Logarithmische Papiere
Einfachlogarithmisches Papier
Der exponentielle Zusammenhang
y=y010kt d.h. exp. Wachstum (k >0) bzw. exp. Zerfall (k <0) (1) wird durch die Transformation
Y := lgy (es sei auch Y0:= lgy0) (2)
zur Gerade
Y =Y0+kt (3)
Gegeben: Messpunkte (ti;yi), exponentieller Zusammenhang
Ziel: Bestimmung dieses Zusammenhangs ohne Logarithmuspapier 1. Berechne alle Yi := lgyi. Die ti stehen lassen.
2. Zeichne (ti;Yi)-Streudiagramm und Ausgleichsgerade.
3. Bestimme Geradengleichung Y =Y0+kt.
k= Yt = Y2;Y1
t
2
;t
1
, wobei (t1;Y1) und (t2;Y2) Punkte auf der Ausgleichsgerade!
Y
0 bei t= 0 ablesen oder Y0 =Y1;kt1, wobei (t1;Y1) beliebiger Punkt der Gerade.
4. Der Zusammenhang lautet dann: y= 10|{zY0}
y
0 10kt
Zu 4.: Wegen (2) und (3) gilt:y = 10Y = 10Y0+kt = 10Y0 10kt Gegeben: Messpunkte (ti;yi), exponentieller Zusammenhang
Ziel: Bestimmung dieses Zusammenhangs mit einfachlogarithmischem Papier 1. Einfachlogarithmisches Papier so hinlegen, dass fette Kastchen unten sind.
Die x-Achse mit den ti-Werten normal beschriften und die y-Achse logarithmisch, d.h. am Wechsel von dunn zu fett mit Zehnerpotenzen (:::0.01, 0.1, 1, 10, 100 :::).
2. Punkte eintragen und Ausgleichsgerade zeichnen.
3. Bestimme Geradengleichung lgy= lgy0+kt des einfachlogarithmischen Papiers.
k= lgty = lgy2;lgy1
t
2
;t
1
, wobei (t1;y1) und (t2;y2) Punkte der Ausgleichsgerade!
y
0 bei t= 0 ablesen oder y0 =y1=10kt1, wobei (t1;y1) beliebiger Punkt der Gerade.
4. Der Zusammenhang lautet dann: y=y010kt
Zu 4.: Aus der Geradengleichung in 3. folgt: y= 10lgy = 10lgy0+kt=y010kt Zu 3.: y0 errechnet sich durch Einsetzen eines Geradenpunktes (t1;y1) in 4.
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Doppeltlogarithmisches Papier
Wenn sich der Zusammenhang von y und x durch eine Potenzfunktion der Gestalt
y=bxk (4)
beschreiben lasst, dann lasst er sich mittels der Transformationen
Y := lgy und X := lgx (es sei auch B := lgb) (5) in folgende Gerade uberfuhren:
Y =B+kX (6)
Gegeben: Messpunkte (ti;yi), Zusammenhang uber Potenzfunktion Ziel: Bestimmung dieses Zusammenhangs ohne Logarithmuspapier 1. Berechne alle Xi := lgxi und Yi := lgyi.
2. Zeichne (Xi;Yi)-Streudiagramm und Ausgleichsgerade.
3. Bestimme Geradengleichung Y =B+kX.
k= XY = Y2;Y1
X
2
;X
1
, wobei (X1;Y1) und (X2;Y2) Punkte auf der Ausgleichsgerade!
B beiX = 0 ablesen oder B =Y1;kX1, wobei (X1;Y1) beliebiger Punkt der Gerade.
4. Der Zusammenhang lautet dann: y= 10|{z}B
b x
k
Zu 4.: Wegen (5) und (6) gilt:y = 10Y = 10B+kX = 10B10klgx = 10B10lgxk = 10Bxk Gegeben: Messpunkte (ti;yi), Zusammenhang uber Potenzfunktion
Ziel: Bestimmung dieses Zusammenhangs mit doppeltlogarithmischem Papier 1. Doppeltlogarithmisches Papier so hinlegen, dass fettes Kastchen links unten ist.
Beide Achsen sinnvoll logarithmisch beschriften,
d.h. am Wechsel von dunn zu fett mit Zehnerpotenzen (:::0.01, 0.1, 1, 10, 100 :::).
2. Punkte eintragen und Ausgleichsgerade zeichnen.
3. Bestimme Geradengleichung lgy= lgb+klgx des doppeltlogarithmischen Papiers.
k = lglgxy = lgy2;lgy1
lgx2;lgx1, wobei (x1;y1) und (x2;y2) Punkte der Ausgleichsgerade!
b bei x= 1 ablesen oderb=y1=xk1, wobei (x1;y1) beliebiger Punkt der Gerade.
4. Der Zusammenhang lautet dann: y=bxk
Zu 4.: Aus der Geradengleichung in 3. folgt: y= 10lgy = 10lgb+klgx =b10(lgx)k =bxk Zu 3.: b errechnet sich durch Einsetzen eines Geradenpunktes (x1;y1) in 4.
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