Statistik Vorlesung
14. November 2020 Dauer der Pr¨ufung: 90 Minuten
ZUNAME:
VORNAME: MATR.NR.:
ERLAUBT: Skriptum des Instituts, nicht-graphikf¨ahiger Taschenrechner
VERBOTEN:alle sonstigen Unterlagen, graphikf¨ahiger Taschenrechner, Handys
Bei den Single-Choice-Fragen bringt eine richtige Antwort 2 Punkte und eine falsche 1 Punkt Abzug.
Es gibt keine negative Punktemitnahme in ein anderes Beispiel.
Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte
1 12
2 10
3 20
4 18
5 32
6 8
Summe 100
Note
1. (12 Punkte)
a) Zur Berechnung des Mittelwerts von Gliederungszahlen muss das harmonische Mittel ver- wendet werden.
Richtig Falsch
b) Wenn Ereignisse unabh¨angig sind, dann sind sie auch immer disjunkt.
Richtig Falsch
c) Bei einer geschichteten Stichprobe wird die Grundgesamtheit in Schichten zerlegt. In diesen Schichten gibt es dann eine zuf¨allige Auswahl.
Richtig Falsch
d) Eine Stichprobenfunktion ist im Allgemeinen eine bivariate Funktion.
Richtig Falsch
e) Die Residuen sind die Abweichungen der Y-Werte von der gesch¨atzten Regressionsgeraden.
Richtig Falsch
f) Die Quadratsumme der Residuen der Regression ist gleich Null.
2. (10 Punkte) Die Graphik zeigt ein Streudiagramm f¨ur den Eiskonsum (in Packungen) abh¨angig von der Temperatur.
a) Je h¨oher die Temperatur ist, umso mehr Eis wird konsumiert.
Richtig Falsch
b) Im Streudiagramm sind viele Ausreißer zu erkennen, die man bei der Sch¨atzung der Re- gressionsgeraden h¨atte weglassen m¨ussen.
Richtig Falsch
c) Die Streuung ist nicht konstant, sodass man die Regressionsgerade nicht h¨atte berechnen d¨urfen.
Richtig Falsch
d) Man h¨atte vor der Sch¨atzung der Regressionsgeraden den Variationsinflationsfaktor aus- rechnen m¨ussen, da im Streudiagramm Multikollinearit¨at erkennbar ist.
Richtig Falsch
e) Das Streudiagramm zeigt, dass die Daten aus zwei Gruppen kommen k¨onnten, bei denen eine Erh¨ohung der Temperatur jeweils unterschiedlichen Anstieg der konsumierten Menge an Eis bewirkt.
Richtig Falsch
3. a) (15 Punkte) In der nachstehenden Tabelle sind die Kaffeepreise (in e/250 g) von Kaffee- bohnen angegeben, die ein Kaffeegesch¨aft in Graz in seinem Sortiment hat:
Preis (ine/250 g) [von, bis[ [8, 12[ [12, 16[ [16, 40[
Anzahl der Kaffeesorten 10 30 20
1. Berechnen sie soweit m¨oglich Mittelwert und Standardabweichung.
2. Zu Beginn des Jahres hat ein zweites Kaffeegesch¨aft in Graz er¨offnet. Der Durch- schnittspreis der 20 Sorten, die im Sortiment enthalten sind, betr¨agt 9,00 e/250 g.
Wie groß ist der mittlere Preis f¨ur 250 g Kaffeebohnen in Graz?
3. Wie groß ist die Standardabweichung des Kaffeebohnen-Preises in Graz, wenn man weiß, dass die 20 Sorten des zweiten Kaffeegesch¨afts eine Standardabweichung von 4 aufweisen?
Ausf¨uhrung Beispiel 3:
b) (5 Punkte)
Ein Student bekommt 2015 monatlich 800 Euro von seinen Eltern finanziert. Seine Ausga- ben lassen sich folgenden Kategorien zuordnen: Wohnen (40 %), Wohnnebenkosten (5 %), Essen (25 %), Uni (10 %) und Freizeit. Die Durchschnittspreise f¨ur Wohnnebenkosten sind in den angegebenen Jahren folgender Tabelle zu entnehmen:
Jahr 2015 2016 2017 2018 2019 2020
Nebenkosten pro m2 Wohnfl¨ache 1,1 1,15 1,22 1,24 1,28 1,3
Weiters stiegen von 2015 bis 2020 seine Ausgaben f¨ur Essen um 15 %, seine Ausgaben f¨ur die Uni gingen um 10 % zur¨uck. Alle anderen Ausgaben blieben gleich. Wie viel Geld sollte der Student im Jahr 2020 von seinen Eltern mehr bekommen, als im Jahr 2015?
Ausf¨uhrung Beispiel 3:
4. a) (8 Punkte) Die erfolgreiche Vorbereitungszeit f¨ur die Statistikpr¨ufung sei normalverteilt mit Erwartungswert von 200 Stunden und einer Standardabweichung von 50 Stunden.
Dabei ist mit der erfolgreichen Vorbereitungszeit – die Vorbereitungszeit von Studenten, die die Pr¨ufung positiv absolviert haben, – gemeint.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese erfolgreiche Vorbereitungszeit zwischen 120 und 150 Stunden betr¨agt?
2. Wie lange haben sich die „schnellsten“ 5 % maximal f¨ur die Pr¨ufung vorbereitet?
Ausf¨uhrung Beispiel 4:
b) (10 Punkte) In einem europ¨aischen Staat, in dem derzeit 500.000 COVID-positive Personen gez¨ahlt werden, besteht die COVID-Positive-Gruppe zu 52 % aus M¨annern (der Rest sind Frauen).
