Mittlere-Reife-Pr¨ ufung 2018 Mathematik I Aufgabe A2
Aufgabe A2.
Das gleichschenklige DreieckA B Cmit der Basis [B C] und der H¨ohe [A M] ist die Grund- fl¨ache der PyramideA B C Smit der SpitzeS. Der PunktD∈[A M] ist der Fußpunkt der Pyramidenh¨ohe [D S], die senkrecht auf der Grundfl¨ache steht.
Es gilt:A M= 8 cm;B C= 10 cm;A D= 4,5 cm;D S= 8,5 cm.
Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schr¨agbild der PyramideA B C S.
In der Zeichnung gilt:q=1
2;ω= 45◦; [A M] liegt auf der Schr¨agbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Aufgabe A2.1(1 Punkt)
Berechnen Sie das Maß des WinkelsM A C.
[ Ergebnis :]M A C= 32,01◦]
Aufgabe A2.2(1 Punkt)
PunktePnliegen auf der Strecke [D S]. Die WinkelD A Pnhaben das Maßϕmitϕ∈]0◦; 62,10◦[.
Zeichnen Sie den PunktP1und die Strecke [A P1] f¨urϕ= 40◦in das Schr¨agbild zu A 2.0 ein.
Aufgabe A2.3(1 Punkt)
Durch die PunktePnverlaufen zur Grundfl¨acheA B Cparallele Ebenen, die die Kanten der PyramideA B C Sin PunktenEn∈[A S],Fn∈[B S] undGn∈[C S] und die Strecke [M S]
in PunktenNn schneiden. Die DreieckeEnFnGnsind die Grundfl¨achen von Pyramiden EnFnGnDmit der Spitze D.
Zeichnen Sie die PyramideE1F1G1Dund den PunktN1in das Schr¨agbild zu A 2.0 ein.
Aufgabe A2.4(3 Punkte)
Berechnen Sie die L¨angen der Strecken [D Pn] und [EnNn] in Abh¨angigkeit vonϕ.
Ergebnisse :D Pn(ϕ) = 4,5·tanϕcm;EnNn(ϕ) = (8−4,24·tanϕ) cm
Aufgabe A2.5(3 Punkte)
Berechnen Sie das Volumen der PyramideE1F1G1D.
L¨ osung
Aufgabe A2.
Das gleichschenklige DreieckA B Cmit der Basis [B C] und der H¨ohe [A M] ist die Grund- fl¨ache der PyramideA B C Smit der SpitzeS. Der PunktD∈[A M] ist der Fußpunkt der Pyramidenh¨ohe [D S], die senkrecht auf der Grundfl¨ache steht.
Es gilt:A M= 8 cm;B C= 10 cm;A D= 4,5 cm;D S= 8,5 cm.
Die untenstehende Zeichnung zeigt ein Schr¨agbild der PyramideA B C S.
In der Zeichnung gilt:q=1
2;ω= 45◦; [A M] liegt auf der Schr¨agbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Aufgabe A2.1(1 Punkte)
Berechnen Sie das Maß des WinkelsM A C.
[ Ergebnis :]M A C= 32,01◦]
L¨osung zu Aufgabe A2.1 Winkel bestimmen
Gegeben:B C= 10 cm⇒M C= 5 cm,A M= 8 cm Gesucht:]M A C
Erl¨auterung:Tangens eines Winkels
Der Tangens eines Winkels α ist ein Seitenverh¨altnis.
tanα=Gegenkathete zuα Ankathete zu α Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.
tan]M A C=5 8
Erl¨auterung:Winkel berechnen Um den Winkel ϕ aus tanϕ=5
8 zu bestimmen, wird im Taschenrechner (TR) folgendes eingegeben:
TR: 5
8→SHIFT→tan
⇒]M A C= 32,01◦
Aufgabe A2.2(1 Punkte)
Punkte Pn liegen auf der Strecke [D S]. Die Winkel D A Pn haben das Maß ϕmit ϕ∈]0◦; 62,10◦[.
Zeichnen Sie den PunktP1und die Strecke [A P1] f¨urϕ= 40◦in das Schr¨agbild zu A 2.0 ein.
L¨osung zu Aufgabe A2.2 Skizze
Erl¨auterung:Einzeichnen
- Antragen des Winkelsϕ= 40◦am PunktA.
