5.¨Ubung LieAlgebren

(1)

Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Nils Scheithauer

TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT

A

SS 09 19. Mai 2009

Lie Algebren

5. ¨ Ubung

Aufgabe 32 Sei Φ ein irreduzibles Wurzelsystem und ∆ ={α1, . . . , α_l} eine Basis von Φ.

Zeigen Sie, daß es eine Wurzel α=Pl

i=1n_iα_i gibt, so daß f¨ur jede Wurzel Pl

i=1m_iα_i n1 ≥m1, . . . , n_l ≥m_l

gilt.

Aufgabe 33 Sei Geine halbeinfache Lie Algebra über Cmit Cartan UnteralgebraH und Wurzelsystem Φ. Seien α, β ∈ Φ und β 6=±α. Sei r die größte ganze Zahl, so daß β−rα eine Wurzel ist, und q die größte ganze Zahl, so daßβ+qαeine Wurzel ist. Zeigen Sie, daß alle β+jα, −r≤j ≤ q, Wurzeln sind und r−q =β(hα) gilt.

Aufgabe 34 Sei Geine halbeinfache Lie Algebra ¨uber Cmit Cartan UnteralgebraH und Wurzelsystem Φ. Seien α, β, α+β ∈Φ. Beweisen Sie, daß

[G_α, G_β] =G_α+β.

Aufgabe 35 Sei G eine halbeinfache Lie Algebra ¨uber C mit Cartan Unteralgebra H und Wurzelsystem Φ. Sei ∆ = {α1, . . . , α_l} eine Basis von Φ. Sei h_i = h_α_i. W¨ahle x_i ∈ G_α_i, y_i ∈G_−α_i mit [xi, y_i] = h_i. Definierea_ij =hαj, α_ii=α_j(hi). Zeigen Sie, daßGvon den Elementen x_i, h_i, y_i erzeugt wird und die Relationen

[h_i, h_j] = 0 [xi, y_j] =δ_ijh_i

[hi, x_j] =a_ijx_j, [hi, y_j] =−aijy_j

ad(xi)¹^−a^ijx_j = ad(yi)¹^−a^ijy_j = 0, i6=j gelten.

Aufgabe 36 SeiLeine Lie Algebra und (U, i) eine universelle Einh¨ullende vonL. Beweisen Sie, daß es einen eindeutigen Antiautomorphismus π:U →U gibt, so daß πi=−i. Zeigen Sie weiterhin, daß π² = 1.

Aufgabe 37 SeiLeine Lie Algebra und U eine universelle Einh¨ullende vonL. Sei M eine Unteralgebra vonL. Zeigen Sie, daß die Unteralgebra vonU erzeugt vonM eine universelle Einh¨ullende von M ist.