Die Erfahrung zeigt, dass M¨anner h¨aufiger als Frauen eine intensivmedizinische Behand- lung ben¨otigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein m¨annlicher COVID-Patient intensivme- dizinische Hilfe brauchen wird, liegt bei 5 % w¨ahrend diese Wahrscheinlichkeit bei einer Frau nur 2 % betr¨agt.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zuf¨allig ausgew¨ahlte COVID-positive- Person keine intensivmedizinische Hilfe braucht?
2. Eine zuf¨allig ausgew¨ahlte Person aus dieser Gruppe muss nun intensivmedizinisch behandelt werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit, handelt es sich dabei um eine Frau?
Ausf¨uhrung Beispiel 4:
Ausf¨uhrung Beispiel 4:
5. a) (8 Punkte) Im Zuge einer Qualit¨atskontrolle sollen Konfidenzintervalle f¨ur das durch- schnittliche Abf¨ullgewicht einer Packung Mehl bestimmt werden. Das Abf¨ullgewicht wird dabei als normalverteilt mit einer Standardabweichung von 10 Gramm angesehen. In einer Stichprobe wurden 20 Packungen zuf¨allig ausgew¨ahlt und auf deren Gewicht kontrolliert.
Das zu erwartende mittlere Packungsgewicht betrug 1003 Gramm.
1. Bestimmen Sie das zweiseitige 90-%-Intervall f¨ur das durchschnittliche Packungsge- wicht.
2. Wie groß muss der Stichprobenumfang mindestens sein, damit das zweiseitige 95-%- Intervall ein genau so breites Konfidenzintervall um das mittlere Packungsgewicht liefert, wie das 90-%-Intervall in Unterpunkt 1.?
Ausf¨uhrung Beispiel 5:
b) (10 Punkte)
In einer Tischlerei k¨onnen t¨aglich 1000 Sessel hergestellt werden. Aufgrund der hohen Pro- duktionskapazit¨aten soll ein Großteil der Produktion zuk¨unftig ¨uber einen M¨obelh¨andler verkauft werden. Vor dem Abschluss des Vertrags ¨uberpr¨uft der H¨andler die Waren anhand einer Stichprobe von 100 St¨uck. Er ¨ubernimmt die produzierte Ware nur, wenn h¨ochstens 5 % der ¨uberpr¨uften Sessel mit einer Sicherheit von 90 % seinen Qualit¨atsanforderungen widersprechen. Dies m¨ochte er mit Hilfe eines statistischen Tests sicherstellen.
1. Welcher Test ist anzuwenden?
2. Wie sind die Hypothesen zu formulieren?
3. Bestimmen Sie den kritischen Bereich.
4. Wieviele Sessel d¨urfen den Anforderungen des H¨andlers h¨ochstens widersprechen, da- mit er bereit ist, den Vertrag abzuschließen?
5. Wie entscheidet er, wenn in der Stichprobe zwei Sessel fehlerhaft sind?
Ausf¨uhrung Beispiel 5:
c) (14 Punkte) In einem 1. und einem 5. Jahrgang an einer Schule wurden vier bzw. f¨unf Sch¨uler nach der H¨ohe ihres monatlichen Taschengeldes gefragt. Folgende Ergebnisse liegen vor: (Angaben in e)
1. Jahrgang (X) 10 35 30 41 5. Jahrgang (Y) 50 100 150 65 40
Die Varianzen der Stichproben sind mit s2x= 180,667 unds2y = 2005 gegeben.
Testen Sie mit einemαvon 0,1, ob ein Unterschied in den Erwartungswerten der zugrun- deliegenden Normalverteilungen vorliegt.
1. Welcher Test ist anzuwenden?
2. Wie sind die Hypothesen zu formulieren?
3. Geben Sie den Testwert an.
Ausf¨uhrung Beispiel 5:
6. (8 Punkte) Ein Unternehmen m¨ochte den Barwert des Deckungsbeitrags (in 1000 Euro) f¨ur Investitionsvorhaben sch¨atzen und f¨uhrt mit Hilfe von Daten vergangener Investitionsprojekte eine Regressionsanalyse durch. Als erkl¨arende Merkmale werden herangezogen: die Investitions- kosten (ANLAGEN) f¨ur Anlagen wie Maschinen und Geb¨aude (in 1000 Euro), die Anzahl der Mitarbeiter (MITARBEITER), Produktgruppe (PRODUKT) mit den Auspr¨agungen A, B und C, sowie der Standort der Investition (STANDORT) mit den Auspr¨agungen EU, Nicht EU.
Koeffizient Standardfehler t-Statistik P-Wert
Achsenabschnitt 1429,74 452,89 3,16 0
ANLAGEN 5,68 233,05 2,85 0,01
MITARBEITER 7 0,11 65,26 0
PRODUKT B 1559,38 397,11 3,93 0
PRODUKT C -1310,25 561,57 -2,33 0,02
STANDORT Nicht EU 814,06 459,3 17,72 0
a) Wie hoch (in 1000 Euro) ist der erwartete Barwert des Deckungsbeitrags f¨ur Investitionen in Geb¨aude und Maschinen in der H¨ohe von einer Million Euro zur Produktion eines Produktes in der Produktgruppe B außerhalb der EU mit 300 geplanten Mitarbeitern?
b) (uabh¨angig von a)) Wie ¨andert sich der erwartete Barwert der Deckungsbeitr¨age, wenn f¨ur ein Alternativprojekt die Investitionen in Anlagen um 300.000 Euro reduziert werden und daf¨ur nicht in der EU investiert wird?
Ausf¨uhrung Beispiel 6:
