Drehen des Ringes: x-Ahse

Im vorigen Kapitel wurde der Spinring so gedreht, dass die

D ~

^{-Vektoren senkreht zum}

Magnetfeld blieben. Dreht man nun den Ringausseiner ursprünglihen Lage

(x-z-Ebe-ne) um diex-Ahsein diex-y-Ebene,liegen die

D ~

^{-VektorenparallelzumMagnetfeld}

(z-Ahse). EsistdaherauheinandererMagnetisierungsverlauf zuerwarten.Abbildung 24

0.5 1 1.5 2

Abb. 24:Magnetisierungfür vershiedene Drehwinkelum diex-Ahse,

T = 0.02 K

^,

D = 10%J

^,

J ₁ = 1.25 k _B · K

^,

J ₂ = 0.75 k _B · K

zeigt dieMagnetisierungskurven für vershiedene Drehwinkelausder bisherigen Lage.

Man erkennt, dass die Sprünge in der Magnetisierung bei gröÿeren Winkeln shmaler

werden und der Kurvenverlauf dem bei geringerer Wehselwirkungsstärke ähnelt. Dies

kann damit begründet werden, dass der z-Anteil des Dzyaloshinskii-Moriya-Terms (s.

Formel (79)) Matrixelemente im Hamilton-Operat or besetzt, die auh vom XY-Anteil

desHeisenberg-Termsbelegtwerden.DaherdieriertdieMagnetisierungskurvefürdiesen

Fall zwar nohvon der ohne Dzyaloshinskii-Moriya-Wehselwirkung,allerdings nur sehr

wenig. DieVermutungliegtnahe,dassfür gröÿereDrehwinkeldieEigenwertentwi klung

sihebenfallsdemreinenHeisenberg-Modell annähert.InAbbildung25wurdendazudie

EigenwertebiszumerstenMagnetisierungssprung fürdenDrehwinkelvon90

◦

umdie

x-Ahse aufgetragen.

Tatsählihistnunwiedereinlevel-rossinganstelledesanti-level-rossingszusehen.Die

zumMagnetfeld parallele Komponente desDzyaloshinskii-Moriya-Terms sheint hierauf

also nur einen geringen Einuss zu haben. Dennoh entspriht das Eigenwertspektrum

niht demdesHeisenberg-Modells, denn bei

B = 0

^{werdenbestimmte} Entartunge n auf-gehoben.DazuwerdeninGrak26dieerstenangeregten ZuständefürkleineFeldstärken

einmal mit Dzyaloshinskii-Moriya-Wehselwirkung (links) und ohne (rehts) vergröÿert

dargestellt.

0.2 0.4 0.6 0.8 - 2

0 2 4

PSfragreplaements

Energie

Magnetfeld

[k _B · K]

[T esla]

Abb. 25:Ausshnitt der Eigenwertentwiklung für den um die x-Ahse gedrehten

Spinring,

D = 10% J

^,

J ₁ = 1.25 k _B · K

^,

J ₂ = 0.75 k _B · K

0.005 0.01 0.015 0.02 - 2.17

- 2.16 - 2.14 - 2.13 - 2.12

PSfragreplaements

Energie

Magnetfeld

[k _B · K]

[T esla]

(a) mit

Dzyaloshinskii-Moriya-Wehsel-wirkung

0.005 0.01 0.015 0.02 - 2.16

- 2.14 - 2.13 - 2.12

PSfragreplaement s

Energie

Magnetfeld

[k _B · K]

[T esla]

(b)Heisenberg-Modell

Abb. 26:Vergröÿerter Ausshnitt der Eigenwertentwiklungder ersten angeregten

Zustände

Mansieht,dassdiedreifaheEntartungdiesesEigenwertinAbwesenheiteines

Magnetfel-des durh die Dzyaloshinskii-Moriya-Wehselwirkung zum Teil aufgehoben wird. Durh

diese Berehnungen wird deutlih, dass die Lage des betrahteten Systems, vor allem

der Dzyaloshinskii-Moriya-Vektoren relativ zum Magnetfeld, einen niht

vernahlässig-barenEinussaufdiemagnetishenEigenshaftendesSystemshat.ImletztenTeildieser

Arbeitwird demauhan Hand eines experimentell erforshten Moleküls nahgegangen.

5 Spinringe Teil 2

5.1 Dzyaloshinskii-Moriya-Wehselwirkung: 4er Spinring (s=1)

Indiesem Kapitel werdendie Auswirkungender Dzyaloshinskii-Moriya-Wehselwirkung

aneinem weitereneinfahenSystem berehnet.Dabeibestehtder Spinring nunausvier

Spins mit

s = 1

^{, der sowohl in der normalen} Konguration als auh als dimerisierter Spinring diskutiert werden soll. Da in der Betrahtung des 6er Spinringes shon viele

Eekte besprohen wurden, soll hier nur auf die beiden thermodynamishen

Observa-blen,dieMagnetisierung unddieSuszeptibilität , eingegangen werden. Zudemwird noh

dieVershiebung der Magnetisierungssprünge diskutiert und einesemi-klassishe

Erklä-rungdafürgeliefert.ZunähstwerdenwiederdieDzyaloshinskii-Moriya-Vektorenmitden

Auswahlregeln vonMoriya bestimmt.

