Dynamische Programmierung

(1)

Datenstrukturen und Algorithmen

Christian Sohler

(2)

Organisatorisches

Test:

• Fr 11.05.07 im Audimax

• Beginn: 11:00 Uhr!

• Mitzubringen: Personalausweis

• Bearbeitungszeit: 1h 30min

• Eine Divide-&-Conquer Aufgabe und eine Greedy Aufgabe

(3)

Dynamische Programmierung

Rekursiver Ansatz:

• Lösen eines Problems durch Lösen mehrerer kleinerer Teilprobleme, aus denen sich die Lösung für das

Ausgangsproblem zusammensetzt

Phänomen:

• Mehrfachberechnungen von Lösungen

Methode:

• Lösungen zu Teilproblemen werden iterativ beginnend mit den Lösungen der kleinsten Teilprobleme berechnet

(4)

Das Optimalitätsprinzip

Typische Anwendung für dynamisches Programmieren: Optimierungsprobleme

Eine optimale Lösung für das Ausgangsproblem

setzt sich aus optimalen Lösungen für kleinere

Probleme zusammen.

(5)

Zusammenhang

Mit Greedy-Algorithmen:

• Algorithmenmethode, um Optimierungsprobleme zu lösen

Mit Divide-&-Conquer:

• Lösung eines Problems aus Lösungen zu Teilproblemen

• Aber: Lösungen zu Teilproblemen werden nicht rekursiv gelöst.

(6)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

• Seien X=(x₁,...,x_m) und Y=(y₁,...,y_n) zwei Teilfolgen, wobei x_i, y_j ∈ A für ein endliches Alphabet A.

• Dann heißt Y Teilfolge von X, wenn es aufsteigend sortierte Indizes i₁,...,i_n gibt mit x_ij = y_j für j = 1,...,n.

B

F F Y W

(7)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

Folge Y Folge X

Y ist Teilfolge von X

B C A C

A B A C A B C

(8)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

Folge Y Folge X

Y ist Teilfolge von X

Wähle (i ,i ,i ,i ) = (2,4,5,7) B C A C

A B A C A B C

(9)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

Folge Y Folge X

• Y ist Teilfolge von X B C A C

A B A C A B C

(10)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

Folge Y Folge X

• Y ist Teilfolge von X

• Wähle (i ,i ,i ,i ) = (2,4,5,7) B C A C

A B A C A B C

(11)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

Folge Y Folge X

• Y ist Teilfolge von X B C A C

A B A C A B C

(12)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

• Seien X, Y, Z Folgen über A.

• Dann heißt Z gemeinsame Teilfolge von X und Y, wenn Z Teilfolge sowohl von X als auch von Y ist.

B

F F F Z

(13)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

Folge Z Folge X Folge Y

B C A C

A B A C A B C B A C C A B B C

(14)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

• Z ist gemeinsame Teilfolge von X und Y A B A C A B C

B C A C

B A C C A B B C

(15)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

A B A C A B C B C A C

B A C C A B B C

(16)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

• Dann heißt Z längste gemeinsame Teilfolge von X und Y, wenn Z gemeinsame Teilfolge von X und Y ist und es keine andere gemeinsame Teilfolge von X und Y gibt, die größere Länge als Z besitzt.

B

F F F

(17)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

Folge X Folge Y

(18)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

Folge X Folge Y Folge Z

A B A C A B C B A C C A B B C B C A C

(19)

Längste gemeinsame Teilfolge

Definition:

Beispiel:

Folge X Folge Y

(20)

Z₁ ist nicht längste gemeinsame

Teilfolge!

Definition:

Beispiel:

Folge X Folge Y

Folge Z Folge Z

A

Längste gemeinsame Teilfolge

B A C A B C B A C C A B B C

B C A C B A C A C

(21)

Problem LCS

Eingabe:

• Folge X=(x₁,...,x_m)

• Folge Y=(y₁,...,y_n)

Ausgabe:

• Längste gemeinsame Teilfolge Z (Longest Common Subsequenz)

B

F

(22)

Problem LCS

Eingabe:

• Folge X=(x₁,...,x_m)

• Folge Y=(y₁,...,y_n)

Ausgabe:

• Längste gemeinsame Teilfolge Z (Longest Common Subsequenz)

Beispiel:

Folge X Folge Y

A B C B D A B B D C A B A

(23)

Einfacher Ansatz

Algorithmus:

• Erzeuge alle möglichen Teilfolgen von X

• Teste für jede Teilfolge von X, ob auch Teilfolge von Y

• Merke zu jedem Zeitpunkt bisher längste gemeinsame Teilfolge

Laufzeit:

• 2^m mögliche Teilfolgen

• Exponentielle Laufzeit!

