H¨ohere Mathematik I f¨ur die Fachrichtungen Elektroningenieurwesen, Physik und Gedo¨asie WS 2010/2011

H¨ ohere Mathematik I f¨ ur die

Fachrichtungen Elektroningenieurwesen, Physik und Gedo¨ asie

WS 2010/2011

Dies ist eine Vorlesungszusammenfassung, gedacht zur Vorlesungsbegleitung und als Ged¨achtnisst¨utze. Der Besuch der Vorlesung ist hierdurch nicht zu ersetzen: In der Vor- lesung wird erkl¨art, begr¨undet, veranschaulicht und eingeordnet.

Den Vorlesungsstoff und viele konkrete Anwendungen finden Sie in den B¨uchern von Dir- schmid, Burg/ Haf/ Wille, Meyberg/ Vachenauer, die auf der Homepage zur Vorlesung angegeben sind.

Inhaltsverzeichnis

1 Grundtatsachen der Aussagenlogik 9

1.1 Aussagen . . . 9

1.2 Verkn¨upfungen von Aussagen durchJunktoren ¬,∨,∧,⇒,⇔ . . . 9

1.3 Direkter / Indirekter Beweis des Satzes: A⇒B (Aist die Voraussetzung, B die Behauptung) . . . 10

1.3.1 Indirekter Beweis (Satz 1 (*), (**), letzte Zeile der Wahrheitstafel ) 10 1.4 Die Quantoren ∀,∃. . . 11

2 Grundbegriffe der Mengenlehre 13 2.1 Mengen . . . 13

2.2 Wichtige Mengen . . . 13

2.3 Inklusion (A, B sind beliebige Mengen) . . . 14

2.4 Die Mengenoperationen: ∩,∪,\ . . . 14

2.5 Erg¨anzungen . . . 15

3 Funktionen (Abbildungen) 17 3.1 Bezeichnungen, Definitionen . . . 17

3.2 surjektiv, injektiv, bijektiv . . . 18

3.3 Hintereinanderausf¨uhren / Komposition von Abbildungen . . . 18

3.4 Die inverse Funktion . . . 19

4 Die reellen Zahlen 21 4.1 Addition und Multiplikation . . . 21

4.2 Anordnungsaxiome (<,>,≤,≥), Ungleichungen . . . 21

4.3 Der Betrag einer reellen Zahl . . . 22

4.4 Das Vollst¨andigkeitsaxiom . . . 23

4.4.1 Beschr¨ankte Mengen. Supremum. Infimum. . . 23

4.4.2 Das Vollst¨andigkeitsaxiom . . . 25

4.5 Eigenschaften von reellwertigen Funktionen . . . 25

4.6 Einige Folgerungen aus dem Vollst¨andigkeitsaxiom (V), ( 4.4, 4.4.2 (S. 25)) 26 5 N, Vollst¨andige Induktion (VI), Permutationen, Kombinationen 27 5.1 Induktive Mengen . . . 27

5.2 Induktionssatz . . . 27

5.3 Definition durch Induktion . . . 28

5.4 Beweismethode: Vollst¨andige Induktion (VI) . . . 28

Inhaltsverzeichnis

6 Die komplexen Zahlen C 31

6.1 Grundlegende Definitionen . . . 31

6.2 Veranschaulichung von zin der komplexen Ebene . . . 32

6.3 Rechnen mit| · |und mit der Polardarstellung . . . 33

6.4 Die n-te Wurzel aus a∈C,a6= 0 . . . 33

7 Folge, Grenzwert 35 7.1 Definition (Folge) . . . 35

7.2 Konvergenz, Divergenz, H¨aufungspunkte . . . 35

7.3 Die Beispiele aus 7.1 . . . 37

7.4 Rechnen mit konvergenten Folgen . . . 38

7.5 Monotonie und Konvergenz . . . 39

7.6 Zwei wichtige Grenzwerte . . . 39

7.7 Intervallschachtelung . . . 40

8 Reihen 41 8.1 Grundlegende Definitionen . . . 41

8.2 Umordnung. Absolute Konvergenz. . . 42

8.3 Konvergenzkriterien . . . 42

8.4 Das Cauchy-Produkt . . . 43

9 Die Exponentialfunktion 45 9.1 Definition und grundlegende Eigenschaften . . . 45

9.2 Die reelle exp-Funktion . . . 45

9.3 Die trigonometrischen Funktionensin,cos . . . 46

10 Stetigkeit 49 10.1 Definition . . . 49

10.2 Beispiele . . . 50

10.3 Zum Rechnen mit stetigen Funktionen . . . 50

10.4 Grundlegende S¨atze zu Stetigkeit . . . 50

10.5 Stetige Fortsetzung . . . 51

11 Potenzreihen 53 11.1 Grundlegende Definitionen . . . 53

11.2 Der Konvergenzradius. Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe . . . 54

11.3 Der Identit¨atssatz . . . 55

12 Die elementaren Funktionen 57 12.1 . . . 57

12.2 Die Zahl π . . . 57

13 Grundlagen der Differential- (DR) und Integralrechnung (IR) 59 13.1 Das bestimmte IntegralRb af(x) dx f¨ur eine auf dem abgeschlossenen und beschr¨ankten Intervall [a, b] definierte beschr¨ankte Funktionf. . . 59

6

Inhaltsverzeichnis 13.2 Eigenschaften vonRb

af(x) dx . . . 61

13.3 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung (MWSIR) . . . 62

13.4 Die Ableitung . . . 63

13.5 Ableitungsregeln . . . 64

13.6 Extremwerte. MWSDR (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) . . . 65

13.7 Der Hauptsatz der Differential-Integralrechnung . . . 67

13.8 Integrationsregeln (Partielle Integration. Substitutionsregel) . . . 68

14 Taylorsatz. Hinreichende Bedingungen f¨ur Extremwerte. Taylorreihen. 69 14.1 Satz von Taylor . . . 69

14.2 Hinreichende Bedingungen f¨ur Extremwerte . . . 69

14.3 Taylorreihe . . . 70

14.4 Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe . . . 71

15 Unbestimmte Ausdr¨ucke. Die Regeln von de L’Hospital 73 15.1 Die Ausdr¨ucke ⁰₀ , ^∞_∞ . . . 73

16 Uneigentliche Integrale 75 16.1 Definitionen . . . 75

16.2 Beispiele . . . 76 16.3 Majoranten- Minorantenkriterium. Absolute Konvergenz. Integralkriterium. 76

1 Grundtatsachen der Aussagenlogik

1.1 Aussagen

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr (W) oder falsch (F) ist

1.2 Verkn¨ upfungen von Aussagen durch Junktoren ¬ , ∨ , ∧ , ⇒ , ⇔

Sind A, B Aussagen, so werden die Aussagen

¬A, A∨B, A∧B, A⇒B, A⇔B

durch ihre Wahrheitswerte in Abh¨angigkeit von den Wahrheitswerten vonAundBdurch die folgende Wahrheitstafel definiert:

A ¬A B A∧B A∨B A⇒B A⇔B

W F W W W W W

W F F F W F F

F W W F W W F

F W F F F W W

· ¬A (nichtA) ist nur F, wenn AW ist

· A∧B (Aund B) ist nur W, wenn Aund B beide W sind

· A∨B (Aoder B) ist nur F, wennAund B beide F sind

· A ⇒ B (aus A folgt B, wenn A dann B, B ist notwendig f¨ur A) ist nur dann F, falls¬A und B beide F sind

· A ⇔ B (A ist ¨aquivalent zu B, A ist notwendig und hinreichend f¨ur B) ist nur dann W, wennA und B dieselben Wahrheitswerte haben

Bemerkungen 1. A∧(¬A) ist stets F 2. A∨(¬A) ist stets W

1 Grundtatsachen der Aussagenlogik

3. A⇒B ist W, wenn A F ist, unabh¨angig vom Wahrheitswert von B.

Satz 1 A, B, C seien Aussagen. Es gelten:

1.

