78 (4),S.200–2111990BibTEX: ¨OsterreichischeZeitschriftf¨urVermessungswesenundPhotogrammetrie TechnischeUniversit¨atDresden,SektionGeod¨asieundKartographie,Mommsenstraße13,Dresden SiegfriedMeier InformationsorientierteFilterungebenerKurven

Paper-ID: VGI 199013

Informationsorientierte Filterung ebener Kurven

Siegfried Meier

¹

1

Technische Universit ¨at Dresden, Sektion Geod ¨asie und Kartographie, Mommsenstraße 13, Dresden

Osterreichische Zeitschrift f ¨ur Vermessungswesen und Photogrammetrie ¨ 78 (4), S.

200–211 1990

BibTEX:

@ARTICLE{Meier_VGI_199013,

Title = {Informationsorientierte Filterung ebener Kurven}, Author = {Meier, Siegfried},

Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen und Photogrammetrie},

Pages = {200--211}, Number = {4},

Year = {1990}, Volume = {78}

}

200 ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1 990/Heft 4 lnformationsorientierte Filterung ebener Kurven

von S. Meier, Dresden

Zusammenfassung

Die Wirkung eines linearen Filters wird gewöhnlich mit H ilfe der Filtercharakteristik im Fre­

quenzbereich beschrieben. Filtert man die Komponenten ebener stochastischer Kurven in Para­

meterdarstellung mit der Bogenlänge als Parameter, ist diese Charakteristik n icht mehr unmittel­

bar anschaulich. Auf der Grundlage eines Satzes über den wechselseitigen Informationsinhalt zufälliger Gaußscher Vektoren werden die informatiorisübertragenden Eigenschaften linearer Filter zur Formvereinfachung ebener Kurven (kartographischer Linien) untersucht und an Modell­

beispielen demonstriert. In diesem Konzept beschreibt der Begriff „informationsorientierte Ge­

neralisierung" die inhaltliche Seite (Formverwandtschaft), der Begriff „filterorientierte Generali·

sierung" die technologische (rechentechnische) Seite ein und des selben Verfahrens.

Summary

The effect of a linear filter is usually being described by means of the frequency response within the spectral domain. The above characteristic function is no longer obviously when the components of planar random curves in parameter representation with the curve length as the crucial parameter are smoothed. Therefore, the information transferring qual ities of l inear filters for the purpose of generalization of stochastically curved lines are based on a theorem of the rela­

tive information content of random Gaussian vectors and are i l lustrated by relevant examples. In this conception the notation "information-oriented generalization" is related to similarity in sha­

pe and the synonym "filter-oriented generalization" characterizes the technological aspect of one and the same procedure.

In einer Übersichtsarbeit zur automationsgestützten Generalisierung hat W.

Weber (1 982) die möglichen Verfahren in drei Klassen eingeteilt: informationsorientier­

te, filterorientierte und heuristische. Diese Einteilung könnte zu dem Schluß verführen, informationsorientierte u nd filterorientierte Generalisierung schließen einander aus. I n­

dessen wird durch jede Generalisierungsmaßnahme Information verändert; entschei­

dend ist das Informationsmaß, das als Zielfunktion einem rechnergestützten Generali­

sierungsverfahren zugrunde gelegt wird.

Die von Weber so genannte informationsorientierte Generalisierung - angewandt auf die Generalisierung unregelmäßig geformter Oberflächen und Lin ien - beruht auf der Shannonschen Entropie. Dieses auf Probleme der Datenverarbeitung (Speicherung, Kodierung, Übertragung) zugeschnittene, zunächst rein statistische Informationsmaß muß a priori nicht notwendig mit der kartographisch-inhaltlichen Seite der Information korrespondieren, selbst wenn die kartographischen I nhalte („Zeichen") statistisch strukturiert sind. Ideal für die Kartographie wären Informationsmaße, die sowohl der statistischen als auch der inhaltlichen Seite Rechnung tragen. Der inhaltliche Gesichts­

punkt erfordert relative Informationsmaße - relativ in dem Sinne, daß eine Struktur in der Karte (im Folgemaßstab) I nformation über die gleiche Struktur in der Natur (im Grundmaßstab) enthält.

