¨Ubungsblatt zur Numerischen Behandlung von Differentialgleichungen II Aufgabe 19: Behandeln Sie die Wellengleichung mit Neumann Randbedingungen ux(0, t

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 01.06.2010 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

7. ¨Ubungsblatt zur Numerischen Behandlung von Differentialgleichungen II

Aufgabe 19:

Behandeln Sie die Wellengleichung mit Neumann Randbedingungen u_x(0, t) = u_x(π, t) = 0 mittels Fourier- Reihen.

Hinweis: Setzen Sieu auf [−π,0] gerade fort.

Aufgabe 20:

Untersuchen Sie die Stabilit¨at f¨ur das Zentrierte-Differenzen-Schema:

uⁿ⁺¹_j −uⁿ_j

τ =cuⁿ_j+1−uⁿ_j−1 2h und f¨ur die Friedrichs-Methode

uⁿ⁺¹_j −¹₂[uⁿ_j+1+uⁿ_j−1]

τ =cuⁿ_j+1−uⁿ_j−1

2h .

Aufgabe 21: (Ordnungsreduktion)

Beweisen Sie f¨ur den lokalen Fehler der impliziten Mittelpunktregel y₁ =y₀+hf(x₀+1

2h,y₀+y₁ 2 ) angewendet auf das AWPy⁰ =f(x, y), y(x₀) =y₀ mit

f(x, y) =λ(y−ϕ(x)) +ϕ⁰(x) y0 =ϕ(x0)

die Darstellung

y₁−ϕ(x₀+h) = hλ

2−hλO(h²) +O(h³).

Interpretieren Sie das Ergebnis f¨urh→0 undhλ→ ∞.

Besprechung in den ¨Ubungen am 07.06.2010

Die ¨Ubungen finden jeweils montags von 16–18 Uhr im Raum C9G09 statt.