¬(A∧B)⇔(¬A)∨(¬B)

¬(A∨B)⇔(¬A)∧(¬B) 2.

(A⇒B)⇔(¬B⇒ ¬A) (*)

⇔(¬A)∨B

⇔(A∧ ¬B ⇒C∧ ¬C) (**) 3.

((A⇒B)∧(B ⇒C))⇒(A⇒C) 4.

(A⇔B)⇔((A⇒B)∧(B⇒A))

1.3 Direkter / Indirekter Beweis des Satzes: A ⇒ B (A ist die Voraussetzung, B die Behauptung)

Direkter Beweis (1. Zeile der Wahrheitstafel)

Aist als Voraussetzung a priori W. Folgere (richtig!) B. Dann istB W.

Beispiel p sei eine nat¨urliche Zahl. Es gilt: Ist p gerade, so ist p² gerade.

1.3.1 Indirekter Beweis (Satz 1 (*), (**), letzte Zeile der Wahrheitstafel ) Nimm an, B ist F: Gehe von ¬B aus. Folgere auf richtige Weise etwas Falsches: etwa

¬A (*) oderC∧ ¬C (**). Dann muss der Ausgangspunkt ¬B F, also B W sein.

Beispiel p sei eine nat¨urliche Zahl. Es gilt: Ist p² gerade, so ist p gerade.

Satz 2 (Zusammenfassen der beiden Beispiele) Es sei p eine nat¨urliche Zahl. Es gilt:

p ist gerade⇐⇒p² ist gerade.

Satz 3 √

2 ist keine rationale Zahl

10

1.4 Die Quantoren∀,∃.

1.4 Die Quantoren ∀ , ∃ .

Trifft die AussageA(x) f¨ur allexmit einer bestimmten Eigenschaft zu, so schreiben wir

∀

Gibt es (mindestens) ein x mit dieser Eigenschaft, f¨ur das A(x) zutrifft, so wird das in der Form

∃

ausgedr¨uckt.

Verneinung:

¬

∀

∃

¬

∃

∀

Beispiel x sei eine reelle Zahl.

1. ∃x x² = 1 ist W. Also ist ¬ ∃^{x x2 = 1 F}, das ist ¨aquivalent zu ∀x x² 6= 1. ¹ 2. ∃x x²+x+ 1 ist F, die Negation ∀x x²+x+ 16= 0 ist W.

1Aus Gr¨unden der Lesbarkeit wird in nicht-abgesetzten Formeln stets die Schreibweise∀xA(x) anstatt

∀_xA(x) verwendet

2 Grundbegriffe der Mengenlehre

2.1 Mengen

EineMenge M ist die Zusammenfassung wohlbestimmter, wohlunterschiedener Objekte der Anschauung oder des Denkens zu einem neuen Ganzen.

”x∈M“ bedeutet: Das Objekt (Element)x geh¨ort zur MengeM. (x /∈M) :⇐⇒ ¬(x∈M) (x liegt nicht inM ) ¹

F¨ur jede MengeM und jedes Objektxmuss unzweideutig gelten: entweder x∈M oder x /∈M.

Schreibweise

M ={x|x besitzt die EigenschaftE}

| {z }

alle Elemente, die die Eigenschaft E besitzen, bilden die Menge M

2.2 Wichtige Mengen

∅ bezeichnet dieleere Menge, die Menge, die keine Elemente enth¨alt: Die Aussagex∈ ∅ ist stets F.

N,Z,Q,R,C bezeichnen die Mengen der nat¨urlichen, der ganzen, der rationalen, der reellen und der komplexen Zahlen.

1

”:⇔“ bedeutet, dass das, was links von”:⇔“ steht, durch die Aussage rechts davon definiert wird.

2 Grundbegriffe der Mengenlehre

2.3 Inklusion (A, B sind beliebige Mengen)

(A⊂B) (

”Aist Teilmenge von B“) :⇐⇒_x

∀

(A6⊂B) (

”A liegt nicht inB“) :⇐⇒ ¬(A⊂B)

⇐⇒_x

∃

Gleichheit

(A=B) :⇐⇒(A⊂B)∧(B ⊂A) Bemerkung Bei

”⊂“ ist die Gleichhheit nicht ausgeschlossen. Es gilt z.B. A⊂A f¨ur jede MengeA.

Beispiel 1. Mit den Bezeichnungen aus 2.2 gilt N⊂Z⊂Q⊂R⊂C.

Hier gilt nirgends die Gleichheit. Qetwa ist echte Teilmenge von R.

2. ∅ ⊂A f¨ur jede Menge A

3. ((A⊂B)∧(B ⊂C))⇒(A⊂C) f¨ur Mengen A, B, C.

2.4 Die Mengenoperationen: ∩ , ∪ , \

A, B sind beliebige Mengen.A∩B,A∪B,A\B sind die wie folgt definierten Mengen:

A∩B:={x|(x∈A)∧(x∈B)}² (Durchschnitt von Aund B) A∪B:={x|(x∈A)∨(x∈B)} (Vereinigung von Aund B) A\B:={x|(x∈A)∧(x /∈B)} (Differenz von Aund B) Falls B⊂A:

C_AB:=A\B (Komplement vonB bzgl.A)

Satz 1 (

”Rechnen mit Mengen“) A, B, C seien beliebige Mengen. Es gelten:

2Ahnlich wie bei¨ ”:⇔“ wird das, was links von”:=“ steht, durch das, was rechts davon steht, definiert.

14

2.5 Erg¨anzungen 1. A∩B=B∩A,

A∪B=B∪A

2. (A∩B)∩C=A∩(B∩C), (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 3. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C),

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 4. (A⊂B) =⇒(A∩C)⊂(B∩C),

(A⊂B) =⇒(A∪C)⊂(B∪C)

5. A∩B⊂A, A∩B ⊂B, A⊂A∪B, B ⊂A∪B 6. (B⊂A) =⇒A\(A\B)

| {z }

=CA(CAB)

=B

7. A\(A\B) =A∩B

8. A∪ ∅=A, A\ ∅=A, A∩ ∅=∅ 9. (A ⊂ B) ⇐⇒ (A ∪B = B) ⇐⇒

(A∩B =A)

Versuchen Sie die Beweise, oder machen Sie sich diese Aussagen wenigstens anschaulich klar.

2.5 Erg¨ anzungen

1. Es sei I eine Menge. Jedem j ∈ I wird eine Menge Aj zugeordnet. {Aj | j ∈ I} heißt Mengenfamilie.

[

j∈I

Aj :=

x|_j

∃

\

j∈I

Aj :=

x|_j

∀

∈Ix∈Aj

Satz 2 (de Morgansche Regeln) Es sei {A_j |j ∈ I} eine Mengenfamilie und M eine Menge mit Aj ⊂M f¨ur jeden Index j∈I. Es gelten:

CM



[

j∈I

Aj



= \

j∈I

CMAj,

CM



\

j∈I

Aj



= [

j∈I

CMAj

2. Zwei Mengen M, N mitM∩N =∅ heißen disjunkt.

3. SindA1, A2, . . . , AnMengen, so wird die Menge der geordnetenn-Tupel (a1, a2, . . . , an), (aj ∈Aj, j = 1, . . . , n) durch A₁×A₂×. . .×An bezeichnet und das kartesische Produkt der Mengen A₁, A₂, . . . , A_n genannt.

2 Grundbegriffe der Mengenlehre

Im Fall A₁=A₂ =. . .=A_n=A schreibt man f¨ur A×. . .×A einfachAⁿ. Beispiel A=R: R² Ebene, R³ Raum.

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3 Funktionen (Abbildungen)

3.1 Bezeichnungen, Definitionen

1. X, Y seien zwei nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f, durch die jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y zugeordnet wird, heißt Funktion (Abbildung) von X nach Y. Geschrieben:

f :X −→Y, y=f(x).¹

xheißt unabh¨angige,y abh¨angige Variable.X ist derDefinitionsbereichvon f (wir werden hierf¨ur D(f) schreiben),Y heißt Wertebereich von f.

2. F¨ur A⊂X heißt

f(A) :={f(x)|x∈A}

das Bild von A unter f, f(X) heißt Bildbereich von f (das ist die Menge der Funktionswerte).

3. Der Graph einer Funktion f :X−→Y ist die Menge

graph(f) :={(x, f(x))|x∈X} ⊂X×Y.

Es gilt

(x,y)∈graph(f)

∀

4. Die durch idX(x) :=x f¨ur allex∈X definierte Funktion idX :X−→X heißt die Identit¨at von X.

5. Es sei A⊂X. Die Funktion χA(x) :=

(1, x∈A

0, x /∈A, χA:X −→ {0,1} heißt diecharakteristische Funktion von A.

1Oft wird auch die Notationf:X−→Y, x7−→yverwendet.

3 Funktionen (Abbildungen)

3.2 surjektiv, injektiv, bijektiv

Die Funktionf :X−→Y heißt

· surjektiv, wenn jedesy∈Y mindestens ein Urbild hat. (Wenn alsof(X) =Y gilt.)

· injektiv (eineindeutig), wenn jedes Bild f(x) nur ein Urbild besitzt. (Wenn also aus x1 6=x2 folgt:f(x1)6=f(x2).)

· bijektiv, wennf surjektiv und injektiv ist, wenn es also zu jedem y∈Y genau ein Urbild x∈X gibt.

Istf bijektiv, so ist die Vorschrift, die jedemy∈Y die L¨osungxder Gleichungy =f(x) zuordnet, eine Funktion, diezu f inverse Funktion f⁻¹ :Y −→X:

f⁻¹(y) =x:⇐⇒y=f(x) (x∈X, y∈Y)

3.3 Hintereinanderausf¨ uhren / Komposition von Abbildungen

X, Y, Z seien Mengen undf :X−→Y,g:Y −→Z Funktionen. Dann wird durch (g◦f)(x) :=g(f(x)), x∈X

dieKompositionsabbildung g◦f :X −→Z definiert.

· Es gelten mit f :X −→Y:

f ◦idX =f, idY ◦f =f.²

· F¨ur zwei Funktionenf,g, f¨ur dief◦gundg◦f bildbar sind, gilt i.A.f◦g6=g◦f.³ Satz 1 X, Y, Z, U seien Mengen und f : X −→ Y, g : Y −→ Z, h : Z −→ U Funktionen. Dann sind die Funktionen (h◦g)◦f und h◦(g◦f) Funktionen von X nach U. Es gilt:

(h◦g)◦f =h◦(g◦f)

2Zwei Funktionen f :X −→Y,g:X^′ −→Y^′ sind gleich (f =g), wenn X =X^′ und f¨ur allex∈X f(x) =g(x) gilt.

3Man schreibt f 6=g, wenn¬(f =g) gilt, also wenn entweder X 6=X^′ oder einx∈X existiert mit f(x)6=g(x).

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3.4 Die inverse Funktion

3.4 Die inverse Funktion

(siehe oben 3.2)

Satz 2 a) Ist f :X−→Y bijektiv, so ist f⁻¹ die durch g◦f = idX und f◦g= idY

eindeutig festgelegte Abbildung g:Y −→X.

b) Gelten f¨ur die Funktionenf :X−→Y, g:Y −→X g◦f = idX und f◦g= idY, so sind f und g bijektiv.

Bemerkung ( ¨Ubung) Ist f bijektiv, so gilt (f⁻¹)⁻¹ =f.

Satz 3 Sind f :X −→ Y und h:Y −→Z bijektiv, so ist h◦f :X −→Z bijektiv. Es gilt

(h◦f)⁻¹ =f⁻¹◦h⁻¹. Beispiel Definiere σ:N−→Z durch

σ(2k) :=k, k= 1,2, . . . , und σ(2k+ 1) =−k, k= 0,1,2, . . . .

Ubung: Zeige, dass¨ σ bijektiv ist. Finde eine Darstellung f¨urσ⁻¹ :Z−→N. Pr¨ufe damit nach: σ◦σ⁻¹= idZ und σ⁻¹◦σ= idN und auch (σ⁻¹)⁻¹=σ.

4 Die reellen Zahlen

4.1 Addition und Multiplikation

Die Addition:

+ :R×R−→R, (x, y)7−→x+y, hat die folgenden Eigenschaften:

· F¨ur x, y, z∈Rgelten

x+y=y+x; (x+y) +z=x+ (y+z);

· es gibt (genau) eine Zahl 0∈Rmitx+ 0 =x f¨ur jedesx∈R;

· zu jedem x∈Rgibt es (genau) ein −x∈Rmitx+ (−x) = 0.

Die Multiplikation

·:R×R−→R, (x, y)7−→x·y=:xy, wird durch die folgenden Regeln festgelegt:

· F¨ur x, y, z∈Rgelten

xy=yx; (xy)z=x(yz);

· es gibt (genau) eine Zahl 1∈R, 16= 0 mit x1 =x f¨ur jedesx∈R;

· zu jedem x6= 0 gibt es (genau) ein ¹_x ∈R mitx¹_x = 1.

Es gilt das Distributivgesetz:

x(y+z) =xy+xz

Bemerkung Aus diesen Regeln k¨onnen alle Regeln ¨uber das Rechnen mit +, ·, − und Br¨uchen hergeleitet werden

4.2 Anordnungsaxiome ( < , > , ≤ , ≥ ), Ungleichungen

Es gibt eine TeilmengeP ⊆Rmit den Eigenschaften:

4 Die reellen Zahlen

O1) F¨ur jedes x∈Rtrifft genau eine der drei M¨oglichkeiten zu:

x∈P, −x∈P, x= 0 O2) x, y∈P =⇒x+y∈P

O3) x, y∈P =⇒xy∈P

Die Elemente ausP heißen positiv: F¨ur x∈P wirdx >0 geschrieben (oder 0< x) (>

gr¨oßer als,<kleiner als)

x <0 :⇐⇒ −x >0 (x negativ) x > y:⇐⇒x−y >0

x≥y:⇐⇒x > y oder x=y

Aus 01), 02), 03) mit den Bezeichnungen>,<,≥,≤k¨onnen alle Regeln, die das Rechnen mit Ungleichungen betreffen, hergeleitet werden. Einige sind in Satz 1 zusammengestellt Satz 1 (1) Aus a, b∈R, (a > b)∧(b > c) folgt a > c

(2) Aus a > b und c∈R folgta+c > b+c (3) Aus a > b und c_>

< 0 folgt ac_>

< bc (4) Aus a≤b und c≤dfolgt a+c≤b+d

(5) Gilt f¨ur zwei Zahlen a, bund jede positive Zahl ε >0 a≤b+ε, so folgt a≤b.

Beispiele 1) {x|x+¹_x ≥2}={x|x >0} 2) ∀x>0,y>0 (x < y)⇔(x²< y²)

3) ∀^x,y∈R (x < y)⇒(x < ^x+y₂ < y)

4.3 Der Betrag einer reellen Zahl

F¨ur x∈Rwird definiert:

|x|:=

x, x≥0

−x, x≤0

= max(x,−x) Satz 2 x, y sind beliebige reelle Zahlen. Es gelten:

(1) x6= 0⇐⇒ |x|>0

22

4.4 Das Vollst¨andigkeitsaxiom

(2) −|x| ≤x≤ |x| (3) | −x|=|x| (4) |x−y|=|y−x| (5) Es sei a >0:

{x| −a≤x≤a}={x| |x| ≤a} Bemerkung (zu 5) Es seien x₀ ∈R und a >0 fest. Die Menge

{x| |x−x₀|< a}={x|x₀−a < x < x₀+a} heißt a-Umgebung von x₀. Wir schreiben hierf¨urUa(x₀).

Satz 3 F¨ur x, y∈R gelten:

(1) |xy|=|x||y|, ^xy

= ^|_|^x_y^|_| (y6= 0), also insbesondere |x|² =x², |x|=√ x² (2)

|x| − |y|

≤ |x±y| ≤ |x|+|y|(Dreiecksungleichung) (3) (|x| ≤ |y|)⇐⇒ x²≤y²

Beispiel {x| ^x+4x+1

≤2}={x| |x| ≥2} Satz 4 (GAM-Ungleichung)

(1) F¨ur x≥0, y≥0 gilt √xy≤ ¹₂(x+y) (2) F¨ur x, y∈Rgilt |xy| ≤ ¹₂(x²+y²)

4.4 Das Vollst¨ andigkeitsaxiom

4.4.1 Beschr¨ankte Mengen. Supremum. Infimum.

1) Es sei M ⊆R.

Gilt ∃S∈R∀x∈M x≤S, so heißtM nach oben beschr¨ankt,S ist eineobere Schranke von M.

Gilt∃s∈R∀x∈M s≤x, so heißtM nach unten beschr¨ankt,sist eineuntere Schranke von M.

IstM nach unten und nach oben beschr¨ankt, so heißt M beschr¨ankt.

4 Die reellen Zahlen

Beispiel M ={x|x <0} ist nach oben aber nicht nach unten beschr¨ankt.

Maximum/ Minimum einer MengeM ⊂R:

x= max(M) :⇐⇒(x∈M)∧

y∈

∀

˜

x= min(M) :⇐⇒(˜x∈M)∧ _y

∀

∈Mx˜≤y

Beispiel M ={x|x <0} besitzt kein Maximum.

Satz 5 M, N ⊂ R seien Mengen, die ein Maximum und ein Minimum besitzen.

Es gelten:

a) M ⊂N =⇒max(M)≤max(N) und min(N)≤min(M) b) max(M ∪N) = max{max(M),max(N)} und

min(M∪N) = min{min(M),min(N)}

c) min(M) =−max(−M) mit −M :={x| −x∈M} 2) Es seiM ⊂R.

Γ∈Rheißt Supremum von M: Γ = sup(M), wenn Γ eine kleinste obere Schranke von M ist, also:

Γ = sup(M) :⇐⇒1.) x≤Γ f¨ur allex∈M und

2.) ausx≤S f¨ur alle x∈M folgt Γ≤S.

γ ∈RheißtInfimum vonM:γ = inf(M), wennγ eine gr¨oßte untere Schranke von M ist, also:

γ = inf(M) :⇐⇒ 1.)γ ≤xf¨ur allex∈M und

2.) auss≤x f¨ur alle x∈M folgt s≤γ.

Satz 6 inf(M) =−sup(−M) Satz 7 Es gilt:

Γ = sup(M)⇐⇒1.) x≤Γ f¨ur allex∈M und

2.) zu jedem ε >0 gibt es ein x∈M mit Γ−ε < x.

Ubung: Formuliere den zu Satz 7 analogen Satz f¨¨ ur inf(M).

24

4.5 Eigenschaften von reellwertigen Funktionen

Bemerkungen a) Eine Menge M ⊂R besitzt h¨ochstens ein Supremum b) Existiert max(M), so giltmax(M) = sup(M).

c) Ist M nach oben (unten) unbeschr¨ankt, so schreibt man auch sup(M) = ∞ (inf(M) =−∞), was das Folgende bedeutet:

sup(M) =∞ ⇐⇒_k

∀

∃

inf(M) =−∞ ⇐⇒_k

∀

∈R_x

∃

∈Mx < k Beispiel M ={¹x |x >0} ist nach oben nicht beschr¨ankt.

4.4.2 Das Vollst¨andigkeitsaxiom

(V) Jede nichtleere nach oben beschr¨ankte Teilmenge M ⊂ R besitzt ein Supremum:

Es gibt Γ∈Rmit Γ = sup(M)

Satz 8 In Q gilt (V) nicht: Die Menge M ={x∈ Q|x >0 und x² <2} ist nichtleer und beschr¨ankt. Es ist sup(M) =√

2∈/ Q.

4.5 Eigenschaften von reellwertigen Funktionen

Es sei f :I ⊂R−→R:x7−→f(x) gegeben.

1) f heißtstreng monoton wachsend bzw. fallend(wir schreibenf ↑bzw.f ↓(streng)), falls aus x1, x2∈I, x1< x2 folgtf(x1)< f(x2) bzw.f(x1)> f(x2)

Folgt aus x₁ < x₂ lediglichf(x₁)≤f(x₂) bzw.f(x₁)≥f(x₂), so heißtf monoton wachsend bzw. fallend.

Uberlegen Sie sich selbst:¨

A1) f ↑(streng)⇐⇒ −f ↓(streng)¹

A2) f ↑(streng)⇐⇒ ∀x1,x2∈I,x16=x2 (f(x1)−f(x2))(x1−x2)>0

⇐⇒ ∀x1,x2∈I,x16=x2

f(x1)−f(x2) x1−x2 >0 A3) f ↑(streng) =⇒f ist injektiv

1−f:I−→R,(−f)(x) :=−f(x)

4 Die reellen Zahlen

A4) Es sei f bijektiv. Dann gilt:

f ↑(streng)⇐⇒f⁻¹ ↑(streng)

2) Eine Funktionf :I −→R heißt beschr¨ankt, wenn die Bildmenge f(I) beschr¨ankt ist, wenn es also Zahlen s1, s2 gibt, f¨ur die

s₁ ≤f(x)≤s₂ f¨ur alle x∈I erf¨ullt ist.

4.6 Einige Folgerungen aus dem Vollst¨ andigkeitsaxiom (V), ( 4.4, 4.4.2 (S. 25))

Satz 9 Nist nicht nach oben beschr¨ankt.

Satz 10 (Satz von Archimedes (⇐⇒Satz 9)) Zu jeder positiven Zahl x ∈ R gibt es eine Zahl n₀ ∈Nmit

n≥n

∀

n > x.

Satz 11 (⇐⇒Satz 10) Zu jeder positiven Zahl ε >0 gibt es eine Zahln₀ ∈N mit

n≥n

∀

1 n < ε.

Satz 12 Gilt f¨ur reelle Zahlenx, y:1< y−x, so gibt es eine Zahl k∈Zmitx < k < y.

Satz 13 (

”Die rationalen Zahlen liegen in R dicht“) Zu zwei reellen Zahlen x, y mitx < y gibt es eine rationale Zahl r mit x < r < y.

26

5 N , Vollst¨ andige Induktion (VI), Permutationen, Kombinationen

5.1 Induktive Mengen

M ⊂Rheißt induktive Menge, falls (A) 1∈M und

(B) Ausx∈M folgt x+ 1∈M erf¨ullt sind.

Bemerkungen 1) R,Q, Z sind induktive Mengen.

2) Der Durchschnitt induktiver Mengen ist eine induktive Menge.

Definition (von N) N ist der Durchschnitt aller induktiver Teilmengen von R. (Als solcher ist N die kleinste induktive Teilmenge von R: Es gilt N⊂M f¨ur jede induktive Menge M ⊂R.)

5.2 Induktionssatz

Satz 1 (Induktionssatz) F¨ur M ⊆Nseien erf¨ullt:

(A): 1∈M und

(B): Aus n∈M folgtn+ 1∈M Dann gilt M =N.

Bemerkung Verschiebt man den Anfang 1, so erh¨alt man:

Satz (Variante des Induktionssatzes) F¨ur M ⊂Z seien erf¨ullt:

(A): n₀ ∈M und

5 N, Vollst¨andige Induktion (VI), Permutationen, Kombinationen

(B): Aus n∈M und n≥n₀ folgtn+ 1∈M Dann gilt {n∈Z|n≥n₀} ⊂M.

5.3 Definition durch Induktion

Die Gr¨oße G(n) soll f¨ur alle n ∈ N definiert werden: Definiere (A) G(1) und definiere (B) G(n+ 1) unter der Maßgabe, dassG(n) f¨ur ein n∈N schon definiert ist. Dann ist gem¨aß Satz 1G(n) f¨ur allen∈Ndefiniert.

Beispiele Es seiena₁, a₂, . . .∈R.

1) Xn k=1

ak, n∈N. (A) X1 k=1

ak:=a₁ (B)

n+1X

k=1

a_k:=

Xn k=1

a_k+a_n+1

2) Yn k=1

ak, n∈N. (A) Y1 k=1

ak:=a₁ (B)

n+1Y

k=1

ak:=

Yn k=1

ak

! an+1

Beispiel ak=k: Qn

k=1k=:n! (

”n Fakult¨at“) (Zusatz: 0! := 1)

5.4 Beweismethode: Vollst¨ andige Induktion (VI)

A(n) soll f¨ur allen∈Z, n≥n₀ bewiesen werden:

(A) Induktionsanfang: Beweise A(n₀).

(B) Induktionsschluss: Ind.voraussetzung:A(n) sei f¨ur einn∈Z, n≥n0, bewiesen Ind.behauptung: Zeige A(n+ 1).

Dann ist nach der Bemerkung zu Satz 1A(n) f¨ur allen∈Z, n≥n₀, bewiesen.

Beispiele 1. Pn

k=1k= ⁿ₂(n+ 1), n∈N

2. F¨ur jedes n∈Nsind Zahlen x₁, . . . , xn gegeben mit: ∀j∈{1,2,...,n} xj ≥ −1 und alle xj haben das selbe Vorzeichen. Es gilt dann:

Yn j=1

(1 +xj)≥1 + Xn j=1

xj

28

5.4 Beweismethode: Vollst¨andige Induktion (VI) 3. Setzt man in 2. x₁ = x₂ = . . . =x_n = x ≥ −1, so erh¨alt man die Bernoullische

Ungleichung:

(1 +x)ⁿ≥1 +nx (n∈N)

4. Satz 2 (Die Anzahl der Permutationen aus n Elementen) Ausnverschie- denen Elementen a₁, a₂, . . . , an lassen sich n! n-Tupel so bilden, dass in jedem n- Tupel jedes der gegebenen Elemente vorkommt. ( Es gibt n!bijektive Abbildungen von {1,2, . . . , n} nach {1,2, . . . , n}.)

5. Binomialkoeffizienten ^α_k

(”α ¨uberk“): α ∈R, k∈N: α

k

:= 1 k!

k−1

Y

l=0

(α−l) = α(α−1). . .(α−k+ 1) k!

Beachte: ^α₀ := 1.

Es gilt:

α k

+ α

k+ 1

=

α+ 1 k+ 1

. Speziell f¨ur α=n∈N hat man:

n k

= 0, k > n, n, k∈Nund n

k

= n

n−k

= n!

k!(n−k)!, n≥k, n, k∈N insbesondere auch ⁿ_n

= ⁿ₀

= 1.

Satz 3 Es seien k, n∈N, k≤n. Die Anzahl derk-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ist ⁿ_k

.

6. Satz 4 (Binomischer Lehrsatz) (x+y)ⁿ=

Xn k=0

n k

x^n−ky^k, x, y∈R, n∈N∪ {0} mit den Spezialf¨allen:

x=−y= 1, n∈N: 0 =

Xn k=0

n k

(−1)^k x=y= 1, n∈N∪ {0}: 2ⁿ=

Xn k=0

n k

6 Die komplexen Zahlen C

6.1 Grundlegende Definitionen

Eine komplexe Zahl wird in der Form z =x+iy dargestellt. Hierbei sind x, y ∈R der Zahl zeindeutig zugeordnet.x heißt Realteil,y Imagin¨arteil von z:

Re(z) :=x, Im(z) :=y.

iist die imagin¨are Einheit, f¨ur diei²=−1 gilt.

Komplexe Zahlen z=x+iy,w=u+ivwerden addiert und multipliziert gem¨aß:

(A) z+w= (x+u) +i(y+v) (M) zw=xu−yv+i(yu+xv) Es gelten alle Regeln aus 4.1.

Das neutrale Element f¨ur (A) istz= 0 = 0 +i0 und f¨ur (M) z= 1 = 1 +i0.

Die Menge der komplexen Zahlen wird durch Cbezeichnet. Es gilt R⊂C:

R={z∈C|Im(z) = 0}.

Sind z, w∈R, so liefern (A),(M) oben die Addition und Multiplikation in R. (A), (M) sind eine Fortsetzung der Operationen +,·von R aufC.

¯

z:=x−iy heißt diezu z konjugierte komplexe Zahl.

Es gelten:

Re(z) = 1

2(z+ ¯z), Im(z) = 1

2i(z−z)¯

z¯z=x²+y² = (Re(z))²+ (Im(z))².

Satz 1 a) Mit komplexen Zahlen z = x+iy wird, was (A) und (M) anbelangt, wie mit reellen Zahlen gerechnet, nur wird i²=−1 ber¨ucksichtigt

6 Die komplexen ZahlenC

b) z7−→z¯ist eine bijektive Abbildung von C nach C. Es gelten z+w= ¯z+ ¯w,

zw= ¯zw,¯ z∈R⇔z= ¯z

Bemerkung In C gibt es keine Relation, die den Axiomen O1), O2), O3) aus 4.2 gen¨ugt. Es m¨ussten n¨amlich gleichzeitig 1 = 1² >0 und −1 =i² >0 gelten

6.2 Veranschaulichung von z in der komplexen Ebene

Mit|z|wird der Abstand vonz zu 0 bezeichnet.

|z|=p

x²+y² =√

z¯z heißt Betrag von z.

Der Winkelϕ∈[0,2π) mit y=|z|sinϕ,x=|z|cosϕheißt das Argument von zund die hiermit ausz=x+iyresultierende Darstellung f¨ur z6= 0:

z=|z|(cosϕ+isinϕ)

heißt diePolardarstellung von z. Das Argument von z wird durch arg(z) bezeichnet.

Beispiele

arg(i) = π

2, arg(x) =

(0, x >0,

π, x <0 , arg(1 +i) = π 4 arg(−i) = 3π

2 , arg(0) ist nicht def.

Satz 2 Jede komplexe Zahl z 6= 0 kann in der Form z = r(cosψ+isinψ) dargestellt werden. Hierbei gelten:r=|z|und ψ= arg(z) + 2kπ f¨ur ein k∈Z

32

6.3 Rechnen mit| · |und mit der Polardarstellung

6.3 Rechnen mit | · | und mit der Polardarstellung

Bemerkung |z−w|gibt die L¨ange der Verbindungsstrecke zwischen z und w an.

Es sei z₀∈Cund ε >0:

U_ε(z₀) ={z∈C| |z−z₀|< ε}

heißt ε-Umgebung vonz₀. InUε(z₀) liegen alle Punkte des Kreises umz₀ mit Radiusε.

(siehe auch 4.3, S. 22)

Satz 3 Es seien z, w∈C. Es gelten:

1) |z|=|z¯|

2) |z| ≥0 und (|z|= 0⇔z= 0) 3) |zw|=|z||w|

4) |z±w| ≤ |z|+|w| (Dreiecksunglei- chung)

5) |z±w|²=|z|²±2Re(¯zw) +|w|² Satz 4 z = r(cosϕ+isinϕ), w = ̺(cosψ+isinψ) seien komplexe Zahlen, z 6= 0, w6= 0. Es gelten:

1) z=w⇐⇒r=̺ ∧ ϕ=ψ+ 2kπ (k∈Z) 2) z¯=r(cosϕ+isinϕ) =r(cos(−ϕ) +isin(−ϕ)) 3) ¹_z = ¹_r^¯z_r = ¹_r(cosϕ−isinϕ)

4) zw=r̺(cos(ϕ+ψ) +isin(ϕ+ψ))

5) zⁿ=rⁿ(cos(nϕ) +isin(nϕ)), n∈Z (Formel von Moivre)

6.4 Die n-te Wurzel aus a ∈ C , a 6 = 0

Satz 5 Es seien a∈C\ {0} und n∈N gegeben. Die Gleichung zⁿ=a hat genau die n verschiedenen L¨osungen

zk= pⁿ

|a|

cos α

n +2kπ n

+isin

α n +2kπ

n

, k= 0,1,2, . . . , n−1.

Hierbei ist α= arg(a).

Ubung:¨ Gib alle L¨osungenz an:

z⁵ = 1, z³ =−i, z⁴= 1 +i, z²+ 2az+b= 0 (wobei a, b∈Cgegeben sind)

6 Die komplexen ZahlenC

Bemerkung (Fundamentalsatz der Algebra) F¨ur jedes Polynom p(z) =zⁿ+an−1zⁿ⁻¹+an−2zⁿ⁻²+. . .+a₁z+a₀ gibt es Zahlen z₁, z₂, . . . , zn∈C, so dass

p(z) = (z−z1)(z−z2). . .(z−zn) gilt. (n∈N)

34

7 Folge, Grenzwert

7.1 Definition (Folge)

Eine Folge komplexer Zahlen ist eine Abbildung N −→ C, n 7−→ an. Sie wird durch (an)n∈N, durch (an), oder durch die Aufz¨ahlung der Folgenglieder a₁, a₂, a₃, . . . bezeich- net.

Die Folge heißt beschr¨ankt, falls es eine ZahlM ∈Rmit|an|< M f¨ur allen∈Ngibt.

Eine reelle Folge heißtmonoton (streng monoton) wachsend, fallsan≤a_n+1(an< a_n+1) f¨ur allen∈Ngilt. Wir schreiben hierf¨ur (an)↑( (an)↑(streng))

Eine reelle Folge heißtmonoton (streng monoton) fallend : (an)↓((an)↓(streng)) :⇐⇒

(−an)↑ ((−an)↑(streng)) Beispiele (an) mit

1) an= _n¹ 2) an=iⁿ 3) a_n= _n+1ⁿ

4) an=xⁿ (x∈Roder auch x∈C) 5) an= ₂ⁿn

6) a_n ist durch a₁ = 0, a₂ = 1, a_n+1 :=

an+an−1 (n= 2,3, . . .) definiert Definition (Teilfolge einer Folge) Es seien (an) eine Folge und v : N −→ N eine streng monoton wachsendeFunktion (Es wirdvj anstelle vonv(j)f¨urj∈Ngeschrieben).

Die Folge (b_j) mit b_j :=a_vj heißt Teilfolge der Folge (a_n)

Beispiele bj =a_2j, bj =a_j² oder oben Beispiel 2):bk =a_4k−1=−i (k∈N)

Bemerkung ( ¨Ubung) F¨ur eine Funktion v wie in vorstehender Definition gilt v(j)≥j f¨ur alle j∈N.

7.2 Konvergenz, Divergenz, H¨ aufungspunkte

Definition (Konvergenz) Die Folge(an)heißt konvergent, falls eine Zahlg∈Cexis- tiert mit folgender Eigenschaft:

7 Folge, Grenzwert

Zu jeder Zahlε >0 gibt es eine ZahlN ∈N derart, dass

|a_n−g|< ε gilt f¨ur allen∈N mitn > N.

g heißt Grenzwert (Limes) der Folge (an). Hierf¨ur schreiben wir: limn→∞an =g oder an→g (n→ ∞).

Verwenden wir den Umgebungsbegriff aus Abschnitt 6.3 und 4.3 und die Sprechweise

”alle bis auf endlich viele“ =

”fast alle“, so k¨onnen wir auch so formulieren:

Es gilt limn→∞an=g genau dann, wenn f¨ur jedesε >0 f¨ur fast allen(n¨amlich f¨ur alle bis auf allenfallsn= 1,2, . . . , N) an∈Uε(g) gilt.

Definition (Divergenz) Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent. Die Ne- gation der vorherigen Definition gibt:

Die Folge (an) ist divergent, wenn jedes g ∈C eine ε-Umgebung besitzt, außerhalb der unendlich viele Folgenglieder liegen.

Beispiel Die Folge (a_n) mit a_n=iⁿ, Beispiel 2)/ 7.1 ist divergent.

Definition (H¨aufungspunkt) H∈Cheißt H¨aufungspunkt (HP) der Folge (an), falls f¨ur jedesε >0 f¨ur unendlich viele n∈Nan∈Uε(H) gilt.

In 7.1, Beispiel 2) sindi,1,−1,−iH¨aufungspunkte der Folge

A1) Ist g Grenzwert der Folge (an), so istg auch HP der Folge (an).

A2) (lim_n→∞a_n=g)⇐⇒ (g ist der einzige HP der Folge (a_n)) Folgerung 1) Die Folge (an), an=iⁿ ist divergent.