Nachfolgend wird ein relatives Informationsmaß für ebene stochastische Kurven (Linien, -netze, -scharen im Grund- und Folgemaßstab) angegeben. Voraussetzung ist die Parameterdarstellung ebener Kurven und ihre Deutung als Realisierungen von Vek­

torprozessen. Es werden die informationsübertragenden Eigenschaften zweier linearer phasentreuer Digitalfilter, angewandt auf Modell-Prozesse (Linienstrukturen mit unter­

schiedlichen spektralen Eigenschaften) untersucht. Ferner wird gezeigt, wie ein vorge­

gebener Filter durch Wahl der (äquidistanten) Tastweite (des Stützpunktabstandes der

ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1990/Heft 4 201 diskreten Daten) informationsmaximierend bzw. -optimierend ausgelegt werden kann.

In diesem Konzept beschreibt der Begriff „fi lterorientiert" den technologischen, der Be­

gri ff „informationsorientiert" den inhaltlichen, speziell den formgestaltenden Aspekt ein und des selben Verfahrens.

1. Parameterdarstellung ebener Kurven

Eine ebene stochastische Ku rve der Länge T werde dargestel lt d urch

[

^{X1 (t)}

]

X(t) ⁼ x2(t) , t ^E [0, T] (1)

mit der Bogenlänge t als Parameter, und zerlegt in Trend (G robstrukturen) xT und stochastischem Rest (vorrangig m ittlere und feine Struktu ren) x8:

[Xn] [

^{X1 s}

]

X ⁼ Xr + Xs, Xr = X ' _2,T ' Xs ⁼ X ' _2,S . ^{( 1} a) Die Darstel l ung (1) ist ei ndeutig: zu jedem t gehört genau ein Wertepaar [x1 (t), x2 (t)]. Sie ist außerdem den Dig ital isierverfahren angepaßt: Li nienverfolgung i m Vektordatenformat oder Kontu rverfolgung im Rasterdatenformat. Die Zerlegung ( 1 a) soll i nsbesondere so erfo lgen, daß d i e stochastischen Komponenten x1 8, x2 s (we­

n igstens approximativ) stationär und gaußsch ausfallen, ggf. auf i h re M ittelwerte zentriert sind, und daß nur x1 8, x2 8 m ittels l i nearer Fi lterung formvereinfacht wer­

den. Eine Änderung der l nfo'rmation erfolgt dann n u r am stochastischen Anteil x8 = x als Realisierung eines Vektorprozesses X mit den skalaren Kom ponenten X1, X2• Seine Momente 2. Ordnung sind

(2) C;i ⁼ C;1(-i:), -i: : ⁼ t" - t'; i, j ⁼ 1, 2 bezeichnen d i e Autokovarianzfun ktionen (AKF;

i = j) und Kreuzkovarianzfunktionen (KKF; i 1' j), Sii (^w) d ie Spektraldichten (i = j) und Kreuzspektraldichten (i 1' j) der Komponenten X1, X2.

2. Lineare Filterung ebener Kurven

W i rd der Prozeß X mit stationären Gaußschen Komponenten X1, X2 l inear trans­

form iert, entsteht ein Prozeß Y, dessen Komponenten Y1, Y2 ebenfa lls stationär und gaußsch sind m it Momenten 2.0. Cvv bzw. Svv von g leicher Struktur wie (2). Au ßer­

dem sind (X1 , Y1), (X2, Y2) paarweise stationär m itei nander verbunden mit entspre­

chenden KKF Cxy, Cyx bzw. Kreuzspektraldichten Sxy, Syx (sog. gem ischte M omente 2.0.).

I n der Digitalkartographi e benutzt man zur L i n i englättung i m Vektordatenfor­

mat vorzugsweise phasentreue Fi lter i n Form g leitender M ittel

(3)

202 ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1990/Heft 4

mit G ewichtskoeffizienten (g^k+ 1], die getrennt auf beide Kom ponenten angewandt werden (ei ndimensionale Filterungen).

Tabelle 1 enthält zwei Beispiele: einen reinen Glättungsfilter mit monoton ab­

neh mender Fi ltercharakteristi k G (Tiefpaß) u nd einen G l ättu ngsfi lter mit Ampl itu­

denverstärkung im niederfrequenten Bereich (Tiefpaß mit Restauration), der i m hochfrequenten Bereich glättet u nd domi n iere nde Strukt u ren (geringfügig) betont (Abb. 1). Beide Fi lter werden zur Mode l lrechnung ben utzt.

