Festigkeitsberechnung von Kegelschalen mit linear veränderlicher Wandstärke

Research Collection

Doctoral Thesis

Festigkeitsberechnung von Kegelschalen mit linear veränderlicher Wandstärke

Author(s):

Honegger, Emil Publication Date:

1919

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https://doi.org/10.3929/ethz-a-000098890

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FESTIGKEITSBERECHNUNG VON KEGELSCHALEN MIT

LINEAR VERÄNDERLICHER

WANDSTÄRKE

VONDER

EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE

IN

ZÜRICH

ZURERLANGUNG DER

WÜRDE EINES DOKTORS DER

TECHNISCHEN WISSENSCHAFTEN

GENEHMIGTE

PROMOTIONSARBEIT

VORGELEGT VON

EMIL HONEGGER,

DIPL. MASCH.-ING.

AUS HINWIL

(ZÜRICH)

REFERENT: HERR PROF. DR. E. MEISSNER KORREFERENT: HERR PROF. DR. A. STODOLA

219

LUZERN1919 BUCHDRUCKEREIKELLER & Co.

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Meinem Vater

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INHALTSVERZEICHNIS.

Seite

Einleitung ⁷

Bezeichnungen 9

I.Abschnitt: Mathematischer Teil.

§ 1. Ableitung ^der Grundgleichungen 12

§ ^2. Spezialfälle, welche eineVereinfachung ^desmathematischen Problems

gestatten 18

§ ^{3. Die} Integration ^der

homogenen Differentialgleichung

^{für den} Kegel

mit linear veränderlicher Wandstärke 21

§ ^{4. Die}partikulären Integrale^{der nicht}

homogenen Differentialgleichungen

³³

II. Abschnitt: Diskussion der praktischen Aufgabe.

§ 5. Die Randbedingungen ³⁹

§ ^{6. Die} elementaren Belastungsfälle 41

§ ^7. Erläuterung ^der Berechnungsweise ^{im Falle} zusammengesetzter ^Be¬

lastung ⁴⁴

§ ^{8. Die} elastischen Verschiebungen 48

III.Abschnitt: Numerische Berechnungen.

§ 9. Nach aussen verstärkter Kegel^{: a = 6°} 50

§ 10. Nach aussen verjüngter Kegel: ^{a = 6°} 59

§ 11. Nach aussen verjungte ebene Scheibe: a ⁼ 0° . . 62

§ 12. Nach aussen verjüngter Kegel: ^{a =} 29° 3' 12" 71

§ ^13. Graphische Integration ^der Grundgleichungen ^{nach der Methode von}

Prof. Meissner 75

§ 14. Besprechung ^{der Resultate und} Vergleich ^mit Kegelschalen ^unver¬

änderlicher Wandstärke 80

A. Kegel ^{von a = 6"} Neigungswinkel ⁸¹ B. Kegel ^{von a =} 29° 3' 12" Neigungswinkel ⁸⁸ C. Vergleich ^{der nach aussen linear} verjüngten Kegelschalen ^von

a — 6° und a = 29° 3' 12" 91

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1

EINLEITUNG.

Diese,

^auf

Anregung

^{von Prof.} Meissner vorgenommene Unter¬

suchung

^dertechnisch

wichtigen Kegelschalen

^mit linear veränder¬

licher Wandstärke soll ein relativ

bequemes, praktisch

^verwend¬

bares Verfahren für die

Berechnung

des elastischen Verhaltens dieser Schalen erläutern. ^— Die

erste,

^{von Prof.}

Stodola1)

^an¬

gegebene Lösung

^{beschränkt sich auf}

Kegel

konstanter Wandstärke und erfordert die

Integration

^einer

Difierentialgleichung

^fünfter

Ordnung.

^{Prof. Meissner hat}

gezeigt2),

^{dass die} Difierential¬

gleichung

^vierter

Ordnung,

^{auf deren}

Integration

^das Problem bei

zweckmässiger

^{Wahl der} Unbekannten

hinausläuft,

^{in zwei}

Differentialgleichungen

^zweiter

^Ordnung zerfällt;

^die

Lösungen

dieser beiden

Gleichungen

^sind

konjugiert komplexe

^Grössen.

Für den

Kegel

konstanter Wandstärke hat Dr.

Dubois3)

^die

Verwendbarkeit der Methode ausführlich

dargetan;

^die

Lösung

wird alsdann durch Besselsche Funktionen

gegeben.

^{— Im vor¬}

liegenden Fall,

^{wo die} Wandstärke linear mit dem Abstand von

der

Kegelspitze

^sich

^ändert,

^{führt die}

Festigkeitsuntersuchung

^auf

eine

hypergeometrische Differentialgleichung,

^deren

Integrale

^durch

konvergierende

Reihen berechnet werden können.

Die

gewählten Bezeichnungen

schliessen sich _genau an die von Prof. Meissner verwendeten

an4),

^{denn diese}

verbürgen

^die

grösstmögliche

Einfachheit der

Darstellung.

^{Dazu weisen aber} diese

Bezeichnungen

ⁱⁿ

'

vorliegendem

Fall veränderlicher Wand¬

stärke noch einen

weitern,

wesentlichen Vorteil auf: sie

geben

^die

von einem

Schalenquerschnitt übertragenen

^{Kräfte und. Momente} in ihrer totalen Grösse ^und

zeigen

ⁱⁿ übersichtlicher

Weise,

^wie

') A.Stodola: Die Dampfturbinen ^(vierte Auflage, ^{Seite 597).}

2) E. Meissner:DasElastizitätsproblem^{für dünneSchalen.}Physikal.^Zeitschr.

