Theoretische Physik III
- Quantenmechanik (SoSe 2014) -
Ubungsblatt 07 (π¨ e Punkte)1
Ausgabe 26.05.14 – Abgabe 03.06.14 – Besprechung n.V.
. Aufgabe 1 (Diracs Ladungsquantisierungsargument) (πe Punkte) [Diese Aufgabe ist freiwillig. Sie dient ausschließlich ihrer Bildung . . . ]
Schon in den Anfangstagen der Quantenmechanik hat Dirac auf einen interessanten Zu- sammenhang zwischen der Eichinvarianz der Quantenmechanik und der Quantisierung der elektrischen Ladung hingewiesen: wenn es nur einen einzigen magnetischen Monopol auf dieser Welt gibt, und die Quantenmechanik die theoretischen Grundlagen dieser Welt for- muliert, so ist die elektrische Ladung notwendigerweise quantisiert.
Ein magnetischer Monopol der St¨arkeg gibt Anlass zu einer magnetischen Flussdichte B~g; f¨ur einen im Ursprung plazierten Monopol
B~g(~x) = g 4π
1
r2~er (1)
worin r =|~x| und ~er= |~~xx| radialer Einheitsvektor.
(a) Machen Sie sich mal ein Bild!
(b) Best¨atigen Sie
divB~g = 0 f¨ur alle~x6= 0 (2) (c) In Gebieten, die den Aufenthaltsort des Monopols nicht umfassen, sollte es also ein Vektorpotential A~ geben, vermittels dessen B~g = rotA. Wegen div rot = 0 w¨~ are in solchen Gebieten dann divB~ = 0 garantiert, wie gefordert. Best¨atigen Sie
A~I= g 4π
1−cosϑ
rsinϑ ~eϕ (3)
wie gew¨unscht rotA~I = B~g. Da A~I f¨ur ϑ → π aber divergiert, ist hier f¨ur den Defi- nitionsbereich DI von A~I ein nach unten offener Kegel π ≥ ϑ > π−ε aus dem R3 auszuschließen.
(d) Best¨atigen Sie, dass auch
A~II=− g 4π
1 + cosϑ
rsinϑ ~eϕ (4)
rotA~II = B~ liefert, allerdings ist nun f¨ur den Definitionsbereich DII aus dem R3 ein nach oben offener Kegel 0≤ϑ < ε auszuschließen.
1Aufgaben mit transzendenter Punktezahl sind fakultative N¨usse. N¨usse sind bekanntlich nahrhaft . . .
c
Martin Wilkens 1 26. Mai 2014
Ubungen Quantenmechanik SoSe 2014 – Blatt 07¨
(e) Auf dem Durchschnitt der Definitionsbereiche unterscheiden sich die beiden Poten- tiale
A~II−A~I =−2g 4π
1
rsinϑ~eϕ. (5)
Best¨atigen Sie, dass der Unterschied ein Gradient ist,
A~II−A~I= gradχ (6)
mit
χ=−2g
4πϕ . (7)
(f) Wellenfunktionen sind ¨uber eine Eichtrafo verkn¨upft, ψII= exp
−i2eg 4π~ϕ
ψI. (8)
Die Verkn¨upfung ist allerdings mehrdeutig. Best¨atigen Sie, dass Eindeutigkeit nur garantiert ist, sofern
2eg 4π~
=n , n= 0,±1,±2, . . . (9) Lies: gibt es einen Monopol der St¨arke g ist die elektrische Ladung quantisiert mit Elementarladung e ∝1/g (und vice versa).
In der E-Dyn Vorlesung haben Sie gelernt divB~ = 0. Streng genommen kann das nur f¨ur die von uns zug¨anglichen Raumbereiche behauptet werden – das Praktiksumlabor, etwa. Ob auch auf dem Sirius divB~ = 0 steht in den Sternen. H¨atten Sie eine Idee, wie die Maxwell’sche Theorie zu erweitern w¨are, wenn sich herausstellt, dass es tats¨achlich magnetische Monopole gibt?
c
Martin Wilkens 2 26. Mai 2014
