Allgemeine Betrachtungen

Der Grundgedanke der Alignierung ist, die bereits in Gleichung ( 3-1 ) definierten Residuen zwi-schen Spuren und Treffern zu minimieren. Die Alignierung stellt ein hochdimensionales, im allge-meinen nichtlineares Minimierungsproblem dar. Im Gegensatz zu dem in Abschnitt 3.3 vorgestell-ten System erfolgt diese Minimierung dann im Falle der Präzisionsalignierung global und simultan für alle Zählerebenen und Freiheitsgerade. Dies bietet den Vorteil, daß alle Zählerebenen gleich behandelt werden und nicht einzelne Gruppen durch die Reihenfolge der Bearbeitung ausgezeich-net werden.

Ein schrittweises Vorgehen, wie dies zum Beispiel im Fall der schrittweisen, groben Alignierung in Abschnitt 3.3 angewandt wird, stellt mathematisch im Grunde ein Minimieren entlang der Ko-ordinatenrichtungen dar. Ein solches Vorgehen ist in der Literatur als problematisch beschrieben [50], [69] und [72].

Probleme der beschriebenen Art wurden bereits in Teilbild c.) der Abbildung 3-17 durch das Auf-treten von zwei Signalen im letzten Schritt der groben Alignierung erkennbar. Dies ist auf die Tat-sache zurückzuführen, daß das Gesamtsystem dort deutlich überbestimmt ist. Im Fall einer globa-len Minimierung werden solche Probleme sehr viel gleichmäßiger auf alle Residuen verteilt.

Hier werden zunächst allgemeine Residuen, die als die Abweichung zwischen einem Meßwert und dem durch das Modell vorhergesagten Wert definiert sind, betrachtet. Weiterhin werden Korrela-tionen zwischen Residuen und Spurparametern, sowie die Minimierungsstrategie unter der

Rand-bedingung, daß die Treffer der zu alignierenden Zählerebenen zur Spurrekonstruktion beitragen diskutiert.

Die Größe von Residuen

Hier soll für ein allgemeines lineares Modell der Zusammenhang zwischen den Varianzen der Messungen und den Varianzen der Residuen hergeleitet werden. In diesem Fall sind die Residuen als die Differenzen zwischen den gemessenen Werten und den Voraussagen des Modells definiert.

Nach Ableitung des allgemeinen Zusammenhangs werden kurz die Konsequenzen für ein einfa-ches Modell diskutiert.

In einem beliebigen, linearen Modell läßt sich der Vektor der Meßgrößen durch die Verknüpfung des Vektors ^xH der gesuchten Parameter mit der sogenannten Designmatrix ^A beschreiben.

Durch den Meßprozeß ist aber dem Vektor der Messungen yH der Vektor εH von Zufallszahlen überlagert, dessen Komponenten hier als unabhängige, Zufallszahlen aus einer Normalverteilung nach Gauß, mit der gemeinsamen Varianz σ angenommen werden. Es gilt somit für den Vektor ² der Messungen :

εH H H= ⋅x+

y A ( 5-1 )

Da unkorrelierte Messungen auf den einzelnen Zählerebenen betrachtet werden sollen, ergibt sich nach der Methode der kleinsten Quadrate als Schätzung für den Vektor der gesuchten Größen x~H [69]:

Die Anwendung der Fehlerfortpflanzung ergibt dann für die Kovarianzmatrix der geschätzten wahren Werte:

( )

^{y A}

( )

^{ATA AT}

V ~ σ² −¹

H = ( 5-5 )

In den obigen Ausdrücken tauchen die gesuchten Residuen εH

bereits auf. Für eine Schätzung die-ser gilt somit: mit der Kovarianzmatrix:

( ) (

^{1 A}

( )

^{ATA AT}

)

V~ε σ² −¹

−

H = ( 5-7 )

Diese Gleichung stellt den Zusammenhang zwischen den Varianzen der Spurresiduen und der Varianz der den Messungen zugrunde liegenden Verteilung dar.

Exemplarisch soll dies gezeigt werden für den Fall der Anpassung einer Geraden mit Steigung m und Achsenabschnitt n an k Meßwerte yH , die von der kontrollierten Variable ^zH abhängen. Es gilt dann für den Vektor der gesuchten Parameter ^xH und die Designmatrix ^A:

( )

÷÷÷

Die Varianzen der Residuen ergeben sich aus den Diagonalelementen ^V

( )

^{~εH iider} durch ( 5-7 ) be-schriebenen Kovarianzmatrix, die sich durch Einsetzen von ( 5-8 ) und Umformen, unter Benut-zung des Ausdrucks für das mittlere z vereinfacht zu [73]:

( ) ^{( )}

größten ist, während sie in der Nähe der größten und kleinsten z-Werte am kleinsten ist.

