H¨ohere Mathematik I WS 2009 / 2010 Blatt 1 13.10.2009

(1)

H¨ohere Mathematik I WS 2009 / 2010 Blatt 1 13.10.2009

1. Gegeben seien folgende Teilmengen der nat¨urlichen ZahlenN:

A={n∈N: ngerade}, B={n∈N: nist Primzahl},

C={n∈N:nist durch 4 teilbar undn≤36}

D={1,2,8}.

Bestimmen Sie folgende Mengen:

A∩B, A∩C, B∩C, (A∩C)∪D, A\B, B\A, A\C, C\A, (A∪D)\C, D×B

2. Sind die Mengen A={x∈R: x³−x= 0}undB ={x∈R:x⁹−x⁷−x⁵+x³= 0} gleich?

3. Es sei A={x∈R:x≥ −1, x≤3} undB ={x∈R:x > 0, x <2}. Veranschaulichen sie die folgenden Mengen imR²

{−1,3,2} × {4,1}, (1,3)×A,

B× {−1,3,2}, B×A.

4. Gegeben seien die MengenA={(x, y)∈R²:y+2x−1>0}undB={(x, y)∈R²:y≤ −1}.

Skizzieren Sie A,B,A∪B,A∩B,A\B undB\A.

5. Finden Sie eine geeignete Beschreibung folgender Teilmengen desR².

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7

Figure 1:

6. Beschreiben Sie das Dreieck mit den Eckpunkten (−1,1), (3,3), (5,0) als eine Menge von geordneten Paaren.

(2)

13. Bestimmen Sie den (maximalen) Definitionsbereich der Funktionen

a) x→

rx−1

x+ 2, b) x→ln(sinx), c) x→ 1

1 + tanx, d) x→ 1

√4−x².

14. Gegeben seien die Funktionen f und g. Wie m¨ussen Sie die Definitionsbereiche f und g w¨ahlen, sodaß die Verkn¨upfungenf◦gundg◦f sinnvoll definiert sind . Bestimmen Sieg◦f undf◦g.

(a) f(x) =^x−1_x+1, g(x) = _1+2x¹ , (b) f(x) =¹_x−_x+1¹ , g(x) = _x2^x−1.

15. Bestimmen Sie bildf und gegebenenfalls die Umkehrfunktion f¨ur folgende Funktionen.

a) x→ 3x+ 2

4−3x, b) x→ x

|x|+ 1.

16. Es seif(x) =√

x²+x−2. Untersuchen Sie die Injektivit¨at vonf auf a) (−∞,−2]∪[1,∞), b) (−∞,−2], c) [1,∞) und geben Sie gegebenfalls die Umkehrfunktion an.

17. Bestimmen Sie f¨ur folgende Funktionen jene Teilmengen des Definitionsbereichs, in denen sie (streng) monoton sind:

(a) f1: [0,∞)→R,f1(x) =√ x, (b) f2:R→R,f2(x) =√

x²+x+ 1, (c) f3:R\ {1} →R, f3(x) =^2−x_x−1,

(d) f4:R→R,f4(x) =bxc:= max{k∈Z: k≤x} (d.h. die eindeutig bestimmte gr¨oßte ganze Zahl kleiner oder gleichx).

18. Es seif(x) =x²,x∈[−1,1],a6= 0, ga:x→x+a,ha: x→ax. Skizzieren Sie die Graphen von f ◦ga, f◦ha, ga◦f, ha◦f und beschreiben Sie die Unterschiede dieser Graphen zum Graphen vonf.

(3)

19. Zeigen Sie f¨ura,b∈R:

|a+b| ≤ |a|+|b|.

(Tip: ∀x∈R:x≤ |x|.)

20. Betrachten Sie die Funktion f:R →R, f(x) =x− bxc. Existiert ein c ∈ R\ {0}, sodass f(x) =f(x+c) f¨ur allex∈Rgilt?

21. Gibt es eine Bijektion der geraden nat¨urlichen Zahlen auf die nat¨urlichen Zahlen?

22. Geben Sie alle H¨aufungspunkte der MengeM = [−¹₂,¹₂)∪Zan.

23. Sei f: R → R, f(x) = x²−x−1. Zeigen Sie unter Verwendung der ε-δ Definition des Grenzwertes , daß limx→−1f(x) = 3 gilt.

