Leitfaden zu gewöhnlichen Differentialgleichungen aus „Praktische Mathematik I für TPH“

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Leitfaden zu

gewöhnlichen Differentialgleichungen aus

„Praktische Mathematik I für TPH“

Lukas Császár

Wien 2012

Version 1

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L e i t f a d e n z u g e w ö h n l i c h e n D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n a u s „ P r a k t i s c h e M a t h e m a t i k I f ü r T P H “

Verzeichnis:

1 Einleitung ... 4

1.1 Allgemeine Information ...4

1.2 Danksagung ...4

1.3 Allgemeines über Differentialgleichungen ...4

1.3.1 Linearität ... 5

1.3.2 Rang und Ordnung ... 5

1.3.3 Eindeutige Lösung (Anfangswertproblem) ... 5

1.3.4 Inhomogenität ... 5

1.3.5 Verwendete Symbole und Schreibweisen ... 5

2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung ... 7

2.1 Separation der Variablen ...7

2.2 Multiplikation mit integrierendem Faktor ...7

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung ... 9

3.1 Allgemeine Lösung und Vorgangsweisen ...9

3.1.1 Das Superpositionsprinzip ... 9

3.1.2 Der Ce^(λt)-Ansatz ... 9

3.1.3 Sinus und Kosinus ... 10

3.1.4 x^(α)⋅y^(β) ... 10

3.1.5 Polynome n-ten Grades ... 10

3.2 Lösung der allgemeinen homogenen DGL ...10

3.2.1 Das charakteristische Polynom ... 11

3.2.2 Fallunterscheidung ... 11

3.3 Aufsuchen einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL ...12

3.3.1 Mithilfe eines Ansatzes ... 12

3.3.2 Variation der Konstanten ... 12

3.4 Anschreiben der allgemeinen Lösung und Aufsuchen der Konstanten ...13

3.5 Die Wronksi-Determinante ...14

4 Nichtlineare, exakte Differentialgleichungen ... 15

4.1 Theorie ...15

4.2 Lösungsschema ...16

4.2.1 Aufsuchen des Potentials ... 16

4.2.2 Aufstellen der Lösung ... 17

4.2.3 Aufsuchen einer bestimmten Lösung (Trajektorien) ... 17

4.3 Die Integrabilitätsbedingung und damit verbundene Problemlösungen ...17

4.3.1 Nachweis einer exakten DGL... 18

4.3.2 Aufsuchen eines integrierenden Faktors – DGL exakt machen ... 18

5 Beispiele ... 19

5.1 Beispiele zu Kapitel 2 – Lineare DGL 1. Ordnung ...19

5.1.1 Separation der Variablen I ... 19

5.1.2 Separation der Variablen II ... 19

5.1.3 Multiplikation mit integrierendem Faktor I ... 20

5.1.4 Multiplikation mit integrierendem Faktor II (Newton’sches Abkühlungsgesetz) ... 21

5.2 Beispiele zu Kapitel 3 – Lineare DGL 2. Ordnung ...22

5.2.1 Homogene DGL I – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung ... 22

5.2.2 Homogene DGL II – Charakteristisches Polynom, Fallunterscheidung ... 23

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5.2.3 Inhomogene DGL mit Ansatz für die Partikulärlösung ... 23

5.2.4 Inhomogene DGL mit Variation der Konstanten ... 25

5.2.5 Wronksi-Determinante ... 27

5.3 Beispiele zu Kapitel 4 – Nichtlineare, exakte DGL ...28

5.3.1 Die allgemeine Lösung einer nichtlinearen, exakten DGL ... 28

5.3.2 Überprüfen der Integrabilitätsbedingung ... 29

5.3.3 Integrierender Faktor ... 30

5.3.4 Integrierender Faktor mithilfe eines Ansatzes ... 30

6 Verweise ... 32

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1 Einleitung

1.1 Allgemeine Information

Vervielfältigung und Druck nur zu privaten Zwecken erlaubt. Bei Weitergabe an Dritte dürfen nur anfallende Kopierkosten verrechnet werden.

Dieser Text soll die anfänglichen Schwierigkeiten mit den Differentialgleichungen (DGL) der Vorlesungsübung „Praktische Mathematik I“ im ersten Semester beiseiteschaffen, indem ich – ohne viel Theorie oder viele Herleitungen zu verwenden – die wichtigsten Methoden zum Lösen einfacher DGL vorstelle. Dieser Leitfaden beinhaltet die wichtigsten Typen und Lösungsmethoden von/für einfachen DGL, wie sie einem im 1. Semester unterkommen und erklärt zum größten Teil die Ansätze aus dem Skript, allerdings reduziert auf die praxisorientierten Teile. Es ist daher vielleicht von Vorteil zuerst die Einleitung des Skriptes, dann diesen Leitfaden zu lesen und anschließend die Vorgehensweise und die Erklärungen im Skript nachzuvollziehen.

