Die r¨aumliche Ausdehnung der Bindungszust¨ande

In der Atombeugung besteht die N¨utzlichkeit der Kumulantenentwicklung darin, daß sie bereits in erster N¨aherung einen Zusammenhang zwischen der attraktiven Wechselwirkung und der effektiven Spaltbreite des Transmissionsgitters liefert. Im Limes verschwindender attraktiver Wechselwirkung gehen die atomaren Kumulanten R^±₁, R^±₂ gegen Null und somit Seff gegenS0. Da die Kumulanten der Trimerbeugung R^±_1,γ, R^±_2,γ formal die gleiche Struktur besitzen wie jene der Atombeugung, liegt eine entsprechende Untersuchung nahe.

Die effektive Spaltbreite der Trimerbeugung

F¨ur die effektive Spaltbreite der Trimerbeugung (3.107) erh¨alt man mit Hilfe der Ausdr¨ucke f¨ur die Kumulanten (3.105) die Darstellung

S_eff,γ(v⁰, θ⁰) =S₀− Re Z S0/2

−S0/2

dU₂h

1−τ_u,γγ^tri (P⁰;U₂)i

, v⁰ = |P⁰|

M . (3.114)

3Bei den zu Abb. 3.4 geh¨orenden Strahlparametern v⁰ = 484,1 m/s und θ⁰ = 21^◦ sowie den Gitterparameternϕ = 0,56197 rad,S0 = 1397,5 ˚A, β = 6,7^◦ und C3 = 0,155 meV nm³ f¨ur n = 7 findet man f¨ur den Grundzustand des Trimers beispielsweise folgende Werte:K(θ7)Seff,γ/2 = 5,38 undK(θ7)²ΩI,γ/2 = 0,04; sowieK(θ7)∆γ/2 =−0,82 und K(θ7)²ΩR,γ/2 =−0,09.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

10 100 x1

x2

β t d θ⁰ θn

0

−^A2 A 2

a2

a1

Aγ S0

s0

u1

u₂ ϕ m1

m₂ m3

r⁽²³⁾ ρ⁽¹⁾

Intensit¨at

Intensit¨at (Kumulanten)

experimentelleZ¨ahlrate

Beugungsordnungn

Abbildung 3.4:Vergleich der Intensit¨atsformel (Gl.3.104, durchgezogene Kurve) mit der durch zwei Kumulanten approximierten Formel (Gl. 3.113, gestrichelte Kurve) am Bei-spiel der elastischen Beugung des Grundzustandes von ⁴He₃ unter Verwendung der nume-risch berechneten Bindungswellenfunktion (vgl. Anh. B). Zur Veranschaulichung wird die Spaltamplitude kontinuierlich dargestellt; experimentell relevant sind aber nur die Wer-te bei ganzzahligen Beugungsordnungen n. Die geometrischen Parameter f¨ur das Gitter und die attraktive Wechselwirkung wurden der Auswertung der Beugungsexperimente von Br¨uhl, Kalinin, Kornilov und Toennies in Kapitel 4entnommen, ebenso die zum Vergleich eingezeichneten experimentellen Beugungsintensit¨aten aus der Messung zu θ⁰ = 21^◦ und v⁰= 484,1 ms⁻¹. Beide theoretischen Kurven sind um denselben Faktor auf die experimen-telle Z¨ahlrate skaliert.

Sie unterscheidet sich demnach von der geometrischen Spaltbreite S0 durch die ¨uber den Spalt aufsummierte Abweichung der Trimer-Transmissionsfunktion von der op-tischen Transmissionsfunktion. In die Trimer-Transmissionsfunktion (3.96) gehen so-wohl die attraktive Wechselwirkung als auch der Bindungszustand des Trimers ein:

Verschwindet erstere, so bleibt dennoch ein Gr¨oßeneffekt (vgl. Abb. 3.3). Ist hinge-gen die r¨aumliche Ausdehnung des Trimers sehr gering, so geht die Trimer-Transmis-sionsfunktion in die atomare TransmisTrimer-Transmis-sionsfunktion mit aufsummierter attraktiver Wechselwirkung ¨uber. Die folgenden ¨Uberlegungen sollen zeigen, ob die Trennung dieser beiden Einfl¨usse m¨oglich ist.