9/8

i---::;;;;;_,..o;;;;;:::----,---,

1 G (c:>)

0 0 1/3 1/2 1

Abbildung 1 : Filtercharakteristiken der in Tabelle 1 angegebenen phasentreuen Digital

f

i lter: G1 (Tiefpaß), G2 (Tiefpaß mit Restauration). /'J. ⁼ nlw9 ist die Tastweite lt. Abtasttheorem, wobei un­

begrenzte Spektraldichten bei w ⁼ w9 „abgeschnitten" werden.

Filtertyp

Tief paß Tiefpaß mit Restau ration zweite Momente

Spektral­

dichten Kreuzspektral­

d ichten Varianzen Kreuz­

kovarianzen

gk+I G(w)

-2 ' -4 ' 2 - cos2

(

^A2w

)

3 1

-^-8 , 4 , 4 ' 4 , ^{- - -} 8 3cos2

(

^A2w

)

^{- 2cos4}

(

^A2w

)

u ngefi lterter gefilterter

Prozeß Prozeß

Syy(w) = G2(w) Sxx(w)

Sxy(w) = Syx(w) = G{w) Sxx(w)

2 1 +oo 2 1 + oo ₂

Ox = -2^-

J

Sxx(w) dw, Oy ⁼ -2-

J

G (w) Sxx(w) dw

1t -oo 1t -oo

1 + oo

Oxy ⁼ Oyx ⁼ -2-

J

G(w) Sxx(w) dw

1t -00

Tabelle 1 : Zwei phasentreue l ineare Filter (gleitende Mittel) mit Filtervorschrift (3), äquidistantem Stützpunktabstand (Tastweite) /'J. ⁼ tk + 1 - tk, Gewichtskoeffizienten gk + I' reel ler Filtercharak­

teristik G(w) � 0. Änderung der Spektraldichten und der Varianzen/Kovarianzen durch l ineare Fil- terung.

ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1990/Heft 4 203

Die Beziehu ngen zwischen den Spektrald ichten der u ngefi lterten und der gefil­

terten Prozeßrealisierungen sind in Tabel l e 1 angegeben. Sie gelten für beide Kom­

ponenten i = j = 1, 2. Die zugehörigen AKF/KKF gewi nnt man nach dem Theorem von Wiener/Chintschin m ittels i nverser Fourier-Transformation; spezie l l sind d ie Varianzen/Kreuzkovarianzen

o}:

⁼ Cxx(O), ^a

/

^{: = Cyy(O), axy = ayx : = Cxy(O) = Cyx(O)}

I ntegrale über die zugehörigen Spektrald ichten siehe Tabel l e 1.

3. Relative Information

(4)

Wen n d i e Komponenten von X, Y paarweise stationär m iteinander verbunden sind, dann bedeutet dies, daß i n Y I nformation ü ber X (und u mgekehrt) enthalten ist.

Zur Berechnung d i eser wechselseitigen bzw. relativen I nformation d ient der folgen­

de, von Ge/fand und Jaglom (1957) stammende

Sa tz: Die in einem von zwei gau ßschen Zufallsvektoren X, Y bezüg l ich des ande­

ren enthaltene Information J (X, Y) wird durch die Formel

J (X Y) _' ⁼

J_

_{2 og} ^{I det} _det ^{A . det} _C ^{B (5)}

angegeben. A, B und C bezeichnen dabei die M atrizen der zweiten Momente von X, Y u nd Z ⁼ (X, Y), d i e als n icht ausgeartet vorausgesetzt werden.

I m einfachsten Fall zweier eindi mensionaler Zufal lsgrößen X, Y geht d i e Formel (5) i n

J(X, Y) = -

°"2

1 log [1 - r2(X, Y)] (5a)

ü ber, wobei r(X, Y) der Korrelationskoeffizient zwischen X und Y ist. Beide G rößen, r und J , messen die gegenseitige Abhängigkeit von X und Y. I nsbesondere ist J = 0, wen n r = 0, und J ... 00 für r -+ ± 1, d . h., wenn Y eine l i neare Funktion von X i st.

