Im folgenden geben wir eine sehr kurze Einf¨uhrung in die Programmiersprache MATLAB1 und
OCTAVE2. Die beiden Programme sind in vielen Teilen in ihrer Benutzung sehr ¨ahnlich oder sogar identisch. MATLAB ist kommerziell erh¨altlich und bietet dem Benutzer eine riesige Palette von M¨oglichkeiten f¨ur wissenschaftliche Berechnungen. Das Angebot in OCTAVE ist beschr¨ankter, daf¨ur ist das Programm frei erh¨altlich.
Grundoperationen
OCTAVE bietet die klassischen Grundoperationen + Addition - Subtraktion
* Multiplikation / Division
^ Potenzieren octave:1> 3+2
ans = 5
octave:2> 5-2 ans = 3
octave:3> 6*4 ans = 24
1MATLABis a trademark of The MathWorksTM
2c John W. Eaton and others, siehehttp://www.gnu.org/software/octave/index.html
octave:4> 18/3 ans = 6
octave:5> 4^5 ans = 1024
octave:6> 4*(5-3)^3-4 ans = 28
Durch Anf¨ugen von;am Ende einer Eingabezeile, wird die Ausgabe unterdr¨uckt:
octave:6> 4*4;
keine Ausgabe
Variablen
Objekte (d.h., Zahlen, Vektoren, etc.) k¨onnen in OCTAVE in Form von Variablen abgespeichert werden (die beispielsweise als Buchstaben geschrieben werden), die dann in nachfolgenden Be-fehlszeilen wieder aufgerufen werden k¨onnen.
octave:1> a = 5;
octave:2> b = 2;
octave:3> a + b ans = 7
octave:4> c = a/b c = 2.5000
Vektoren und Matrizen
Eine wichtige Eigenschaft von OCTAVE ist seine F¨ahigkeit, mit Vektoren und Matrizen rech-nen zu k¨onrech-nen. Vektoren und Matrizen werden mit[...] geschrieben. Hierbei wird zwischen
“Zeilen-” und “Spaltenvektoren” unterschieden. Durch das Einf¨ugen von ; k¨onnen Zeilen ge-trennt werden.
octave:1> v = [ 1 -3 4 ] v =
1 -3 4
octave:2> w = [ 1; 5; -3 ] w =
1 5 -3
octave:3> A = [ 3 4 5 5; 3 2 -3 1 ] A =
3 4 5 5
3 2 -3 1
Auf einen einzelnen Eintrag einer Matrix kann mit Hilfe der entsprechenden Zeilen- und Spal-tennummer zugegriffen werden. Um beispielsweise den Eintrag in Zeile 2 und Spalte 3 der Ma-trixAauszugeben, schreiben wir:
octave:4> A(2,3) ans = -3
Die erste Zahl in( , )ist immer die Zeilennummer, die zweite Zahl stets die Spaltennummer.
Ganze Zeilen und Spalten k¨onnen mit dem Doppelpunkt: abgefragt werden. Beispiel erhalten wir wie folgt die dritte Spalte und die erste Zeile der MatrixA:
octave:5> A(:,3) ans =
5 -3
octave:6> A(1,:)
ans =
3 4 5 5
Auch bei Matrizen und Vektoren lassen sich die Grundoperationen + und-(Summe resp. Dif-ferenz der jeweiligen Eintr¨age von zwei Matrizen) anwenden. Wichtig ist allerdings, dass die entsprechenden Vektoren oder Matrizen das gleiche Format haben.
octave:7> B = [ 4 2 -2 1; 0 3 2 4 ] B =
4 2 -2 1
0 3 2 4
octave:8> A+B ans =
7 6 3 6
3 5 -1 5
octave:9> A-B ans =
-1 2 7 4
3 -1 -5 -3
octave:10> z = [ 3 -2 1 ] z =
3 -2 1
octave:11> v+z ans =
4 -5 5
octave:12> w+z
error: operator +: nonconformant arguments (op1 is 3x1, op2 is 1x3)
Im letzten Beispiel addieren wir einen Spalten- und einen Zeilenvektor. Da dies zwei verschie-dene Formate sind (n¨amlich3×1und1×3) und diese Rechnung deshalb nicht definiert ist, liefert
OCTAVE eine Fehlermeldung.
