Praktische Aspekte und Varianten
3.3.4 Anwendung auf implizite Verfahren f ¨ ur die numerische L ¨ osung von Differentialgleichungen
Wenn dieser Wert kleiner ist, als eine vorgeschriebene Toleranz, dann wird die L¨osungNm
als gen¨ugend genau akzeptiert.
3.3.4 Anwendung auf implizite Verfahren f ¨ ur die numerische L ¨ osung von Differentialgleichungen
Betrachten wir nochmals das Populationsmodell (3.1) mit (3.2) und (3.3), d.h.
(3.22) N′(t) =rN(t)
1−N(t) K
− BN(t)2 A2+N(t)2.
3.3 NUMERISCHESGLEICHUNGSLOSEN¨
Als Anfangswert seiN(0) =N0gegeben. Zur numerischen L¨osung solcher Probleme haben wir bereits die explizite Eulermethode (3.7) kennengelernt. Alternativ wollen wir nun die Trapezregel anwenden. Sie entspricht demθ-Verfahren (3.13) mitθ= 12:
(3.23) Nn+1 =Nn+h
2(F(Nn) +F(Nn+1)), wobei in unserem Beispiel
F(N) =rN Betrachten wir die Berechnung vonN1 ausN0. Hier gilt
N1 =N0+h
2(F(N0) +F(N1)).
Dies ist eine nichtlineare Gleichung f¨ur N1, die gel¨ost werden muss, um den Wert N1 zu be-rechnen. Wir k¨onnen dies beispielsweise mit dem Newton-Verfahren tun. Dazu bringen wir die Gleichung in die Form (3.16), d.h.,
f(N1) =N0+ h
2(F(N0) +F(N1))−N1 = 0.
Zur Anwendung des Newton-Verfahrens brauchen wir die Ableitung vonf: f′(N) = df(N)
bis die numerische N¨aherung vonN1gen¨ugend genau bestimmt ist; eine Iterationszahl vonm = 15ist in der Praxis ¨ublich, d.h. wir akzeptierenN1(15) als gute N¨aherung der exakten L¨osungN1
(wir bemerken allerdings, dass die Iterationszahl auch bedeutend h¨oher sein kann, je nach Bei-spiel). Als Startsch¨atzung nehmen wirN1(0) =N0.
Mit dem Wert N1 nach dem ersten Zeitschritt, l¨asst sich nun der Wert N2 genau gleich be-stimmen: Einsetzen vonN1in (3.23) und numerisches L¨osen nachN2mit der Newton-Raphson-Methode. Danach, analoge Berechnung vonN3, etc.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.7
0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
t
N(t) 0.715225
Abbildung 3.13: Numerische Berechnung von (3.22) mit dem Trapezverfahren (h = 0.1); die gestrichelte Linie zeigt den Gleichgewichstzustand (3.21).
Wir f¨uhren die numerische Simulation von (3.22) mit N(0) = N0 = 1 und Parametern wie in (3.9) durch. Wir berechnen 50 Zeitschritte mit jeweiligem Abstand h = 0.1. Abbil-dung 3.1 zeigt die numerische L¨osung. Wir sehen, dass sie gegen den in (3.21) berechneten Gleichgewichstzustand konvergiert. In jedem Zeitschritt wird, wie oben besprochen, mit Hil-fe des Newton-Verfahrens eine nichtlineare Gleichung gel¨ost. Die entsprechenden Folgen von N¨aherungsl¨osungen sind f¨ur die ersten 4 Zeitschritte in Tabelle 3.3.4 ersichtlich (hier istm= 10 gen¨ugend).
Weiterf ¨ uhrende Literatur
Siehe zum Beispiel [5, 19].
3.3 NUMERISCHESGLEICHUNGSLOSEN¨
1. Zeitschritt 2. Zeitschritt 3. Zeitschritt 4. Zeitschritt 1.00000000000000 0.96886993127239 0.94178626975555 0.91810083112441 0.96891191709845 0.94181846717037 0.91812575747246 0.89731196491162 0.96886993134952 0.94178626980147 0.91810083115225 0.89729250796630 0.96886993127239 0.94178626975555 0.91810083112441 0.89729250794916 0.96886993127239 0.94178626975555 0.91810083112441 0.89729250794916 0.96886993127239 0.94178626975555 0.91810083112441 0.89729250794916 0.96886993127239 0.94178626975555 0.91810083112441 0.89729250794916 0.96886993127239 0.94178626975555 0.91810083112441 0.89729250794916 0.96886993127239 0.94178626975555 0.91810083112441 0.89729250794916 0.96886993127239 0.94178626975555 0.91810083112441 0.89729250794916 0.96886993127239 0.94178626975555 0.91810083112441 0.89729250794916
Tabelle 3.1: Resultate der Newtoniteration f¨ur die ersten 4 Zeitschritte in der L¨osung von (3.22) mit der Trapezme-thode.