Nun wenden wir den zitierten Satz auf ebene stochastische Kurven an. Die Vek­

toren X(t'), Y(t ") bi lden bei festen t', t" jeweils Ensembles von Punktpaaren im Ab­

stand 1 = t" - t' auf dem Bogen. Die M atrizen i n Formel (5) sind

A = Cxx'

B ⁼ Cyy, ⁽⁶⁾

Damit kann J[X(t'), Y(t")) für beliebige 1 = t" - t', 1 E [O, T] berechnet werden. Von kartographischem Interesse ist i nsbesondere der Fal l t" = t', 1 = 0, d. h. jene I nfor­

mation, d ie in e i nem gefi lterten P u n kt über den u ngefi lterten, gemittelt ü ber alle P u n kte der Kurve(n), enthalten i st.

Wir beschrän ken uns ferner auf den Sonderfall, daß

204 ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1 990/Heft 4 Dann s i n d die M atrizen (6) mit den Bezeichnungen (4)

A =

[ ^0(/

^cr O ^X2 2

J

^crx0

^/

^crx0

^/

^{(JX1Y1 0 (JX2Y2 0}

B =

[

^cr

^(/

^cr O ^Y2 2

J

^{C = (JX1Y1 0 (JX2Y2 0 cr0 y}

^/

^{CJY22 0}

und eingesetzt i n Formel (5) erhält man d ie gegenseitige I nformation

als Funktion der Kreuzkorrelationen rx1Y1' rx2Y2 mit

2

[Z

G(w) Sxx(w) Sw

r

r 2 - CTxy

=

---

xy - crx 2 cry 2

[

J [ ]

J:

sxx(w) dw

J:

G2(w)Sxx(w) dw

(6a)

(7)

(7a)

für beide Komponenten i, j = 1, 2. Für phasentreue Fi lter mit G ;;;;; 0 wird ^crxy > 0 u nd es gilt .rxy = +

�

- Sind insbesondere d i e Spektraldichten von X1 , X2 identisch u nd werden d i e Real i sierungen beider Komponenten mit der g leichen Vorschrift ge­

fi ltert, wird

J (X, Y) = - -1 2 log [(1 -r

�

y)2] = log 1-rxy 2 • (7b)

Analog zum eind imensionalen Fal l (5a) wird d i e Verwandtschaft der gefi lterten mH der u ngefi lterten Ku rve und damit auch d ie in Y über X enthaltene I nformation über die Kreuzkorrelation r xy (beider Komponenten) gemessen. Daher ist die statisti­

sche I n formation (7) mit dem Sonderfall (7b) zugleich i n haltlich deutbar: sie erweist sich als eine rela tive Forminform a tion. I m kon kreten Fall hängt sie sowoh l von den spektralen E i genschaften der ungefi lterten Kurve(n) (S) als auch von der Charakteri­

stik des l i n earen Fi lters (G) ab; vg l . die l ntegraldarstel l u ng (7a). Insbesondere kann sie ü ber Fi lterwahl und -an passung gesteuert werden. Das wird nachfolgend an e i n i­

gen Beispielen gezeigt.

4. Ergebnisse von Modellrechnungen

Die Komponenten X1(t), X2(t) bzw. die zu fi lternden Realisierungen x1(t), x2(t) sol­

len d urch Modell-Prozesse mit AKF und Spektraldichten i n Tabe l l e 2 repräsentiert sein.

Gefi ltert werde mit dem Tiefpaß i n Tabel l e 1. Kartograph isch bedeutsam ist be­

sonders das S pektraldichtemodell mit domi n ierendem Bandbereich (Abb. 2); z. B.

ü berwiegen bei Wasserläufen, Verkehrswegen im Berg land, Höhe n l i n ie n usf. - nach entsprechender Trendbeseitigung - Wellungen auf e inem m ittlere n Wel len-

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206 ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1990/Heft 4

Modell C(T) ^S(w)

Breitband- ² sin w9T rauschen a WgT Weißes S0 a(T)

Rauschen S0 (- oo < w < + oo)

Rotes

Rauschen a²e^-a2^T2 e -w2/4u2

(Gauß-Modell) Rauschen mit dominierendem

Bandbereich a2e-"2'2 cos ßT (Gauß-Kosinus-

Modell)

Tabelle 2: Autokovarianzfunktion C(•) und Spektraldichte S(w) von Modellprozessen. Konstante Parameter: Varianz

a2,

obere Grenzfrequenz w9 > 0, Spektraldichte 80 > 0, Abklingparameter

a > 0, Frequenzparameter ß > 0.