14.Jahrgang. ^{Seite 343. — Ueber} Elastizität und Festigkeit ^{dünner Schalen} Vierteljahrschrift ^der Naturforschenden Gesellschaft Zürich. 1915, ^{Seite 23.}

s) ^Dubois: Festigkeit ^der

Kegelschale.

^{Diss. Zürich, 1917.}

4) ^In Uebereinstimmung^{mit: Love,} Lehrbuch der Elastizität. Deutschvon A.Timpe.

Leipzig

^1907.

jeder

^{Teil der dünnen Schale}

mittragen

^{hilft. Im}

Gegensatz

^hie-

zu würden die

spezifischen Spannungen,

^{die nicht nur mit den aus¬}

geübten

^{Kräften und}

Momenten,

^{sondern auch} noch mit der ört¬

lichen Schalenstärke veränderlich

sind,

^ein

schwerleserliches,

^un¬

deutliches Bild der Verhältnisse

geben.

Es sei noch

erwähnt,

^dass ein grosser Teil der numerischen

Berechnungen

^{mit einem 50 cm}

langen

Eechenschieber

ausgeführt

wurde. Dies erwies sich als genau genug, in Anbetracht der Ver¬

nachlässigungen,

die in der Theorie dünner Schalen

gemacht

^wer¬

den. ^— Wo grössere

Genauigkeit notwendig

war, wurde mit ^acht¬

stelligen Logarithmen gearbeitet.

Herrn Prof. Meissner bin ich für die

Unterstützung

^{bei der}

Entstehung

^{dieser Arbeit zu} grossem Dank

verpflichtet.

^Auch

Herrn Dr. Dubois möchte ich für manchen

guten

Eat meinen Dank

aussprechen.

BEZEICHNUNGEN.

a

Komplenient

^{zum halben}

Spitzenwinkel

^des

Kegels,

^{auf die}

Mittelfläche

bezogen.

s

Länge

^der

Erzeugenden,

^{von der}

Spitze

aus, in der Mittelfläche gemessen,

h Dicke der

Schale,

^{normal zur} Mittelfläche.

cp Breitenwinkel.

Fig.

^1.

Fig.l

Das Element der

Kegelschale,

auf welches die Grund¬

gleichungen bezogen

^werden

sollen,

^sei

begrenzt

^durch:

die beiden

Kegelmantelflächen,

^{welche die Schale selbst}

begrenzen

;

zwei

Meridianebenen,

^{die um den Winkel}

Hcp

voneinander abstehen_;

zwei

Kegelflächen,

^die die Mittelfläche der untersuchten

Kegelschale

^{im Abstand s und}

(s-f-ds)

^{von der}

Spitze

normal durchsetzen und ^mit ihr koaxial sind.

Durch den

geometrischen Mittelpunkt

dieses Elementes sollein

rechtwinkliges Koordinatensystem

^so

gelegt werden,

^dass: die

-|-

^{x-Achse mit der}

Mittelflächen-Erzeugenden

^zu¬

sammenfällt,

^im Sinne zunehmender s;

die

-\-

z-Acbse normal auf der

Kegelmittelfläche

^{steht und}

nach dem Innern des

Kegels zeigt;

die

-f- y-Achse

^{in die}

^Tangente

^{an den} Parallelkreis fällt und mit den x- und z-Achsen ein

rechtshändiges System

x, y, ^z bildet.

a%

Normalspannung

ⁱⁿ der

Eichtung -|-

x, im Abstände z von

der

Mittelfläche, zusammengesetzt

^aus:

axo Normalspannung

^{in der}

Mittelfläche,

^{von z}

unabhängig.

°xz

^{von z}

abhängiger

^{Teil von}

_ax.

o ⁼ a -4- _a

X xo I _xz

ebenso: a = er 4- _u

y yo ^I yz

r

Schubspannung,

^{wirkend in der koaxialen}

Normalkegelfläche.

Tj Normalkraft,

^auf

eine,

^die

Kegelmittelfläche

^{in einem Parallel¬}

kreis normal durchsetzendeFläche

wirkend,

^{von derim Parallel¬}

kreis _gemessenen

Länge

1 ; also:

Tj

⁼

oxo h.f)

^ebenso

gilt:

T2

^{= a h.} demnach ist:

T2

Normalkraft auf einen

Meridianschnitt,

^{von der} im Meridian gemessenen

Länge

^1.

Gl Biegungsmoment,

^{um die}

_y-Achse

drehend_; Fläche wie für

T,

; also:

Gi

⁼

6hS°«»«

^ebenso

^gilt:

"2 (J

°yz

max

N Eesultierende

Querkraft;

Fläche wie bei

T, (Fig. 2a).

N ⁼

j

^rdz

£ Deformationskomponente

ⁱⁿ

Kichtung -|-

^x.

3

Neigungswinkel

^der

Tangente

^{an die} deformierte

Erzeugende

der Schalenmittelfläche _gegen die x-Achse im undeformierten Zustand.

Fig.

^2.

dx ds

') Eigentlich^: Tj ⁼

I

<rxdz ( \_; aber z darf neben _p vernach-

«-^ ^{\ P /}

lässigt

^werden.

- 11 ^—

exo

Spezifische Dehnung

^{in der}

x-Richtung,

^{in der} Mittelfläche.

sx

Entsprechend,

^{im Abstände z von der} Mittelfläche.

e

Spezifische Dehnung

^{in der}

Mittelfläche,

^und

e _„

„im

^{Abstand z von}

^dieser,

^{in der y-}

Richtung.