(24)

Struktur von LCS

Satz:

Seien X=(x₁,...,x_m) und Y=(y₁,...,y_n) beliebige Folgen und sei Z=(z₁,...,z_k) eine längste gemeinsame Teilfolge von X und Y. Dann gilt

1. Ist x_m = y_n, dann ist z_k = x_m = y_n und (z₁,...,z_k-1) ist eine längste gemeinsame Teilfolge von (x₁,...,x_m-1) und

(y₁,...,y_n-1).

Ist x_m ≠ y_n und z_k ≠ x_m, dann ist Z eine längste gemeinsame Teilfolge von (x₁,...,x_m-1) und Y.

Ist x_m ≠ y_n und z_k ≠ y_n, dann ist Z eine längste gemeinsame Teilfolge von X und (y ,...,y ).

(25)

Struktur von LCS

Satz:

(y₁,...,y_n-1).

2. Ist x_m ≠ y_n und z_k ≠ x_m, dann ist Z eine längste gemeinsame Teilfolge von (x₁,...,x_m-1) und Y.

(26)

Struktur von LCS

Satz:

(y₁,...,y_n-1).

3. Ist x_m ≠ y_n und z_k ≠ y_n, dann ist Z eine längste gemeinsame Teilfolge von X und (y ,...,y ).

(27)

Struktur von LCS

Anwendung des Optimalitätsprinzips

Satz:

1. Ist x_m = y_n, dann ist z_k = x_m = y_n und (z₁,...,z_k-1) ist eine längste gemeinsame Teilfolge von

(x₁,...,x_m-1) und (y₁,...,y_n-1).

(28)

Rekursion für Länge von LCS

Lemma:

Sei C[i][j] die Länge einer längsten gemeinsamen Teilfolge von (x₁,...,x_i) und (y₁,...,y_j). Dann gilt:

Beobachtung:

Rekursive Berechnung der C[i][j] würde zu Berechnung immer wieder derselben Werte führen. Dieses ist

ineffizient. Berechnen daher die Werte C[i][j] iterativ, nämlich zeilenweise.

{ }

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

>

−

=

>

+

−

=

j i

y x

j i j

i C j

i C

y x

j i j

i C

j i

j i C

und falls

oder falls

0 ,

] 1 ][

[ ], ][

1 [

max

0 ,

1 ] 1 ][

1 [

0 0

0 ]

][

[

(29)

Rekursion für Länge von LCS

Lemma:

Beobachtung:

{ }

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

>

−

=

>

+

−

=

j i

y x

j i j

i C j

i C

y x

j i j

i C

j i

j i C

und falls

oder falls

0 ,

] 1 ][

[ ], ][

1 [

max

0 ,

1 ] 1 ][

1 [

0 0

0 ]

][

[

(30)

Rekursion für Länge von LCS

Lemma:

Beobachtung:

ineffizient. Berechnen daher die Werte C[i][j] iterativ, nämlich zeilenweise.

{ }

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

>

−

=

>

+

−

=

j i

y x

j i j

i C j

i C

y x

j i j

i C

j i

j i C

und falls

oder falls

0 ,

] 1 ][

[ ], ][

1 [

max

0 ,

1 ] 1 ][

1 [

0 0

0 ]

][

[

(31)

Rekursion für Länge von LCS

Lemma:

Beobachtung:

{ }

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

>

−

=

>

+

−

=

j i

y x

j i j

i C j

i C

y x

j i j

i C

j i

j i C

und falls

oder falls

0 ,

] 1 ][

[ ], ][

1 [

max

0 ,

1 ] 1 ][

1 [

0 0

0 ]

][

[

(32)

Berechnung der C[i][j] Werte

LCS-Länge(Array X, Y) 1. m ← length[X]

2. n ← length[Y]

3. new array C[0,..,m][0,..,n]

4. for i ← 0 to m do C[i][0] ← 0 5. for j ← 0 to n do C[0][j] ← 0 6. for i ← 1 to m do

7. for j ← 1 to n do

8. ¾ Längenberechnung(X, Y, C, i, j) 9. return C

(33)

Berechnung der C[i][j] Werte

2. n ← length[Y]

3. new array C[0,..,m][0,..,n]

7. for j ← 1 to n do

8. ¾ Längenberechnung(X, Y, C, i, j)

(34)

Berechnung der C[i][j] Werte

2. n ← length[Y]

3. new array C[0,..,m][0,..,n]

7. for j ← 1 to n do

Tabelle für die C[i][j] Werte

anlegen.

