Der Algorithmus zur Alignierung

Die Implementierung des Algorithmus zur Alignierung erfolgte in Form eines eigenständigen Rechnerprogramms. Im Folgenden werden die einzelnen Bearbeitungsschritte des Systems zu-nächst aufgeführt und danach diskutiert. Eine Zusammenfassung in Form eines Fließschemas zeigt die Abbildung 5-10. Der Algorithmus besteht aus drei ineinander geschachtelten Schleifen, in de-nen die nötigen Iterationen durchgeführt werden. Die Spur/Trefferzuordnung erfolgt nur in der äußeren Schleife. In der nächsten Schleife sind die immer strengeren Schnitte auf die Residuen realisiert. In der innersten Schleife wird die in Abschnitt 5.1.4 beschriebene iterative Alignierung unter Benutzung des Verfahrens von Blobel durchgeführt.

Die Präzisionsalignierung erfordert zunächst eine Zuordnung der Treffer zu Spuren. Im Rahmen dieses Schrittes erfolgt auch eine Spuranpassung, deren Ergebnisse für das weitere Vorgehen nicht verwendet werden, es wird nur die Zuordnung von Treffern zu einer Spur verwendet.

Es wird intern eine lineare Liste von Vektoren, die sich aus Trefferkoordinate und einem Index für die Zählerebene zusammensetzen, geführt. Im Rahmen dieser Trefferliste geht die Zuordnung von Spuren zu Ereignissen vollständig verloren, es werden nur Spuren betrachtet. Die gesamte Liste kann somit auch als ein „Superereignis“ aufgefaßt werden. In der Trefferliste werden die einzelnen Spuren dadurch unterschieden, daß der letzte zu einer Spur gehörende Treffer einen negativen Index besitzt. Der Vorteil dieser Technik besteht im hochkompakten Datenformat. Die Trefferliste läßt sich zudem auf Massenspeicher bringen. Damit ist es möglich, mehrere Eingabequellen für den Algorithmus der Alignierung zu nutzen:

• Das Spurrekonstruktionsprogramm HOLMES

• Treffer von Spuren, die mit dem Rekonstruktionsprogramm ARTE zugeordnet wurden.

• Simulierte Spuren

Im Fall der routinemäßigen Alignierung wird das Programmpaket HOLMES zur Zuordnung von Treffern zu Spuren verwendet, die Trefferliste wird dann auch nur im Arbeitsspeicher des Rech-ners gehalten. In diesem Fall wird die Kombination von Trefferzuordnung und Alignierung so lange iteriert, bis von der Alignierung nur noch Korrekturen gefunden werden, die wesentlich kleiner als ihre statistischen Fehler sind. Drei Iterationen erwiesen sich dazu in der Praxis des rou-tinemäßigen Alignierens als ausreichend. Da hier die Änderung der Zuordnung von Treffern zu Spuren in jedem Iterationsschritt verändert wird, ist es nicht möglich, den Wert einer C-Funktion als Abbruchkriterium zu benutzen.

Die vier nötigen Iterationen, durch die das im vorigen Abschnitt vorgestellte System von immer strengeren Schnitten auf die Residuen realisiert wird, werden in der nächsten Schleife durchge-führt. Zu Beginn müssen also die Auflösungen bestimmt werden und die Schnitte angewandt wer-den. Aus den in der Trefferliste enthaltenen Daten werden dazu die effektiven Auflösungen mit der im vorigen Abschnitt vorgestellten Methode bestimmt. Dazu werden zuerst unverzerrte Residuen berechnet, die robust bestimmte Breite der resultierenden Verteilungen wird dann als Maß für die effektive Auflösung der einzelnen Ebenen benutzt. Danach werden alle Spuren ver-worfen, die Treffer enthalten, deren unverzerrte Spurresiduen die Bedingung von Gleichung ( 5-100 ) nicht erfüllen. Diese Bedingung besagt, daß das jeweilige Residuum kleiner als die um den jeweiligen Toleranzfaktor vergrößerte effektive Auflösung der Zählerebene sein muß. Bei der Realisierung wurde hier noch ausgenutzt, daß die unverzerrten Residuen, deren Berechnung recht zeitaufwendig ist, schon für die Bestimmung der Auflösung berechnet wurden. Dazu werden diese

Residuen alle zwischengespeichert und ihre Werte nach der Auflösungsberechnung bei der An-wendung des Schnittes wieder verwendet.

Abbildung 5-10: Fließschema des Algo-rithmus zur Präzisionsalignierung. Darge-stellt sind alle wesentlichen Schritte des Programmes.