9/8

r----==----.;:-�---,

1 f (c.v)

1 /2 i----

^-

---+-

^-

� I

^-

- -

^-

-1 0 0

1

1 1 1

1

U)g

Abbildung 2: Anpassung der Filtercharakteristik G (Tiefpaß mit Restauration, Tabelle 1) an die Spektraldichte S (dominierender Bandbereich, Tabelle 2) der zu filternden Kurve(n).

zah l bereich. Real isierungen mit d i eser Eigenschaft werden zusätzlich ei ner Glät­

tung mit Restauration d ieser typischen Formen (Tab. 1, Abb. 1) u nterworfen. Paßt man d i e Lage des Maxim u ms der F i ltercharakteristi k G der Lage des Maximums der Spektrald ichte S an, so i st sichergestel lt, daß genau d i e domin iere n den Formen (ge­

ringfügig) betont werden (Abb. 2). Die Tastweite � der Digitalisierung auf dem Bogen ist dabei mit

(8) eindeutig vorgegeben. Diese Filterung kann man als formtreu bezeichnen, und sie er­

weist sich im Falle eindimensionaler Kurven bei einem Parameterverhältnis a/ß = 1/3 sogar als !ängentreu (Meier, 1 989).

ÖZfVuPh _78. Jahrgang/1990/Heft 4 ·

Tief paß

Tief paß Tiefpaß m it Restauration

Abkürzu ngen

Breitbandrauschen 2(1 + S1)2

Gauß-Kosi nus-Modell (2 + E1)2

6 + 4E1 + E2

(6 + 2 E1

- E�2

Weißes Rauschen

1 ß ^{= 0}

f273

^{f ü r ß > o}

Gauß-Modell (2 + e1)2

Sn: = s i n (n ßwg)

; en: = 2 e-(naöV; n = 1, 2 n ßw9

En: = 2 e-(naöl2 cos (n ß ß); n = 1 , 2, 3, 4.

207

Tabel le 3: Quadrate der Kreuzkorrelation rx

/

zwischen der ungefilterten und der gefilterten Pro­

zeßrealisierung in ein und dem selben Punkt, berechnet für Filter in Tabelle 1 , die auf Modell-Pro­

zesse von Tabelle 2 wirken.

1

fxy

� 9

1--�����""""'""=--��-+-����-+�����

1

0,7 0 1 2 3 4

Abbildung 3: Kreuzkorrelation rxy zwischen der ungefilterten (x ⁼ x(t)) und der l inear gefilterten Kurve (y ⁼ y(t)) in ein und dem selben Punkt, als Funktion der Tastweite (Stützpunktabstand) A = tk+ 1 - tk.

Tlefpaß (Tabelle 1), angewandt auf die Prozeß-Modelle (Tabelle 2):

a) weißes Rauschen (Maßeinheit von A beliebig),

b) Breitbandrauschen (mit oberer Grenzwellenzahl w9; A in Einheiten von nlw9),

c) geformtes Rauschen (Gauß-Modell der AKF mit Abklingparameter a > O; A in Einheiten von 1/a),

d) Rauschen mit dominierendem Bandbereich (Gauß-Kosinus-Modell der AKF mit Abklingpara- meter a > O; Frequenzparameter ß > O; Sonderfall ß ⁼ a; A in Einheiten von 1/a ⁼ 1/ß), d1) Modell d), jedoch a = 0,1 1 3 mm-1, ß = 0,314 mm-1 , A in mm.

Tiefpaß mit Restauration (Tabelle 1), angewandt auf:

e) Modell d) mit Parametern wie in d), e1) Modell d) mit Parametern wie in d1).

208 ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1990/Heft 4

100 1 1 - r X�

30 20 10

5 3 2 1 0

. 0,5 1

Abbildung 4: Die zu den rxy in Abbildung 3a bis e gehörenden transformierten Größen 1/(1 - rx

/

^l.

[Einheiten von f... wie in Abbildung 3.]

Die Integrale in (?a) sind mit den angegebenen Modellfunktionen geschlossen lös­

bar. Die Ergebnisse, Quadrate der Kreuzkorrelation rx

/

, sind in Tabelle 3 aufgeführt und die rxy sind als Funktion der Tastweite /',. in Abb. 3 dargestel lt. Abb. 4 zeigt die transformierten Größen 1/(1 - rxy2) des Sonderfalles (?b) i m logarithmischen Maßstab.

Die Kurven in Abb. 3 und Abb. 4 sind natürl ich einander ähnlich. Ans..chaulicher als J ist wohl die normierte Größe rxy· Digitalfilter m it ß > 0 liefern rxy E (0, 1), daher auch endli­

che J E (O, oo).

I n der Regel sind Filter zu bevorzugen bzw. die Tastweiten vorgegebener Filter so zu wählen, daß rxy möglichst groß wird, d: h„ welche die Formverwandtschaft/-informa­

tion maximieren. Fi lter mit dieser Zielstellung kann man als informationsorientiert be­

zeichnen. Natürlich steht dem entgegen, daß der gewünschte Glättungseffekt keine be­

liebig kleinen � zuläßt, und im Anwendungsfall muß man zwischen beiden Forderungen abwägen.

Obwohl die Theorie entartete Varianz - Kovarianz - Matrizen ausschließt, erhält man für den verallgemeinerten Prozeß des weißen Rauschens bei formal richtiger Rech­

nung ein durchaus plausibles Resultat: im Beispiel Abb. 3a ist rxy ⁼

{273

für beliebige /',. > 0, wohl wegen Cxx(i-)=0 für alle ^i-> 0 bzw. Sxx = S0 für alle ^wE(^{- 00 ,}

+ ⁰⁰)^. Die Beispiele Abb. 3b, c, d für geformtes Rauschen ergeben rxy �

{273

^{, abneh­}

mend mit wachsendem ß; für genügend große /',. streben die rxy gegen den konstanten Wert

{273

des gefilterten weißen Rauschens. Das Beispiel Tiefpaß mit Restaura­

tion, der auf Realisierungen mit dominierendem Bandbereich wirkt, ergibt deutlich grö­

ßere rxy (Abb. 3e, e1) als der reine Tiefpaß (Abb. 3d, d1), wohl wegen ähnlicher Form von Spektraldichte S und Filtercharakteristik G (vgl. Abb. 2). Im Fal le der „formtreuen Filte-

ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1990/Heft 4 209

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Vermessungstechnik aus Schweden.

210 ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1990/Heft 4 rung", /l. = /l.F gemäß (8), liegt rxy(ll.F) schon sehr nahe Eins: in den Beispielen Abb. 3e, e1 bei "" 0,89; =0,99. Filter mit solcher Eigenschaft verdienen den Vorzug gegenüber reinen Glättungsfi ltern.

Abschließend sei noch bemerkt, daß sich die rxy(ll.) ähnlich wie Cxx(t) verhalten, mit Ausnahme der Grenzwerte

lim rxy(ll.) > 0, lim Cxx('t) = O;

Ö, -4 00 t -4 00

z. B. Abb. 3b gedämpft schwingend mit gleichabständigen Durchgängen d urch rxy = v' 213 analog der Spaltfun ktion als zugehöriger AKF mit g leichabständigen Nullstellen. Auch die Kurven 3d, 3e schwingen (in der Abb. 3 nicht mehr sichtbar) gering­

fügig unter die Grenzwerte v' 213 , v' 1 8123 .

5. Schlußfolgerungen

Zur rechnergestützten Generalisierung ebener stochastischer Kurven und ebener Figuren mit stochastischem Rand verfügen wir heute schon über eine breite Palette ver­

schiedenartiger, mehr oder weniger vollkommener Verfahren, d ie i n Zukunft sicher noch bereichert wird . Fischer (1 982) betonte u. a. den Grundsatz, „auch die bisher benutzten Verfahren weiter oder auch noch einmal neu auszuloten und einer höherwertigen Ver­

wendung zuzuführen". Manche der sog. Ad-hoc-Lösungen bedürfen noch der mathema­

tischen Fundierung und praxisorientierten kartographischen Anpassung. Obwohl d ie

„klassische" lineare Filterung (gleitende M ittelung von Vektordaten) gut fundiert, leicht durchschau- und implementierbar ist, wurde sie i n d iesem Beitrag aus der Sicht der I n­

formationsübertragung noch einmal behandelt. Speziell wurde ein wenig bekannter, aber bedeutungsvoller Satz aus der I nformationstheorie zufäl liger Funktionen/Vektoren auf ebene Kurven (Skelette kartographischer Linien) in Parameterdarstellung ange­

wandt. In diesem Konzept ist die Trennung der Generalisierungsverfahren in sog. infor­

mationsorientierte und filterorientierte aufgehoben.