Korrelationen von Spur und Alignierungsparametern

Die Benutzung der Treffer von der zu alignierenden Ebene bei der Spuranpassung führt zu einer Korrelation zwischen den Parametern der Spur und den gesuchten Alignierungskorrekturen. Ins-besondere in der Behandlung dieser Korrelation unterscheiden sich die unterschiedlichen Konzep-te der Alignierung.

Eine Methode um das Problem anzugehen, besteht darin, den Prozeß der Alignierung zu iterieren, ohne die Korrelationen zu beachten. Dieses Vorgehen erscheint zunächst problemlos, da nur die Zahl der für die nichtlinearen Minimierungsverfahren ohnehin durchzuführenden Iterationen er-höht wird. Bereits in den Erfahrungen früherer Experimente der experimentellen Hochenergiephy-sik zeigte sich, daß dies nicht zutrifft [74]. Einfache statistische Überlegungen zeigen, daß insbe-sondere die Iterationen in ungünstigen Fällen nur sehr langsam gegen den wahren Wert konver-gieren. Zumindest ist im Fall großer Systeme viel unnötige Rechenzeit erforderlich. Zudem wird in der Literatur immer betont, daß alle Korrelationen zu beachten sind, um richtige Ergebnisse zu erhalten. Dies gilt auch für die Deutschen Industrienorm 1319-4, welche die Behandlung von Un-sicherheiten bei der Auswertung von Meßdaten zum Inhalt hat [75].

Probleme der Minimierungsstrategien bei einer Alignierung

Eine weitere Schwierigkeit der Alignierung stellt die Benutzung eines Spurrekonstruktionssystems dar. In diesen Systemen sind Schnitte implementiert, die anhand des Abstandes eines Treffers zur angenommenen Spur bestimmen, ob der Treffer zu dieser assoziiert werden soll oder nicht. Die Alignierung der Zählerebenen verändert aber gerade diesen Abstand. Dies bedeutet, daß bei Tref-fern, die einen genügend großen Abstand zur Spur besitzen, bereits eine sehr kleine Variation der Alignierungsparameter der zugehörigen Zählerebene darüber entscheidet ob sie zur Spur assozi-iert werden oder nicht. Im ersten Fall trägt der Treffer wegen des großen Abstandes mit einem vergleichsweise großen Beitrag zur Minimumfunktion bei. Wird der Treffer im anderen Fall nicht als zur Spur gehörig betrachtet, so verschwindet sein Einfluß auf die Minimumfunktion. Es resul-tiert also durch die Schnitte ein in den Alignierungsparametern unstetiger Verlauf der Minimum-funktion.

Dies bedeutet auch, daß wegen der Schnitte im Fall eines völlig linearen Alignierungsproblems Unstetigkeiten und lokale Minima auftreten können, welche die Minimierung erheblich beeinträchtigen können.

Im allgemeinen Fall des nichtlinearen Alignierungsproblems ist es daher sinnvoll, einen anderen Weg zu beschreiten. Hier wird die Zuordnung der Treffer zu den Spuren während der Iterations-schritte konstant gehalten. Dies bedeutet, daß die Alignierung für ein gegebenes Ensemble von Spuren und zugeordneten Treffern mit einer linearisierten Minimumfunktion iterativ durchgeführt wird. Nach der Korrektur der Geometriedaten mit den ermittelten Alignierungsparametern wird

dann nur die Spuranpassung wiederholt, wobei die Spur-Treffer Zuordnung identisch bleibt. Mit den neu bestimmten Spurparametern wird die Alignierung dann wiederholt. Damit werden die beschriebenen Schwierigkeiten durch die Schnitte vermieden. Beide hier beschriebenen Wege sind in Abbildung 5-1 zusammengefaßt.

Spuranpassung

Trefferzuordnung Alignierung

Start Abbruch

B

A

Korrekturder Geometrie

Abbildung 5-1: Flußschema der Minimierung im Rahmen der Alignierung. Wird für den Verlauf der Iterationen der Weg A gewählt, ergibt sich im allgemeinen eine unstetige Minimumfunktion, da bei der Zuordnung von Treffern zu Spuren Abstandsschnitte verwendet werden. Im Fall des Weges B ist die Situation besser kontrollierbar.

Im Dokument Die Alignierung des HERA-B Vertex- (Seite 95-98)