Vertiefungsaufgaben zu den Ableitungsregeln Ableitungsregeln Summen- und Faktorregel

Vertiefungsaufgaben zu den Ableitungsregeln Ableitungsregeln

Summen- und Faktorregel

F¨ur Funktionen, welche Summen von zwei anderen Funktionen sind bzw.

durch Multiplikation mit einem Faktor entstehen gilt:

(f(x)±g(x))^′ = f^′(x)±g^′(x) (c·f(x))^′ = c·f^′(x).

Beweis: Faktorenregel

(c·f(c))^′ = limh→0 c·f(x+h)−c·f(x) h

= limh→0 c(f(x+h)−f(x)) h

= c·limh→0 f(x+h)−f(x)

h =c·f^′(x)

Beweis: Summenregel

(f(x) +g(x))^′ = limh→0 (f(x+h)+g(x+h))−(f(x)+g(x)) h

= limh→0 f(x+h)+g(x+h)−f(x)−g(x) h

Potenzregel

F¨ur Potenzfunktionen der Form

f(x) =xⁿ (n∈N) ist f^′(x) = nxⁿ⁻¹.

Beweis der Potenzregel (xⁿ)^′ = limh→0 (x+h)ⁿ−xⁿ

g

= limh→0

xⁿ+nxⁿ⁻¹h+ⁿ⁽ⁿ₂⁺¹⁾xⁿ⁻²h²+...hⁿ−xⁿ h

= limh→0

h(nxⁿ⁻¹+ⁿ⁽ⁿ₂⁺¹⁾xⁿ⁻²h+...hⁿ⁻¹ h

= limh→0nxⁿ⁻¹+ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ xⁿ⁻²h+...+hⁿ⁻¹ =n·xⁿ⁻¹

Beispiele

f(x) = 7x⁶ f^′(x) = g(t) = tⁿ⁻³ g^′(t) = h(y) = 2y^x+1 h^′(y) =

i(x) = (x+ 1)² i^′(x) =

Produkteregel

Sind die Funktionenf undgdifferenzierbar, so ist auch die Funktionh=f·g differenzierbar und es gilt:

h^′(x) = (f(x)·g(x))^′ =f^′(x)·g(x) +f(x)·g^′(x) Beweis: Produkteregel

(u(x)·v(x))^′ = limh→0 u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x) h

= limh→0 u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x)+u(x+h)v(x)−u(x+h)v(x) h

= limh→0 u(x+h)[v(x+h)−v(x)]+v(x)[u(x+h)−u(x)]

h

= limh→0(u(x+h)^v(x+h)_h^−v(x)) + limh→0(v(x)^u(x+h)_h^−u(x))

= limh→0u(x+h) limh→0v(x+h)−v(x)

h +v(x) limh→0 u(x+h)−u(x) h

= u(x)v^′(x) +v(x)u^′(x)

Quotientenregel

Sind die Funktionen f und g differenzierbar und ist g(x)6= 0, dann ist auch die Funktion h= ^f_g differenzierbar und es gilt:

h^′(x) = (f(x)

g(x))^′ = f^′(x)·g(x)−f(x)·g^′(x) (g(x))²

Beweis Quotientenregel

Beispiele

k(x) = (2x−3)(x²+ 4) k^′(x) =

f(x) = sin(x)·cos(x) f^′(x) =

h(y) = _x³2⁻+1^x h^′(y) =

i(x) = _x−3^x−3−1 i^′(x) =

Die Kettenregel

Die Kettenregel f¨ur eine zusammengesetzte Funktion h(x) = (f ◦g)(x) = f(g(x)) ist gegeben durch:

h^′(x) = f^′(g(x)) · g^′(x)

Beweis Kettenregel

Um zu verhindern, dass wir durch Null teilen m¨ussen, definieren wir folgende Funktion

k(y) :=

_f(y)−f(y0)

y−y₀ f¨ur y6=y₀ f^′(y0) f¨ur y=y₀

Dabei sei y₀ =g(x0). Diese neue Funktion hat die Eigenschaft, dass gilt:

limy→y0k(y) = limy→y0

f(y)−f(y0)

y−y₀ =f^′(y0) =k(y0).

F¨ur alle y aus dem Definitionsbereich gilt auch:

k(y)(y−y₀) = f(y)−f(y0).

(F¨ur y6=y₀ folgt dies aus der Definition von k, f¨ur y =y₀ sind beide Seiten dieser Gleichung = 0.)

Nun formen wir den Differenzenquotienten um:

f^′(x) = ^f(g(x))−_x−^f(g(x_x0 ⁰⁾⁾ = ^f(y)−_x−x^f(y₀ ⁰⁾ =k(y)^(y_x⁻₋^y_x⁰₀⁾ =k(y)^g(x)−_x−^g(x_x0 ⁰⁾ ∀x6=x₀.

Beispiele

Berechne die Ableitung der folgenden Funktionen:

a) h(x) = cos (3x−1)

b) h(x) = (1−2x)⁵

c) h(x) =e^√x

d) h(x) =p

(1−3x+ 13x²)