Abiturprüfung Berufliche Oberschule 2013
Mathematik 13 Nichttechnik - B I - Lösung
Teilaufgabe 1 (4 BE)
Im IR3 sind die Vektoren a
2
2 0
= , b
3 4 5
= und ck
1
k2 k3
= mit k ∈ IR gegeben.
Untersuchen Sie, für welche Werte von k die Vektoren a
b
und ck
eine Basis des IR3 bilden.
II ( ) ( )I
--->
2
2 0
3 4 5
1 k2 k3
--->
2 0 0
3 1 5
1 k1 k3
2 0 0
3 1 0
1 k1
4k 2
III5 II( )
Linear abhängig: 4k2=0 auflösen k 1
2
Vektoren bilden Basis für k 1
2
Teilaufgabe 2.0
Im IR3 sind die Geraden g: x
9
1 2
r
3 0
2
= und h: x
3
1 4
s
5 1 4
= mit r, s ∈ IR sowie
der Punkt A(10/2/8) gegeben.
Teilaufgabe 2.1 (4 BE)
Zeigen Sie, dass die Geraden g und h windschief zueinander verlaufen.
3 0
2
λ
5 1 4
⇒ g und h sind nicht parallel
g ∩ h:
9 3 r =3 5 s ⇒ r=2 9
1 2
r
3 0
2
3 1 4
s
5 1 4
= 1=1 s ⇒ s=0
2 2 r =4 4 s ⇒ r=1 Widerspruch für r, Geraden schneiden sich nicht, sind also windschief.
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Teilaufgabe 2.2 (5 BE)
Die Ebene E wird durch den Punkt A und die Gerade g aufgespannt.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und in Koordinatenform.
[ Mögliches Teilergebnis: E: 2 x1 20 x2 3 x3 4=0 ]
Ebene E in Parameterform: E:
x1 x2 x3
9 1 2
r
3 0
2
k
1 1 6
=
Gleichungssystem:
3 III( )2 I( ) 3
0
2 1 1 6
x1 9 x2 1 x3 2
3 0 0
1 1 20
x1 9 x2 1 2 x1 3 x3 24
--->
III
( ) 20 II( )
3 0 0
1 1 0
x1 9 x2 1
2 x1 20 x2 3 x3 4
--->
Ebene E in Koordinatenform: E: 2 x1 20 x2 3 x3 4=0 Teilaufgabe 2.3 (3 BE)
Skizzieren Sie die Ebene E, die Geraden g und h sowie den Punkt A in eine Zeichnung.
A E
g h
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Teilaufgabe 2.4 (6 BE)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes P der Ebene E mit der Geraden h. Begründen Sie, dass die Gerade j, die durch A verläuft und die Geraden g und h schneidet, in E liegt.
Stellen Sie eine Gleichung dieser Geraden j auf und zeichnen Sie die Gerade und den Punkt P in die Zeichung von 2.3 ein.
E ∩ h:
2 3( 5 s ) 20 1( s)3 4( 4 s )4=0 auflösen s 3
OP 3 1 4
3
5 1 4
18 4 16
P OPT P(18 4 16)
A ∉ g, A ∈ E, g ⊂ E ⇒ j ⊂ E
j ∩ h = { P } Gerade j geht durch A und P: AP: xj 10
2 8
r
8 2 8
=
E
g
A j h P
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Teilaufgabe 3.0
Die drei Sektoren R, S und T eines Unternehmens sind untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell verflochten.
Die Gesamtproduktion beträgt im Sektor R 240 ME, im Sektor S 150 ME und in Sektor T 220 ME.
Die Inputmatrix A ist gegeben durch A 0.4 0.1 0
0.5 0.2 0.6
0.1 0.2 0.4
= .
Teilaufgabe 3.1 (4 BE)
Erstellen Sie die Input-Output-Tabelle.
Inputmatrix: Produktionsvektor: Einheitsmatrix:
Gegeben:
A 4 10
1 10
0 5 10
2 10
6 10
1 10
2 10
4 10
x
240 150 220
E
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Nebenrechnung: EA 0.6
0.1 0
0.5 0.8
0.6
0.1
0.2 0.6
Marktvektor: y (E A)x 47 52 42
Berechnungen
Warenflussmatrix
"Verflechtung"
"R"
"S"
"T"
"R"
96 24 0
"S"
75 30 90
"T"
22 44 88
"y"
47 52 42
"x"
240 150 220
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Teilaufgabe 3.2 (8 BE)
Die Produktion soll aufgrund von Umbaumaßnahmen im Sektor T um 20 ME verringert werden, im Sektor R aber konstant bleiben.
Wegen langfristiger Verträge muss die Marktabgabe in den Sektoren R und T jeweils mindestens 30 ME betragen. Die gesamte Marktabgabe darf 153 ME nicht überschreiten, da zusätzlich logis- tische Probleme aufgetreten sind.
Bestimmen Sie den Bereich, in welchem die Produktion des Sektors S möglich ist.
Neuer Produktionsvektor: x x2
240 x2 200
y x2
130y x2
20y x2
(EA)x x2
124 x2
2 4 x2
5 64 120 3 x2
5
y x2
330y x2
130y x2
20y x2
330
124 x2
2 30 4 x2
5 64 0 120 3 x2
5 30
auflösen x2 80x2150
y x2
1 y x2
2 y x2
3153 180 3 x210 153 auflösen x2 90 x280x2150 90 x2
auflösen x2 90x2150
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Teilaufgabe 3.3 (6 BE)
Es wird ein neues Produktionsverfahren im Sektor T eingeführt. Dies hat die neue Inputmatrix
Aneu 0.4 0.1 0
0.5 0.2 0.6
0.09 0.18 0.4
= zur Folge.
Berechnen Sie den Produktionsvektor x
, wenn erwartet wird, dass die Sektoren R 51 ME, S 60 ME und T 30 ME an den Markt abgeben.
Interpretieren Sie die prozentualen Veränderungen der Einträge a13 und a23 der Matrix Aneu gegebnüber den entsprechenden Einträgen der Matrix A.
Gegeben: Aneu 4 10
1 10
0 5 10
2 10
6 10
9 100
18 100
4 10
yneu
51 60 30
Gleichungssystem auflösen:
E Aneu
x1 x2 x3
=yneu
3 x1 5
x2
2 9 x3
100 4 x2
5 x1
10 9 x3
50 3 x3
5
3 x2
5
51 60 30
=
x1 x2 x3
E Aneu
x1 x2 x3
=yneuauflösen x1 x2x3 (240 150 200)
xneu x1 x2 x3
xneu
240 150 200
R: a13neu 0.09 a13 A1 3 a13 0.1
0.090.18 0.10.2 0.9 S: a23neu 0.18 a23 A2 3 a23 0.2
Es werden zur Produktion von T je 10% weniger Produkte der Sektoren R und S benötigt.
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