Fig.²

X Aeussere

Belastung

pro Flächeneinheit der

Kegelmittelfläche,

in der

-{- ^x-Richtung

^wirkend.

Z

Desgleichen,

^{in der}

-\- z-Richtung.

E Elastizitätsmodul:

2.1X106.

v Poissonsche Konstante: 0<3.

Einheiten:

kg,

cm, ^sec.

Mathematischer Teil.

Eine

Kegelschale,

^deren Wandstärke

beliebig

^{mitdem Abstand}

von der

Spitze

^sich

ändert,

sei in

bezug

^{aufihre Achse}

symmetrisch

belastet. Das

homogene

^und

isotrope

^Material

_gehorche

dem Hookeschen

Gesetz;

^es werde also an keiner Stelle über die

Proportionalitätsgrenze,

^hinaus

beansprucht.

Infolge

^der

vollständigen Symmetrie

^{werden auf} einen Meridian¬

schnitt nur

Normalspannungen

^{wirken und} es werden

Punkte,

^die

vor der Deformation in einer

Meridianebene lagen,

^{auch nach} der Deformation in dieser

liegen.

Wir setzen voraus, ^{dass die}

Schalenstärke

klein sei im Ver¬

hältnis zu ihren

übrigen Abmessungen,

^{und dass} ferner die De¬

formationen klein seien im Verhältnis zu den

Scbalenabmessungen.

Dies erlaubt uns, ^die

Normalspannungen,

^{welche auf der}

_Kegel¬

mittelflächenormal

stehen,

^zu

vernachlässigen

^und

anzunehmen,

^dass eine Normale zur

Kegelmittelfläche

nach der Deformation normal auf der deformierten

Schalenmittelfiäche

stehe.

Im mathematischen Teil wird _vorerst die

Untersuchung

^all¬

gemein

^für

beliebige Veränderlichkeit

der Schalenstärke durch¬

geführt. Nachträglich

^werden

jene Spezialfälle herausgegriffen,

welche sich rechnerisch _besonders einfach

gestalten,

^{und von diesen}

der

Kegel

^mitlinear veränderlicher

Wandstärke eingehend

^behandelt.

§

^1.

Ableitung

^der

Grundgleichungen.

Gleichgewichts-Bedingungen.

Wird ein Element der

Kegelschale

^von dieser

losgetrennt

ge¬

dacht,

^{so kann sein}

Gleichgewicht

dadurch

ungestört

^{erhalten an¬}

genommen

werden,

dass in den

Schnittflächen

die früher wirkenden

Spannungen

^durch

gleich

grosse ^und

gleich gerichtete

äussere Kräfte ersetzt werden.

Gleichzeitig

^{sollen die schon} früher am

Element

angreifenden

äusseren Kräfte

weiterwirken.

— 13 ^—

Das

Kräftesystem,

welches auf ^das betrachtete Schalenelement

wirkt,

^{setzt sich}

folgendermassen

^zusammen:

a)

^Auf

eine,

^{in einem} Meridianschnitt

liegende Begrenzungsfläche

wirken:

1. eine Normalkraft:

dT2

⁼

T2ds

^{= hds}

ajo

^•

2. ein

Biegungsmoment:

dG2

⁼

G2ds

⁼

itfds _oyzmax

b)

^{Auf eine}

Begrenzungsfläche,

^{welche im Abstand s von der}

Kegelspitze

^{normal zur}

Kegelmittelfläche

^{steht und diese}

längs

eines Parallelkreises durchsetzt:

1. eine Normalkraft:

d

T,

⁼

Tj

^s

^ûcp

^{cos« = h s}

^àc/>

oxo ^{. cos«}

2. ein

Biegungsmoment

^:

d

Gx

⁼

Gl

^s

^&<p

^{cos« = -A\%s}

^dcp

oxz max

• cos«

3. eine

Querkraft:

d N ⁼

[j"

^t

dz]

^s

^Açp

^{cos« = N s}

^à.cp

^cos«

c)

^{Die äussere}

Belastung

^des

Kegels

^{sei durch ihre}

beiden,

^auf

dieFlächeneinheitder

Kegelmittelfläche bezogenen Komponenten

nach den 4- x- und 4-

z-Eichtungen gegeben.

^{— Nach Voraus¬}

setzung ^{wird die dritte}

Komponente,

^nach + y, ^zu Null. ^— Alsdann wirken auf das Schalenelement:

Xs cos«

dcp

^{ds Z scos«}

Acp

^ds

Ein

Kräftesystem genügt,

^{falls es im}

Gleichgewicht ist,

^den

6

Gleichgewichtsbedingungen.

^{Von diesen werden bei dem hier}

betrachteten

Kräftesystem

^{3 identisch}

befriedigt, infolge

^{der voraus¬}

gesetzten Symmetrie

^der

Belastung

; ^es sind dies die

Komponenten¬

gleichung

^{nach der}

y-Richtung

^{und die}

Momentengleichungen

^um

die x- und die z-Achsen. ^— Die 3

übrigen Gleichgewichts¬

bedingungen

^nehmen

folgende

^{Gestalt an}

(Fig. 2a):

1.

Koniponentengleichung

^{nach der}

x-Richtung:

0 ⁼ d

(s

^cos«

dcp

^h

oxo)

^{— h ff ds cos«}

^dcp -f-

^{X s cosa}

dcp

^ds

welche,

^{durch ds •}

dtp dividiert,

^auch

geschrieben

^werden

kann:

d

(sTj)

^—

T8 -f-

^{s X = 0. 1}

2.