2) Eine Folge mit mehr als einem HP ist divergent.

3) Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert.

Satz 1 (Bolzano-Weierstrass) Jede beschr¨ankte Folge besitzt einen HP Satz 2 Es sei(an) eine Folge. Dann gilt:

H ist HP von (an)⇐⇒ es gibt eine Teilfolge (ank)k, die gegenH konvergiert.

Folgerung Jede beschr¨ankte Folge enth¨alt eine konvergente Teilfolge.

Die Folge aus 7.1, Beispiel 2)a_n=iⁿ enth¨alt die konvergenten Teilfolgen:

(a_4k−3)_k, (a_4k−2)_k, (a_4k−1)_k, (a_4k)_k.

36

7.3 Die Beispiele aus 7.1

7.3 Die Beispiele aus 7.1

1) limn→∞ 1

n = 0. Das ist Satz 11, Kap. 4.

2) (an) mitan=iⁿ. Die Folge hat die vier HP i,1,−i,−1, ist somit divergent.

3) (an), an = _n+1ⁿ . W¨ahle N ∈ N, N > ¹_ε −1. Dann gilt |an− 1| < ε f¨ur alle n∈N, n > N. Also: limn→∞an= 1.

4) (an), an=xⁿ:

· x= 1: lim_n→∞a_n= 1

· x= 0: limn→∞an= 0

· x=−1: (an) hat die zwei HP +1,−1, ist also divergent.

· |x| >1: Es sei R > 0. W¨ahle N ∈ N, N > ^R

|x|−1. Dann gilt f¨ur alle n > N:

|x|ⁿ> R.

Fazit F¨ur |x|>1 ist (xⁿ) divergent, da(xⁿ) nicht beschr¨ankt ist.

Satz 3 Eine konvergente Folge ist beschr¨ankt

· Es gilt aber f¨ur x >1, dass (xⁿ) in folgendem Sinn

”konvergiert“:

Gilt f¨ur die reelle Folge (an), dass f¨ur jedes R f¨ur fast alle n an> Rerf¨ullt ist, so schreiben wir: lim_n→∞a_n=∞.

Die Folge (an) heißt dann bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent gegen

∞ (Analog: lim_n→∞a_n=−∞:⇐⇒lim_n→∞(−a_n) =∞) Also: F¨ur x >1 gilt limn→∞xⁿ=∞.

· F¨ur x <−1 liegt Divergenz vor.

· F¨ur |x|<1 gilt limn→∞xⁿ= 0.

5) (an),a₁= 0, a₂ = 1, a_n+2 =an+a_n+1, (n= 2,3, . . .)

F¨ur n ≥2 giltan ≥1 und f¨ur n≥3 hat man a_n+1−an≥1. Hieraus folgt, dass (an) unbeschr¨ankt ist und nicht im eigentlichen Sinne konvergiert.

7 Folge, Grenzwert

7.4 Rechnen mit konvergenten Folgen

Satz 4 (an), (bn) seien konvergente reelle Folgen. F¨ur fast alle n sei an ≤ bn erf¨ullt.

Dann gilt

nlim→∞a_n≤ lim

n→∞b_n.

Satz 5 (Einschn¨urungsprinzip) F¨ur die reellen Folgen(an),(bn),(cn) seian≤bn≤ c_n f¨ur fast alle n erf¨ullt. Aus lim_n→∞a_n = lim_n→∞c_n = g folgt, dass die Folge (b_n) konvergent ist mitlimn→∞bn=g.

Folgerung F¨ur die Folge (a_n) gelte |a_n| ≤ b_n f¨ur fast alle n, wobei (b_n) eine reelle Nullfolge ist. Dann folgt: limn→∞an= 0.

Satz 6 Es seien (an), (bn) konvergente Folgen: an → a, bn → b. Es sei λ ∈ C. Dann sind die Folgen

(λan), (an±bn), (anbn), an

bn

(b6= 0), (|an|), (a^k_n)n (k∈N fest), (√

an) (an>0) konvergent mit

λan→λa, an±bn→a±b, anbn→ab, an

bn → a

b, |an| → |a|, a^k_n→a^k, √

an→√ a f¨urn→ ∞.

Zu Beispiel 5 aus 7.1:

(a_n), a_n= ₂ⁿn. Es gilt lim_{n→∞ 2}ⁿn = 0.

Das sieht man etwa so:

2ⁿ= (1 + 1)ⁿ= Xn k=0

n k

(binomischer Lehrsatzsatz, S. 29)

≥n 0

+n 1

+n 2

= 1 +n 2 + n²

2 > n² 2

=⇒ ₂ⁿⁿ < _n². Mit limn→∞ 2

n = 0 und Satz 5 (Einschn¨urungsprinzip) folgt wegen 0< ₂ⁿn

die obige Behauptung.

38

7.5 Monotonie und Konvergenz Noch 2 Beispiele

1) Die geometrische Reihe:

Es sei q∈C,|q|<1. dann konvergiert (sn) mit s_n:=

Xn k=0

q^k= 1−qⁿ⁻¹ 1−q gegen ₁₋¹_q.

Man schreibt: limn→∞sn=:P_∞

k=0q^k= ₁₋¹_q f¨ur |q|<1.

2) Die harmonische Reihe:

P_∞

k=1 1

k := lim_n→∞Pn k=1 1

k existiert nicht. P_∞

k=1 1

k ist divergent, da die Teilfolge (a^′_n), a^′_n = P2ⁿ−1

k=1 1

k von (an) = Pn k=1 1

k

unbeschr¨ankt ist, also divergent (...;

siehe auch Satz 3 oben).

7.5 Monotonie und Konvergenz

Satz 7 (Monotoniekriterium) Die (reelle) Folge (an) sei monoton wachsend und nach oben beschr¨ankt ((an)↓ und nach unten beschr¨ankt). Dann ist die Folge (an) kon- vergent, es gilt limn→∞an= sup{an|n∈N} (limn→∞an= inf{an|n∈N}).

Beispiele 1) (an), a₁ = 3, a_n+1 = √

12 +an (n = 1,2, . . .). (an) ↑ und an ≤ 4.

limn→∞an= 4.

2) an=Pn k=0 1

k!. Es gilt(an)↑ und an<3. Der Grenzwert P_∞

k=0 1

k! (= limn→∞an) ist die Eulersche Zahl e.

e:= lim

n→∞

X∞ k=0

1 k!

7.6 Zwei wichtige Grenzwerte

nlim→∞

√n

n= 1, lim

n→∞

√n

c= 1 (c >0 fest)

7 Folge, Grenzwert

7.7 Intervallschachtelung

Satz 8 (Intervallschachtelung) (αn)↑, (βn)↓seien monotone Zahlenfolgen, die den Bedingungen

1) αn≤βn f¨ur allen und

2) limn→∞(βn−αn) = 0 gen¨ugen.

Dann gibt es genau ein x∈R mit αn≤x≤βn f¨ur alle n. Es gelten

nlim→∞αn= lim

n→∞βn=x.

Bemerkung In bezeichne das Intervall[αn, βn], |In| die L¨ange vonIn.

Der Satz 8 sagt aus: GeltenIn+1⊂In (n∈N) und limn→∞|In|= 0, so hat man

\∞ j=1

Ij ={x} und lim

n→∞αn= lim

n→∞βn=x

Satz 9 (Leibnizkriterium) (Anwendung von Satz 8) Es sei (an) eine Folge mit den Eigenschaften

an>0, (an)↓, an→0 (n→ ∞).

