Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Prof. Dr. Peter Wole, Dr. Jan Brinkmann 02.06.04
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre janbritkm.uni-karlsruhe.de /Physikhohh.Zi.10.13
Ubungsblatt Nr. 7 zur Theorie F (Statistishe Physik)
1 Spurberehnung:
Zeigen Sie, da mitbeliebigenOperatoren
^
A;
^
B;
^
C gilt:
Tr(
^
A)= X
h j
^
Aj i istunabhangig vonder Wahlder orthonormalenBasis fj ig.
Tr(
^
A
^
B
^
C)=Tr (
^
C
^
A
^
B)=Tr(
^
B
^
C
^
A).
2 Zustandsoperator:
^
W
k
ist der Zustandsoperator der kanonishen Gesamtheit.
Uberprufen Sie die folgenden
Aussagen:
a) Tr (
^
W
k
)=1 ;
^
W y
k
=
^
W
k
;
^
W
k
= X
w
^
P
;
^
P 2
=
^
P
;
wie lauten
^
P
; w
; h
^
Ai=Tr(
^
W
k
^
A )?
b) Die innere Energie U:=h
^
Hi ist gegeben durh U =
ln(Z
k
) ( =1=kT).
Die Entropie S:= kTr (
^
W
k ln[
^
W
k
℄) folgt aus S = F
T
mit F = kT ln(Z
k ).
Die freieEnergie F:=U T S ergibt sih aus F = kT ln(Z
k ).
3 Quantisierte Shallwellen (Phononen):
EinKristallgittermitVolumenV =L 3
bestehtaus N Atomen,diekleine Shwingungenum
ihre Ruhelage ausfuhren konnen.Es gibt 3N Shallmodenin diesem Kristall,mitEigenfre-
quenzen !
(k), = 1;2;3, k
= 2
L n
, n
= 0;1;2;:::;n
max
. Diese werden als 3N
unabhangige harmonishe Oszillatorenbetrahtet.
a) GebenSiedenHamiltonoperator
^
H desSystemsan,dessenEigenzustandeunddiefreie
Energie (kanonishe Gesamtheit). Vergleihen Siemitdem idealen Bose-Gas.
b) Debye-Modell: Naherungsweise setzt man !
(k)=
jkj und
= furallek;.
ZeigenSie, da dieZustandsdihte
N(")= 1
V X
k
Æ(" h!(k)) gegeben istdurh N(")= 3N
V
"
2
(h !
D )
3 (h!
D
")
BestimmenSie dieDebye-Frequenz !
D .
Hinweis: Welhe Bedeutung hat R
1
0
d"N(")?
) Berehnen Sie
V
(T;V;N) fur kT h!
D
und kT h!
D .
Hinweis: Leiten Sie zunahst U = E
0 +3V
R
h!
D
0
d"N(")"g(") ab, und mahen Sie
darin geeignete Naherungen. Esgilt R
1
0 dx
x 3
e x
1
=
4
15 .
d) Einstein-Modell: Bendensih2Atomeinjeder der N Einheitszellendes Gitters,so
gibt es zusatzlih3N (sog. optishe) Shallmoden mit !
(k) =!
0 .
Manberehne derenBeitrag zu
V
furkT h!
0
und kT h!
0 .