Sämtliche Verweise auf das Skript „Praktische Mathematik I“ beziehen sich auf die Version von 2011.

Der erste Teil dieses Leitfadens liefert ausschließlich theoretische Erklärungen der verschiedenen Vorgangsweisen. Zu jedem wichtigen Schritt wird dann auf ein Beispiel verwiesen, das sich im Kapitel 5 befindet und die eben erklärten Mechanismen vorführt. Dies soll die Übersicht bewahren und diesen Text auch als „Exzerpt“ brauchbar machen.

Die Beispiele sollen immer dann bearbeitet werden, wenn im Fließtext darauf hingewiesen wird. Die Verweise im Text sind als Hyperlinks verwendbar und bei jedem Beispiel gibt es einen Hyperlink (Pfeil), der einen zum entsprechenden Theorie-Abschnitt zurück/weiter befördert.

Falls jemandem Fehler auffallen sollten oder jemand gute Ergänzungen oder Ähnliches einbringen möchte, bitte ich um Kontaktaufnahme über lukas.csaszar@student.tuwien.ac.at.

1.2 Danksagung

Matthias Zens für die Beantwortung vieler inhaltlicher Fragen, Erklärungen und für das Korrekturlesen. Gabriele Schranz-Kirlinger für die Korrektur des vierten Kapitels über die nichtlinearen DGL. Armin Kopetzky für einen authentischen Feldversuch und nützliche Anregungen.

1.3 Allgemeines über Differentialgleichungen

Prinzipiell möchte ich hier nicht auf genaue Definitionen und Theorie eingehen, sondern die Lösungsmethoden und -werkzeuge präsentieren. Für tiefergehende theoretische Hintergründe bitte das Skript und andere Quellen zurate ziehen. Die Grundeigenschaften der DGL, die zum Verständnis dieses Leitfadens notwendig sind, werde ich natürlich beschreiben.

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DGL sind Gleichungen, die nicht nur die Funktion y sondern auch deren Ableitungen y, y,… beinhalten.

Die DGL gilt gemeinhin als gelöst, wenn eine Lösungsfunktion y aufgefunden wurde (wenn man von einer trivialen Lösung wie y0 absieht), die die DGL erfüllt.

1.3.1 Linearität

Eine DGL ist linear, wenn die Lösungsfunktion y und ihre Ableitungen nicht in gemeinsamen Produkten vorkommen und sie nur den Exponenten 1 haben. Andernfalls sind sie nichtlinear. Eine typische lineare DGL stellt sich zum Beispiel in der Form

d y

c y b

ay   dar. Die Koeffizienten a, b, … können selbst Funktionen sein.

Nichtlinearität erkennt man zum Beispiel an Termen wie yyy², yy, ²

1

y

y  und so fort.

Die unabhängige Variable ist von diesen Einschränkungen nicht betroffen.

1.3.2 Rang und Ordnung

Der Rang einer DGL wird durch die höchste auftretende Ableitung der Lösungsfunktion y bestimmt. Diese Zahl entspricht der auch der sogenannten Ordnung der DGL.

1.3.3 Eindeutige Lösung (Anfangswertproblem)

Eine spezielle Lösung erhält man durch das Ermitteln der auftretenden Integrationskonstanten durch gegebene Anfangs-/Randbedingungen. Man spricht von der Lösung eines Anfangswertproblems.

1.3.4 Inhomogenität

Eine DGL die zum Beispiel die Form ypy0 hat, nennt man homogen. Eine DGL der Form y py f nennt man inhomogen. f heißt Inhomogenität. Wichtig ist dabei, dass in der Inhomogenität weder y, noch eine Ableitung davon vorkommen. Natürlich kann f auch eine Funktion sein.

1.3.5 Verwendete Symbole und Schreibweisen

Für die gesuchte Lösungsfunktion wird hier stets y verwendet. Diese Funktion ist natürlich immer abhängig von einer unabhängigen Variable x oder t, also y y(x) oder y y(t).

Die Namensgebung ist natürlich willkürlich. Mir erschien y(x) als

„Standardschreibweise“ im 2. und 4. Kapitel angebracht. Im 3. Kapitel (dessen Inhalt im Skript anhand von mechanischen Schwingungen erklärt wird) erschien mir y(t) naheliegender.¹

1 In diesem Abschnitt verwende ich y(x).

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dx y

dy   - d y und dx können der Einfachheit halber (mathematisch nicht korrekt, physikalisch schon ) als Terme für Äquivalenzumformungen verwendet werden.

