Theoretische Physik D - Ubungsblatt 1 Philipp Jung May 1, 2006

Theoretische Physik D - Ubungsblatt 1

Philipp Jung May 1, 2006

Aufgabe 1

a)

Ausgangssituation ist die Uberlagerung dreier Wellen:

f(x; t) = sin (!t kx)+sin ((! + !)t (k + k)x)+sin ((! !)t (k k)x) f(x; t) = sin (!t kx)+sin ((!t kx) + (!t kx))+sin ((!t kx) (!t kx)) Unter Zuhilfenahme der Additionstheoreme fur Sinus:

f(x; t) = sin (!t kx) + 2 sin (!t kx) cos (!t kx) f(x; t) = sin (!t kx) (1 + 2 cos (!t kx) f(x; t) = sin (!t kx) (1 + 2 cos ( k(x !

kt)) Somit ergibt sich fur die Gruppengeschwindigkeit:

vg= ! k

b)

Die Gruppengeschwindigkeit kann der Phasengeschwindigkeit entgegengesetzt sein wenn gilt:

!

k = !

k

Dies setzt voraus, dass sign(!) 6= sign(k), was aber (zumindest mathema- tisch) keinen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt.

Aufgabe 2

a)

Zur berechnung der Laufzeit arbeiten wir 2-Dimensional, da alle Punkte in der X-Z-Ebene liegen! Wir denieren die Abstande der Punkte d1 = AX und d₂= XB wie folgt:

d₁=p

a₃₂+ (x₁ a₁)²

1

d2=q

b32+ (b1 x1)²

Fur die laufzeit ergibt sich mit der Formel s = v t wobei s = d1+ d2 und v = ^c_n⁰ fur das jeweilige Medium. Insgesamt fur die Laufzeit L also:

L(d1; d2) = n1

c₀d1+n2

c₀d2

Eingesetzt ergibt sich fur L:

L(ai; xj; bk) =n1

c0

pa32+ (x1 a1)²+n2

c0

q

b32+ (b1 x1)² Zur Ermittlung der minimalen Laufzeit dierenzieren wir partiell nach x₁:

@L

@x₁ =n1

c₀

x1 a1

pa₃₂+ (x₁ a₁)² n2

c₀

b1 x1

q

b32+ (b1 x1)²

Nun setzen wir den Term gleich 0 und resubstituieren d1 und d2 im Nenner:

0 = n₁ c0

x₁ a₁ d1

n₂ c0

b₁ x₁ d2

Wir verwenden nun, dass sin() = ^x1_d1^a1 und sin() = ^b1_d2^x1: n₂sin() = n₁sin() ) n2

n₁ = sin() sin()

b)

Fur n2= 1:3:

Fur n₂= 1:3:

Aufgabe 3

a)

Einsetzen in die Transformation und losen des Integrals mittels partieller Inte- gration:

p1 2

Z dxd

dxe ^ikx=p1 2

e ^ikx1 1

p1 2

Z

dx ( ik)e ^ikx

= 0 + ikp1 2

Z

dx e ^ikx= ik ~

2

b)

Einsetzen der Rucktransformationen fur ₁ und ₂ in die Transformation des Produktes:

F ( 1 2) =

Z Z Z pdx 2

dk1

p2 dk2

p2~ 1(k1) ~ 2(k2)e^ik1xe^ik2xe ^ikx

Zusammenfassen der Exponentialfunktionen und Ausfuhren der dx Integration.

Die -Funktion entsteht dabei aus: 2(k1+ k2 k) =R

dxe^{ix(k1+k2 k)}

=

Z Z pdk1

2dk₂~ ₁(k₁) ~ ₂(k₂)(k₁+ k₂ k) Ausfuhren der dk2 Integration

= Z pdk₁

2~ 1(k1) ~ 2(k k1)

c)

1.

Substituiere y = x a und setze in Transformation ein:

p1 2

Z

dy (y) e ^ik(y+a) = e ^ikap1 2

Z

dy (y) e ^iky= e ^ika ~ 2.

Ohne Worte...

p1 2

Z

dx e ^{ix(k b)}= ~ (k b) 3.

Substituiere y = ^x und dx = dy und setze in Transformation ein:

p1 2

Z

dy ¹² (y) e ^iky = ¹²~ (k)

3