24. Berechnen Sie folgende Grenzwerte und geben Sie die daf¨ur verwendeten Rechenregeln an:

x→1lim

x²+ 2x−1

2−x+ 3x², lim

x→2

3x³−5x²−3x+ 2 4−x²

(4)

25. Berechnen Sie, falls existent, folgende Grenzwerte

x→1lim x⁴−1

x−1, lim

x→0

|x|

x, lim

x→9

x−3

√x−3.

26. (a) Es seien f, g: I → R Funktionen, I ⊂ R ein Intervall und x0 ∈ I. Ferner sei f beschr¨ankt und es gelte limx→x₀g(x) = 0. Zeigen Sie: Es existiert limx→x₀f(x)g(x) und es ist limx→x₀f(x)g(x) = 0.

(b) Existieren die Limiten limx→0xsin(¹_x), beziehungsweise limx→0(x+ 1) sin(_x¹)? Berech- nen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

27. F¨ur eine Funktion f:D→R, D⊂R, gelte lim_x→x₀f(x) =f₀ in einem H¨aufungspunkt x₀ von D. Berechnen Sie

x→xlim0

1−2f(x)−3f(x)² 1 +f(x)⁴ und begr¨unden Sie Ihre Rechnung.

28. Geben Sie eine m¨oglichst große Definitionsmenge D ⊂ R an, auf der die reelle Funktion f :D→Rdurchf(x) =x²−1− |x+ 1|

x+ 1 definiert werden kann. Berechnen Sie:

x→0limf(x), lim

x→5⁻f(x), lim

x→∞f(x), lim

x→−∞f(x), lim

x→−1⁺f(x), lim

x→−1⁻f(x).

Skizzieren Sie den Graphen von f! Istf auf ganz Dstetig?

29. Geben Sie eine m¨oglichst große Definitionsmenge D ⊂ R an, auf der die reelle Funktion h:D→Rdurchh(x) = x+ 2

x²−x−6 definiert werden kann. Berechnen Sie:

x→0limh(x), lim

x→−2h(x), lim

x→∞h(x).

Existiert lim_x→3h(x)? Ist die Funktion hauf ganzD stetig?

30. Berechnen Sie gegebenenfalls folgende Grenzwerte

x→∞lim

2x²−3

−x²+ 5x+ 1, lim

x→−∞

x−1

x³+x−1, lim

x→∞

x⁴−2x²+ 1 x³+x²+ 2 .

(5)

H¨ohere Mathematik I Blatt 6 17.11.2009

31. Es sei

f(x) =

(3x−5, x≤2, 2x²−3x+ 4, x >2.

Berechnen Sie die einseitigen Grenzwerte von f an der Stellex0= 2.

32. (a) Die Funktionenf:I→Rundg:J →Rseien stetig. Begr¨unden Sie die Stetigkeit der Funktionenh= ^{αf+βg+γf g}_1+g2 ,α,β,γ∈R,k=p

1 + (f◦g)². Unter welchen zus¨atzlichen Voraussetzungen sind diese Funktionen sinnvoll definiert?

(b) Begr¨unden Sie die Stetigkeit der Funktionen h, k:R → R, h(x) = ^e^x^{−sin(x)−3e}_1+(sin(x))^x^sin(x)2

undk(x) =p

1 + ln(1 +|x|). Sie d¨urfen dabei die Stetigkeit der beteiligten elementaren Funktionen (welcher?) verwenden.

33. Die Konzentration eines Medikamentes entwickle sich gem¨aß c(t) = ^2t+1_t+1 (t in Stunden).

Berechnen Sie die Gleichgewichtskonzentration c^∗ = lim_t→∞c(t). Nach wie vielen Stunden bleibt die Abweichung der Konzentration kleiner als 1% des Gleichgewichtswertes.

(Tip: Istc monoton?)

34. F¨ur welche Werte vona∈Rist die Funktionf:R→R,

f(x) =

(ax²+ 3x−1, x≤ −1, 3x³+ 2x²−a, x >−1,

an der Stelle x0=−1 stetig.

