Analysis auf Mannigfaltigkeiten II (SS 2007)

Prof. Dr. W. M¨uller Bonn, den 24. 04. 2007 Dr. J. Ruppenthal

Analysis auf Mannigfaltigkeiten II (SS 2007)

Ubungsblatt 2¨

Aufgabe 1.Berechne lim

→0⁺

1

ix+ − 1 ix−

in D⁰(R).

Aufgabe 2.F¨urN ∈N sei

T_N(y) :=

Z N

−N

e^−ixydx.

Zeige:

N→∞lim T_N = (2π)δ₀ inD⁰(R).

Aufgabe 3.Es sei Ω⊂Rⁿ offen, T ∈ D⁰(Ω) und φ ∈C^∞(Ω). Wir setzen:

hφT, ψi:=hT, φψi f¨ur alle ψ ∈ D(Ω).

Man zeige:

φT ∈ D⁰(Ω).

Aufgabe 4. Sei Ω =S

j∈JU_j f¨ur U_j ⊂ Rⁿ offen und T ∈ D⁰(Ω). Eine Distribution heißt glatt, wenn sie durch eineC^∞-Funktion repr¨asentiert werden kann. Zeige:

i. GiltT|Uj = 0 f¨ur alle j ∈J, so ist T = 0.

ii. IstT|_Uj glatt f¨ur alle j ∈J, so ist T glatt.

Aufgabe 5.Die regul¨are Distribution f ∈ D⁰(R) sei gegeben durch f(x) =

logx , x >0, 0 , x≤0.

Man zeige, dass die Distributionsableitung vonf gegeben ist durch:

h∂f

∂x, ψi= lim

R→∞

Z R

0

ψ(x)−ψ(0)

x dx+ψ(0) logR

.

Finde eine m¨oglichst große offene Menge Ω⊂R, auf der die Distributionsableitung mit der gew¨ohnlichen Ableitung ¨ubereinstimmt.