Komponentengleichung

^{nach der}

z-Richtung:

0 = d

(s

^cos«

dcp N) -f-

^{s cos«}

dcp

^{ds Z}

-j-

^{h ds a}

dcp

^sin«

welche,

^{nach Division} durch

tga>ds<dcp

^auch

geschrieben

werden kann:

^(sN) ^{+ T2 tg« +}

^sZ

3.

Momentengleichung

^{um die}

y-Achse:

0.

d

(y

^{h2 s cos«}

^dcp

oxz max

)

^{^-h2 ds er} m„ cos« dcp 4-

6 yz ^{max ^} i

yz

max

— S COS«

dçp

^{N ds =} 0.

Nach Division mit cosa ^•

dçp

^{• ds}

d

ds

(s Gx)

^_

G2

^{— sN 0.}

— 15 ^—

Deformationszustand.

Die

Formänderung

^{wird in}

jedem

Punkte durch die beiden

Verschiebungskomponenten £

^und

£ gegeben.

Der

Krümmungsradius

g der deformierten

Erzeugenden hängt

mit dem

Neigungswinkel

^{3 der}

Tangente

^an diese durch die Be¬

ziehung

^zusammen:

1 d* däf _s. ^.

P ds ds2 ^{s *}

Die

spezifischen Dehnungen

^der

Kegelmittelfläche

^sind

gegeben

durch:

e ⁼

Ü

= i". ^{f = *}

~ ?**"

xo ds ^{- yo s}

Daraus

ergibt

sich für die

Dehnung

^einer Faser im Abstandz von der Mittelebene:

z

p

[s^COSa -j- Ç^{cosa —} (f

—(-

z) ^{sina — zsintf}cosa] ^— [s^{cosa - z} sina)

y ^S COSa ^— z sina

wo das erste Glied im Zähler den normalen Achsenabstand nach der

Deformation,

^{das zweite vor der}

Deformation, angibt.

^{— Wird}

imNenner dieses Ausdrucks^z

gegenüber

^s

vernachlässigt

^{und sin ^}

durch

tg

^{3" =}

£

^•

ersetzt,

^so

geht

^{er über in:}

e ^_ i ^— ? tgo Lt.— ^{% — i} tgg 1 _3, c

y s s ^* s s

Beziehungen ^zwischen Spannungen ^und Dehnungen.

Für einen ebenen

Spannungszustand ^gelten

^{nach dem Hooke'-}

schen Gesetz die

Beziehungen:

a ⁼ , 5 (ê ^{-1- v e}); ^{a =} , 5 (e -4- v e

)

^•

Da nach

Voraussetzung

^die

Normalspannungen

_az

vernachlässigt werden,

besitzen diese

Gleichungen

^im

vorliegenden

^Falle

Gültig¬

keit und

ergeben

^nach

zweckmässiger ^Umformung:

6

T ^— Eh /c. I _v ^{' -} S ^

• T ^— Eh

I*

^{— ; ^a}_{_I_} «

c.\

Ti ^—

r^i^

^{+ v} —g—)'

i2-r^z^l—s

^{r^ )}

7

Aufstellung ^der

Differentialgleichungen.

Wird aus den beiden

Komponentengleichungen (1)

^und

(2)

^die Kraft

T2 eliminiert,

^so

ergeben

^sie:

(sTj)'

^sin«

-f- (s N)*

^cosa

-f-

^{s X sin«}

-)-

^{s Z cos«= 0.}

Durch die Schreibweise:

F(s)

⁼

) [X

^sin«

-}-

^Z

cos«]

^{s ds A}

0

geht

^diese

Gleichung

in die Form über:

s

Tj

^sin«

-f

^{s N cosa = —}

F(s).

8

Diese

Gleichung sagt,

^{dass die zur} Achse des

Kegels parallelen Kräfte,

^{die an der Schale}

angreifen,

^{falls diese durch} einen den Parallelkreis s enthaltenden

Nonnalkegel abgeschnitten wird,

im

Gleichgewicht

^{sind. — Diese}

Gleichung,

^welche

ebensogut

^direkt

hergeleitet

^werden

kann,

^{kann eine der} beiden

Komponenten¬

gleichungen ersetzen, gegenüber

^{denen sie den}

symmetrischen

^Auf¬

bau als Vorteil aufweist.

Die

vorliegende Aufgabe

^besteht

darin,

^{für eine}

beliebige,

^den

gemachten Voraussetzungen genügende Belastung

^der

Kegelschale

die

Unbekannten;

3 Kräfte:

Tv T2, N,

2 Momente:

Gr„ G2,

2

Deformationskomponenten £

und

£,

als Funktionen des Ortes zu bestimmen. ^— Es ist

leicht,

^bei ge¬

gebener

Deformation der

Schale,

^die

übrigen

⁵

Unbekannten

zu

bestimmen,

^{wie aus den}

Gleichungen (6)

^und

(7)

^{zusammen mit}

(2)

^oder

(8)

ersichtlich ist_;

überhaupt

sind sämtliche Unbekannten

— 17 ^—

eindeutig feststellbar,

sobald zwei als Funktionen von s bekannt sind. Diese beiden Grundvariablen können

beliebig gewählt

^wer¬

den,

^{und die}

grösstmögliche

Einfachheit der

Differentialgleichung gewähren

die Unbekannten:

5 :

ieraus

=

£•;

!

folgt:

B ⁼ sT,

:

h2

Tx

^{= h3B}_s

T2

^{== 2 h h- B}

+

^h=:B"'

+s

^X

N =

F(8)

s cos«

—

s

B

tg«

S ffxo

h B

gemäss (1)

nach

(8)

Die eine

Differentialgleichung

^des Problems kann nun her¬

geleitet werden,

indem in der

Momentengleichung (3)

die Momente als Funktionen von •?> nach

(7) geschrieben werden,

^{und anderseits}

N

gemäss (9)

durch die Unbekannte B ersetzt wird. Die Momenten¬

gleichung

^{nimmt dann}

folgende

^{Gestalt an:}

s *••

+ ^(l + 3S^--f(3S^:-l)^

^|

=

18*5.