Mit y wird in der Physik häufig die Ableitung einer Funktion nach der Zeit t bezeichnet, also

dt y dy.

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2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

Diese DGL zeichnen sich neben den bereits erwähnten Merkmalen dadurch aus, dass nur die erste Ableitung der Funktion y auftritt.

DGL, die sich in der Form yay oder in ähnlicher Weise präsentieren sind erster Ordnung, linear und außerdem homogen. Das bedeutet, sie können durch Umformungen stets auf die Form yay0 gebracht werden, was die Homogenität gleich erkennen lässt. Das Vorzeichen von a spielt hier natürlich keine Rolle.

2.1 Separation der Variablen

Diese Lösungsmethode ist auf einfache homogene DGL anwendbar und sieht vor, den Funktionsausdruck y zu separieren, sprich, ihn von allen anderen Elementen der DGL zu trennen und alleine hinter dem = stehen zu haben. Die Lösung eines solchen Beispiels ist stark von seiner Form abhängig. Fixer Bestandteil ist allerdings die Integration beider Seiten an einem gewissen Punkt der Umformungen, um

dx

y dy loszuwerden. Wegen der Integration müssen Konstanten angeschrieben werden, die aber in einer einzigen zusammengefasst werden. Sind Anfangsbedingungen gegeben, können so die Konstanten bestimmt werden.

Man erhält dann eine eindeutige Lösung der DGL und hat ein sogenanntes Anfangswertproblem gelöst. Ansonsten erhält man eine allgemeine Lösung, in der noch unbekannte Konstanten stehen.

Siehe hierzu Beispiel 5.1.1, S.19.

Diese Methode kann auch bei nichtlinearen DGL unverändert angewandt werden. Um dies zu zeigen dient folgendes Beispiel. Dass es sich dabei nicht um eine lineare DGL handelt sei nur der Korrektheit halber erwähnt und ist jetzt nicht weiter wichtig.

Siehe jetzt Beispiel 5.1.2, S.19.

2.2 Multiplikation mit integrierendem Faktor

Die nun folgende Methode empfehle ich als Alternative zu der im Skript vorgeführten

„Variation der Konstanten“ bei einfachen, linearen DGL erster Ordnung. Meiner Meinung nach ist sie intuitiver und leichter nachzuvollziehen. Nach bereits erfolgter Einarbeitung kann sich ja auch die „Skript-Methode“ angeeignet werden – siehe hierzu S.98ff im Skript.

Die Methode der Multiplikation mit einem integrierenden Faktor ist bei DGL der Form

q py y 

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anwendbar.² Multiplikation mit einem noch zu bestimmenden Faktor u(x) (im Folgenden nur mehr mit u bezeichnet) liefert die Gleichung yu puyqu. Nach näherer Betrachtung erkennt man in der linken Seite der Gleichung Ähnlichkeit mit dem Ergebnis der Produktregel der Differentiation, wenn gilt, dass u pu ist, denn (yu) yuuy  yu puy.³ Lässt sich also ein u auffinden, das diese Anforderungen erfüllt, so kann die linke Seite zu (yu) vereinfacht werden, was die nachfolgende Integration vereinfacht.

Es gilt also u pu, sprich pu dx

du  . Umformen ergibt du pdx

u 

1 und Integration beider Seiten liefert ^ln(^u)^^pdx^.⁴ Auflösen nach u mithilfe der Exponentialfunktion liefert für u schlussendlich

 

ê^ln(û⁾ ^û^ê^^pdx^.

Eingesetzt in die mit u multiplizierte und vereinfachte DGL ergibt sich daher (yu)qu, wobei ich der Übersicht halber im Moment für u noch nicht einsetze. In der Rechnung wäre es an dieser Stelle ja schon ausgewertet. Integration beider Seiten liefert dann ^yu^^C^^qu

und weiter

u qu u

y_ C_ 

, mit ue^pdx,

wobei rechts unbedingt die Integrationskonstante anzuschreiben ist.⁵ y ist hierbei die gesuchte Lösung der DGL. Oft ist der Ansatz schneller im konkreten Fall gemacht, als dass man sich die Endformel hier merkt. Der wichtigste Teil dieser Methode ist ue^pdx.

Das Beispiel 5.1.3, S.20 wird den eben dargestellten Sachverhalt sicherlich verdeutlichen.

Alternativ kann natürlich auch die im Skript eingeführte Methode verwendet werden (so wird das Beispiel auch in der Testlösung gerechnet).

Beispiel 5.1.4, S.21 ist ein Beispiel, das auch im Skript gerechnet wird. Ich möchte es hier mit der eben erklärten Methode noch einmal durchführen – es gibt immer mehrere Lösungswege.

Auch bei Verwendung der Skript-Methode empfiehlt sich vor allem zu Beginn das aktive Durchführen des Ansatzes und nicht nur das bloße Einsetzen in die gegebene Formel.

2 Wobei p und q als Koeffizienten durchaus auch von x abhängig sein können, also p p(x) und

) (x q q .

3 Dies setzt natürlich voraus, dass die Funktion p differenzierbar ist, doch das sei zu diesem Zeitpunkt vorausgesetzt.

4 Die Integrationskonstanten werden nachher zu einer einzigen zusammengefasst.

5 Die Formulierung ist hier mathematisch leicht unkorrekt, da die Konstante erst nach der Integration auftritt;

aber sie darf auf keinen Fall vergessen werden, daher diese Schreibweise.

(9)

3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung

Diese DGL zeichnen sich neben den bereits erwähnten Merkmalen dadurch aus, dass nur bis zu zwei Ableitungen der Funktion y auftreten und es keine Produkte der Ableitungen gibt.

Diese Gleichungen zu lösen erfordert meist zwei Arbeitsschritte – das Aufsuchen der Lösung der homogenen Gleichung und das Finden einer partikulären Lösung der DGL. Beide Schritte werden vorgeführt. Ist eine DGL von Haus aus homogen, so entfällt der zweite Schritt. Eine lineare DGL 2. Ordnung hat im Allgemeinen die Form aybycyd, wobei die Koeffizienten und die Inhomogenität durchaus von x abhängen können.

3.1 Allgemeine Lösung und Vorgangsweisen 3.1.1 Das Superpositionsprinzip

Die allgemeine Lösung einer DGL besteht immer aus der Summe der Lösung y_H der homogenen Gleichung und (irgend)einer Partikulärlösung y_P und stellt sich wie folgt dar:

P

H y

y

y   .

Auch für die linearen DGL 1. Ordnung (generell für lineare DGL) aus dem vorigen Kapitel gilt dieses Prinzip.

Zur Erinnerung, die homogene Gleichung kommt durch Weglassen der Inhomogenität zustande. Beim Aufsuchen der Partikulärlösung muss die Inhomogenität wieder

„mitgenommen“ werden.

Für die Lösung der homogenen Gleichung (der eingangs erwähnte „erste Arbeitsschritt“) wird immer der im Abschnitt „3.1.2 Der Ce^(λt)-Ansatz“ vorgeführte Rechenweg verwendet.

Die in den folgenden Unterpunkten umrissenen Ansätze helfen beim Aufsuchen der wichtigen partikulären Lösung. Ihre tatsächliche Anwendung wird durch die gelieferten Beispiele erklärt – sinnvollerweise ist natürlich zuerst das Kapitel „3.3 Aufsuchen einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL“ durchzuarbeiten.

3.1.2 Der Ce^(λt)-Ansatz

Der Ansatz y Ce^^t ist immer einzusetzen, wenn es um die Suche nach der Lösung des homogenen Problems geht, die ja für die allgemeine Lösung vonnöten ist. Seine Anwendung wird in den folgenden Kapiteln geschildert. Er bietet den Vorteil eigentlich immer eingesetzt werden zu können. Die Herleitung dieses Ansatzes findet man im Skript.

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Die folgenden zwei Ansätze sind jetzt noch nicht so wichtig, ich möchte sie hier nur erwähnen, um sie später (ohne sie einschieben zu müssen) aufgreifen zu können. Sie helfen auf der Suche nach einer partikulären Lösung (dem „zweiten Arbeitsschritt“).

3.1.3 Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus (sind eigentlich auch „e-Ansätze“) sind naheliegend, wenn zum Beispiel das Vorzeichen wechselt oder die Inhomogenität diese Winkelfunktionen beinhaltet.

Erklärende Beispiele werden im Laufe des Textes geliefert.

3.1.4 x^(α)⋅y^(β)

Bei x^y^ handelt es sich weniger um einen Ansatz zur Ermittlung einer Partikulärlösung als um eine Möglichkeit die Rechnung mit den später behandelten nichtlinearen DGL zu erleichtern. Beispiele und Erklärungen folgen später.

3.1.5 Polynome n-ten Grades

Auch kann der Ansatz 



 ⁿ

i i i

P ax

y

0

hilfreich (ein Polynom n-ten Grades) sein, wenn die Inhomogenität selbst ein Polynom vom Grad n ist. Die einzelnen a_i können durch einen Koeffizientenvergleich ermittelt werden.

3.2 Lösung der allgemeinen homogenen DGL

Wie schon erwähnt, verwendet man hier den Ansatz y Ce^^t, um das homogene Problem zu lösen. Die homogene Gleichung ist ganz einfach die gegebene DGL aybycyd ohne der Inhomogenität d, also

0



by cy y

a .

Als ersten Schritt bildet man die Ableitungen des Ansatzes, um sie dann in die homogene DGL einzusetzen, also:

t t t

Ce y



 2







C ist hierbei noch nicht die durch Randbedingungen zu bestimmende Integrationskonstante, sondern zeigt auf, dass jede Ableitung der Funktion y (Lösung der homogenen DGL) proportional zu ihrer Stammfunktion ist.

Die allgemeine Lösung der homogenen DGL hat die Form y_H C₁y₁C₂y₂C₁e^¹^tC₂e^²^t. Wie es dazu kommt wird im Folgenden geschildert.

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3.2.1 Das charakteristische Polynom

Setzt man die soeben angeschriebenen Ableitungen in die gegebene DGL ein, so erhält man

2Ce ^t b Ce ^t c Ce ^t 0

a ^  ^  ^ . Da C0 und e^^t 0 für alle ,tℝ, lässt sich Ce^^t kürzen und man erhält:

2 b c0

a  ,

das sogenannte charakteristische Polynom der homogenen DGL. Die Werte für  lassen sich durch die (große) Lösungsformel berechnen. Der Term unter der Wurzel (Diskriminante)

ac

b² 4 bringt eine wichtige Fallunterscheidung mit sich.

Siehe hierzu jetzt Beispiel 5.2.1, S.22.

3.2.2 Fallunterscheidung

1. Fall: b² 4ac0

Man erhält aus der quadratischen Gleichungen zwei unterschiedliche Werte ₁_,₂. Es ergibt sich als gesuchte homogene Lösung also:

t t

H Ce C e

y  ₁ ^¹  ₂ ^²

mit y₁ e^¹^t und y₂ e^²^t.⁶

2. Fall: b²4ac0

Man erhält aus der quadratischen Gleichung nur einen einzigen Wert . Da die homogene Lösung aus zwei linear unabhängigen Funktionen y₁ und y₂ bestehen muss, schreibt man in

y2 ein zusätzliches t und erhält damit als homogene Lösung:

t t

H Ce C te

y  ₁ ^  ₂ ^

mit y₁ e^^t und y₂ te^^t.

Das vorangestellte t ist die einfachste Möglichkeit y₁ und y₂ linear unabhängig zu machen.⁷

3. Fall: b²4ac0

Hier tritt ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen auf. Dieser Fall ist in diesem Rahmen nicht relevant und im Skript auf S.108 nachzulesen.

Nach der Fallunterscheidung hat man die allgemeine Lösung der homogenen DGL gefunden.

War die zu lösende DGL von Haus aus nur homogen, so ist das die gesuchte Lösung. Sind Anfangsbedingungen gegeben/bekannt, so können nun noch die Konstanten C₁ und C₂ berechnet werden und das Beispiel ist gelöst.

Siehe hierzu die Fortsetzung des Beispiels Beispiel 5.2.1, S.22.

6 Diese Bezeichnungen werden später wichtig.

7 Motiviert wird diese Wahl durch eine „physikalische“ Herangehensweise im Zuge der mechanischen Schwingungen. Näheres hierzu im Demtröder (Experimentalphysik I) auf S.363, rechts. Das ist an dieser Stelle aber nicht weiter relevant.

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Ein weiteres Beispiel: Beispiel 5.2.2, S.23.

Im Fall einer inhomogenen DGL geht es nun weiter.

3.3 Aufsuchen einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL

Im Falle einer inhomogenen DGL ist der erste Schritt jetzt getan und wir suchen nun nach einer partikulären Lösung. Wichtig! Die Konstanten der homogenen Lösung in diesem Fall noch nicht bestimmen!

Es bieten sich mehrere Möglichkeiten. Zum Ersten ein Schema (Variation der Konstanten), das zwar in fast allen Fällen Erfolg verspricht, allerdings mit aufwendiger Rechnung und komplizierten Integralen einhergehen kann und andererseits die Anwendung von Lösungsansätzen. Diese ergeben sich aufgrund der Form der vorliegenden DGL, werden also durch die Inhomogenität motiviert, oder sind manchmal im Beispiel auch angegeben. Die Allergrundlegendsten wurden bereits erwähnt.

