-sentation vor.
Interpretieren
Interpretieren meint das kohärente Wechseln zwischen verschiedenen Reprä-sentationen bzw. außermathematischen Kontextualisierungen desselben ma-thematischen Objekts. Duval (2006) benennt diesen Vorgang als „conversion“.
Beispielsweise fällt hierunter das Wechseln zwischen Wertetabelle und Graph oder das Wechseln zwischen situativer Beschreibung und Funktionsgleichung.
Aspekte des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge Die durch die zwei Gegenstands- und Tätigkeitsdimensionen aufgespannte Matrix enthält nun Zellen, die dort, wo es sinnvoll erscheint, durch gegenstandsbezogene Tätigkeitsformulierungen (Aspekte) gefüllt werden. Das Modell (siehe Abbildung 4) umfasst neun Aspekte des verständigen Umgangs mit funktionalen Zusammen-hängen, die im folgenden Abschnitt ausführlicher vorgestellt werden.
Abbildung 4: Referenzmodell funktionale Zusammenhänge (1) Definitionen, Regeln, Eigenschaften angeben
Wichtige Umformungsregeln, Fachbegriffe und Eigenschaften für bzw. von Funktionen werden angegeben und erkannt.
Beispielsweise Namen für Klassen von Funktionen, Regeln der Addition von Funktionen, Eigenschaften von Funktionen wie Symmetrie und vieles mehr.
Beispielaufgabe:
(2) Prototypen erkennen, angeben und beschreiben Faktenwissen über Klassen von Funktionen angegeben.
Beispielsweise die Anzahl der Null- bzw. Extremstellen einer Funktionsklasse.
Dieses Faktenwissen dient außerdem zur Identifizierung „markante[r] Reprä-sentanten einer Funktionsklasse“ (Weigand 2004, S. 8). Eine quadratische Funktion wird beispielsweise sofort mit der Funktion mit x² assoziiert. Die Ein-ordnung in Wissen ergibt sich aus dem Faktenwissen über Klassen von Funk-tionen. Eine Einordnung in Strukturieren im Sinne des sinnentnehmenden Le-sens ergibt sich aus der Tätigkeit Identifizieren markanter Repräsentanten einer Funktionsklasse.
Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, wenn sie monoton stei-gend ist?
Aufgabe 10: Eine Aufgabe zu Aspekt (1) des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge
Beispielaufgabe:
(3) Innerhalb einer Repräsentation kohärent wechseln
Ohne Wechsel der Repräsentation wird strukturverändernd umgeformt, Start- und Zielzustand sind termäquivalent.
Wird die algebraische Form der Funktion betrachtet, so fällt das Ausmultipli-zieren der faktorisierten Form eines Polynoms unter diesen Aspekt, oder das Ermitteln der Nullstellen einer Funktion mit Hilfe der Funktionsgleichung. Mit Blick auf grafische Repräsentationen einer Funktion deckt dieser Aspekt bei-spielsweise eine Änderung der Achsenskalierung im Graphen einer Funktion ab. Bezüglich numerischer Darstellungen einer Funktion beinhaltet der Aspekt unter anderem das Ersetzen einer Wertetabelle einer Funktion mit einer ande-ren Wertetabelle derselben Funktion.
Beispielaufgabe:
(4) Funktionen als Ganzes verändern
Verschiebungen in x- und y-Richtung, sowohl Achsen- als auch Punktspiege-lungen, sowie Streckungen und Stauchungen durchführen und erkennen.
Im Gegensatz zu (3) ist eine Termäquivalenz von Start- und Zielzustand nicht nötig bzw. je nach Transformation auch nicht möglich.
Welche der folgenden Funktionsgleichungen passt zu diesem Graphen?
Aufgabe 11: Eine Aufgabe zu Aspekt (2) des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge
Geben Sie die Nullstelle der Funktion mit ( ) = 2 − 3 an.
Aufgabe 12: Eine Aufgabe zu Aspekt (3) des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge
Beispielaufgabe:
(5) Durch Addition, Multiplikation und Verkettung neue Funktionen erzeu-gen
Durch Addition, Multiplikation und Verkettung von Funktionen neue Funktio-nen erzeugen und gegebene FunktioFunktio-nen in ihre Grundbausteine zerlegen.
Beispielsweise werden mehrere Funktionen hintereinander ausgeführt oder es wird erkannt, dass es sich bei einer bestimmten Funktion um eine Komposition mehrerer anderer Funktionen handelt.
Beispielaufgabe:
(6) Eine Funktion als Zuordnung erfassen
Es wird erkannt, dass eine Größe einer anderen zugeordnet ist (Vollrath 1989) und damit jedem „x … genau ein f(x) zugeordnet [wird]“ (Malle 2000, S. 8).
Es wird eine mengentheoretische, eher diskrete Sichtweise auf Funktionen ein-genommen.
Beispielaufgabe:
Verschieben Sie die Funktion mit ( ) = ² − + 3 in x-Richtung um 3 Einheiten nach rechts.
Aufgabe 13: Eine Aufgabe zu Aspekt (4) des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion mit ℎ( ) = √ .
Aufgabe 14: Eine Aufgabe zu Aspekt (5) des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge
Welche der Graphen ist nicht der Graph einer Funktion?
Aufgabe 15: Eine Aufgabe zu Aspekt (6) des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge
(7) Eine Funktion bezüglich ihres Änderungsverhaltens erfassen
Erfasst wird, wie sich „Änderungen einer Größe … auf eine abhängige Größe auswirken“ (Vollrath 1989, S.12).
Wird beispielsweise x in der Funktion mit f(x)=x² verdoppelt, so vervierfacht sich der Funktionswert. Dieser Aspekt rückt eine kontinuierliche bzw. kinema-tische Sichtweise auf Funktionen in den Vordergrund.
Beispielaufgabe:
(8) Zwischen verschiedenen innermathematischen Repräsentationsformen wechseln
Beispielaufgabe:
Gegeben ist die Wertetabelle einer Funktion f. Welches Änderungsver-halten weist diese Funktion auf?
x 1 2 3 4 5
f(x) 2 4 8 16 32
A: lineares Änderungsverhalten B: quadratisches Änderungsverhalten C: kubisches Änderungsverhalten D: exponentielles Änderungsverhalten
Aufgabe 16: Eine Aufgabe zu Aspekt (7) des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge
Gegeben ist der Graph einer Funktion h. Geben Sie eine Wertetabelle der Funktion h im Bereich −4 < < 4 an, die Schrittweite soll 1 betragen.
Aufgabe 17: Eine Aufgabe zu Aspekt (8) des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge
Die semantische Kongruenz, d. h. die mathematische Bedeutung zwischen Aus-gangs- und Zielrepräsentation, bleibt dabei erhalten. Der Wechsel vom Gra-phen einer Funktion zur Wertetabelle derselben entspricht einem solchen Wechsel.
(9) Zwischen außermathematischen und innermathematischen Repräsentati-onsformen wechseln
Kohärenter Wechsel zwischen innermathematischen Repräsentationen und au-ßermathematischen Kontextualisierungen der Funktion.
Außermathematische Kontextualisierungen sind verbal bzw. situative Be-schreibungen, sei es verbal, in Textform oder zeichnerisch. Die Textform bzw.
Beispielaufgabe:
Aufgabe 18: Eine Aufgabe zu Aspekt (9) des Wissens und Könnens im Bereich der funktionalen Zusammenhänge (Neubrand et al. 2004)
die verbale Beschreibung sind hierbei nicht mit der Wortform (bspw. „ein Drit-tel“) zu verwechseln. Genauso ist ein Graph der Funktion oder sein Venn-Dia-gramm keine zeichnerische Beschreibung, sondern eine innermathematische Repräsentation. Wie bei (8) handelt es sich um eine conversion nach Duval (2006).