35. Es seiγ:R→Rdie Funktionx→x− bxc. Wo ist γstetig? Informieren Sie sich ¨uber den Begriff der links- bzw. rechtsseitigen Stetigkeit. Istγlinksseitig, rechtsseitig stetig?

36. Gegeben sei die Funktionf: [−2,∞)→R,

f(x) =

(^√_x+2−1

x+1 , x6=−1,

α, x=−1.

Kann manα∈Rso w¨ahlen, daßf stetig inx=−1 ist?

(6)

37. Gegeben sei die Funktionf:R→R,f(x) = 3x−e^x. Hatf eine Nullstelle im Intervall [0,1]?

Berechnen Sie gebenenfalls eine Nullstelle von f mit einer Genauigkeit von 3 Nachkomma- stellen (Taschenrechner, MATLAB).

38. Es sei (xn)⊂Reine Nullfolge. Begr¨unden sie die Existenz des Grenzwertes

n→∞lim

αxn+βx²_n+ cosx³_n 2−e^xⁿ und bestimmen Sie dessen Wert.

39. Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen

√n+ 1 + 2n

√9n²+n−1 ,

q n+√

n− q

n−√ n

, (1 + 1

n)^1/(2n) ,

tan²(π 2 − 1

n)− sin(^π₂−_n¹) cos²(^π₂−_n¹)

40. Altersbestimmungen von Erdschichten und archäologischen Fundstücken führt man mit Hilfe der Kohlenstoffmethode durch. Kohlenstoff besteht aus den beiden Isotopen ¹²C und ¹⁴C.

Von dem Isotop ¹⁴C zef¨allt j¨ahrlich 0,0121%. Der Kohlenstoff ¹²C ist stabil.

(a) Angenommen, vor 10000 Jahren w¨aren 100g des Kohlenstoffes¹⁴C vorhanden gewesen, wieviel w¨aren es dann heute?

(b) Berechnen Sie die Zeitdauer, in der die H¨alfte von¹⁴C zerfallen ist.

(c) In einer alten Feuerstelle der Steinzeit fand man 7350g Holzkohle. In neuer Holzkohle kennt man das Verhältnis von¹²C zu¹⁴C: wenn die Holzkohle neu gewesen wäre, hätten 0,00735µg Kohlenstoff¹⁴C in der Holzkohle vorhanden sein müssen. Tatsächlich stellte man nur 0,001558µg¹⁴C fest. Die Holzkohle musste daher alt sein. Bestimmen Sie das ungefähre Alter der Holzkohle.

41. Die Bevölkerung der USA ist bis zum Jahr 1900 ungefähr exponentiell gewachsen. Seitdem ist der Zuwachs relativ flacher geworden, und dies kann vielleicht wie folgt erklärt werden. Im ungeheuer großen Lebensraum der USA entwickelt sich die Population zunächst ungehemmt, je größer die Population, desto mehr Nachkommen. Mit immer dichterer Bevölkerung werden aber Mechanismen wirksam, die das Wachstum einbremsen, geringere Kinderfreudigkeit und/oder erhöhte Sterblichkeit bewirken. Ein empirisches Modell für diese Effekte ist durch die logistische Funktion gegeben:

P(t) = K

1 + exp[−(t−t0)/τ]

Folgende Bev¨olkerungsdaten (in Einheiten zu hundert-millionen Einwohnern) sind gemessen worden: P(0 Jahr) = 1, P(10 ln(2) Jahr) = 4/3 undP(10 ln(4) Jahr) = 8/5, wobei t = 0 dem Jahr 1900 entspricht. Bestimmen Sie die ParameterK(Kapazit¨at),t0 (Wendezeit) und τ (Zeitskala) im logistischen Modell.

(7)

42. Gegeben seien die beiden Datens¨atze

h 1/11 1/31 1/51 1/71 1/91 e 0.142 0.051 0.031 0.022 0.0173

x 0.1 0.4 0.8 1.2 1.6 y 0.9 1.65 2.65 4.05 6.75

Stellen Sie die Datensätze halb-, bzw. doppelt logarithmisch dar und entscheiden Sie, welcher der Datensätze besser durch ein Exponentialgesetzf(x) =ce^λxbzw. ein Potenzgesetzf(x) = cx^λ dargestellt wird. Bestimmen sie eine Schätzung fürc undλ.

(8)

H¨ohere Mathematik I Blatt 8 15.12.2009 43. Bestimmen Sie alle L¨osungen der Gleichungen

a) sin 2x=−

√3

2 , b) 2 sinx+ 3 cosx= 0 im Intervall [0,2π).

44. Bestimmen Sie mit Hilfe des Graphen die Kenngr¨oßen folgender sinusf¨ormiger Schwingung f(t) =c+Asin(ωt+ϕ) (achten Sie auf die unterschiedliche Skalierung der Achsen!):

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5

t

45. (a) Leiten Sie die Funktionen

A(r) =π r² und V(r) =⁴₃π r³ ab!

(b) Suchen Sie die Formeln für die Fläche und den Umfang eines Kreises vom Radius r und die Formeln für das Volumen und die Oberfläche einer Kugel vom Radius r, und vergleichen Sie diese mit den in Aufgabenteil (a) erhaltenen Ergebnissen! Erklären Sie den Zusammenhang anschaulich!

(c) Wiederholen Sie die Überlegungen aus Aufgabenteil (b) für Fläche und Umfang eines Quadrats der Kantenlänge aund für Volumen und Oberfläche eines Würfels der Kan- tenlängea! Welcher Unterschied ergibt sich gegenüber Kreis bzw. Kugel?

46. Differenzieren Sie folgende Funktionen x→ x³−√

x

1 + sin²x, x→ 1

lnx, x→ln(lnx), x→e^sin(x²⁾, x→2^x, x→x^x, x→log_ax, x→log_xa.

Warum sind die Funktionen auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich differenzierbar?

(9)

47. Warum sind die Funktionen arcsin und arccos auf (−1,1), die Funktion arctan aufRdifferen- zierbar? Bestimmen Sie die Ableitungen. Existieren die Ableitungen von arcsin und arccos auch inx=±1?

48. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Einschr¨ankung des Sinus auf das Intervall [^π₂,^3π₂ ].

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49. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte

x→∞lim xlnx+ 1 x−1, lim

x→1

√3

9−x−2 1−x , lim

x→^π₂

x−^π₂ sinx, lim

x→0

tan 2x arctan(−3x)

50. Zeigen sie daß die Gleichung 2x−cos(2x) = 0 genau eine L¨osung im Intervall [0,^π₄] hat.

Berechnen Sie diese L¨osung mit dem Newtonverfahren mit einer Genauigkeit von 4 Nachkom- mastellen.

51. Bestimmen und klassifizieren Sie die kritischen Stellen vonf(x) = 6√ x−x√

x.

52. Ein kegelförmiges Gefäß mit Durchmesser 8 cm und 6 cm Tiefe ist mit Wasser gefüllt. Am Bo- den des Gefäßes befindet sich ein Leck, durch welches Wasser mit einer Rate von 2 cm³/min tropft. Wie rasch sinkt der Wasserspiegel im Becher in jenem Moment, in dem der Wasser- stand gerade 3 cm beträgt.

53. Gegeben sei die Funktionx →f(x) = ^x_x²₂₋₄⁺¹. Bestimmen Sie lim_x→−∞f(x), lim_x→∞f(x), sowie maximale Intervalle, auf welchenf monoton steigt bzw. f¨allt und maximale Intervalle, auf welchenf konvex bzw. konkav ist. Skizzieren Sie die Funktion.

54. Ein horizontal in einer H¨ohe von 1 Meile fliegendes Flugzeug beginnt den Sinkflug 4 Meilen westlich der Landebahn. Die Flugbahn w¨ahrend der Sinkphase wird durch eine Funktion f: [−4,0]→[0,1] beschrieben.

(a) Geben Sie 4 Bedingungen an, welche eine stetig differenzierbare Flugbahn sicher stellen.

(b) Es sei nunf ein Polynom. Wie groß muß dessen Grad sein, damit es durch die Bedin- gungen aus a) eindeutig bestimmt wird. Berechnen Sie die Koeffizienten des Polynoms.