3.3.1 Mithilfe eines Ansatzes

Die Ansätze y_P Acos(t)Bsin(t) und y_P e^^t sind die gängigsten und vielversprechendsten für die einfacheren DGL. Der Ansatz y_P e^^t kann natürlich nicht nur für die homogene Lösung verwendet werden, sondern auch für die partikuläre Lösung.

Ihre Anwendung wird durch die Gestalt der vorliegenden DGL und deren Inhomogenität motiviert. Vom Prinzip her werden wieder die erforderlichen Ableitungen der Ansätze gebildet und dann in die inhomogene DGL eingesetzt. Ein Koeffizientenvergleich liefert dann meistens Werte für die noch unbestimmten Koeffizienten bzw. Exponenten der verwendeten Ansätze und man kommt oft sehr schnell zu einer Partikulärlösung.

Wir setzen Beispiel 5.2.2, S.23 fort.⁸

3.3.2 Variation der Konstanten

Die Methode der Variation der Konstanten ist aufwendiger als die Verwendung von geeigneten Ansätzen, aber manchmal leider unumgänglich. Wieder gilt: die genaue Theorie sei dem Skript zu entnehmen – ein Ansatz wird dort aber nicht hergeleitet, sonder fällt quasi vom Himmel (Skript S.109, (5.28))…durch Verwirrung also nicht beirren lassen, das Verständnis kommt später einmal .

Um eine partikuläre Lösung ermitteln zu können, nimmt man an, die Konstanten seien Veränderliche und schreibt die folgenden zwei Gleichungen als Ansatz:

d c

y c y

c y c y

 

 



 

 

2 2 1 1

2 2 1

1 0

8 Dieses Beispiel ist im Inhaltsverzeichnis als Beispiel 5.2.3 „Inhomogene DGL mit Ansatz für die Partikulärlösung“ angeführt.

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Zur Erinnerung: y₁_,₂ sind die „Teilfunktionen“ der homogenen Lösung und d die Inhomogenität der DGL. Die „variierten Konstanten“ sind hier bewusst kleingeschrieben, um sie von denen in der homogenen Lösung zu unterscheiden. c₁, c₂, c₁ und c₂ sind ab hier nun abhängig von t, anders als die Konstanten C₁ und C₂ der homogenen Lösung (die – nochmal! – noch nicht ermittelt wurden!).

Das obige lineare Gleichungssystem ist lösbar (y₁_,₂ und ihre Ableitungen sind bekannt und linear unabhängig – siehe dazu später „3.5 Die Wronksi-Determinante“, S.14)

Lösen des Gleichungssystems liefert Ausdrücke für c₁ und c₂. Man erhält die gesuchten c₁ und c₂ nun mittels Integration⁹:

dt c c



 

2 2

1 1

Ein letzter Ansatz bringt uns nun zu der gesuchten Partikulärlösung (auch hier sei für Hintergrundinformation auf das Skript verwiesen):

2 2 1

1y c y

c

y_P  

Alle ermittelten Werte eingesetzt ergibt dies die Partikulärlösung. Noch einmal: y₁_,₂ kommen aus der homogenen Lösung. c₁ und c₂ (die schon berechnet wurden) und C₁ und C₂ haben nichts miteinander zu tun.

Siehe zu diesem Verfahren: Beispiel 5.2.4, S.25.

3.4 Anschreiben der allgemeinen Lösung und Aufsuchen der Konstanten

Sind nun die beiden Arbeitsschritte „homogene Lösung“ und „Partikulärlösung“ getan, so wird die allgemeine Lösung der DGL entsprechend dem Superpositionsprinzip y y_H  y_P angeschrieben:

P y

t

t C e y

e C y

H



    

2 1



.

Achtung! Beachte: Die allgemeine Lösung hat die Gestalt yC₁e^^t C₂te^^t  y_P, falls die Fallunterscheidung nur einen Wert für  ergeben hat.

Sind Anfangsbedingungen gegeben, so können die Konstanten C₁ und C₂ noch berechnet werden. Hierzu ist oftmals auch noch eine Ableitung der allgemeinen Lösung notwendig, was aber nicht weiter schlimm ist. Nun wird auch klar, warum man die Konstanten nicht schon

9 Auch hier werden die Integrationskonstanten in den bereits vorhandenen zusammengefasst, sprich, hier nicht angeschrieben.

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vorher bestimmen durfte: Die Partikulärlösung wäre dazumal noch nicht berücksichtigt gewesen und ein falsches Ergebnis die Folge.¹⁰

Wir schreiben nun die endgültige Lösung von Beispiel 5.2.2, S.24 (eigentlich Beispiel 5.2.3) an.