Dann gilt: Die Folge (sm), sm := Pm

n=0(−1)ⁿan ist konvergent: limm→∞sm = s =:

P_∞

n=0(−1)ⁿa_n. Weiter hat man:

a) s_2k+1 ≤s≤s_2k, k= 0,1,2, . . . b) |s−sm| ≤a_m+1, m= 0,1,2, . . .

Zur Begr¨undung: Setze α_k := s_2k+1, β_k := s_2k. Die Folgen (α_k), (β_k) gen¨ugen den Voraussetzung von Satz 8: {[αk, βk] | k ∈ N} bilden eine Intervallschachtelung, die s festlegt.

Beispiel 1) Die alternierende harmonische Reihe X∞

k=0

(−1)^k 1

k+ 1 = lim

n→∞

Xn k=0

(−1)^k 1 k+ 1 ist konvergent.

2) Durchα_n:= 1 +_n¹n

,β_n= 1 + ¹_nn+1

wird eine Intervallschachtelung{[α_n, β_n]| n∈N} definiert. Sie bestimmt die Zahl e.

40

8 Reihen

8.1 Grundlegende Definitionen

Es sei (a_k) eine Zahlenfolge. Wir nennen einen Ausdruck der Form P_∞

k=1a_k eine Reihe und verstehen darunter zweierlei:

1) die Folge (sn) der Partialsummen:sn=Pn

k=1a_k und 2) den Grenzwert limn→∞sn, falls er existiert.

Dieser Grenzwert heißt dann Wert (Summe) der Reihe. Existiert limn→∞sn, so sagen wir: Die Reihe P_∞

k=1ak ist konvergent. Die Reihe P_∞

k=1ak ist divergent, falls die Folge (s_n) divergent ist.

P_∞

k=1ak=∞(− ∞) bedeutet, dass sn→ ∞(− ∞)(n→ ∞).

P_∞

k=1ak=A bedeutet: limn→∞Pn

k=1ak=A.

Satz 1 Es gelte ak≥0 f¨ur alle k. Es gilt dann:

X∞ k=1

ak ist konvergent ⇐⇒ (sn) ist eine beschr¨ankte Folge. ( sn≤M f¨ur alle n) Satz 2 Aus der Konvergenz von P_∞

k=1ak folgt:

klim→∞ak= 0

Bemerkung 1) Das Konvergenzverhalten einer Reihe ¨andert sich nicht, wenn man endlich viele Summanden der Reihe ¨andert.

2) (Ergebnisse aus dem 7. Kapitel)

· geometrische Reihe: F¨ur |z|<1 gilt P_∞

k=0= ₁₋¹_z

· harmonische Reihe: P_∞

k=1 1

k ist bestimmt divergent gegen ∞

· die Zahl eist e= lim_n→∞Pn k=0 1

k! =P_∞

k=0 1 k!

8 Reihen

· das Leibnizkriterium: Satz 9, 7.7: die alternierende harmonische Reihe P_∞

k=0(−1)^k_k+1¹ ist konvergent.

8.2 Umordnung. Absolute Konvergenz.

Satz 3 P_∞

k=1a_k = A, P_∞

j=1b_j = B seien konvergente Reihen. Dann ist die Reihe P_∞

l=1(λal+µbl) (λ, µ∈C) konvergent mit dem Wert λA+µB Satz 4 In einer konvergenten Reihe P_∞

k=0 d¨urfen beliebig Klammern gesetzt werden.

Setzt man mit0 =k₀< k₁ < k₂< . . .:

Aj =a_kj−1+1+. . .+a_kj (j= 1,2, . . .), so gilt P_∞

k=1A_k=P_∞

k=0a_k.

Schon vorhandene Beklammerungen in einer konvergenten Reihe d¨urfen nur dann weg- gelassen werden, wenn die entstehende Reihe wieder konvergent ist.

Definition Es sei σ : N −→ N eine bijektive Abbildung. Die Reihe P_∞

k=1a_σ(k) heißt eine Umordnungder Reihe P_∞

k=1ak.

Beispiel 1 +¹₃−¹₂+¹₅+¹₇−¹₄+ +−. . . ist eine Umordnung von1−¹₂+¹₃−¹₄+−. . ..

Definition Die ReiheP_∞

k=1a_kheißt absolut konverget, wenn die ReiheP_∞

k=1|a_k|kon- vergiert.

Beispiele 1) P_∞

k=1(−1)^k_k¹2 ist absolut konvergent.

2) P_∞

k=1(−1)^{k+1 1}_k und P_∞

k=1(−1)^{k+1 1}√

k sind konvergente, aber nicht absolut konver- gente Reihen

Satz 5 X∞ k=1

ak ist absolut konvergent ⇐⇒ jede Umordnung konvergiert und alle Umordnungen haben den Wert

X∞ k=1

ak

8.3 Konvergenzkriterien

Satz 6 (Majorantenkriterium) Gegeben sind zwei Zahlenfolgen (c_n), (a_n) mit

42

8.4 Das Cauchy-Produkt

1) 0≤c_n≤a_n f¨ur fast allen∈N∪ {0}, 2) P_∞

n=0an ist konvergent Dann ist die Reihe P_∞

n=0cn konvergent. (P_∞

n=0an ist eine (konvergente) Majorante f¨ur P_∞

n=0cn.)

Satz 7 (folgt f¨ur reelle Reihen aus Satz 6) Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent.

(Die Umkehrung ist falsch: oben Beispiel 2) ) Es gilt

X∞ k=1

ak

≤

X∞ k=1

|ak|.

Satz 8 (Quotientenkriterium) (cn)sei eine Zahlenfolge mitcn≥0. Es existiere eine Zahl ϑ <1 derart, dass

c_n+1 ≤ϑc_n f¨ur fast alle n erf¨ullt ist. Dann konvergiert P_∞

n=0cn. Beispiel F¨ur jedesz∈C ist P_∞

k=0 1

k!z^k absolut konvergent

Satz 9 (Wurzelkriterium) Es sei cn ≥ 0, und es existiere eine Zahl ϑ < 1 so, dass f¨ur fast alle n √ⁿcn≤ϑ erf¨ullt ist. Dann istP_∞

n=0cn konvergent.

Aus √ⁿcn≥1 f¨ur unendlich viele nfolgt die Divergenz von P_∞

n=0cn. Beispiel 1) P_∞

k=1ak= ¹₂+¹₃+₂¹2+₃¹2+₂¹3+₃¹3+. . .. Satz 9⇒Konvergenz (W¨ahleϑ zwischen √¹

2 und 1). Mit Satz 8 ist keine Entscheidung m¨oglich bzgl. Konvergenz/

Divergenz.

2) P_∞

k=1ak= ¹₂+1+¹₈+¹₄+₃₂¹ +. . .. Satz 9⇒Konvergenz (man kannϑ= ²₃ w¨ahlen) Mit Satz 8 erh¨alt man dieses Ergebnis nicht.

3) Die Konvergenz von P_∞

k=1 1

k² erh¨alt man weder mit Satz 8, noch mit Satz 9. (aber etwa mit Satz 6)

8.4 Das Cauchy-Produkt

Das Cauchy-Produkt der ReihenP_∞

k=0ak und P_∞

k=0bk ist die Reihe X∞

n=0

cn mitcn= Xn k=0

an−kbk.