5.1.1 Bestimmung derDzyaloshinskii-Moriya-Vektoren

DieFestlegungder

D ~

^{-Vektorenerfolgtanalogzum6erSpinring.Die}nahfolgendeGrak (Abb.27)zeigteinModelldesSpinringesmitdemzuGrundeliegenden

Koordinatensys-tem.

Abb. 27:4er Spinringmit

D ~

^-Vektoren

Man ndet hier dieselben Symmetrieelement e wie am 6er Spinring, die Symmetrie des

Ringsist dementsprehend

S 4

^{. DieEbene desRingesbildet wiederdie}Spiegelebene, die die Punkte A und B enthält und eine senkrehte Spiegelebene durh den Mittelpunkt

von ABist auh gegeben. Ebenso lässtsih der Ringum 180

◦

an einer Ahsesenkreht

zuABdrehen.Dementsprehen dwerdendie

D ~

^{-VektorenwiedersenkrehtzumRingund}

senkreht zu AB,d.h. entlangder y-Ahseausgerihtet(s. 3.3.6).

5.1.2 Magnetisierung

Da für die Spins nun

s = 1

^{gilt, können sie drei} vershiedene Stellungen einnehmen, nämlih entsprehend der magnetishen Quantenzah l

m = {− 1, 0, 1 }

^{. Im} antiferroma-gnetishen Grundzustand sind die Spins wiederum so gepaart, dass sih ihre

magneti-shen Quantenzahlen durh die Kopplunggegenseitig aufheben und für das

Gesamtsys-tem

S = 0

^und

M = 0

^gilt.

Beim6erSpinring führte aufGrund von

s = 1/2

^{dasUmklappen eines Spins dazu,dass}

sih

M

^{um 1 erhöhte. Dies ist hier auh der Fall, da der Spin bei}

s = 1

^{niht komplett}

umklappt, sondern von

m = ± 1

^auf

m = 0

^{dreht. Daher kann sih der} Grundzustand bei Erhöhung der Magnetfeldstärke nun viermal ändern, was mit vier Sprüngen in der

Magnetisierungskurvebzw.vierPeaksinderSuszeptibilität skurvekorrespondierensollte.

Abbildung28zeigtdazudieMagnetisierungskurvenfürvershiedeneStärkender

Dzyalo-shinskii-Moriya-Wehselwirkung.FürdieTemperaturwurdewieder

0.02 K

angenomme n und

J = 1 K · k B

^gesetzt.

1 2 3 4

1 2 3 4

PSfragreplaements

Magnetisierung

Magnetfeld

[gµ B ]

[T esla]

0% J 5% J 10% J 15% J 20% J 30% J

Abb. 28:Magnetisierungskurven fürvershiedene Stärken von

D

^,

T = 0.02 K

^,

J = 1 K · k _B

Wie auh in Abbildung 14 hat der Dzyaloshinskii-Moriya-Term des Hamiltonians hier

einengeringenEinuss.FürhöhereWehselwirkungsstärkensinddieAbweihungen

zwi-shen den einzelnen Magnetisierungskurven etwas gröÿer. Man erkennt jedoh, dass die

beidenersten SprüngedurhdieDzyaloshinskii-Moriya-Wehselwirkung zuetwas

kleine-ren Feldstärken vershoben werden, der letztezu etwasgröÿeren.Diesist in der

Suszep-tibilitätskurvenohgenauer zusehen.

5.1.3 Suszeptibilität

Analogzum6erSpinring wirdnundiemagnetishe SuszeptibilitätnahFormel(57)aus

den berehneten Datenfür dieMagnetisierungermittelt. Dienahfolgende Grak(Abb.

29) zeigt dieSuszeptibilität skurven fürdieWehselwirkungsstärken ausAbbildung 28.

1 2 3 4

0.1 0.2 0.3 0.4

PSfragreplaements

Suszeptibilität

Magnetfeld

£ gµ B · T esla ^{− 1} ¤

[T esla]

0% J 5% J 10% J 15% J 20% J 30% J

Abb. 29:Suszeptibilitätskurven für vershiedene Stärken von

D

^,

T = 0.02 K

^,

J = 1 K · k _B

Man erkennt wieder die zu den Magnetisierungssprünge n korrespondierende n Peaks in

der Suszeptibilität . Sievariierennurwenigin ihrerPositionund Breite.Diebeider

Ma-gnetisierungerwähntenVershiebungensindauhhieranHandderPositionenderPeaks

zu sehen.

Als Grund für den geringen Einuss der Dzyaloshinskii-Moriya-Wehselwirkung in

die-sem System kann wieder das Argument für den einfahen 6er Spinring herangezogen

werden, denn auh hierwürden sih klassishdieBeiträge der einzelnenKreuzprodukte

im Dzyaloshinskii-Moriya-Term aufheben, da alle

D ~

^-Vektoren gleihgeriht et und auh vomBetraggleihsind.AnalogzurVorgehensweisebeim 6erSpinringwird derRingnun

dimerisiert.

Im Dokument F e 6, F e 8 [HMLN02℄, F e 10 [JJL+ (Seite 40-47)