- PunktP1ergibt sich als Schnittpunkt des Winkelschenkels und der Strecke [S D].
- Einzeichnen der Strecke [A P1].
Aufgabe A2.3(1 Punkte)
Durch die PunktePnverlaufen zur Grundfl¨acheA B Cparallele Ebenen, die die Kanten der PyramideA B C Sin PunktenEn∈[A S],Fn∈[B S] undGn∈[C S] und die Stre- cke [M S] in PunktenNnschneiden. Die DreieckeEnFnGnsind die Grundfl¨achen von PyramidenEnFnGnDmit der Spitze D.
Zeichnen Sie die PyramideE1F1G1Dund den PunktN1in das Schr¨agbild zu A 2.0 ein.
L¨osung zu Aufgabe A2.3 Skizze
Erl¨auterung:Erl¨auterung
- Einzeichnen der Strecke [E1N1], die durch den PunktP1und parallel zur Strecke [A M] verl¨auft. Der PunktN1liegt auf der Strecke [S M].
- Einzeichnen der Strecke [F1G1], die durch den Punkt N1 und parallel zur Strecke [B C] verl¨auft.
- Verbinden der PunkteE1,F1undG1zum DreieckE1F1G1. - Verbinden der Eckpunkte des DreiecksE1F1G1mit der SpitzeD.
Aufgabe A2.4(3 Punkte)
Berechnen Sie die L¨angen der Strecken [D Pn] und [EnNn] in Abh¨angigkeit vonϕ.
Ergebnisse :D Pn(ϕ) = 4,5·tanϕcm;EnNn(ϕ) = (8−4,24·tanϕ) cm
L¨osung zu Aufgabe A2.4 L¨ange einer Strecke
Gegeben:A D= 4,5 cm und]D A Pn=ϕ Gesucht:D Pn(ϕ)
Man betrachte das DreieckA D Pn.
Erl¨auterung:Tangens eines Winkels
Der Tangens eines Winkels α ist ein Seitenverh¨altnis.
tanα=Gegenkathete zuα Ankathete zu α Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.
tanϕ=D Pn
4,5 | ·4,5 D Pn= 4,5·tanϕcm
Gegeben:A M= 8 cm,D S= 8,5 cm undS Pn=D S−D Pn= 8,5−4,5·tanϕcm Gesucht:EnNn(ϕ)
Erl¨auterung:Vierstreckensatz
Werden zwei Strahlen von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gilt zwischen den Strecken z.B. folgende Beziehung:
A C A0C0 = B Z
B0Z
EnNn
A M =PnS D S EnNn
8 =8,5−4,5·tanϕ
8,5 | ·8
EnNn= 8·8,5−4,5·tanϕ 8,5 EnNn= 8−4,24·tanϕcm
Aufgabe A2.5(3 Punkte)
Berechnen Sie das Volumen der PyramideE1F1G1D.
L¨osung zu Aufgabe A2.5
Volumen einer Pyramide
Erl¨auterung:Volumen einer Pyramide
Eine Pyramide mit Grundfl¨ache Gund H¨ohe h hat ein Volumen von:
V =1 3·G·h
V=1 3·G·h V=1
3·1
2·F1G1·E1N1·D P1
Es muss also noch die fehlende Streckenl¨angeF1G1berechnet werden.
Hierzu betrachten wir das DreieckE1N1G1:
Erl¨auterung:Erl¨auterung
Das DreieckE1N1G1ist rechtwinklig.
Der Winkel]N E Gentspricht dem Winkel]M A Caus Teilaufgabe 1.
Erl¨auterung:Tangens eines Winkels
Der Tangens eines Winkels α ist ein Seitenverh¨altnis.
tanα=Gegenkathete zuα Ankathete zu α Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.
tan 32,01◦= N1G1
8−4,42·tan 40◦ | ·(8−4,42·tan 40◦) N1G1= tan 32,01◦·(8−4,42·tan 40◦)
⇒F1G1= 2·N1G1= 2·tan 32,01◦·(8−4,42·tan 40◦)
Nun kann das Volumen der PyramideE1F1G1Dberechnet werden:
V=1 3·1
2·F1G1·E1N1·D P1
V=1
6·(2·tan 32,01◦·(8−4,42·tan 40◦))·(8−4,42·tan 40◦)·(4,5·tan 40◦) V≈15,53 cm3
