Simpsonverfahren: ui+1=ui+h 6 X(ui

Gew¨ohnliche Differentialgleichung: NWI -Sophiane Yahiatene-

Aufgabe 7.1 SeiX :R→R,y7→y ein Vektorfeld und ui+1=ui+h

6 X(ui) + 4X(ui+ui+1

2 ) +X(ui+1) der Iterationsschritt im Simpsonschen Verfahren.

Behauptung: Zeige, dass f¨ur dieses Vektorfeld die Simpson-Iteration und das Trapezverfahren identisch sind.

Beweis. Seih6= 2.

1. Simpsonverfahren:

ui+1=ui+h

6 X(ui) + 4X(u_i+u_i+1

2 ) +X(ui+1)

=u_i+h

6(3u_i+ 3u_i+1)

= 1 + h 2

ui+h 2ui+1

⇔u_i+1= 1 + ^h₂

1−^h₂u_i= 1 + ^h₂ 1−^h₂

ⁱ⁺¹ u₀

Die letzte Gleichheit pr¨uft man leicht mit vollst¨andiger Induktion nach.

2. Trapezverfahren:

u_i+1=h X(u_i) +X(u_i+1) 2

+u_i

⇔ui+1= 1 +^h₂

1−^h₂ui= 1 +^h₂ 1−^h₂

i+1

u0

Die letzte Gleichheit pr¨uft man leicht mit vollst¨andiger Induktion nach.

Aufgabe 7.2 SeiX :R→R,y7→y ein Vektorfeld undu0= 1 ein Startwert.

Der Iterationsschritt im klassischen Runge-Kutta-Verfahren lautet:

u_i+1=u_i+h

6 u_i(6 + 3h+h²+h³ 4 )

= 1 +h+h² 2 +h³

6 +h⁴ 24

ui

= 1 +h+h² 2 +h³

6 +h⁴ 24

i+1

u₀

= 1 +h+h² 2 +h³

6 +h⁴ 24

ⁱ⁺¹

1

Konvergenzordnung:

Im folgenden werden zwei Absch¨atzungen ben¨otigt.

(1) xⁱ−yⁱ≤ixⁱ⁻¹(x−y) f¨ur 0≤y≤x

Beweis. Mittelwertsatz f¨ur die Funktionf(t) =tⁱ.

|f(x)−f(y)|=|xⁱ−yⁱ| ≤ max

ξ∈[0,1]|i(x+ξ(y−x))ⁱ⁻¹| · |x−y|=i·xⁱ⁻¹(x−y)

(2) F¨ur exp(x) =PN k=0

x^k

k! +R_N+1(x), wobei R_N+1(x) das Restglied f¨ur einN ∈Nist, gilt:

RN+1(x)

≤2 |x|^N+1

(N+ 1)! f¨ur allexmit|x| ≤1 +1 2N Beweis. F¨ur|x| ≤1 +¹₂N gilt:

|RN+1(x)|=

∞

X

k=N+1

x^k k!

≤

∞

X

k=N+1

|x|^k k!

= |x|^N+1 (N+ 1)!

1 + |x|

N+ 2 + |x|²

(N+ 2)(N+ 3)+ |x|³

(N+ 2)(N+ 3)(N+ 4)+...

≤ |x|^N+1 (N+ 1)!

1 + |x|

N+ 2 + |x|

(N+ 2) 2

+ |x|

(N+ 2) 3

+...

≤ |x|^N+1 (N+ 1)!

∞

X

k=0

1 2

^k

= 2 |x|^N+1 (N+ 1)!

Nun gilt f¨urα= 1 +h+^h₂² +^h₆³ +^h₂₄⁴ undT <∞der Prognosehorizont:

|exp(ih)−u_i|=|exp(ih)−αⁱ|=|(exp(h))ⁱ−αⁱ|

≤i(exp(h))ⁱ⁻¹(exp(h)−α) (1)

=i(exp(h))ⁱ⁻¹(

5

X

k=0

h^k

k! +R₆(h)−α)

=i(exp(h))ⁱ⁻¹(h⁵

5! +R6(h))

≤i(exp(h))ⁱ⁻¹(h⁵

5! + 2 h⁶

(6 + 1)!) (2)

≤i(exp(h))ⁱ⁻¹(h⁵ 5! + 2h⁵

5!)

= 3·i(exp(h))ⁱ⁻¹h⁵ 5!

= 3

5!ih(exp(h))ⁱ⁻¹h⁴

≤ 3

5!Texp(T)h⁴

=C·h⁴ wobeiC= _5!³Texp(T),ih≤T undh <1.

Also hat das klassische Runge-Kutta-Verfahren mit dem Vektorfeld X Konvergenzordnung 4.

2

Aufgabe 7.3 SeiX :Rⁿ→Rⁿ ein Vektorfeld, das der Lipschitzbedingung kX(u)−X(v)k ≤Lku−vk ∀u, v ∈Rⁿ gen¨ugt.

Behauptung: FallshL <1 ist, so hat die Funktionf :v7→u+hX(v) einen Fixpunkt f¨ur festesuundh.

Beweis. (Rⁿ, d) mitd(x, y) :=kx−yk, x, y∈Rⁿ ist ein vollst¨andiger metrischer Raum.

Die Abbildung f ist eine Kontraktion, denn es gilt:

kf(x)−f(y)k=khX(x)−hX(y)k=hkX(x)−X(y)k ≤hLkx−yk. Nach dem Banachschen Fixpunktssatz besitzt f genau einen Fixpunktξmit lim

n→∞fⁿ(u) =ξ.

Aufgabe 7.4 Betrachte das Anfangswertproblemy⁰(t) =−50t²(y(t)−cos(t)), y(0) = 0.

Im folgenden ist die Integralkurve mit Hilfe des Euler-, Heun- und dem klassischen Runge-Kutta Ver- fahren approximiert.

Abbildung 1: Eulerverfahren mit Schrittweite h

3

Abbildung 2: Heunverfahren mit Schrittweite h

Abbildung 3: Klassische Runge-Kutta Verfahren mit Schrittweite h

4