3.4 Aufgaben
3.1. Wir betrachten die Differentialgleichung f¨ur das exponentielle Wachstumsmodell mit Wachstumsrater = 2:
N′(t) = 2N(t), N(0) = 1.
Wir f¨uhren eine diskrete Zeiteinheith >0ein und diskretisieren das Modell mit verschie-denen Methoden.
a) Schreiben Sie die explizite Eulermethode f¨ur dieses Problem auf und berechnen Sie eine N¨aherung vonN(1)mith= 14.
b) Wiederholen Sie (a) f¨ur die implizite Eulermethode und f¨ur das Trapezverfahren.
c) Berechnen Sie den exakten WertN(1)und vergleichen Sie ihn mit den drei verschie-denen N¨aherungsl¨osungen in (a) und (b).
d) Wir betrachten nochmals die explizite Eulermethode, allerdings mit beliebigem Zeit-schritth >0.
(i) Schreiben Sie das Verfahren auf.
(ii) Dr¨ucken Sie die diskrete L¨osungNnbeit=nhdurchNn−1 aus.
(iii) Finden Sie eine explizite Formel f¨urNn.
(iv) Wieviele Iterationen der diskreten Methode sind n¨otig, um beit = 1 anzugelan-gen?
(v) Kombinieren Sie (iii) und (iv), um die Approximation des exakten WertsN(1) zu finden, der durch das explizite Eulerverfahren berechnet wird. Was geschieht mith→0? Benutzen Sie, dass
nlim→∞
1 + q
n n
=eq gilt f¨ur alle Zahlenq.
3.2. Betrachten Sie die Differentialgleichung
N′(t) =rN(t), N(0) =N0, mitr <0undN0 >0.
a) Zeigen Sie, dass die exakte L¨osung gegen 0 geht, wennt → ∞.
b) Diskretisieren Sie das obige Problem mit der expliziten Eulermethode. F¨ur welchen Bereich von Schrittweitenh >0giltNn → ∞, wennn→ ∞?
c) Wiederholen Sie b) f¨ur die implizite Eulermethode.
3.3. Wir betrachten drei Chemikalien, die miteinander reagieren. Die jeweiligen Konzentratio-nen (in %) seien zeitabh¨angig und gegeben durch die FunktioKonzentratio-nen A(t), B(t), C(t). Wir nehmen an, dass sie das folgende Differentialgleichungssystem erf¨ullen
A′ =−4A+ 10BC B′ = 4A−10BC−3B2 C′ = 3B2.
3.4 AUFGABEN
Die Anfangskonzentrationen sind gegeben durchA0,B0,C0, wobei gilt, dass A0+B0+C0 = 1 = 100%.
a) Zeigen Sie mittels einer einfachen Rechnung, dass hier immer gilt A(t) +B(t) +C(t) = 1 = 100%
f¨ur alle Zeitent≥0(Konzentrationserhaltung).
b) Formulieren Sie die explizite Euler-Methode f¨ur das obige System durch separate Diskretisierung der einzelnen Differentialgleichungen.
c) F¨uhren Sie einen Schritt mit der expliziten Euler-Methode (mit h = 1, Startwer-te A0 = B0 = C0 = 13) durch und finden Sie somit eine Approximation vonA(1), B(1), C(1). Zeigen Sie, dass die Konzentrationserhaltung auch f¨ur die diskrete L¨osung gilt. Stimmt dies auch f¨ur allgemeine Startwerte?
d) Hat das System einen Gleichgewichtszustand mitA(t) +B(t) +C(t) = 1?
3.4. Berechnen Sie eine N¨aherung von√
2. Betrachten Sie dazu die Gleichung x2−2 = 0.
a) Verwenden Sie das Bisektionsverfahren, um die obige Gleichung zu l¨osen. Der An-fangsbereich ist[1,2]. Wie viele Iterationen sind n¨otig, um die L¨osung bis auf einen Fehler von 0.1 zu berechnen? F¨uhren Sie diese Iterationen aus.
b) L¨osen Sie die Gleichung mit der Newton-Raphson-Methode und einem Anfangswert vonx(0) = 2. F¨uhren Sie 5 Schritte durch.
c) Vergleichen Sie die L¨osungen in a) und b) mit dem exakten Wert von√ 2.
