Epsilon-Tensor
Der Epsilon-Tensor
εi,j,k ∈ {−1,0,1}, i,j,k ∈ {1,2,3},
ist Null bei zwei gleichen Indizes und hat f¨ur paarweise verschiedene Indizes die Werte
ε1,2,3 = ε2,3,1 = ε3,1,2 = 1, ε1,3,2 = ε2,1,3 = ε3,2,1 = −1.
Er ist also invariant unter zyklischer Permutation und ¨andert bei Vertauschung von Indizes das Vorzeichen.
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Beispiel
Darstellung des Vektorproduktes mit Hilfe des Epsilon-Tensors
~c =~a×~b =
a2b3−a3b2
a3b1−a1b3 a1b2−a2b1
⇔ ci =
3
X
j,k=1
εi,j,kajbk
Uberpr¨¨ ufung der ersten Komponentec1 (i = 1):
nur 2 Summanden, da ε1,j,k = 0 f¨urj = 1,k = 1 oderj =k, d.h.
c1 =ε1,2,3
| {z }
1
a2b3+ε1,3,2
| {z }
−1
a3b2 =a2b3−a3b2 X
Uberpr¨¨ ufung von c2,c3 analog
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