- verwenden keine ¬ -Gatter

22.12.2004 Monotone Schaltkreise

- verwenden keine ¬ ^-Gatter

=> berechnen nur monotone Funktionen

( x

≤y

, … , x

≤y

=> f(x

, … , x

) ≤ f(y

, … , y

) )

Graphen auf V = {1, … , n} als Eingabe mit ( ^{n 2} ) ^{Variablen x}

^für

1≤i<j≤n

Damit sind zahlreiche interessante Graphproblemen monoton:

- Erreichbarkeit - Zusammenhang - Clique

- …

Betrachte die Funktion ∆ mit:

∆ (x) =

1, es gibt i, j, k mit x

=x

=x

{ 0, sonst

Also ∆ (x) =1 , wenn den eingegebenen Graph ein Dreieck enthält.

Theorem 2

Jeder monotone Schaltkreis, der ∆ berechnet, hat die Größe Ω(n

/log

n) Beweis mit Approximationsmethode

• Testinputs T

mit x єT

=> ∆ (x) =1 Testinputs T

mit x єT

=> ∆ (x) =0

• Approximatoren: „einfache“ Schaltkreise

• Ziel 1: Jeder Approximator A ^hat A( x ) ≠ ∆ (x) ^{für viele}

Testinputs x

• Ziel 2: Kleien Schaltkreise haben gute Approximatoren, d.h.

size(c) ^klein => es gibt Approximator ĉ ^mit:

c(x) ≤ ĉ(x) für die meisten x єT

c(x) ≥ ĉ(x) für die meisten x єT

Testinputs:

T

:= wähle3 Punkte i,j,k ^{, setze} x

= x

= x

= 1 ^{,sonst 0}

=> |T

| = ( ^{n 3} )

T

:= ^färbe V in 2 Farben, verbinde verschiedenfarbige Punkte

=> |T

| = 2

Approximatoren:

Ein k -Approximator ist eine Disjunktion ∨

x

vor r≤k Variablen.

Lemma 2: (Ziel (1))

Für k -Approximator A ^mit A 0 ist die Zahl der x єT

mit A( x )=1 mindestens 2

Beweis:

Ist A 0 , so ist A = x

V … V x

. Betrachte x

=1 wenn i

und j

verschiedene Farben haben. Das ist für 2

^der x єT

der Fall.

Konstruktion der Approximatoren:

Eine Variable ist ein k -Approximator.

Für je 2 k -Approximatoren A und A’ definieren wir A ^Π A’ und A

A’ , die Disjunktion/Konjunktion von A, A’ approximieren.

Dazu ein paar graphentheoretische Lemmas:

Definition:

- Ein Stern ist ein Graph, der Form E = {(i,j

), (i,j

),… (i,j

)}

und i heißt Zentrum des Sterns

- Ein Matching ist ein Graph mit e ∩ e’ = ^O für e,e’є E

- zwei Graphen (V,E

) und (V,E

) sind disjunkt, falls E

∩ E

= ^O

Lemma 3:

Sei S ein Stern mit k Knoten. Dann ist die Anzahl der x єT

, die disjunkt zu S sind, 2

Beweis:

Damit x von S disjunkt ist müssen also k+1 Knoten, die S berührt, die gleiche Farbe haben. Es gibt 2

Möglichkeiten, die restlichen zu färben.

Lemma 4:

Sei M ein Matching mit k Knoten. Dann ist die Anzahl der x єT

, die disjunkt zu M ^sind, 2

Beweis:

Jedes Paar, das im M verbunden ist, muss gleichfarbig sein. Es bleiben n-2k isolierten Punkte. Also gibt es 2

Möglichkeiten zu färben.

Lemma 5:

Jeder Graph mit m Kanten enthält entweder einen Stern oder ein Matching mit (m/2)

^Kanten.

Beweis:

Sei s die Maximale Größe eines Sterns in G=(V,E) mit |E| = m . Wähle ein Matching m wie folgt:

M:= ^O ; R:= E;

while R ≠ ^O

wähle Kante {i,j} aus R;

M := M U { { i,j } } ^;

entferne aus R alle Kanten e mit e ∩ {i,j} ≠ O ;

Da in jedem Durchlauf höchstens 2s-1 Kanten aus R entfernt werden (sonst wäre ein Stern größer als s ) gibt es mindestens m / _(2s-1)

Schleifendurchläufe, also |M|≥ ^m / _(2s-1) . Behauptung folgt, da

max ( s, ( ^m / _(2s-1) ) ) ^(*) _≥ ( ^m*s / _(2s-1) )

> (m/2)

(*) gilt wegen max(a,b)=(a*b)

also

max ( s, ( ^m / _(2s-1) ) ) ≥ ( ^m*s / _(2s-1) )

≥ (m/2)

Lemma 6:

Sei G=(V,E) mit |E|=m beliebig. Dann ist die Zahl der x єT

disjunkt zu G höchsten 2

Beweis:

Folgt sofort aus Lemmas 3,4,5

Nun ist A

=V

x

und A

=V

x

, dann definiere:

A

v A

= V

x

v V

x

, falls k

+k

≤k A

Π A

:= { ¹ , sonst Klar ist A

Π A

≥ A

v A

Lemma 7:

Die Anzahl der x єT

mit A

v A

= 0 ^und A

Π A

= 1 ist höchstens 2

Beweis:

A

v A

= 0 gilt wenn der Graph (V,E) ^mit

E = {{i

,j

} , q≤k

} U {{i

,j

} , r≤k

}

disjunkt zu x ^{ist. Da |E|= k}

^+k

^{≥ k} , ist dies nach Lemma 6 für höchstens 2

x єT

der Fall.

Es ist A

^ ^A

⁼ ∨

x

^ x

geschrieben als

∨

x

∨

x

^ x

mit k

≤k ^, k

≤k

^. Definiere :

A

A

:= ∨

x

Lemma 8:

Die Anzahl der x єT

mit A

(x) ^ ^A

^{(x)= 0} ist höchstens k

Beweis:

Dies ist nur möglich, falls x ein Dreieck {i,j,k} ^{ist, und} {i’

j’

} ,

{i“

j“

} Kanten von {i,j,k} sind. Das kann für maximal k

≤k

Tupel

{i,j,k} der Fall sein.

Beweis von Theorem 2:

Sei C monotone Schaltkreis (mit f 2) der ∆ berechnet, der Größe s ^(Anzahl ^ ^{, v}

– Gatter)

Konstruiere Approximator A

induktiv:

Für input x

A

= x

Für C=C

vC

A

= A

Π A

Für C=C

^ ^C

^A

^{= A}

^{Π A}

Nach Lemma 7

Anzahl x єT

mit A

( x )=1 ist ≤ s*2

Nach Lemma 8

Anzahl x єT

mit A

( x )=0 ist ≤ s*k

Nach Lemma 2 ist entweder

A ≡ 0 , also s*k

≥ ( ^{n 3} ) ^{, also s ≥} ( ^{n 3} )/ ^k

oder

s*2

≥ 2

^{, also} s ≥2

Für k=18*log

n ^folgt

s ≥ ( ^{n 3} )/ ¹⁸

^log

ⁿ

oder

s ≥ 2

≥ n

/2 1. Wert ist kleiner, also folgt

size(c) ≥ ( ^{n 3} )/ ¹⁸

^log

^{n = Ω(n}

^/log

ⁿ⁾