Wenn nicht anders erw¨ahnt, wird wieder die Realisierung ρ≡ρ⁽¹⁾, r =r⁽²³⁾ der Jacobi-Koordinaten verwendet. Einsetzen der Trimer-Transmissionsfunktion (3.96) in die effektive Spaltbreite (3.114) und Vertauschen der Integrationsreihenfolge f¨uhrt auf die Gleichung Ihrer Definition (2.32) zufolge verschwinden die drei atomaren Transmissionsfunk-tionen, wenn sich ihre Ortsargumente außerhalb des Intervalls [−^S₂⁰,^S₂⁰] befinden.

Diese Eigenschaft erlaubt es, in Gleichung (3.115) das Integrationsintervall von U2

zu reduzieren. Dazu ist eine Fallunterscheidung notwendig: im folgenden wird das Doppelintegral ¨uber r⊥ und U2 in Gleichung (3.115) auf den durch die vier m¨og-lichen Kombinationen von r⊥ ≶ 0 und U2 ≶ 0 bestimmten Quadranten gesondert betrachtet.

Zun¨achst wird der durch r⊥ > 0, U2 > 0 bestimmte Quadrant untersucht. Die Ortsargumente der drei atomaren Transmissionsfunktionen sind kleiner als die obere Spaltgrenze S0/2, falls

U2 < S0 wobei die Funktion max den Maximalwert ihrer Argumente liefert. Wegen r⊥ > 0 ist das dritte Argument in (3.116) hier kleiner als das zweite und braucht nicht ber¨ucksichtigt zu werden. Mit Hilfe der Identit¨at

max{a, b}= 1

nimmt die Bedingung an die obere Integrationsgrenze (3.116) die einfache Form U2 < S0

2 − ∆⁺₁

cosφ⁰ (3.118)

an. Entsprechend l¨aßt sich der Quadrantr⊥ >0, U2 <0 untersuchen. Die Bedingung daf¨ur, daß die Ortsargumente der atomaren Transmissionsfunktionen nicht kleiner als die untere Spaltgrenze −S0/2 werden, lautet

U2 >−S0

2 + 1

cosφ⁰max

−m2+m3

M ρ⊥,m1

M ρ⊥− m3

m2 +m3

r⊥,m1

Mρ⊥+ m2

m2 +m3

r⊥

, (3.119) und wegen r⊥ > 0 sind nur das erste und das letzte Argument der max-Funktion relevant. Mit Hilfe der Definition

∆^±₂ :=±1 2

−m2 +m3−m1

M ρ⊥+ m2

m2+m3

r⊥±

ρ⊥+ m2

m2+m3

r⊥

(3.120) kann die Bedingung (3.119) geschrieben werden als

U2 >−S0

2 + ∆⁺₂

cosφ⁰. (3.121)

Analog dazu werden die Bedingungen f¨ur die verbleibenden Quadranten aufgestellt.

F¨urr⊥ <0, U2 >0 werden das erste und das letzte Argument der max-Funktion in Gleichung (3.116) ben¨otigt. Dies f¨uhrt zu

U2 < S0

2 − ∆⁻₂

cosφ⁰. (3.122)

Im letzten Quadranten r⊥ < 0, U2 < 0 werden die ersten beiden Argumente aus Gleichung (3.119) ben¨otigt, und es folgt

U₂ >−S₀

2 + ∆⁻₁

cosφ⁰. (3.123)

”Geometrischer Anteil“ und

”van der Waals-Anteil“ der effektiven Spalt-breite

Die Bedingungen f¨ur die Integrationsvariable U2 legen nahe, das Integrationsinter-vall in einen Anteil mit reduzierten Integrationsgrenzen und einen Anteil, der f¨ur die verbleibenden Intervalle aufkommt, aufzuteilen. Es zeigt sich dabei, daß ersterer Anteil in Abwesenheit der attraktiven Wechselwirkung verschwindet; er wird deshalb im folgenden als

”van der Waals-Anteil“S_eff,γ^vdW der effektiven Spaltbreite bezeichnet.

Der andere Anteil hingegen ist unabh¨angig von der attraktiven Wechselwirkung; er wird als

”geometrischer Anteil“ S_eff,γ^geom bezeichnet. Die Zerlegung lautet

Seff,γ(v⁰, θ⁰) =S_eff,γ^geom(θ⁰) +S_eff,γ^vdW(v⁰, θ⁰). (3.124)

Der geometrische Anteil wird definiert als und der van der Waals-Anteil hat die Form

S_eff,γ^vdW(v⁰, θ⁰) := −Re (In allen vier Summanden ist derselbe Integrand einzusetzen.)

Zun¨achst wird der geometrische Anteil (3.125) betrachtet. Einsetzen der Defini-tionen von ∆^±₁ (3.117) und ∆^±₂ (3.120) und Zusammenfassen der beiden Integrale

¨uberr⊥ liefert den einfachen Ausdruck S_eff,γ^geom(θ⁰) =S0− 1 Der Transformation der Jacobi-Koordinaten (3.4) zufolge ist der zweite Absolutbe-trag in den runden Klammern aber gleich |r_⊥⁽³¹⁾| und der dritte gleich |r⁽¹²⁾_⊥ |. Substi-tution der Integrationsvariablen durchρ⁽²⁾_⊥ , r⁽³¹⁾_⊥ im zweiten Summanden beziehungs-weise durch ρ⁽³⁾_⊥ , r⁽¹²⁾_⊥ im dritten und Ber¨ucksichtigung der Relationen f¨ur die Dichte (3.97) liefert den folgenden Ausdruck f¨ur den geometrischen Anteil der effektiven Spaltbreite: Die Erwartungwerte der Projektionen der Paarabst¨ande r^(jk) senkrecht zum einlau-fenden Impuls im Bindungszustand|φγi sind dabei definiert durch

Dr_⊥^(jk)E

γ :=

Z

dρ⁽ⁱ⁾_⊥dr^(jk)_⊥ ϕ^(i,jk)_γγ

ρ⁽ⁱ⁾_⊥, r^(jk)_⊥ r_⊥^(jk). (3.129)

In Abwesenheit der attraktiven Wechselwirkung w¨are die effektive Spaltbreite der Trimerbeugung also gegen¨uber der geometrischen SpaltbreiteS0 reduziert um einen Term, der zum klassisch gebildeten Mittelwert der Erwartungswerte aller drei pro-jizierten Paarabst¨ande des Trimers proportional ist. Diese Symmetrie spiegelt die Tatsache wider, daß das Trimer keine feste r¨aumliche Orientierung zum Transmis-sionsgitter besitzt. Eine physikalische Interpretation von Gleichung (3.128) wird im Unterabschnitt 3.4.4 diskutiert.

Zur Berechnung des van der Waals-Anteils der effektiven Spaltbreite wird in den vier Integralen ¨uber U₂ in der Definition (3.126) jeweils eine Substitution der Inte-grationsvariable durchgef¨uhrt, die die Grenzen ±h

S0

2 − _cos^∆±_φ⁰i

wieder nach ±^S₂⁰ ver-schiebt. Zur Verdeutlichung wird hier stellvertretend der erste der vier Summanden betrachtet. Die Substitution lautet U₂⁰ :=U2+ _cos^∆+1_φ0, und der Integralausdruck wird zu Notiert man wieder explizit die Realisierung der Jacobi-Koordinaten, so kann in den Ortsargumenten der Transmissionsfunktionen ρ⁽¹⁾_⊥ − _m2^m_+m³ ₃r_⊥⁽²³⁾ = r⁽¹²⁾_⊥ ersetzt werden. Die Kombinationen dieser Variable lassen sich mit Hilfe der Funktion

ϑ(a) := 1

wobei zur Vereinfachung die untere Integrationsgrenze ∆⁺₁/cosφ⁰ des Integrals ¨uber U₂⁰ durch Null ersetzt wurde. Dies ist m¨oglich, da das Intervall [0,∆⁺₁/cosφ⁰] wegen der r¨aumlichen Lokalisierung der Dichte einen kleinen Bereich links oder rechts der Spaltmitte darstellt, innerhalb dessen der Integrand des Ausdrucks (3.132) vernach-l¨assigbar klein ist.