(c) In welcher Entfernung von der Landebahn ist die Sinkgeschwindigkeit des Flugzeuges (bei konstanter horizontaler Geschwindigkeit) am gr¨oßten.

Zusatzfrage: Vergleichen Sie die maximale und die mittlere Sinkgeschwindigkeit.

Arbeiten Sie folgende Beispiele schriftlich aus (Korrektur durch Fr. Boiger)

1. Es seig: [−1,1]→Rbeschr¨ankt undf(x) =x^αg(x) . F¨ur welcheα∈Rexistiertf⁰(0) und ist gleich Null.

2. Die Funktionen f und g: (−σ, σ) → R, σ >0, seien differenzierbar und f(0) = 0. Ferner geltef(x)g(x) =xf¨ur allex∈(−σ, σ). Zeigen Sie, daß danng(0)6= 0 gelten muß.

(11)

55. Durch die Gleichung y³−x²−4 = 0 wird implizit eine Funktion x→ y(x) mit y(2) = 2 bestimmt. Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung dieser Funktion in x= 2 auf zwei Arten (direkt und implizit).

56. Eine Handelskette hat erhoben, daß die KostenK f¨ur die Bestellung und Lagerhaltung von xEinheiten einer Ware

K(x) = 2x+300000 x

betragen. Pro Bestellung kann der LKW höchstens 300 Einheiten der Ware liefern. Bei welcher Größe der Bestellung sind die Kosten minimal. Könnte man die Kosten reduzieren, wenn man einen LKW verwendet, der 400 Einheiten pro Bestellung zustellen kann.

57. Ein Architekt möchte ein Fenster entwerfen, das die Form eines Rechtecks hat, welchem ein Halbkreis aufgesetzt ist. Der Umfang der Fensteröffnung sollte 4 m betragen. Welche Abmessungen muß der Architekt wählen, damit der Lichteinfall maximal wird.

58. F¨uhren Sie eine Kurvendiskussion f¨ur den Graph den Funktionx→ ¹₂(√

x²+x+ 1+√

x²−x+ 1) durch.

59. F¨uhren Sie eine Kurvendiskussion f¨ur den Graph den Funktionx→p

|1−x²|durch.

60. Sei f: [0,∞) → R stetig und differenzierbar auf (0,∞). Ferner gelte f(0) = 0 und f⁰ sei (streng) monoton wachsend auf (0,∞). Zeigen Sie: Die Funktion x → ^f(x)_x ist (streng) monoton wachsend auf (0,∞).

(Hinweis: Kombinieren Sie den Mittelwertsatz mit einem geeigneten Kriterium f¨ur die Mono- tonie der Funktionx→ ^f(x)_x .)

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Dieses ¨Ubungsblatt ben¨otigt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Informieren Sie sich gegebenenfalls auch ¨uber die Techniken der partiellen Integration (= Produktintegration) und Integration durch Substitution.

61. Bestimmen Sie jene Stammfunktion F von x → f(x) = 4x³ −2e^−2x + 3cos(πx), welche F(0) = 1 erf¨ullt.

62. Es seif:R→Rstetig, die Funktionenϕ,ψ:R→Rseien differenzierbar. Zeigen Sie:

d dx

Z ϕ(x)

ψ(x)

f(s)ds=f(ϕ(x))ϕ⁰(x)−f(ψ(x))ψ⁰(x).

63. Berechnen Sie

a) d dx

Z x³

0

tcost dt, b) Z 3

0

d dx

p4 +x² dx.

64. Berechnen Sie folgende Integrale mit (gegebenenfalls wiederholter) partieller Integration:

Z

x³ln(x)dx,

Z 1

0

e^xsin(πx)dx, Z

x³e^−2xdx.

65. Berechnen Sie folgende Integrale mit einer geeigneten Substitution:

i) R1 0

t

(4t²+9)²dt, ii) R

t²(5t³+ 9)¹⁰dt, iii) R1

0 cos²^π₂xsin^π₂x dx, iv) R1 0

√x+3 x+1dx.

66. Zu der Aufgabe:

Die Funktionen f und g: (−σ, σ) →R, σ > 0, seien differenzierbar und f(0) = 0. Ferner gelte f(x)g(x) =xf¨ur allex∈(−σ, σ). Zeigen Sie, daß dann g(0)6= 0gelten muß.

wurde folgende L¨osung vorgeschlagen:

L¨osung. Ausf(x)g(x) =xfolgt lim_x→0(f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x)) = 1.