(1 _ *) B ⁺

^M-

(i ^_ ,,).

E h ^{v '} 'Eh3 cos« ^{v '}

Die zweite

Differentialgleichung

^wird

gefunden,

^{indem die}

Dehnungen

^{durch die}

Spannungen ausgedrückt

^{werden und dann}

verlangt wird,

^{dass die ersteren den}

Kompatibilitätsbedingungen genügen

^{sollen. — Nach}

(5)

^{ist für z = 0}

£yo

⁼

^{Uz±*&- also:£}

⁼

(£_ eyo

^s)

^cotg«.

f*

⁼

(ew

^-

£yo

^{- S}

V) ^GOtZa

^{= *• 10}

In dieser

Gleichung

^können:

£xo

⁼ _E-£

(Ti

^{- "}

T.)

yo

—

E h

À (T,

^{- -}

Tl}

gesetzt werden,

^{wo dann}

T1

^und

T3

ihrerseits durch die in B aus¬

gedrückten

Werte ersetzt werden. Auf diese Weise

ergibt sich;

II

sB-

+(1 +

³

s£)

^B-

^{+ (s[2 +} ,]hE ⁺ 2s^-l) §

⁼

h cotga |h- ^{v '} h ^{' >} h2 \ Das Problem ist nun

zurückgeführt

^{auf die}

Lösung

^{der beiden}

linearen,

^simultanen

Differentialgleichungen

^zweiter

Ordnung (I)

und

(II),

^{was im}

allgemeinen

dadurch erreicht werden

kann,

^dass

man die aus der Elimination der einen Unbekannten entstandene

Differentialgleichung

^vierter

Ordnung integriert.

§

^2.

Spezialfälle,

welche eine

Vereinfachung

^des

mathematischen Problems

gestatten.

Prof.

Meissner1)

^hat

gezeigt,

^{dass für besondere Formen der}

Kegelschale

^die

Differentialgleichung

^vierter

Ordnung

^{in zwei}

Differentialgleichungen

^zweiter

Ordnung

^zerfällt; diese

Spezialfälle

sollen nun

hergeleitet

werden.

Zur

Vereinfachung

^der Schreibweise seien

folgende

^Abkür¬

zungen

eingeführt:

L

(U)

^{= h}

cotg« [s

^U»

+ (1 +

^{3 s}

~)

^{U- —}

5]

^C

çp ^_ 2 v h*

cotga

j 12 (1 ^—v2)

D ^{*1- E} E

5P2 ⁼

K2 + v)

^h"

+

^{3 s}

h-] cotg« ^

^{= — E}

Die beiden simultanen

Differentialgleichungen (I)

^und

(II)

schreiben sich dadurch:

E h2 sina

L

(B) +

5V ^B=

h *-\S-è ^{(2 +}

^"- ¥

s) + ?

^x

_I cotg"-

') ^{E. Meissner: a. a.0.}

— 19 ^-

Die

vollständigen Integrale

^dieser

Gleichungen

^{setzen sich}

zusammen aus einem

Integral

^der

homogenen Differentialgleichung

und einem additiven

partikulären Integral.

^{Vorerst sollen die}

Integrale

^der

homogenen Differentialgleichung

^ermittelt

werden,

welche

Gültigkeit

^{haben bei}

jeder Belastung,

^abernur im besondern Falle verschwindender

spezifischer Belastungen

X und Z und Be¬

lastungsfunktion

^F

(s)

^{das Problem}

vollständig

^lösen.

Obige

^Glei¬

chungen gehen

^{über in:}

L

(») +

cpx ^{S =}

\

^B

L

(B) +

<p2 ^{B =}

À2

^S

Durch Eliminieren von

B, respektive

^•$:

L L

(3)

^{+ L}

(gp1 3) +

_cp%^L

(S) + (cPl

cp2 ^-

^ À2)

^{5«=0 IVa}

L L

(B) +

^L

(>2B) ⁺

<px^L

(B) + (^

<p2 ^-

lt À2)

^{B=0 2}

Es werde nun die besondere Annahme

gemacht:

L

p) + (c + f/l)

^{3 = 0 3}

worin c eine Konstante

ist,

^{über die noch}

verfügt

werden kann.

Durch

Ausführung

^der

Differenzialoperation

^{L an}

obiger Gleichung geht

diese über in:

L L

(3) -f

^L

(cPl 3) |

^{e L}

(J)

^{= 0 4}

und durchEliminieren von L L

($)

^{und L}

(3)

^{aus den}

Gleichungen (I), (IVa)

^und

(4) folgt:

[- (Vi

^-

^{c) (c} + 90 + {cpx

<pa ^-

Xx À2)]

^{» = 0}

c2

+ (SP!

^-

SPg)

^{c -}

X, \

^{= 0. 5}

Hierin ist alles

übrige konstant,

^{also muss auch} konstant sein:

CP\ ^— 9>2 ^{= 2}

k0

⁼

[3

^{yh* —}

(2 -f ?)

