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Finanzmathematik 1: Diskrete Modelle (Vorlesungspr¨ ufung)
29. Juni 2015 Paul Kr¨ uhner
(Dauer 90 Minuten, Erlaubte Hilfsmittel: Schreibutensilien, nicht programierbarer Taschenrechner, 1 selbstbeschriebenes A4 Blatt (beidseitig))
Anmeldung zur m¨undlichen Pr¨ufung nach Absprache
Bsp. Max. Punkte
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P 20
F¨ur die gesamte Klausur sei (Ω,F,(Fn)n∈N, P) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum mit F0 ={∅,Ω}.
1. Sei (S0, . . . , SN) ein arbitragefreies Standardmodell mit N = 5 Handelsperioden, Sn0 = (1 +r)nf¨ur einr ≥0 undn = 0, . . . , N undP =Q ein Martingalmaß. Weiter Sei F0, . . . , FN ein mit Arbitragefreiheit vertr¨aglicher Preis f¨ur einen Forward auf S1 mit F¨alligkeit N und Forwardpreis K = 100.
(2 Pkt.)
(i) Beschreiben Sie in Worten was ein Forward Gesch¨aft ist.
(2 Pkt.)
(ii) Finden Sie eine Superhedingstrategie f¨ur den Forward.
2. F¨ur diese Aufgabe sei Ω = {ω++, ω+−, ω−+, ω−−} eine vierelementige Menge. Zu- dem sei A+ := {ω++, ω+−}, A− := Ac+ = {ω−+, ω−−}, F1 := {∅, A+, A−,Ω} und F2 :=P(Ω) die Potenzmenge von Ω. Weiter gelte P({ω}) = 14 f¨ur alle ω ∈ Ω und (S0, S1, S2) sei ein 2-Perioden-Modell mit einem risikolosem WertpapierSn0 = 1 f¨ur n= 0, . . . ,2 und einem riskantem Wertpapier S1 mit
S01 = 100, S11 =
(110 auf A+, 90 auf A−,
S21 =
120 auf{ω++}, 100 auf{ω+−}, 120 auf{ω−+}, 80 auf{ω−−}.
(2 Pkt.)
(i) Zeichnen Sie zun¨achst einen Binomialbaum oder rekombinierenden Binomial- graph.
(2 Pkt.)
(ii) Bestimmen Sie ein Martingalmaß oder eine Arbitrage.
(2 Pkt.)
(iii) Zeigen Sie, dass der Markt vollst¨andig ist.
(2 Pkt.)
(iv) Bestimmen Sie den Anfangspreis einer amerikanischen Call-Option aufS1 mit Basispreis 100 und Verfallsdatum 2.
3. Es sei (S0, . . . , SN) einN-Perioden-Modell undQ≈P ein Martingalmaß. Zeigen Sie ohne Benutzung der Fundamentals¨atze, dass keine beschr¨ankte Arbitrage existiert,
(2 Pkt.)
d.h. Sie m¨ussen zeigen, dass f¨ur jede beschr¨ankte selbstfinanzierende Handelsstra- tegie ϕmit V0(ϕ)≤0 und VN(ϕ)≥0 bereits VN(ϕ) = 0 P-f.s. gilt.
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4. Betrachten Sie das folgende 1-Perioden-Modell (S0, S1) mit einem risikolosenB :=
S0 und einem riskanten Finanzgut S1. Dabei sei Ω ={ω1, ω2, ω3}, F1 =σ(S1) und P({ωi}) > 0 f¨ur i = 1, ...,3 und die Preisentwicklung durch den folgenden Baum beschrieben.
B0 = 1 //B1 = 54 S11(ω1) = 150 S01 = 100
22,,//S11(ω2) = 125
S11(ω3) = 100
(2 Pkt.)
(i) Bestimmen Sie alle zu P ¨aquivalenten MartingalmaßeQ.
(2 Pkt.)
(ii) Ist der Markt arbitragefrei? Ist der Markt vollst¨andig?
(2 Pkt.)
(iii) Betrachten Sie eine europ¨aische Put-Option mit Basispreis K = 125. Ist die Option duplizierbar?
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