Also: limx→0(f⁰(x)g(x)) + limx→0(f(x)g⁰(x)) = 1

Also: limx→0f⁰(x) limx→0g(x)+limx→0f(x) limx→0g⁰(x) = 1. Daraus folgt limx→0f⁰(x)g(0)+

f(0) limx→0g⁰(x) = 1 und somit limx→0f⁰(x)g(0) = 1. Da f differenzierbar ist, also limx→0f⁰(x)6=∞mußg(0)6= 0 gelten.

Ist diese Argumentation korrekt? Wenn nein, finden sie die Fehler.

(13)

H¨ ohere Mathematik I

Erg¨anzungsblatt, 17.11.2009

Diese Beispiele dienen der Selbstkontrolle und werden in den ¨ Ubungen NICHT behandelt.

1. Gegeben seien folgende Teilmengen in R: A = (4, 6], B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, C = {3, 5, 1}

und D = [3, 7) in Intervallschreibweise oder in aufz¨ahlendem Verfahren. Bestimmen Sie (A ∪ B) ∩ C, (B \ C) ∩ C, C × C, und (B × D) ∩ (D × A). Veranschaulichen Sie diese Mengen als Punktmengen in R, bzw. R

²

.

2. Finden Sie eine geeignete Beschreibung folgender Teilmengen des R

²

.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5

3. Stellen Sie das Viereck mit den Eckpunkten (−1, 0), (0, −1), (1, 0) und (0, 1) als Menge von geordneten Paaren dar.

4. Berechnen Sie

Re 1

−2 + 3i , Im 1 − i

2 + 5i , Re ¡

3(2 + i)

²

− 3i ¢

, Im 2 + i 3 − 4i . 5. Stellen Sie z =

²⁻³ⁱ_1+2i

in der Form z = a + ib, a, b ∈ R dar. Bestimmen Sie |¯ z|.

6. Skizzieren Sie folgende Punktmengen in der Gaußschen Zahlenebene:

A = {z ∈ C : | z

2 − 1 + 3i| ≤ 4}, B = {z ∈ C : | − z + i + 1| = 3}, (1) C = {z ∈ C : −2 ≤ Im z < 1, |Re z| < 2}, D = {z ∈ C : Im ((1 − i)(z + 2i)) ≥ 0}.

(2)

7. Finden Sie alle L¨osungen der Gleichung |x − 1| = −|x| + 1.

(14)

8. Welche x ∈ R erf¨ullen die Ungleichung x − 4

x + 2 ≤ 2x

x + 2 − x − 1.

9. L¨osen Sie die Ungleichungen (x − 4)(x + 2) ≤ 0 und (x − 4)(x + 2) > −8.

10. L¨osen Sie in R die Ungleichung

^2x+1_x+2

> 1.

11. Skizzieren Sie den Graph einer Abbildung f welche das Intervall [−3, −1] nicht injektiv und nicht surjektiv in das Intervall [−2, −1] abbildet.

12. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion f(x) = ln

^x+1_x−1

.

13. Geben sie den Definitionsbereich der Funktionen f (x) =

_x−3¹

und g(x) = (x − 1)

²

an.

Bilden Sie die Kompositionen f ◦ g und g ◦ f und bestimmen Sie deren Definitions- bereich.

14. Gegeben sei die Abbildung f : (−∞,

¹₄

] → R mit f(x) = √

−8x + 2. Bestimmen sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion von f .

15. Gegeben sei die Abbildung x → f (x) =

^2x−1_3x+2

. Bestimmen Sie den Definitionsbereich und das Bild von f . Ist f injektiv? Geben Sie gegebenenfalls die Umkehrfunktion an.

16. Gegeben seien die folgenden Abbildungsvorschriften. Geben Sie jeweils den maximalen Definitionsbereich D ⊂ R an, so dass f : D → R eine Funktion definiert. Bestimmen Sie auch jeweils das Bild f (D).

f

₁

(x) = 1

x

²

, f

₂

(x) = √

7 − x − 1, f

₃

(x) = 1

√ 4 − x

²

, f

₄

(x) = 1

√ x

²

− 4 , f

₅

(x) = x

²

− x − 6.