^{h* — 2 s}

h-] cotg«

⁶ C2

+

²

k0

^{c -}

\ \

^{= 0}

Ci

^=-

k0 + VVT^,T c*

^{= -}

ko

^-

iWT\h

⁷

Aus

Gleichung (6) folgt:

—

(1

^—

v)

^{h" — s h" =}

k0 ^tga.

Durch

Integration

^dieser

Gleichung ergibt

^{sich für die Wandstärke}

der

Kegelschale

^{das Gesetz:}

h ⁼ a

-f

^{b s}

+

^{e sv}

falls b ^{= —} jrzz~\ ^{un(i a un(l e}

Integrationskonstanten

^sind.

Gehorcht die Schalendicke dem Gesetz

(III),

^so

geht

^die

Differenzialgleichung

^vierter

Ordnung (I)

^{über in die beiden}

Differentialgleichungen

^zweiter

Ordnung:

L

(3) + (cx + Vx)

^{5 = 0} _|V

L

(*) 4 (c2 + *,)*

^{= °-}

Sind die beiden

vollständigen Integrale

dieser Differential¬

gleichungen

^{ermittelt in der}

;Form

^:

~si

⁼

Kt ^ + K2 32 \

⁼

K, 38 + K4 *4

wo mit K die

verfügbaren Integrationskonstanten

^bezeichnet

sind,

so kann die zweite

abhängige

Grundvariable leicht mit Hülfe der

Beziehungen (IV)

^und

(I') gefunden

^werden:

L

i\) + (cx + *>,) ^

^{= 0}

L

(^ +

cßl

^

⁼

}.t BT

cx

^

^{= -}

),x B,

V ebenso c2

$n

^{= —}

^Kx Bn

Um nun auf den besondern Fall zu

kommen,

bei welchem die Schalenstärke linear mit dem Abstand von der

Kegelspitze

^sich

ändert, genügt

es, im Ausdruck

(III)

^die

Integrationskonstante

e ⁼ 0 _zu setzen:

h ⁼ a

-f

^{b s. Ill'}

Hierdurch treten dann noch

folgende Vereinfachungen

^ein: cpx ^{= 3 v b}

cotg« k0

⁼

(v

^—

1)

^b

cotg«

(p2 ⁼

(2 -|- v)

^b

cotg« (1

^—

v)

^{b — —}

k0 tga

- 21 ^—

Die beiden

Differenzialgleichungen (IV)

^lauten

nunmehr,

ausführlich

geschrieben

^:

h

cotg« [

^{s >~}

^{+ (l +}

^{8 b}

^¥7)) *•-!]+

^IV-

+ I ^{(1 +}

²

^v)

^b

^cotg«

^±

^{^(T—v)^ cotg2^—}

¹²

⁽¹

^—v*

^{) 1}

^3=0.

§

^{3. Die}

Integration

^der

homogenen Differentialgleichung

für den

Eegel

mit linear veränderlicher Wandstärke.

Normalform der hypergeometrischen Differentialgleichung.

In den im

vorhergehenden Paragraphen gefundenen Gleichungen (IV),

^{welche im hier} betrachteten Falle

Gültigkeit besitzen,

^lassen

sich wesentliche

Vereinfachungen

^durch

folgende

^{Variablen-Sub¬}

stitution erzielen:

s ^{= —}

^

^{t h = a}

⁽¹

^—-

^t)

Es werden dadurch:

A

^— _

A A ^

i_

^! di

ds a dt ds2 ^' a2 dt2

Werden dann ferner die

Abkürzungen eingeführt:

o-x ^{= 2 v}

+ y/(i

^-

^vf

^-

^JIb^2 ^tg2«

ffj! ^{= 2 v —}

\/(l

^-

^vf

^-

^{^} (1b7

^v2)

^tg2«

so schreiben sich die beiden

Differentialgleichungen:

O

+ lt=î ⁺ t)

^dt

⁺ U ⁺ °i) Fct^ï)

^=°

d«* , , w , .,.- , ,. , , ^-

=0 IV

dta +

\t

^{—1 "T}

^t)

^{dt "I \t "T}

"2/

t(t-l)'

Dies sind zwei

hypergeometrische Differentialgleichungen,

deren

allgemeinste

Form lautet:

')

1 ^—a ^—a' ^. 1—y^— y'\T7, ^, |-'oo' , r/ , aa,\ ^Y Y"

+ (^^+i^^)Y'

⁺

(=^

⁺

^{^+* x(x-ir}

^:()

]) Felix Klein: „Ueber ^die hypergeometrische Funktion." Autographie.

Leipzig. ^{Teubner. 1906. — Seite 46.}

Durch

Vergleichen entsprechender Koeffizienten,

unter Berück¬

sichtigung

^{der zwischen den}

Exponenten

^der

hypergeometrischen Differentialgleichung geltenden Beziehung1):

«

+

^a'

+ ^/? + /?'+

r

+ ^y'

⁼

^1,

ergeben

sich für diese

folgende

^Werte:

+

¹ y ⁼ 0

ß

⁼

+ }

⁺

y/y-

- 0,

2 ^' V ₄ "i

Diese Werte beziehen sich auf die erte der

Gleichungen (IV);

um die

Exponenten

^{der zweiten}

Gleichung

^zu

erhalten, genügt

es, in den

Beziehungen ß

^und

ß',

a{ ^durch u2 ^zu

ersetzen,

^während

a,

«',

7 und

7'

unverändert bleiben.