3.5 Die Wronksi-Determinante

Die beiden Lösungen y₁_,₂ der homogenen DGL und ihre Ableitungen müssen linear unabhängig sein, damit man die beschriebenen Berechnungen durchführen kann. Man bezeichnet ein solches linear unabhängiges System y₁,y₂ als Fundamentalsystem der DGL.

Die lineare Unabhängigkeit von y₁ und y₂ lässt sich mithilfe der sogenannten Wronksi- Determinante überprüfen. Sie ist die Determinante der sogenannten Fundamentalmatrix



 







 

2 1

y y

y

Y y und wenn gilt det(Y)0 für irgendein beliebiges t aus dem Definitionsbereich, so sind y₁ und y₂ linear unabhängig.

Das Fundamentalsystem bildet die Basis des Funktionenraumes, der die Lösungen der DGL enthält.

Siehe dazu Beispiel 5.2.5, S.27.

10 Dieses Problem stellt sich bei einer homogenen DGL nicht, da in diesem Fall keine Partikulärlösung benötigt wird.

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4 Nichtlineare, exakte Differentialgleichungen

Nichtlineare DGL werfen schon viel größere Probleme auf als lineare DGL und die elementaren Lösungsverfahren sind nicht mehr ganz so einfach. Daher konzentriere ich mich in diesem Teil nur auf einen besonderen Typ von nichtlinearen, nämlich die exakten DGL.

Diese sind in der Praktischen Mathematik I von Relevanz.

Nichtlineare DGL erkennt man unter anderem daran, dass gemischte Produkte von y und ihren Ableitungen auftreten.

Im Skript wird noch ein weiterer Typ nichtlinearer DGL behandelt – die separablen DGL (siehe Skript S.166ff). Sie fanden jedoch in (Test)beispielen eigentlich keinen Platz und daher soll die im Skript angeführte Theorie genügen. Außerdem ist eine separable DGL auch eine exakte DGL.

Separable DGL haben die allgemeine Form p(x)q(y)y0.

4.1 Theorie

Eine typische exakte DGL stellt sich in dieser Form dar:

0 )

, ( ) ,

(x y q x y y p

Hierbei hängen die Koeffizientenfunktionen p(x,y) und q(x,y) von x und y ab, was die Probleme mit sich bringt (das sind die eingangs erwähnten „gemischten Produkte“). Steht auf der einen Seite der Gleichung die 0, so sind q(x,y) all diejenigen Terme, die mit y

multipliziert werden und p(x,y) die übrigen.¹¹

Eine DGL ist nun exakt, wenn es eine Funktion (x,y) gibt, deren partielle Ableitungen folgende Bedingungen erfüllen¹²:

) , (x y x p

x 





 

 q(x,y)

y y 





 

 ¹³

) , (x y

 ist die Stammfunktion (entspricht dem Potential) des zweidimensionalen Vektorfeldes (Gradientenfeldes) F(x,y)(p,q)(p(x,y),q(x,y)). (x,y) ist außerdem ein Skalarfeld.¹⁴

Wie lässt sich nun das Skalarfeld (x,y) ermitteln?

Man betrachte zur Herleitung die zu Beginn erwähnte separable (und damit auch exakte) DGL p(x)q(y)y0.

11 Einfaches Beispiel zur Veranschaulichung: y(1xy)xy0

p q





 ^.

12 Die genauere Theorie im Skript S.121 – dies ist eine praxisbezogene Abhandlung.

13 Also (x,y)(p(x,y),q(x,y)).

14 Vgl. Kapitel 3 im Skript.

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Sei P(x) die Stammfunktion von p(x) und Q(y) die von q(y), dann kann (x,y) geschrieben werden als

) ( ) ( ) ,

(x y P x Q y

 .

Dies lässt sich durch Bilden der partiellen Ableitungen verifizieren: Bildet man (x,y), so entfällt nach partieller Ableitung nach x der y-abhängige Term Q(y) und man erhält p(x) als erste Komponente von (x,y). Analog erhält man den Term q(y) nach partieller Ableitung nach y als zweite Komponente von (x,y). Vgl. dazu noch einmal mit dem Beginn dieses Abschnitts. Dort steht bei den beiden Koeffizientenfunktionen eine Abhängigkeit von x und y. Das kommt daher, dass bei den partiellen Ableitungen die jeweils andere Variable konstant gehalten wird.

