Bewegte Bezugssysteme – Galilei Transformation

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17/05/2004 Teilchen & Wellen SS2004 Denninger Galilei Transformation

Bewegte Bezugssysteme – Galilei Transformation

Physikalische Vorgänge finden nach der Erfahrung in gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssystemen gleichartig statt. Z.B. kann man in einem gleichförmig mit der Geschwindigkeit

u

fliegenden Flugzeug ganz normal laufen, Bälle werfen, Billiard spielen (falls erlaubt) etc.

u

K

K’

Das Koordinatensystem K’ bewege sich mit der (konstanten) Geschwindigkeit

u

gleichförmig gegen das Koordinatensystem K.

Der Ortsvektoren

r’(t)

im Koordinatensystem K’ sind mit

r(t)

im System K verbunden:

( ) ( )

r t ′ = r t − ⋅ u t

( ) ( )

r t = r t ′ + ⋅ u t

Umkehrtransformation:

( ) r t

( ) r t′ u t⋅

(2)

Wie sehen die Newtonschen Bewegungsgleichungen in den beiden Systemen aus?

( ) ( )

r t ′ = r t − ⋅ u t

v ( ) ′ t = r t ′ ( ) = r t ( ) − = u v( ) t − u

(t) = v ( ) v( ) ( ) a ′ ′ t = t = a t

D.h., die Beschleunigungen sind in K und K’ gleich groß. Sind auch die Kräfte gleich groß, dann ist:

( ) ( )

mr t = F t mr t ′ ( ) = F t ( )

Die Bewegungsgleichung ist in beiden Koordinatensystemen die gleiche: Dann ist auch die Physik die gleiche (jedenfalls bezüglich der Mechanik).

Wir betrachten jetzt ein System aus zwei Körpern der Masse m₁ und m₂, welche durch

Kräfte miteinander wechselwirken (z.B. betrachten wir einen Stoss zwischen zwei Körpern).

m

₁

m

₂

m

₁

m

₂

Nach dem Stoss

v

₁

w

₁

v

₂

w

₂

(3)

Impuls-Erhaltungssatz:

m

₁

⋅ + v

₁

m

₂

⋅ v

₂

= m

₁

⋅ w

₁

+ m

₂

⋅ w

₂

2 2 2 2

2 2

1

v

1

v

2 1

w

1

w

2

m ⋅ + m ⋅ = m ⋅ + m ⋅

Energie-Erhaltungssatz:

Der gemeinsame Faktor ½ ist weggelassen!

Im Koordinatensystem K’ gilt:

m

₁

⋅ (v

₁

− u ) + m

₂

⋅ (v

₂

− u ) = m

₁

⋅ ( w

₁

− u ) + m

₂

⋅ (w

₂

− u )

2 2

1

v

1

v

2 1

w

1

w

2

m ⋅ ′ + m ⋅ ′ = m ⋅ ′ + m ⋅ ′

D.h., der Impulserhaltungssatz gilt auch im K’ System.

2 2 2 2

2 2

1

(v

1

) (v

2

)

1

( w

1

) (w

2

)

m ⋅ − u + m ⋅ − u = m ⋅ − u + m ⋅ − u

2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

v 2 v v 2 v

w 2 w w 2 w

m m u m u m m u m u

⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

v v

w w 2 v 2 v 2 w 2 w

m m

m m m u m u m u m u

⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

v v

w w 2 { v v w w }

m m

m m u m m m m

⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

=0 wegen Impulssatz

(4)

D.h., der Energieerhaltungssatz gilt sowohl in K als auch in K’.

Da wir keinerlei Annahmen über die Geschwindigkeit u gemacht haben (außer daß die Geschwindigkeit u konstant ist), gilt:

Alle gleichförmig gegeneinander bewegten Bezugssysteme sind bezüglich der Newtonschen Mechanik gleichwertig.

Es gibt kein ausgezeichnetes Ruhesystem.

Die Beschreibung der physikalischen Vorgänge ist in jedem gleichmäßig bewegten Bezugssystem gleich.

Diese Eigenschaft nennt man die Galilei-Invarianz.

Bewegungen sind relativ: Relativitätsprinzip.

Einschränkung: Dies gilt nur für Geschwindigkeiten u << c. Die Galilei-

Transformation wird später durch die Lorentz-Transformation erweitert und relativistisch invariant formuliert.