« und «' sind die zum

singulären

^{Punkte t = 0}

gehörigen Exponenten

^der

hypergeometrischen Funktion,

^während

ß

^und

/?'

dem Punkte t ^{= °°} und y und

y'

^{dem dritten}

singulären

^Punkt

t ⁼

—|—

¹

zugeordnet sind.2)

Integrale ^{für die} Umgebung ^{von t = o.}

Ein erstes

Integral

^{der ersten}

Differentialgleichung (IVT")

^kann

ohne weiteres

hingeschrieben

^werden:

worin2)

^:

^

^{= t • F}

(a1 bL

c,

t)

a, ⁼

/?+« +

7 ⁼

} ⁺ \/t

^{'- °'i}

Cj ^{= 1 — a — a'— 3}

- °"i

VI

F(a, b,

c,

t)

^{= 1}

+ ^t+ ^{^t«^±i)}

_(c

₊

₁₎ ^f

⁺

l ^a (a

4-

1) (a

+

^{2) b} (b

+

i) (b

+

2) _f3 ,

' 3! c (c + 1) (c

-f

2) ^~T

1) ^F.Klein: a. a. 0. Seite 43.

2) ^Die

folgenden

Kechnungen ^beziehen sich, ^wenn nicht anders vermerkt, immer auf die erste der Gleichungen (IV").

— 23 ^—

Aus der

Symmetrie

^der

Differenzialgleichung folgt,

^dass y und

f gleichberechtigt sind;

^{daher kann das eben}

angeführte Integral

auch in einer andern Schreibweise

gegeben werden,

^{indem in}

obigen

Werten überall _y durch

>''

^{ersetzt wird:}

^

^{= t}

⁽¹

^-

^t)2F (a,' b/ c/ ^t)

^VT

worin

V ^{=/?+« + 7'}

⁼

| ⁺ v/f3^

C ⁼ 3

Das

Integral 3, konvergiert jedenfalls

^{im Innern des Einheits¬}

kreises,

^{d. h für}

|t]

^{< 1. Ob es auf dem} Einheitskreise auch noch

konvergiert,

^{muss erst} untersucht werden. Diese

Frage

^soll

aber hier nicht weiter

verfolgt werden,

weil sie für die

folgenden zahlenmässigen Berechnungen,

^{wo nur rasch}

konvergierende

^Inte¬

grale

verwendet werden ^{und 5} demnach höchstens für

jt|

^{< 0 • 5}

berechnet werden _muss, ohnehin

belanglos

^ist.

Es sei noch

erwähnt,

^{dass das}

gefundene Integral ^

^leicht

auf elementarem

Weg hergeleitet

^werden

kann,

^{indem die Reihe:}

A

+

^Bt

+

^Ct2

+

^{D f}

+

^Et4

-f

^{= 3}

in die

Gleichung (IV") eingesetzt wird,

^woraus sich das bereits bekannte

Koefflzientengesetz

^ohne

Schwierigkeiten ergibt.

Ein

zweites,

^{in der}

^Umgebung

des Punktes t ⁼ 0

gültiges Integral

^kann

gewöhnlich

^{aus dem ersten}

gefunden werden,

^indem in diesem überall ^« und «' miteinander vertauscht werden. Auch das zweite

Integral gestattet

^zwei

gleichwertige Schreibweisen, je

^{nach dem y oder}

y'

^zur

^Berechnung

^der Koeffizienten heran¬

gezogen wird. ^{— Im}

vorliegenden

^Fall würde aber:

C, ⁼ 1

-|-

^{«' — a = — 1}

und es wären daher sämtliche Glieder der

irypergeometrischen

Reihe nach dem zweiten unendlich _gross. ^Die Reihe würde ihre

Bedeutung

^verlieren.

Um ein zweites

Integral

^zu

finden,

^{muss die}

angeführte

^kri¬

tische

Wirkung

^der

ganzzahligen

^Differenz:

a ^— a' ⁼

-f-

²

umgangen

werden,

^was durch einen

Grenzübergang

erreicht wird. ^— Es sei s eine kleine

Zahl,

^die

beliebig

klein werden

soll;

a ^—• «' ⁼⁼ 2

+

^{* 0:' = a -- 2 -- £ : — 1 — e. 1}

Alsdamn werden:

--ß+

^«'

=

/? +

^«'

= l ^-

+

7"

— a ^-

1

—

2 1

~~

2

-«i*

^{= 3}

+

^{£ —= (}

£

=

h

-2 ^—

— 2

£

2

«£

⁼

+ \/|

^—

^ffi

3

\

⁼

-v/4

^{— °"i £}

cî

^{== 1}

+

^{«' — « = — 1 — £ =} ci ^{4 — e.}

Folglich

^:

T^—

t;1-^!-

^, (a,-2--<0(V^8-«). , ("1-2-e)(aj^-1-e){b1-2-

£)(brl

-«)4-

+ ] ^«

Wird nun diese Eeihe

multipliziert

^mit:

v~' '

(aj ^{— 2 —} e) (at^{— 1—}e) (bj ^-2-~<:) (bt ^{— 1 —} £) ^"

und

nachträglich

^{£ = 0}

_gesetzt,

^so

geht

^{sie über in das} erste

Integral 3r

^{— Wird also} die lineare Kombination

gebildet

^:

.* __

|~m

(2, e) *3 ^-

tfj

^ ^-

L

^;

J

£ ⁼ o

soist $* ein zweites

Integral

^der

vorliegenden Differentialgleichung.