Die Multiplikation mit einer Zahl erfolgt mit der Operation*. Das gleiche Symbol wird f¨ur die Matrix-Vektor- oder Matrix-Matrix-Multiplikation gebraucht (unter der Voraussetzung, dass die entsprechenden Matrizen oder Vektoren das richtige Format haben).
octave:10> C = [ 3 1 -2; 0 0 1; 3 2 5; 7 -1 -2 ] C =
3 1 -2
0 0 1
3 2 5
7 -1 -2
octave:11> 2*C ans =
6 2 -4
0 0 2
6 4 10
14 -2 -4
octave:12> (-1)*C ans =
-3 -1 2 -0 -0 -1 -3 -2 -5
-7 1 2
octave:13> C*w ans =
14 -3 -2 8
octave:14> A*C ans =
59 8 13
7 -4 -21 octave:15> C*A
error: operator *: nonconformant arguments (op1 is 4x3, op2 is 2x4)
Im letzten Beispiel entsteht ein Fehler, weil die Formate der beiden Matrizen bei der Multipli-kationC*Anicht kompatibel sind.
Eintragsweise Operationen erfolgen mit den normalen Befehlen mit einem vorgeschobenen Punkt. Beispielsweise:
octave:1> v = [ 4 -6 ] v =
4 -6
octave:2> w = [ 2 1 ] w =
2 1
octave:3> v.*w ans =
8 -6
octave:4> v./w ans =
2 -6
Eigenwerte von Matrizen werden mit dem Befehleigberechnet:
octave:1> A = [ 1 -1; 2 5 ] A =
1 -1
2 5
octave:2> [V,D] = eig(A) V =
-0.86286 0.28108 0.50545 -0.95968 D =
1.58579 0.00000 0.00000 4.41421
Wir bemerken, dass eigzwei Ausgabematrizen Vund D liefert. Die Diagonaleintr¨age vonD sind die Eigenwerte vonAund die Spalten vonVsind zugeh¨orige Eigenvektoren.
Grafische Darstellung
Einfache Graphen k¨onnen mitploterzeugt werden. Betrachten wir beispielsweise die Exponen-tialfunktion
f(t) =e−t/2.
Zun¨achst zeichnen wir sie an den diskreten Zeitpunktent = 0,1,2, . . .10. Diese Punkte lassen sich inOCTAVEeinfach erzeugen:
octave:1> t=0:1:10
t =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Der Graph wird dann gezeichnet mit dem Befehl octave:2> plot(t,exp(-0.5*t),’*’)
Die Koordinatenachsen beschriften wir mit den Befehlen octave:3> xlabel(’t’)
octave:4> ylabel(’f(t)’) Das Ergebnis sieht wie folgt aus:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 2 4 6 8 10
f(t)
t
Alternativ lassen sich die Datenpunkte auch verbinden:
octave:5> plot(t,exp(-0.5*t),’*-’) Dies ergibt:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 2 4 6 8 10
Wir k¨onnen auch kleinere horizontale Abst¨ande w¨ahlen, z.B. mit Abstand0.1anstatt1:
octave:6> t=0:0.1:10;
octave:7> plot(t,exp(-0.5*t),’*-’)
Hier ist die Zahl zwischen den beiden Doppelpunkten der Abstand zwischen zwei aufeinan-derfolgendent-Werten. Wir erhalten:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 2 4 6 8 10
for-Schleifen
Um einen Befehl wiederholt auszuf¨uhren, k¨onnen wir uns beispielsweise einerfor-Schleife be-dienen. Als Beispiel berechnen wir die Summes aller Zahlenkvon1bis10. Dies funktioniert wie folgt:
octave:1> s = 0;
octave:2> for k=1:10
> s = s + k;
> end;
octave:3> s s = 55 Funktionen
Neue Funktionen k¨onnen in OCTAVE mit der function-Umgebung definiert werden. Als Bei-spiel schreiben wir eine Funktion, die die Summer aller Zahlen von1bisN berechnet:
function s = summe(N) s = 0;
for k=1:N s = s + k;
end;
return;
Hier istNder Eingabe- unds der Ausgabewert. Eine Funktion wird mitfunctionbegonnen und kann mit return abgeschlossen werden. Der Funktionstext muss in einer eigenen Datei
“summe.m” abgespeichert werden (Format: “Funktionsname.m”). InOCTAVE wird die Funktion summefolgendermassen aufgerufen:
octave:1> summe(10) ans =
55
OCTAVE-Hilfe
Eine Erkl¨arung f¨ur einen OCTAVE-Befehl kann mit der help-Funktion erhalten werden. Zum Beispiel lieferthelp sqrtInformationen zur Quadratwurzelfunktionsqrt:
octave:1> help sqrt
-- Mapping Function: sqrt (X)
Compute the square root of X. If X is negative, a complex result is returned. To compute the matrix square root, see *note Linear Algebra::.
sqrt is a built-in mapper function
Additional help for built-in functions and operators is
available in the on-line version of the manual. Use the command
‘doc <topic>’ to search the manual index.
Help and information about Octave is also available on the WWW at http://www.octave.org and via the help@octave.org
mailing list.