4.2 Lösungsschema

Die nun gelieferten Informationen machen eine Bearbeitung des Problems möglich. Wird die Funktion (x,y) ermittelt, so hat man die DGL gelöst – man spricht dabei vom ersten Integral der DGL. Für das Potential gilt (x,y)cconst. ¹⁵

Zur Erinnerung: Die DGL hat die Form p(x,y)q(x,y)y0. Dies entspricht natürlich

0 ) , ( ) ,

(  

dx y dy x q y x

p , also umgeformt auch ( , ) ( , ) 0

) ( )

(























y q

q x

p

dy y x q dx y x

p _.

4.2.1 Aufsuchen des Potentials

Im Endeffekt gestaltet sich das methodische Aufsuchen des Potentials nicht anders als schon im Kapitel 3 im Skriptum.

) ( ) ( ) ,

(x y P x Q y

 soll zusammengesetzt werden.

!

) ( ) ( )

( )

(

) ( ) ( )

( )

( 





















x C y Q dy y q y

Q

y C x P dx x p x

P

Die beiden Integrale mit ihren Integrationskonstanten müssen ident sein. Daher werden die Konstanten C(y) und C(x) so gewählt, dass beide Integrale dieselben Terme beinhalten.

) , (x y

 lässt sich nun endlich anschreiben¹⁶!

Das vorgeführte Beispiel 5.3.1, S.28 macht dieses Lösungsverfahren mit Sicherheit verständlich.

15 Wenn die totale Ableitung 0 ist, muss das Potential (Stammfunktion) konstant sein.

16 Nicht beide Integrationsergebnisse anschreiben, wie (x,y)P(x)Q(y) fälschlicherweise vermuten lässt. Durch die gewählten Integrationskonstanten sind sie ja ident.

(17)

4.2.2 Aufstellen der Lösung

Die weiter oben angeschriebene Bedingung (x,y)cconst. ist auch gleichzeitig die Lösung der DGL, wenn nun für (x,y) das soeben ermittelte Ergebnis eingesetzt wird. Die Lösungsfunktionen der DGL entsprechen Niveaulinien (Äquipotentiallinien) mit c als Niveauwert. c hat hier die Rolle einer Integrationskonstante und man spricht bei (x,y) vom ersten Integral der exakten DGL. Die Lösung einer exakten DGL ist äquivalent zur Bestimmung der Äquipotentiallinien des Gradientenfeldes F(x,y)(p(x,y),q(x,y)).

Wichtig! Die Niveaulinien berühren oder schneiden sich niemals, das heißt, durch jeden Punkt verläuft nur eine einzige Lösungsfunktion.

Siehe hierzu den zweiten Teil von Beispiel 5.3.1, S.29.

4.2.3 Aufsuchen einer bestimmten Lösung (Trajektorien)

Wird die Gleichung (x,y)c nun nach entweder x oder y aufgelöst¹⁷, so erhält man einen gewohnten Ausdruck für eine Funktion x(y,c) oder y(x,c). Eine einzelne, ganz spezielle (sogenannte) Lösungstrajekorie erhält man, wenn man c so wählt, dass die erhaltene Kurve durch eine bestimmten Punkt läuft. Dies ist eine häufige Fragestellung in Beispielen.

Soll also die Trajektorie angegeben werden, die durch den Punkt x0,y0 verläuft, so werden diese Werte einfach in die Gleichung (x,y)c eingesetzt und das zugehörige c ausgedrückt. Im Falle einer quadratischen Gleichung (als Lösungsformel), muss das soeben ermittelte c noch einmal in die Lösungsfunktion eingesetzt werden, um das Vorzeichen vor der Wurzel  b²4ac zu bestimmen. Ansonsten stimmt das Ergebnis nicht, denn nur eines der beiden Vorzeichen kann die Gleichung erfüllen, es sei denn b²4ac 0.

Dieser Schritt wird in der Fortsetzung von Beispiel 5.3.1 (2. Teil), S.29 vorgeführt.

4.3 Die Integrabilitätsbedingung und damit verbundene Problemlösungen

Nur wenn die sogenannte Integrabilitätsbedingung q p x

y 

 



 ^!

erfüllt ist, existiert eine Stammfunktion (Potential) des gegebenen Vektorfeldes (Gradientenfeldes) der Form

)) , ( ), , ( ( ) ,

(x y p x y q x y

F  wie es in einer DGL p(x,y)q(x,y)y0 vorkommt. Ist die Bedingung erfüllt, so handelt es sich um eine exakte DGL.

17 Meist verwendet man einfache algebraische Umformungen, wenn eine Variable ohne Potenz vorkommt, oder die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen, falls eine der beiden Variablen zur 1. und 2. Potenz vorkommt.