In der innersten Schleife werden dann mit dem linearen, Blobel’schen Verfahren Korrekturen für die Alignierungsparameter bestimmt. Nachdem zuvor die Spur / Trefferzuordnung erfolgt ist und die effektiven Auflösungen der Zählerebenen bestimmt wurden, kann nun der in Abschnitt 5.1.4 beschriebene Formalismus zur Bestimmung der Korrekturen verwendet werden. In jeder Iteration werden die Korrekturen nach ihrer Bestimmung auf die Geometrie angewandt. Danach wird eine erneute Anpassung aller Spuren im Ensemble vorgenommen. Erst aus deren Residuen wird analog zu Gleichung ( 5-53 ) die zur Konvergenzbeurteilung verwendete C-Funktion bestimmt:

( )

å

=

j

i j

i T j j

i p t

C u

,

2 2 ,

H H

( 5-103 ) In der Gleichung läuft der Index i über alle Spuren, der Index j über alle Treffer der jeweiligen Spur. Mit ui_,j ist also der Treffer j auf der Zählerebene mit der effektiven Auflösung σ und dem j

Projektor pH bezeichnet, welcher der Spur i mit den Spurparametern _j tHi

zugeordnet ist. Als sinn-volles Abbruchkriterium für die Iterationen stellte sich die folgende Bedingung heraus:

002 ,

≤0

∆C ( 5-104 )

Bei typischen Werten der C-Funktion von 250000 entspricht dies einer extrem kleinen Änderung der C-Funktion, der schon im Grenzbereich der relativen, numerischen Genauigkeit des verwen-deten Rechners von 2⋅10⁻⁴ liegt [50].

Das hier beschriebene System zur Alignierung wurde direkt nach seiner Fertigstellung und Quali-fizierung durch die in den folgenden Abschnitten vorgestellten Methoden für die routinemäßige Alignierung verwendet. Hier wurden dann typischerweise Spurdatensätze mit 20000 Spuren ver-wendet, denen zufallsgetriggerte Ereignisse zugrunde liegen. Die Verwendung der zufallsgetrig-gerten Ereignisse erscheint nötig, da Spuren im Vertexdetektor zur Triggerentscheidung in der zweiten Stufe des Triggersystems beitragen. Durch die ausschließliche Verwendung von Zufalls-triggern soll eine mögliche Verzerrung der Geometrien durch die Triggerbedingung vermieden werden [86].

Die mit diesem Rechenprogramm erhaltenen Resultate werden im nächsten Abschnitt diskutiert und insbesondere auch mit den Ergebnissen verglichen, die sich bei der Verwendung von simulier-ten Spuren ergeben. Zunächst sollen jedoch noch einmal die verwendeten Schnitte zusammenge-stellt und diskutiert werden.

Zuletzt soll noch eine Bemerkung zur Verwendung von individuellen, effektiven Einzelspurauflö-sungen der Zählerebenen und den strenger werdenden Schnitten erfolgen:

Die effektiven Einzeltrefferauflösungen werden aus den jeweils vorliegenden Daten im Verlauf der Iterationen bestimmt. Zudem werden die maximal zulässigen Residuen verkleinert. Dies ist in die-sem Fall physikalisch dadurch motiviert, daß keine Impulsmessung zur Verfügung steht und daher keine Impulsschnitte verwendet werden können. Die ausschließliche Verwendung kleiner Residu-en in den ersten Iterationen der Alignierung birgt die Gefahr, daß einzelne, schlecht alignierte Re-gionen des Detektors nicht durch gemeinsame Spuren mit den übrigen Detektorteilen verbunden werden, da die Treffer der gemeinsamen Spuren aufgrund der zu großen Residuen für die Alignie-rung verworfen werden. Der Blick auf das Gesamtsystem zeigt, daß im Laufe der Iterationen die effektiven Auflösungen an die verbesserte Alignierung angepaßt werden. Im Grunde stellt dieses System – wie auch der zugrunde liegende Vorschlag in [76] – ein Verfahren dar, das es erlaubt, die Residuenverteilungen, die wegen der fehlenden Impulsmessung nicht einer Normalverteilung nach Gauß folgen, mit einem mathematischen Verfahren zu bearbeiten, das eigentlich nur für Re-siduen gilt, die aus einer Normalverteilung entstammen. Die Schnitte machen das Verfahren also robust im Sinne der Definition der robusten Statistik. Hier kann jedoch die Begründung des Vor-gehens physikalisch motiviert werden.

In Anhang A2.5 ist exemplarisch die robuste Anpassung von Geraden an die in Abschnitt 4.1.3 vorgestellten Korrelationshistogramme diskutiert. Dort wird eine identische Behandlungsweise der Datenpunkte verwendet.

Bei dem System der Präzisionsalignierung bekommt in ähnlicher Weise ein im Laufe der Iteratio-nen verworfener Datenpunkt in der Anpassung das Gewicht Null. Zudem bekommen die Messun-gen von unterschiedlichen Zählerebenen durch die Bestimmung und Festlegung der individuellen Einzeltrefferauflösungen in dem durch Gleichung ( 5-39 ) beschriebenen linearen Zusammenhang von Messungen, Fehlern und gesuchten Parametern ein individuelles Gewicht.