Nur unter Voraussetzung der Normalvertei lung können praktisch verwertbare End­

formeln angegeben werden. Stationarität vorauszusetzen ist zwar n icht notwendig, ge­

währt aber die bekannten Vorteile der Rechnung im Spektralbereich. Sowohl im Ansatz als auch im Anwendungsfall erfordern diese Voraussetzungen, einen geeigneten Trend abzuspalten. Da Gaußsche Vektoren und Fun ktionen d urch ihre Momente 1 . und 2. Ord­

nung vol lständig beschrieben werden, ferner das 1 . Moment led iglich das mittlere N i­

veau festlegt, kommen in den I nformationsgrößen auch nur Momente 2. 0. vor; im Son­

derfall höchstens schwach korrelierter Komponenten der Parameterdarstellung sind es die Kreuzkorrelationskoeffizienten zwischen den gefilterten und ungefilterten Kompo­

nenten. Damit wird die wechselseitige (statistische) I nformation über d ie Formver­

wandtschaft der gefilterten und ungefilterten Kurve(n) gemessen und erweist sich des­

halb als relative Forminformation, in welcher die Eigenschaften der zu fi lternden Kur­

ve(n) u nd des Filterverfahrens miteinander verknüpft sind.

Anzustrebende Linienglättung einerseits (z. B. durch Vorgabe der Filtercharakteri­

stik; großer Stützpunktabstand) und I nformationsmaximierung (kleiner Stützpunktab­

stand) andererseits schließen einander aus. Ähnlich wie bei (rechnergestützten) Karten­

netzentwürfen wird man auch hier vermittelnde Lösungen anstreben m üssen. Als gün­

stig erweisen sich z. B. Tiefpässe mit Restauration: sie glätten unwesentl iche und betonen typische Strukturen, wobei ein verhältnismäßig hoher Grad an Formverwandt­

schaftl-information erzielt wird.

ÖZfVuPh 78. Jahrgang/1990/Heft 4 21 1

Literatur

Fischer, E.-U.: Digitale Signalverarbeitung in der rechnergestützten Kartographie. Dt. Geod.

Kommiss., R. C., H. 278, Frankfurt a. M. 1 982.

Ge/fand, /. M.; Jaglom, A. M.: Über die Berechnung der Menge an Information über eine zufällige Funktion, die in einer anderen zufäll igen Funktion enthalten ist. Uspechi mat. nauk XI (73), 1 957. Dt. Übers. in:

Grell, H . (Hrsg.): Arbeiten zur Informationstheorie I I . VEB Dt. Verl. d. Wiss., Berlin 1 958, S. 7-56.

Meier, S.: Formtreue Filterung. Vermessungstechnik, Berl in 37 (1 989) 3, S. 97-99.

Weber, W.: Automationsgestützte General isierung. Nachr. Karten- u. Vermessungswesen, R. I., H. 88, Frankfurt a. M. 1982, S. 77-109.

Manuskript e i ngelangt im J u l i 1 990.

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Von den Autoren Dipl.-Ing. Johann Hässler und DipUng. Herbert Wachsmuth mit Beratung durch Prof. Dr.-lng. E. Barisch.

Vollkommen überarbeitet und wesentlich erweitert. Das Buch ist noch übersichtlicher, noch informativer, noch umfangreicher gewor­

den.

Die Formelsammlung für den Vermessungsberuf nimmt seit vie­

len Jahren einen festen Platz in der geodätischen Fachliteratur ein.

Sie gibt dem Anwender im vermessungstechnischen Beruf und des­

sen Randbereichen in übersichtlicher und kompakter Form mathe­

matische Grundlagen und praxisbezogene Formeln in die Hand.

Sie ist eine unentbehrliche Hilfe für den Praktiker, für die ^lehrenden und lernenden auf allen Ausbildungsebenen.

Bei der schnellen Fortentwicklung von Techniken und Methoden auch unter Berücksichtigung der Anforderungen der EDV bei der Bearbeitung geodätischer Aufgaben soll die Formelsammlung sowohl dem Ersterwerber eine wertvolle Hilfe zur Fort- und Weiterbildung sowie zum Verständnis von Techniken und Methoden sein als auch denjenigen dienen, die frühere Auflagen erfolgreich genutzt haben und sich jetzt auf den neuesten Stand bringen wollen.

144 x 1 00 mm, 528 Seiten,

ÖS 308,90

396 Zeichnungen, kartoniert (zzgl. Versandkosten) Zu beziehen bei

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