Abbildungsverzeichnis
1.1 Baumringe. Quelle: Zentrum f¨ur Handwerk und Denkmalpflege Fulda. . . 7
1.2 Lineare Zu- und Abnahme. . . 9
1.3 Exponentielle Zu- und Abnahme. . . 11
1.4 Hasenvermehrung und Fibonaccifolge. . . 14
1.5 Die ersten 5 bzw. 15 Fibonaccizahlen. . . 14
1.6 Verschachtelte Spiralen bei der Sonnenblume. Quelle: Wikipedia, H. Haß. . . 16
1.7 Nautilus und Fibonaccizahlen. Quelle linkes Bild: Wikimedia, Chris 73. . . 17
1.8 Darstellung eines Vektors im 2d-Koordinatensystem. . . 19
1.9 Verlauf der Folge (1.19) mit Startvektor −1λ 1 . . . 27
1.10 Kormorane. Quelle: Vogelwarte Sempach, Emile Barbelette. . . 28
1.11 Kormoranenmodell. . . 33
1.12 Kormoranenmodell mit Lesliematrix aus Beispiel a). . . 35
1.13 Kormoranenmodell mit Lesliematrix aus Beispiel b). . . 36
2.1 Diskretes und kontinuierliches Wachstumsmodell. . . 48
2.2 Diskussion einer Funktion. . . 50
2.3 Logistisches Wachstum. . . 54
2.4 Logistisches Modell und US-Bev¨olkerung. Quelle: [17]. . . 55
2.5 Erntemodell: Populationsentwicklung und Gewinn. . . 57
2.6 L¨osungen zu den Lotka-Volterra Gleichungen. . . 59
2.7 Luchs mit Jungtier, und Schneehase. Quelle: National Geographic. . . 60
2.8 Schwankungen von Luchs- und Schneehasenfellen. . . 61
2.9 Konkurrenzmodell I. . . 64
2.10 Geschwindigkeitsfeld f¨ur das Konkurrenzmodell; beide Arten ¨uberleben. . . 66
2.11 Konkurrenzmodell II. . . 67
2.12 Geschwindigkeitsfeld f¨ur das Konkurrenzmodell; Ziegen ¨uberleben. . . 68
2.13 Wasserfloh Daphnia magna. Quelle: [7] . . . 71
3.1 Spruce budworm. Quelle: Natural Resources Canada . . . 75
3.2 Diskretisierung der Zeitvariable. . . 76
3.3 Numerische L¨osung der logistischen Gleichung. . . 78
3.4 Fehler zwischen numer. und exakter L¨osung der logistischen Gleichung. . . 79
3.5 Berechnungen zum Spruce-Budworm-Modell. . . 81
3.6 Diskretes logistisches Wachstum I. . . 84
3.7 Diskretes logistisches Wachstum II. . . 85
3.8 Diskretes logistisches Wachstum III. . . 86
3.9 Diskretes logistisches Wachstum IV. . . 87
3.10 Feigenbaumdiagramm. . . 88
3.11 Grafisches Gleichungsl¨osen. . . 89
3.12 Taylorpolynom erster Ordnung. . . 94
3.13 Numerische Berechnung mit Trapezverfahren. . . 98
4.1 Gerichteter Graph f¨ur das Wettermodell. . . 104
4.2 Gerichteter Graph f¨ur das Baummodell. . . 106
4.4 Capture-Recapture-Methode . . . 118
4.3 Aus NEWS-Ausgabe vom 22.6.2009. . . 118
4.5 Poissonverteilung f¨urλ= 4. . . 121
4.6 Semilogarithmische Darstellung der Poissonverteilung f¨urλ= 4. . . 121
4.7 Dynamik einer Blauwalpopulation. . . 128
5.1 Progesteronwerte beim Hausrind I. . . 132
5.2 Progesteronwerte beim Hausrind II. . . 137
A.1 Sinus- und Kosinuswerte am Einheitskreis. . . 140
A.2 Graphen vonsin(x)undcos(x). . . 140
A.3 Graphen vonsin(2πx)undcos(2πx). . . 141
A.4 Graphen vonsin(2πx/5)undcos(2πx/5)(d.h.L= 5). . . 142
A.5 Graphen vonsin(6πx/5)undcos(6πx/5)(d.h.L= 5undk = 3). . . 142
A.6 Graphen von 52sin(6πx/5)und 52cos(6πx/5)(d.h.L= 5,k = 3undA= 52). . . 143
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[28] P.-F. Verhulst. Recherche math´ematiques sur le loi d’accroissement de la population. Nou-veau M´emoires de l’Acad´emie Royale des Sciences et Belles Lettres de Bruxelles, 18(3–38), 1845.
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