H¨ ohere Mathematik I f¨ ur die Fachrichtung Physik 2. ¨ Ubungsblatt

— Bitte wenden! — Institut f¨ ur Analysis

Prof. Dr. Dirk Hundertmark 30.10.2017

Dr. Michal Jex

H¨ ohere Mathematik I f¨ ur die Fachrichtung Physik 2. ¨ Ubungsblatt

Aufgabe 7:

Bestimmen Sie f¨ur die folgenden Mengen jeweils das Infimum, Minimum, Supremum und Ma- ximum, sofern sie existieren.

(a) A=

x²−x+ 2|x∈R , (b) B =n

n+¹_n n∈N

o .

Aufgabe 8:

Bestimmen Sie f¨ur die folgenden Mengen jeweils das Infimum, Minimum, Supremum und Ma- ximum, sofern sie existieren.

(a) A= n

x+_x¹

0< x≤42 o

, (b) B =

n x² 1+x²

x∈R

o .

Aufgabe 9:

Zeigen Sie die folgenden Aussagen durch vollst¨andige Induktion.

(a) Pn

k=1k·k! = (n+ 1)!−1 ∀n∈N, (b) Pn

k=1(−1)^k+1k² = (−1)^n+1n(n+1)₂ ∀n∈N.

Zeigen Sie die erste Aussage auch ohne Verwendung der vollst¨andigen Induktion.

Aufgabe 10:

Zeigen Sie die folgenden Aussagen durch vollst¨andige Induktion.

(a) Qn−1

k=1 1 +_k¹k

= ⁿ_n!ⁿ ∀n∈N, (b) Pn

k=1k² = n(n+1)(2n+1)

6 ∀n∈N.

Zeigen Sie die letzte Aussage auch ohne Verwendung der vollst¨andigen Induktion.

Hinweis: Es giltPn

k=1k³−Pn

k=1(k−1)³ =n³ f¨ur alle n∈N.

Aufgabe 11:

Zeigen Sie: Sei∅ 6=M ⊂R, dann

(a) α= supM <∞ ⇔((∀x∈M :x≤α)∧(∀ >0 :∃x∈M :x > α−)), (b) α= supM <∞ ⇒(∃(x_n)^∞_n=1⊂M :xn→α).

Hinweis: (∅ 6= M ⊂R,R3 α = supM) ⇔((∀x ∈M :x≤ α)∧(∀x ∈M∀z ∈Rz≥ x:z ≥ α)).

Aufgabe 12:

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (a_n)^∞_n=1, wobei (a) an=√

n+ 1−√ n,

(b) a₁=cmitc∈R unda_n+1= ^a₂ⁿ + 1, (c) an= (xⁿ+yⁿ)ⁿ¹ mitx, y >0,

Hinweis: Untersuchen Sie zuerst den Fall an= (cⁿ+ 1)ⁿ¹ mit 0≤c≤1 (d) a_nb_n mit (a_n)_n beschrenkt und (b_n)_n Nullfolge.

Hinweis: In der großen Saal¨ubung werden voraussichtlich die Aufgaben 7, 9, 11 und 12 a)-b) besprochen. Die restlichen Aufgaben werden in den Tutorien behandelt.

http://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm1phys2017w/