Die anderen drei Integralterme in der Definition des van der Waals-Anteils der effektiven Spaltbreite (3.126) k¨onnen entsprechend umgeformt werden. F¨ur den all-gemeinen Fall eines aus unterschiedlichen Teilchen bestehenden Trimers lautet der endg¨ultige Ausdruck f¨ur den van der Waals-Anteil der effektiven Spaltbreite schließ-lich

Die effektive Spaltbreite spinloser, ununterscheidbarer Teilchen

Weitere Vereinfachungen lassen sich aus Symmetriegr¨unden im Falle spinloser, un-unterscheidbarer Teilchen erzielen. Einige Eigenschaften der Bindungswellenfunktio-nen solcher Trimere wurden bereits in Kapitel 3.1.2 untersucht. Wegen der Unun-terscheidbarkeit ist die Kennzeichnung der Realisierungen der Jacobi-Koordinaten durch Teilchenindizes nicht zweckm¨aßig. Stattdessen werden die Relativkoordinaten der drei Realisierungen nun mit ^ρ_r

, ^ρ_r0⁰

:= ^ρ_r

und ^ρ_r00⁰⁰

:= ^{2 ρ}_r

bezeichnet.

Die vollst¨andig symmetrisierten Trimer-Bindungswellenfunktionen erf¨ullen aufgrund ihrer Konstruktion (3.31) die Beziehungen φγ(ρ,r) = φγ(ρ⁰,r⁰) = φγ(ρ⁰⁰,r⁰⁰). Diese Eigenschaft ¨ubertr¨agt sich unmittelbar auf die Dichte ϕγγ(ρ⊥, r⊥).

Als erste Konsequenz sind die im geometrischen Anteil der effektiven Spaltbreite (3.128) auftretenden Erwartungswerte der drei projizierten Paarabst¨ander⊥, r_⊥⁰ und r_⊥⁰⁰ identisch. Es folgt also

S_eff,γ^geom(θ⁰) =S0 −3 2

h|r⊥|iγ

cosφ⁰ . (3.134)

In Anhang B wird eine spezielle Approximation f¨ur Trimerzust¨ande zum Gesamt-drehimpuls L= 0 abgeleitet: wird die Zweiteilchen-Streumatrix der drei Teilchen-paare in der N¨ahe der Trimer-Bindungsenergie durch den Pol eines gebundenen Di-merzustandes zur Drehimpulsquantenzahl l = 0 dominiert, so gilt f¨ur das Trimer h|r_⊥|iγ ' ¹₂ hriγ mitr:=|r|. Da speziell das Helium-Helium-Paarpotential nur einen, sehr schwach gebundenen Dimer-Zustand tr¨agt [5], sollte diese N¨aherung im Helium-Trimer besonders gut anwendbar sein. So erh¨alt man aus Gleichung (3.134)

S_eff,γ^geom(θ⁰)'S0− 3 4

hriγ

cosφ⁰. (3.135)

Auch der van der Waals-Anteil der effektiven Spaltbreite (3.133) erlaubt weitere Vereinfachungen. Beispielhaft wird wieder der erste der vier Integralterme aus Glei-chung (3.133) betrachtet. Da die atomaren Transmissionsfunktionen nun unabh¨angig vom Teilchenindex sind, kann ihr Produkt folgendermaßen umgeformt werden:

τ_u^at

Hierzu wurde ϑ(a) =aΘ(a) ausgenutzt, wobei Θ(a) die Heaviside-Funktion bezeich-net. Außerdem wurde m=M/3 eingesetzt. Entsprechend k¨onnen die anderen Paare von Transmissionsfunktionen in Gleichung (3.133) vereinfacht werden. Anschließend ist es m¨oglich, die Integrationen ¨uber r⊥ wieder zusammenzufassen. Mit Hilfe der Beziehungen

r_⊥⁰ =−ρ⊥− 1

2r⊥ und r_⊥⁰⁰ =ρ⊥− 1 2r⊥

folgt der van der Waals-Anteil der effektiven Spaltbreite S_eff,γ^vdW(v⁰, θ⁰)' −Re

× τ_u^at 1 Der van der Waals-Anteil der effektiven Spaltbreite entspricht also dem negativen Realteil des Erwartungswerts des Ausdrucks in geschweiften Klammern im Trimer-Bindungszustand|φγi. Die Interpretation der Ortsargumente der Transmissionsfunk-tionen als TeilchenposiTransmissionsfunk-tionen ist leider nicht offensichtlich. Sind die FunkTransmissionsfunk-tionen in den geschweiften Klammern aber langsam ver¨anderlich auf der r¨aumlichen Ausdeh-nung des Bindungszustandes, so sollte es n¨aherungsweise m¨oglich sein, die Bildung des Erwartungswerts mit der Auswertung der Funktionen zu vertauschen. Erst da-durch w¨urde auch die Evaluation experimenteller Trimer-Beugungsbilder bei endli-cher Strahlgeschwindigkeit erm¨oglicht, denn auf diese Weise w¨are der van der Waals-Anteil der effektiven Spaltbreite nur noch von den Erwartungswerten der Funktions-argumente abh¨angig, nicht aber vom gesamten, komplizierten Bindungszustand. Aus der Untersuchung des Helium-Dimers ist bekannt, daß eine solche zun¨achst grob er-scheinende Approximation durchaus m¨oglich ist [5]. Ihre quantitative Genauigkeit h¨angt von der Form des Bindungszustandes ab und sollte im Einzelfall mit einem numerischen Modell gepr¨uft werden. Dies wird unten f¨ur das Helium-Trimer durch-gef¨uhrt.

Zun¨achst wird die Anwendbarkeit dieser N¨aherung vorausgesetzt. Es m¨ussen also die Erwartungswerte der Kombinationen von Relativkoordinaten in den Ortsargu-menten der Transmissionsfunktionen in Gleichung (3.136) berechnet werden. F¨ur die Kombinationρ_⊥− ¹₂|r⊥|gilt Wegen der festen Parit¨at der symmetrisierten Bindungswellenfunktionen unter In-version vonρ (vgl. Gl. 3.33) ist ϕγγ(ρ⊥, r⊥) gerade in ρ⊥. Somit kann innerhalb des zweiten Absolutbetrags das Vorzeichen von ρ⊥ invertiert werden, und es folgt, daß der gesamte Ausdruck gleich dem Erwartungswert der Gr¨oße ρ⊥−¹2r⊥

≡ |r⁰⁰_⊥| ist.

Wegen der Gleichheit aller Paarabst¨ande gilt daher ρ⊥− 1

ist zun¨achst mittels

Glei-chung (3.131) wieder zu zerlegen. Man findet unter Verwendung des zuvor

wobei verwendet wurde, daß aus der geraden Parit¨at der Dichte auch der Erwar-tungswert hρ⊥iγ = 0 folgt. Entsprechend wird die noch verbleibende Kombinati-on −ρ⊥− ¹2|r⊥|

Θ −ρ⊥− ¹2|r⊥|

ausgewertet. Durch Einsetzen in die Gleichung (3.136) erh¨alt man so die approximative, nur vom projizierten Paarabstand h|r⊥|iγ

abh¨angige Formulierung des van der Waals-Anteils der effektiven Spaltbreite S_eff,γ^vdW(v⁰, θ⁰)' −Re Unter der Voraussetzung, die bereits von Gleichung (3.134) zu (3.135) f¨uhrte, kann schließlich der projizierte Paarabstand n¨aherungsweise wieder durch ¹₂hriγ ersetzt werden.