17. Bestimmen Sie jeweils f¨ur die folgenden Funktionen, ob die Verkettungen g ◦ f und f ◦ g definiert sind. Falls nicht, schr¨anken Sie den Definitionsbereich so ein, dass die Verkettungen definiert sind. Untersuchen Sie auch, ob g ◦ f = f ◦ g gilt.

(a) f : (1, ∞) → R, f (x) = √

x − 1, g : R → R, g(x) = x

²

− x − 5 (b) f : R \ {−1, 1} → R, f (x) =

_x2¹−1

, g : R → R, g(x) = x + 1.

18. f und g seien Funktionen, welche an der Stelle x

₀

jeweils einen Grenzwert besitzen.

Sind folgende Aussagen richtig?

(a) lim

_x→x₀ ^f_g(x)^(x)

=

^lim_lim^x→x_x→x⁰^f^(x)

0g(x)

. (b) lim

_x→x₀

f (x)g(x) = f (x

₀

)g(x

₀

).

(Es k¨onnen auch beide Aussagen richtig oder beide Aussagen falsch sein).

(−1)

ⁿ

+

_n¹

: n ∈ N ª

sind.

(15)

20. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

(a) lim

x→0

(3x

²

+ 7x − 12) , (b) lim

x→3

x

²

− 9

x − 3 , (c) lim

x→2

x

²

+ 2x − 5 x

³

− 2x . 21. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte

(a) lim

x→3

p

3

(x

²

− 1)

²

, (b) lim

x→∞

x

³

(x

²

− 1)|x| , (c) lim

x→−∞

x

²

(x

²

− 1)|x| . 22. Berechnen Sie den Grenzwert lim

_x→3 ^x²_x−3^−x−6

.

23. Ist die Funktionen f : R → R, x → f(x) = q

e

^1+x¹²

+ x

²

stetig?

24. Zeichnen Sie den Graph einer Funktion f mit folgenden 4 Eigenschaften: lim

_x→−∞

f (x) = 0, lim

x→∞

f(x) = 1, lim

_x→0⁻

f(x) = ∞, lim

_x→0⁺

f(x) = −∞.

25. Berechnen Sie die Grenzwerte lim

_x→−2^x_x+2³⁺⁸

und lim

_x→3 _1−x^x¹⁻²2

. 26. Berechnen Sie den Grenzwert lim

_x→−3^x³^+4x_x+3²^+5x+6

.

27. F¨ur welche Werte von a ∈ R sind die einseitigen Grenzwerte von f (x) =

( (ax)

²

+ 3ax − 1 x ≤ −1 3x

³

+ 2x

²

− a x > −1 bei x = −1 gleich.

28. Ist folgende Aussage richtig: Wenn eine Funktion f : I → R an einer Stelle x

₀

∈ I einen Grenzwert besitzt, dann ist sie an dieser Stelle stetig.

Begr¨unden Sie ihre Antwort.

29. Es sei f : R → R gegeben durch

f (x) =

 



 

x x ≤ 0

x − x

²

0 < x ≤ 1

1

2

(x − 1) x > 1 .

Ist f in x = 0 und x = 1 stetig? Skizzieren Sie den Graph von f.

30. F¨ur welche Werte von a ist die Abbildung f (x) =

( x

²

x < 1

ax − 3 x ≥ 1 stetig?

31. Es sei V (s) = s

³

das Volumen (in m

³

) eines W¨urfels der Kantenl¨ange s (in m). Sie

sollen nun einen W¨urfel konstruieren, dessen Volumen nicht um mehr als ε = 0.1m

³

von einem vorgegebenem Wert V

₀

abweichen darf. Mit welcher Toleranz δ d¨urfen Sie

die Seitenl¨ange s

₀

w¨ahlen, falls V

₀

= V (s

₀

) = 1m

³

ist? Welche Toleranz m¨ussen Sie

f¨ur V

0

= 8m

³

einhalten?

(16)

H¨ohere Mathematik I WS 2009 / 2010 Blatt 1 13.10.2009