3.5. Ausgehend von einer Anfangspopulation vonN0 = 1000Individuen wachse eine Popula-tion nach dem Gesetz
N(t) = 1000·2t.
Eine zweite Population mit dreimal so grosser Anfangspopulation nehme linear zu mit einer Geschwindigkeit von 1000 Individuen pro Zeiteinheit:
M(t) = 1000t+ 3000.
Zu welchem Zeitpunkt “¨uberholt” die erste Population die zweite Population? Stellen Sie eine Gleichung auf und bringen Sie sie in die Formf(t) = 0. L¨osen Sie die Gleichung mit a) dem Bisektionsverfahren (Anfangsbereich[2,3]). F¨uhren Sie 3 Schritte durch. Be-nutzen Sie die Fehlerabsch¨atzung aus der Vorlesung, um eine Aussage ¨uber die Ge-nauigkeit der L¨osung zu machen.
b) dem Newtonverfahren (Startwertsch¨atzungt(0)= 2). F¨uhren Sie 3 Schritte aus.
c) Die einzige positive L¨osung (es gibt noch eine negative) ist 2.44490755. . . . Welche der L¨osungen in (a) und (b) ist genauer?
3.6. Betrachten Sie die Funktion
g(x) =x3−x.
a) Bestimmen Sie alle Nullstellen vong.
b) Schreiben Sie die Newton-Methode f¨ur dieses Problem auf.
c) F¨uhren Sie die Newton-Methode mit dem Startwertx(0) = √1
3 durch. Was geschieht?
d) F¨uhren Sie zwei Schritte der Newton-Methode mit Startwert x(0) = √15 durch. Was f¨allt Ihnen auf?
e) Beheben Sie die Schwierigkeiten in (a) und (b) durch Wahl eines besseren Startwerts und f¨uhren Sie drei Iterationen durch. Gegen welche Nullstelle strebt die N¨aherungs-folge (dies h¨angt vom Startwert ab)?
3.7. Betrachten Sie die Funktion
g(x) =x3−x.
a) Bestimmen Sie alle Nullstellen vong.
b) Schreiben Sie die Newton-Methode f¨ur dieses Problem auf.
c) F¨uhren Sie die Newton-Methode mit dem Startwertx(0) = √13 durch. Was geschieht?
d) F¨uhren Sie zwei Schritte der Newton-Methode mit Startwert x(0) = √15 durch. Was f¨allt Ihnen auf?
e) Beheben Sie die Schwierigkeiten in (a) und (b) durch Wahl eines besseren Startwerts und f¨uhren Sie drei Iterationen durch. Gegen welche Nullstelle strebt die N¨aherungs-folge (dies h¨angt vom Startwert ab)?
3.8. Wir betrachten nochmals Abbildung 3.9, wo wir das diskrete logistische Wachstum f¨urr = 2.7 und zwei verschiedene Anfangspopulationen N0 = 100 und N0 = 101 betrachtet haben. Wiederholen Sie dieses Experiment f¨urr = 2.5undr = 1.9. Was stellen Sie fest?
F¨ur gegebenesr, untersuchen Sie die Differenz zwischen den beiden Graphen, die zu den verschiedenen Anfangspopulationen geh¨oren.
3.9. Wir betrachten die diskrete logistische Gleichung mitK = 1:
Nn+1 =Nn+rNn(1−Nn).
a) Dr¨ucken SieNn+2durchNnaus.
b) Angenommen, es gibt eine L¨osung mit 2er-Zyklus. Dann bewegt sichNn zwischen zwei Werten S1 undS2 f¨ur genug grossen. F¨ur diese Werte muss (n¨aherungsweise) gelten:
S1 =Xn =Xn+2, und S2 =Xn+1 =Xn+3.
Bestimmen Sie aus diesen Gleichungen die Werte vonS1 undS2 (beachten Sie, dass eine Gleichung vom Grad 4 f¨urS entsteht; sie hat die zwei L¨osungen 0 und 1; zwei weitere L¨osungen, n¨amlich die gesuchten Werte S1 und S2, ergeben sich dann aus einer quadratischen Gleichung).