(35)

Berechnung der C[i][j] Werte

2. n ← length[Y]

3. new array C[0,..,m][0,..,n]

7. for j ← 1 to n do

Erste Spalte der Tabelle auf 0 setzen.

(36)

Berechnung der C[i][j] Werte

2. n ← length[Y]

3. new array C[0,..,m][0,..,n]

7. for j ← 1 to n do

Erste Reihe der Tabelle auf 0 setzen.

(37)

Berechnung der C[i][j] Werte

2. n ← length[Y]

3. new array C[0,..,m][0,..,n]

7. for j ← 1 to n do

(38)

Berechnung der C[i][j] Werte

Längenberechnung(Array X, Y, C, i, j) 1. if x_i = y_j then C[i][j] ← C[i-1][j-1] +1 2. else

3. if C[i-1][j] ≥ C[i][j-1] then C[i][j] ← C[i-1][j]

4. else C[i][j] ← C[i][j-1]

{ }

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠

>

−

=

>

+

−

=

j i

y x

j i j

i C j i

C

y x

j i j

i C

j i

j i C

und falls

oder falls

0 ,

] 1 ][

[ ], ][

1 [

max

0 ,

1 ] 1 ][

1 [

0 0

0 ]

][

[

(39)

Berechnung der C[i][j] Werte

Längenberechnung(Array X, Y, C, i, j) 1. if x_i = y_j then C[i][j] ← C[i-1][j-1] +1 2. else

3. if C[i-1][j] ≥ C[i][j-1] then C[i][j] ← C[i-1][j]

4. else C[i][j] ← C[i][j-1]

{ }

⎪

⎪⎨

⎧

=

>

+

−

=

= C i j i j x_i y_j

j i

C falls und

oder falls

0 ,

1 ] 1 ][

1 [

0 0

0 ]

][

[

(40)

Berechnung der C[i][j] Werte

2. n ← length[Y]

3. new array C[0,..,m][0,..,n]

7. for j ← 1 to n do

(41)

Berechnung am Beispiel

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(42)

Berechnung am Beispiel

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

0 0 0 0 0 0 0 0 i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(43)

Berechnung am Beispiel

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(44)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(45)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(46)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(47)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(48)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(49)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(50)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(51)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(52)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(53)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(54)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(55)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(56)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(57)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(58)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(59)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(60)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1

0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(61)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1

0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(62)

Berechnung am Beispiel

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0 0

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(63)

Berechnung am Beispiel

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 0 0 0 0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(64)

Berechnung am Beispiel

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 0 0 0 0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(65)

Berechnung am Beispiel

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 0 0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(66)

Berechnung am Beispiel

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

0 1 2 2 3 4 4

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(67)

Ausgabe der LCS

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(68)

Ausgabe der LCS

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

0 1 2 2 3 4 4

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(69)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(70)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

0 1 2 2 3 4 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(71)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(72)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

0 1 2 2 3 4 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(73)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(74)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

0 1 2 2 3 4 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(75)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(76)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

0 1 2 2 3 4 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(77)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(78)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

0 1 2 2 3 4 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

7 B

(79)

Ausgabe der LCS

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 1 1 1 1 2 2

0 1 1 2 2 2 2

0 1 1 2 2 3 3

0 1 2 2 2 3 3

0 1 2 2 3 3 4

j 0 1 2 3 4 5 6

y_j B D C A B A

i

0 x_i

1 A

2 B

3 C

4 B

5 D

6 A

(80)

Laufzeitanalyse

Lemma:

Der Algorithmus LCS-Länge hat Laufzeit O(nm), wenn die Folgen X,Y Länge n und m haben.

Lemma:

Die Ausgabe der längsten gemeinsamen Teilfolge anhand der Tabelle hat Laufzeit O(n+m), wenn die Folgen X,Y Länge n und m haben.

(81)

Vorgehensweise bei dynamischer Programmierung

1. Bestimme rekursive Struktur einer optimalen Lösung.

2. Entwerfe rekursive Methode zur Bestimmung des Wertes einer optimalen Lösung.

3. Transformiere rekursiv Methode in eine iterative (bottom-up) Methode zur Bestimmung des Wertes einer optimalen Lösung.

4. Bestimmen aus dem Wert einer optimalen Lösung und in 3. ebenfalls berechneten Zusatzinformationen eine

(82)

Zusammenfassung

Algorithmenentwurfstechnik:

• Oft bei Optimierungsproblemen angewandt

Einsatz:

• Bei rekursiven Problemlösungen, wenn Teillösungen mehrfach benötigt werden

Lösungsansatz:

• Tabellieren von Teilergebnissen

Vorteil:

• Laufzeitverbesserungen, oft polynomiell statt exponentiell