Im Hinblick auf die Auswertung der Experimente von Br¨uhl, Kalinin, Kornilov und Toennies wird nun die Approximation des van der Waals-Anteils (3.136) durch den Ausdruck (3.138) unter Verwendung von h|r_⊥|iγ ' ¹₂hriγ f¨ur die beiden Bin-dungszust¨ande des Helium-Trimers quantitativ untersucht. Wegen der geringeren Streuung q

hr²iγ um den Erwartungswert hriγ ist zu erwarten, daß die N¨aherung f¨ur den Grundzustand von ⁴He3 g¨unstiger ausf¨allt als f¨ur den angeregten Zustand, dessen Streuung um den Faktor zehn gr¨oßer ist (vgl. Tab. 3.1). In Abbildung 3.5 wird die (gesamte) effektive Spaltbreite mit Hilfe der theoretisch berechneten Bin-dungswellenfunktionen des Helium-Trimers (vgl. Anh.B) vor und nach der N¨aherung verglichen. Der Approximationsfehler δ_γ := S_eff,γ^vdW(3.136)−S_eff,γ^vdW(3.138) betr¨agt bei den f¨ur Abbildung3.5gew¨ahlten, experimentell relevanten Parametern im Grundzu-stand im Mittel δγ =−2,2 ˚A und im angeregten Zustand δγ =−7,2 ˚A. Dieser Fehler verursacht bei der Anpassung der Formel (3.138) an experimentelle Werte der effek-tiven Spaltbreite mittels des Parameters hriγ eine systematische Ubersch¨atzung¨ von hriγ um den Wert ⁴₃δγcosφ⁰ ≈0,3δγ entsprechend 7% im Grundzustand und 3% im

72 KAPITEL 3. TRIMERBEUGUNG

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

90 95 100 105 110 115 120 125 130 x1

x2

β t d θ⁰ θn

0

−^A₂ A 2

a2

a₁ Aγ S₀ s0

u1

u₂ ϕ m1

m₂ m3

r⁽²³⁾ ρ⁽¹⁾

4He3 Grundzustand

4He3 angeregter Zustand exakt

approximiert beim Erwartungswert hri

v^{0 −1/2}

(km/s)^−1/2 Seff,γ(v0 ,θ0)[nm]

Abbildung 3.5:Vergleich der effektiven SpaltbreiteS_eff,γ(v⁰, θ⁰) vor und nach der Appro-ximation des van der Waals-AnteilsS_eff,γ^vdW(v⁰, θ⁰) f¨ur den Grundzustand und den angeregten Zustand des Helium-Trimers⁴He₃. Die durchgezogenen Kurven zeigen jeweils die (gesamte) effektive Spaltbreite, deren van der Waals-Anteil nach Gleichung (3.136) unter Verwendung theoretischer Bindungswellenfunktionen (vgl. Anh. B) berechnet wurde; f¨ur die gepunkte-ten Kurven wurde der van der Waals-Anteil nach der approximiergepunkte-ten Gleichung (3.138) berechnet. Erwartungsgem¨aß f¨allt die Approximation f¨ur den kompakten Grundzustand deutlich genauer aus als f¨ur den r¨aumlich st¨arker ausgedehnten angeregten Zustand. Die Auftragung gegenv^{0 −1/2} soll nicht den Eindruck erwecken, daß f¨ur die effektive Spaltbreite des Helium-Trimers eine asymptotische Formel analog zu (2.77) g¨alte. Tats¨achlich erschei-nen die Kurven nur im dargestellten, experimentell relevanten Geschwindigkeitsintervall nahezu linear, nicht aber f¨urv⁰ → ∞.

angeregten Zustand. Dies ist bei der Interpretation der Ergebnisse von Experimenten zu beachten.

Im Dokument Materie-Optik mit Edelgasmolekülen an Nanostrukturen (Seite 66-77)