L¨ohr/Manger/Winter Sommersemester 2011
Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I ¨
Ubungsblatt 10¨
Gesetz der gro ß en Zahl & Konvergenz von ZV
Aufgabe* 10.1. (4 Punkte)
Sei (Un)n∈N eine Folge auf [0,1] gleichverteilter Zufallsvariablen und
Yn :=
n
Y
k=1
Uk
1n .
Zeige, dass (Yn)n∈N fast sicher konvergiert und bestimme den Grenzwert.
Aufgabe* 10.2(Schwaches Gesetz f¨ur zuf¨allige Summandenanzahl). (4 Punkte) Sei 1≤α <2 und (Xn)n∈Neine Folge unabh¨angig identisch verteilter, quadratintegrierbarer Zufallsvariablen mitE(Xn) = 0. F¨urn∈NseiTneineN-wertige Zufallsvariablen mitE(Tn)≤ nα, die von (Xn)n∈N unabh¨angig ist. Zeige, dass
1 n
Tn
X
k=1
Xk
n→∞−→ 0 in Wahrscheinlichkeit.
Hinweis:Verwende die Wald’schen Identit¨aten (Aufgabe 9.2)
Aufgabe 10.3. (4 Punkte)
Sei (Xn)n∈Neine Folge unabh¨angiger, exponentialverteilter Zufallsvariablen mit Parameter 1, Yn := Xn
log(n).
(a) Zeige, dassYn in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert.
(b) Zeige Pn
lim sup
n→∞
Yn= 1o
= 1. Insbesondere konvergiertYn nicht fast sicher.
Hinweis: Benutze Borel Cantelli.
Aufgabe 10.4. (4 Punkte)
Seien X1, X2, X3, . . . unabh¨angig identisch verteilt mit E(Xn) = 0 und Var(Xn) = 1. Sei Sn := Pn
k=1Xk. Im schwachen Gesetz der großen Zahl wird die Tschebycheff-Absch¨atzung P
|Sn| ≥x ≤ xn2 verwendet. Zeige, dass sogar Pn
max
1≤k≤n|Sk| ≥xo
≤ n
x2 ∀n∈N, x >0.
Hinweis:Sei Ak:=
|Sk| ≥x, |Si|< x, i < k . Zeige zun¨achst x2P(Ak)≤E(1AkSn2).
Vorletztes ¨Ubungsblatt. Abgabe Fr. 24.06. bzw. Di. 28.06.
Am 21.06. Findet in der Vorlesung die Probeklausur statt!
Die Probeklausur wird in den ¨Ubungen am Fr. 24.06. und Di. 28.06. besprochen