Hamming-Distanz Wir arbeiten weiter mit der folgenden Farb-Palette

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Hamming-Distanzen Anregung: M. R., B.

1 Worum es geht

Wenn sich zwei k-stellig Zahlen an genau h Stellen unterscheiden, sagen wir, sie haben die Hamming-Distanz h.

In einem Zahlensystem mit der Basis n werden nun die Hamming-Distanzen k-stelliger Zahlen tabelliert und farblich codiert.

2 Einführungsbeispiel

Wir nehmen die vierstelligen Zahlen im Zahlensystem mit der Basis 2 (Dualzahlen). Es ist also n=2 und k=4.

Zunächst eine Liste dieser Zahlen.

Dezimalsystem Basis 4

0 0

1 1

2 10

3 11

4 100

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

10 1010

11 1011

12 1100

13 1101

14 1110

15 1111

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Wir erhalten dazu die Distanztabelle (Hamming-Distanz) :

Hamming-Distanz Wir arbeiten weiter mit der folgenden Farb-Palette.

Farb-Palette

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Die Tabelle mit den Hamming-Distanzen färben wir entsprechend ein. Null wird schwarz eingefärbt.

Farbliche Codierung

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Schließlich dasselbe ohne Zahlen.

Basis 2, vierstellig

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3 Beispiele

Die Beispiele sind nach der Stellenzahl geordnet 3.1 Einstellige Zahlen

Einstellige Zahlen haben zu sich selber die Hamming-Distanz 0 und zu allen anderen Zahlen die Hamming-Distanz 1.

Als Beispiel die einstelligen Zahlen zur Basis 4 und die einstelligen Dezimalzahlen.

Einstellig, Basis 4

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Einstellig, Dezimalzahlen

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3.2 Zweistellige Zahlen

Wir haben die Abstände 0, 1 und 2, also drei Farben.

3.2.1 Basis 1

Zweistellig, Basis 1 Was geht hier ab?

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3.2.2 Basis 2

Zweistellige Dualzahlen

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3.2.3 Basis 3

Zweistellig, Basis 3

(10)

3.2.4 Basis 4

(11)

3.2.5 Basis 5

(12)

3.2.6 Basis 6

Wir erkennen eine einheitliche Muster-Struktur. Bei der Basis n haben wir längs der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) n Teilquadrate mit dem Muster der einstelligen Zahlen.

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3.3 Dreistellige Zahlen Wir haben nun vier Farben.

3.3.1 Basis 1

Dreistellig, Basis 1

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3.3.2 Basis 2

(15)

3.3.3 Basis 3

(16)

3.3.4 Basis 4

(17)

3.4 Vierstellige Zahlen 3.4.1 Basis 1

Vierstellig, Basis 1

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3.4.2 Basis 2

(19)

3.4.3 Basis 3

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4 Zusammenhang bei gleicher Basis

Bei gleicher Basis gibt es einen Zusammenhang der Muster über die Stellenzahlen hin- weg. Wir illustrieren das an der Basis n=4 und unterteilen jeweils in n² =16 Teil- quadrate.

Für die Stellenzahl k=3 ergibt sich:

Dreistellig, Basis 4, mit Unterteilung

In den n² =16 Teilquadraten haben wir überall dieselbe Struktur, bei den Teilquadra- ten in der Hauptdiagonalen sind lediglich die Farben eine Stufe niedriger. Die Teilquad- rate entsprechen der Gesamtsituation für k =2 (zweistellig, Basis 4).

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Diese unterteilen wir nun ebenfalls.

Zweistellig, Basis 4, mit Unterteilung

Die Teilquadrate entsprechen der Gesamtsituation für k=1 (einstellig, Basis 4).

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Erneut können wir unterteilen.

Einstellig, Basis 4, mit Unterteilung