Dieses kann auch

geschrieben

^werden:

^n*

[

^{m (2, e)e»92 - i9t «}

_J

£ =r 0.

Hierin hat m

(2, a) 32

^{die Form:}

t ^-1-« 2! (- ^{1 -} «) (-e)

f"

1 ^, (at^-2-e) (bt^-2-e) ^.

]

^.

(a1-2-E)(a1-l-£)(b1-2-£)(b1-l-E)[

^{' (—1 —} *)

J

^'

i

t+1-£fl

^{I (ai-£)(bi-}

f)t

^{i (%-e) (axH-1-e)(a2-g)(a2}

⁺

^1-*)t

2

_i_

lg

"T"

L ³ (1^—e) "T" 3^•4^•(1^—f)(2^—«) ^{"" "''}

J

- 25 ^-

Wird im zweiten Ausdruck ^{6 = 0}

gesetzt,

^so

geht

^er genau in die Form

-5^

^{über. Wird der erste} Ausdruck durch ^s dividiert und wird

nachträglich

^{a = 0}

gesetzt,

^{so lautet er:}

t ^'

(«4^-2) (14^-1) (bi-2)

(bi -~ï) +

(ax^- 1)(bj^- 1)

=

E(^t) Folglich

^hat man, falls der ^erste Ausdruck

(6)

^{nach dem Grenz¬}

übergang

^mit

E-(t),

^{der zweite vor dem}

Grenzübergang

^mit

rI>(s)

bezeichnet wird:

5

v2

â

⁼

[^-fL

^{= o}

^{+ K»}

Wie ohne weiteres

ersichtlich,

^{wird das erste Glied nach dem}

Grenzübergang

^{die Gestalt annehmen:}

- t

Igt

^F

(at b,

ct

t) +

^t

6>'(t).

⁷

Im Ausdruck

(7)

^hat

6>'(t)

^{die Gestalt:}

ö'(t)

⁼

c,'

^t

+ c;

^t2

+ C8'

^t3

+ C4'

^t4

+

⁸

p ^{, __}at (ai

+

1) ^{.. ..} (at+^n-1)bi (bt +1). ^{. .}(bx +^{n-1) ft}

n

—

3-4

(2-f-n)-n!

^«

' 9

.

Y ^,_l

¹

^1_\

Dieses Gesetz lässt sich am einfachsten herleiten durch

logarith¬

mische Differentiation des

allgemeinen

^{Gliedes der} unendlichen Reihe ^<I>

(«):

7 M (at^—e)^-f^1—e)^.,..(at-fn^—1—e)(bt^—e) ^....ibt+^n—1—e) ^, n

^nW— (1 ^- £) (2^— <0 ^{. . . .} (n^— e) ^{• 3 • 4 . . . .} (2+n) Nun ist:

d llg Zn(e)] _

1 d ZD(e)

de Zn(e) ^de

d Zn(e) ₇ ^{, s d} [lg Zn(e)|

—5T- ^{= A.00} de"

Die

Ableitung

^von

lg Za(c)

^{nach £}

^gibt,

^{nachdem e = 0}

^gesetzt

wurde,

die Summe im Ausdruck

(9)

; der ^vor der Summe stehende Faktor ist

Zn(0).

^—

Das zweite Glied im Ausdruck

(5")

^{lässt sich in}

gleicher

Weise berechnen und

ergibt:

[•f]

^{e = 0 = * 0"}

^{W 10}

0"

(t)

⁼

C/'

^t

-f C/' t2+ C3" t'-|-

^{' 11}

12

n ^» _ ai (ai

+

1) (ai

+

^n-l) bt (bt

+

^n—1) ^

3 ^•4 . . . . (2 + n) ^•n!

=q \ 3

+

^v.

Werden nun die

Ergebnisse (7)

^und

(10)

ⁱⁿ

(5") eingesetzt,

so wird:

$*2

^=-

tlgt.F (a, b,

Cl

t) +

^t

02 ^(t)

^-

ï-—ï2__ ⁺

^V||

+

_(ax - 2)

(^njl^-lMbr^7!)

^{* *}

worin:

ß2 (t)

⁼

C,

^t

+ C2

^t2

-J- C8

^t3

+ C4

^t*

+

^Vila

p ^>! f»! | 1) ^{. , . .} (at

-f

^{n -} 1) ht ^{. , , ,} (bt

|

^{n - 1)}

n

—

3 ^. 4 ^. 5 ^. . . . . (3

-f

n) ^n!

V _{f^_}

_+.

JL

^{i i}

'„to ^U+"

"•" 3

+

^v ax

+

^v

( b±

+

Das

vorliegende

^zweite

Integral

^hätte auch in elementarer Weise

hergeleitet

^werden

können,

^{durch Einsetzen} der Funktion:

~\ ^lg

^t

+

_j

+

^A

+

^{B t}

+

^{C t2}

+

^{1) t3}

+

^{E t*}

+

⁼

3,

in die

Differentialgleichung (IV"). Allerdings

^{setzt das die} Kennt¬

nis der

allgemeinen

^{Form von}

32

^voraus.

Das

vollständige Integral

^der

homogenen Differentialgleichung (IV")

lautet somit:

* =

KÏ$1 + K2 V, ^«

wo mit K die aus den

Randbedingungen

^bestimmten

Integrations¬

konstanten bezeichnet sind. Wie schon

erwähnt,

^{hat diese}

Lösung

nur

Gültigkeit

^für

|t|

^<

1,

da sie für

grössere

^Werte des

Arguments

^nicht

konvergiert.